2. 计算$\sqrt{8}+\sqrt{2}$的结果是 （）

A.5
B.$\sqrt{10}$
C.$3\sqrt{2}$
D.$4+\sqrt{2}$

2. C

【分析】
这是二次根式的加法运算题，解题思路很清晰：第一步先把算式中不是最简形式的二次根式化为最简二次根式，第二步判断化简后的二次根式是否为同类二次根式（即被开方数相同的二次根式），如果是同类二次根式，只需把它们的系数相加，被开方数保持不变就能得到最终结果。
【解析】
解：首先化简非最简二次根式$\sqrt{8}$，根据二次根式的性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}(a≥0,b≥0)$可得：
$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=\sqrt{4}×\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
再代入原式合并同类二次根式：
$\sqrt{8}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}+\sqrt{2}=(2+1)\sqrt{2}=3\sqrt{2}$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次根式的化简
2. 同类二次根式的合并
【点评】
本题是二次根式加减法的基础题型，解题核心是先将所有二次根式化为最简形式，再合并同类二次根式，注意不能直接将根号内的数字相加，熟练掌握基础运算规则即可快速得分。
【难度系数】
0.8

3. 下列计算正确的是（）

A.$6\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = 2$
B.$\sqrt{3} + \sqrt{3} = \sqrt{6}$
C.$3\sqrt{5} + 4\sqrt{5} = 7\sqrt{5}$
D.$\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$

3. C

【分析】
本题考查二次根式的加减法运算，解题思路如下：首先明确二次根式加减的核心规则：只有被开方数相同的同类二次根式才能合并，合并时仅将系数相加减，被开方数保持不变，不是同类二次根式的无法直接合并。接下来我们按照这个规则逐一验证四个选项的计算是否正确，即可选出正确答案。
【解析】
根据二次根式加减运算法则：同类二次根式（被开方数相同的最简二次根式）可以合并，合并时系数相加减，被开方数和根号不变；非同类二次根式不能合并。逐一分析选项：
A. $6\sqrt{2} - 4\sqrt{2}=(6-4)\sqrt{2}=2\sqrt{2}≠2$，计算错误；
B. $\sqrt{3} + \sqrt{3}=(1+1)\sqrt{3}=2\sqrt{3}≠\sqrt{6}$，计算错误；
C. $3\sqrt{5} + 4\sqrt{5}=(3+4)\sqrt{5}=7\sqrt{5}$，计算正确；
D. $\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$被开方数不同，不属于同类二次根式，不能直接合并，计算错误。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的加减，同类二次根式
【点评】
本题是二次根式加减的基础题型，解题关键是准确判断同类二次根式，掌握正确的合并方法，避免出现直接合并被开方数的错误。
【难度系数】
0.8

4. 化简$2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-5\sqrt{3}-3\sqrt{2}$的值为（）

A.$-3\sqrt{2}$
B.$-3\sqrt{3}$
C.$\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{2}$

4. B

【分析】
本题考查二次根式的加减运算，解题思路为：首先识别式子中的同类二次根式（被开方数相同的二次根式），类比合并同类项的方法，将同类二次根式的系数相加减，根式部分保持不变，分组合并后即可得到化简结果。
【解析】
解：对原式中的同类二次根式分组合并：
$\begin{aligned}原式&=(2\sqrt{3}-5\sqrt{3})+(3\sqrt{2}-3\sqrt{2})\\&=(2-5)\sqrt{3}+(3-3)\sqrt{2}\\&=-3\sqrt{3}+0\\&=-3\sqrt{3}\end{aligned}$
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
同类二次根式；二次根式的加减运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查合并同类二次根式的方法，计算时只需准确归类同类二次根式，再对系数进行加减运算即可，注意系数的符号不要算错。
【难度系数】
0.9

