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11. 如图所示为一个食品包装盒的表面展开图.
（1）这个包装盒的几何体名称是
（2）请根据图中所标的尺寸，计算这个包装盒的侧面积.
（1）这个包装盒的几何体名称是
三棱柱
；（2）请根据图中所标的尺寸，计算这个包装盒的侧面积.
答案
11. (1) 三棱柱 (2) 72
解析
【分析】
（1）判断几何体名称时，先观察展开图的面的构成：该展开图包含2个全等的直角三角形和3个长方形，其中2个三角形是几何体的上下底面，3个长方形是侧面，底面为三角形的棱柱即为三棱柱。
（2）计算侧面积时，首先明确三棱柱的侧面积是3个侧面长方形的面积之和。3个长方形的长均为棱柱的高6，宽分别对应底面直角三角形的三条边长，已知两条直角边长为3、4，先求出斜边长，再分别计算每个长方形的面积相加即可，也可通过“底面周长×高”直接计算侧面积。
【解析】
（1）该展开图有2个全等的直角三角形作为底面，3个长方形作为侧面，符合三棱柱的展开图特征，因此这个包装盒的几何体是三棱柱。
（2）首先计算底面直角三角形的斜边长：直角三角形两条直角边为3、4，可得斜边长为5。
三棱柱的侧面积为三个侧面长方形的面积和：
$S_{\mathrm{侧}}=3×6 + 4×6 + 5×6 = (3+4+5)×6 = 12×6 = 72$
【答案】
（1）三棱柱；（2）72
【知识点】
立体图形展开图识别，三棱柱侧面积计算，长方形面积计算
【点评】
本题考查立体图形展开图的识别及相关面积计算，解题关键是准确根据展开图的面的特征判断几何体类型，明确侧面积的组成，计算时结合图形给出的尺寸运算即可。
【难度系数】
0.7
（1）判断几何体名称时，先观察展开图的面的构成：该展开图包含2个全等的直角三角形和3个长方形，其中2个三角形是几何体的上下底面，3个长方形是侧面，底面为三角形的棱柱即为三棱柱。
（2）计算侧面积时，首先明确三棱柱的侧面积是3个侧面长方形的面积之和。3个长方形的长均为棱柱的高6，宽分别对应底面直角三角形的三条边长，已知两条直角边长为3、4，先求出斜边长，再分别计算每个长方形的面积相加即可，也可通过“底面周长×高”直接计算侧面积。
【解析】
（1）该展开图有2个全等的直角三角形作为底面，3个长方形作为侧面，符合三棱柱的展开图特征，因此这个包装盒的几何体是三棱柱。
（2）首先计算底面直角三角形的斜边长：直角三角形两条直角边为3、4，可得斜边长为5。
三棱柱的侧面积为三个侧面长方形的面积和：
$S_{\mathrm{侧}}=3×6 + 4×6 + 5×6 = (3+4+5)×6 = 12×6 = 72$
【答案】
（1）三棱柱；（2）72
【知识点】
立体图形展开图识别，三棱柱侧面积计算，长方形面积计算
【点评】
本题考查立体图形展开图的识别及相关面积计算，解题关键是准确根据展