5. 计算：$\sqrt{54} - 2\sqrt{\frac{1}{6}} =$ 。

5. $\frac{8\sqrt{6}}{3}$

【分析】
本题属于二次根式的减法运算，解题思路可分为三步：第一步先将算式中的每一个二次根式都化为最简二次根式；第二步判断化简后的两个二次根式是否为同类二次根式（即被开方数是否相同）；第三步如果是同类二次根式，将二者的系数相减，被开方数保持不变即可得到结果。化简时注意，被开方数是整数的要拆出完全平方因数开方，被开方数是分数的要做分母有理化去掉根号内的分母。
【解析】
解：先分别化简两个二次根式：
1. 化简$\sqrt{54}$：
$\sqrt{54}=\sqrt{9×6}=\sqrt{9}×\sqrt{6}=3\sqrt{6}$
2. 化简$2\sqrt{\frac{1}{6}}$：
$2\sqrt{\frac{1}{6}}=2×\sqrt{\frac{6}{36}}=2×\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{36}}=2×\frac{\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{3}$
3. 合并同类二次根式：
$\sqrt{54} - 2\sqrt{\frac{1}{6}}=3\sqrt{6}-\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{9\sqrt{6}}{3}-\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{8\sqrt{6}}{3}$
【答案】
$\frac{8\sqrt{6}}{3}$
【知识点】
1. 二次根式化简 2. 同类二次根式合并 3. 二次根式加减运算
【点评】
本题是二次根式加减的基础题型，重点考查二次根式的化简规则和同类二次根式的合并方法，计算时要注意分母有理化的运算准确性，合并系数时避免通分错误。
【难度系数】
0.7

6.已知三角形的三边长分别为$\sqrt{45}$ cm，$\sqrt{80}$ cm，$\sqrt{125}$ cm，则这个三角形的周长为 cm.

6. $12\sqrt{5}$

【分析】
要求三角形的周长，根据周长的定义，就是把三角形的三边长相加。解题时首先要把三个二次根式都化简为最简二次根式，再合并被开方数相同的同类二次根式，即可求出最终结果。
【解析】
三角形的周长为三边长之和，因此列式计算如下：
1. 先化简各二次根式：
$\sqrt{45}=\sqrt{9×5}=3\sqrt{5}$
$\sqrt{80}=\sqrt{16×5}=4\sqrt{5}$
$\sqrt{125}=\sqrt{25×5}=5\sqrt{5}$
2. 合并同类二次根式：
$\sqrt{45}+\sqrt{80}+\sqrt{125}=3\sqrt{5}+4\sqrt{5}+5\sqrt{5}=(3+4+5)\sqrt{5}=12\sqrt{5}$（cm）
【答案】
$12\sqrt{5}$
【知识点】
1. 三角形周长计算
2. 二次根式化简
3. 二次根式加减运算
【点评】
本题属于二次根式加减的基础应用题，核心是掌握二次根式加减的运算规则：先化简为最简二次根式，再合并同类二次根式，计算时注意系数相加不要出错。
【难度系数】
0.9

7.计算：
(1)$\sqrt{27}+\sqrt{3}-\sqrt{12}$；
(2)$\sqrt{20}-\sqrt{5}+\sqrt{\frac{1}{5}}$；
(3)$\frac{\sqrt{12}+\sqrt{18}}{\sqrt{3}} $$ - 2\sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{3}$。

7. 解:(1)原式=$3\sqrt{3}+\sqrt{3}-2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$.
(2)原式=$2\sqrt{5}-\sqrt{5}+\frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{6\sqrt{5}}{5}$.
(3)原式=$\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{\sqrt{3}}-2×\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{3}=2+\sqrt{6}-\sqrt{6}=2$.

【分析】
解决二次根式的混合运算类题目，遵循以下思路：①先将所有二次根式化简为最简二次根式；②按照先乘除后加减的运算顺序计算：除法可拆分分子分别除以分母简化计算，乘法按照二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$）计算；③最后合并同类二次根式得到结果。
具体到各小题：（1）先化简$\sqrt{27}$、$\sqrt{12}$，再合并同类二次根式；（2）先化简$\sqrt{20}$、$\sqrt{\frac{1}{5}}$，再合并同类二次根式；（3）先化简分子中的$\sqrt{12}$、$\sqrt{18}$和乘法项的$\sqrt{\frac{1}{2}}$，再分别计算除法和乘法，最后合并同类项即可。
【解析】
(1) 先化简各二次根式：$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$
原式$=3\sqrt{3}+\sqrt{3}-2\sqrt{3}=(3+1-2)\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
(2) 先化简各二次根式：$\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，$\sqrt{\frac{1}{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$
原式$=2\sqrt{5}-\sqrt{5}+\frac{\sqrt{5}}{5}=(2-1+\frac{1}{5})\sqrt{5}=\frac{6\sqrt{5}}{5}$
(3) 先化简各二次根式：$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
原式$=\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{\sqrt{3}} - 2×\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{3}$
拆分除法项计算：$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}+\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=2+\sqrt{6}$
计算乘法项：$2×\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}$
因此原式$=2+\sqrt{6}-\sqrt{6}=2$
【答案】
(1)$2\sqrt{3}$；(2)$\frac{6\sqrt{5}}{5}$；(3)$2$
【知识点】
最简二次根式化简，二次根式四则运算，同类二次根式合并
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，重点考察二次根式的化简规则和运算法则，运算时先化简再计算、能拆分约分的先处理，可减少计算失误，熟练掌握最简二次根式的化简是解题的关键。
【难度系数】
0.8

8. 如果$\sqrt{a+1}$与$\sqrt{12}$的和与$\sqrt{27}$相等，那么a的值是（）

A.14
B.1
C.2
D.3

8. C

【分析】
解题时首先根据题目描述列出等量关系，再按照二次根式加减的运算规则，先把所有非最简二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，随后通过移项求出$\sqrt{a+1}$的取值，最后两边平方即可求出a的值，可额外验证结果是否满足二次根式有意义的条件。
【解析】
根据题意可列等式：
$\sqrt{a+1} + \sqrt{12} = \sqrt{27}$
第一步：化简二次根式
$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，代入等式得：
$\sqrt{a+1} + 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$
第二步：移项合并同类二次根式
$\sqrt{a+1}=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}=\sqrt{3}$
第三步：两边同时平方
$a+1=3$，解得$a=2$
验证：当$a=2$时，$a+1=3＞0$，二次根式有意义，结果成立。
【答案】
C
【知识点】
1.二次根式的化简
2.二次根式的加减运算
3.二次根式的性质
【点评】
本题是二次根式加减运算的基础应用题型，解题核心是先将非最简二次根式化为最简后再进行运算，掌握二次根式化简规则和同类二次根式合并方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.8

9. (绵阳模拟)如果最简二次根式$\sqrt{x+1}$与$\sqrt{7-2x}$能够合并，那么合并后的结果是。

9. $2\sqrt{3}$

【分析】
要解决这道题，首先回忆同类二次根式的性质：几个最简二次根式如果能够合并，说明它们是同类二次根式，即被开方数完全相同。解题步骤可分为三步：第一步根据被开方数相等列关于x的一元一次方程；第二步解方程求出x的值；第三步将x代入两个二次根式，再合并得到结果。
【解析】
∵ 最简二次根式$\sqrt{x+1}$与$\sqrt{7-2x}$能够合并
∴ 两个根式是同类二次根式，被开方数相等，即：
$x+1=7-2x$
移项得：$x+2x=7-1$
合并同类项得：$3x=6$
解得：$x=2$
将$x=2$代入两个根式得：
$\sqrt{x+1}=\sqrt{2+1}=\sqrt{3}$，$\sqrt{7-2x}=\sqrt{7-4}=\sqrt{3}$
合并两个根式：$\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
同类二次根式的判定、解一元一次方程、二次根式的加减
【点评】
本题核心考查同类二次根式的性质，解题的关键是明确“可合并的最简二次根式被开方数相同”这一核心条件，先求解参数再计算合并，熟练掌握相关定义即可快速解题。
【难度系数】
0.8

10.已知一块长为7 dm，宽为5 dm的长方形木板，如图.

(1)与这块长方形木板面积相等的正方形木板的边长为 dm.
(2)采用如图的方式，能否在这块木板上截出两个面积分别为8 dm²和18 dm²的正方形木板？试说明理由.

10. 解:(1) $\sqrt{35}$
(2)不能截出.理由如下：
若能截出,则两个正方形的边长分别为$\sqrt{8}$和$\sqrt{18}$.
因为$\sqrt{8}+\sqrt{18}=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}=\sqrt{50}＞7$,
即两个小正方形的边长之和大于木板的长,所以不能截出.

【分析】
(1) 先计算长方形木板的面积，正方形木板面积与长方形相等，根据正方形面积公式，边长即为面积的算术平方根，直接计算即可。
(2) 要判断能否截出两个正方形，首先分别求出两个正方形的边长，先验证较大的正方形边长是否不超过长方形的宽，再计算两个正方形的边长之和，验证是否不超过长方形的长，若两个条件都满足则可以截出，否则不能。
【解析】
(1) 长方形木板的面积为：$7×5=35\ \mathrm{dm}^2$
设面积相等的正方形木板边长为$a$，则$a^2=35$，又$a＞0$，因此$a=\sqrt{35}\ \mathrm{dm}$。
(2) 不能截出，理由如下：
面积为$8\ \mathrm{dm}^2$的正方形边长为$\sqrt{8}=2\sqrt{2}\ \mathrm{dm}$，面积为$18\ \mathrm{dm}^2$的正方形边长为$\sqrt{18}=3\sqrt{2}\ \mathrm{dm}$。
首先比较较大边长和长方形的宽：$3\sqrt{2}=\sqrt{18}＜\sqrt{25}=5$，符合宽的要求；
再计算两个正方形的边长之和：$2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}\ \mathrm{dm}$，
将$5\sqrt{2}$和7比较大小：$(5\sqrt{2})^2=50$，$7^2=49$，因为$50＞49$，所以$5\sqrt{2}＞7$，即两个正方形的边长之和大于长方形木板的长，因此不能截出。
【答案】
(1) $\sqrt{35}$
(2) 不能截出，理由见解析
【知识点】
二次根式的加减运算，算术平方根的应用，实数大小比较
【点评】
本题以实际裁剪问题为载体，考查二次根式的化简、合并以及实数大小比较的方法，解题时需要结合图形的边长限制从宽和长两个维度验证，避免遗漏条件。
【难度系数】
0.7

11.化简$\frac{1}{2}a\sqrt{4a}+16a\sqrt{\frac{a}{9}}-4a^2\sqrt{\frac{1}{a}}$，并任取一个$a$的值使其结果为正整数.

11. 解:原式=$\frac{1}{2}a·2\sqrt{a}+16a·\frac{\sqrt{a}}{3}-4a^2·\frac{\sqrt{a}}{a}=a\sqrt{a}+\frac{16a}{3}\sqrt{a}-4a\sqrt{a}=\frac{7a}{3}\sqrt{a}$.
(答案不唯一,$a＞0$)当$a=9$时,原式=$\frac{7×9}{3}×\sqrt{9}=63$.

【分析】
解题时首先要确定a的取值范围：由于二次根式的被开方数为非负数，且分母不为0，因此$\frac{1}{a}＞0$，即$a＞0$，这是化简的前提。接下来分三步思考：第一步，将原式中每一项的二次根式化为最简二次根式，即把根号内能开得尽方的因数/因式移到根号外；第二步，识别化简后各项的同类二次根式（被开方数都是$\sqrt{a}$，属于同类二次根式），按照合并同类项的方法合并同类二次根式，得到最简结果；第三步，选取a的正值时，要保证$\frac{7a}{3}\sqrt{a}$为正整数，可选择a为3的倍数的完全平方数即可。
【解析】
解：由二次根式有意义的条件得$a＞0$，
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{2}a·2\sqrt{a}+16a·\frac{\sqrt{a}}{3}-4a^2·\frac{\sqrt{a}}{a}\\&=a\sqrt{a}+\frac{16a}{3}\sqrt{a}-4a\sqrt{a}\\&=(1+\frac{16}{3}-4)a\sqrt{a}\\&=\frac{7a}{3}\sqrt{a}\end{aligned}$
取$a=9$（取值不唯一，满足$a＞0$且结果为正整数即可），代入得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{7×9}{3}×\sqrt{9}\\&=21×3\\&=63\end{aligned}$
【答案】
化简结果为$\frac{7a}{3}\sqrt{a}$；当$a=9$时，结果为63（答案不唯一）
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的化简；同类二次根式的合并
【点评】
本题是二次根式化简求值的基础题，解题时需注意隐含的字母取值范围，避免出现a取非正数的错误，代入求值时只要符合题意即可，开放性较强。
【难度系数】
0.7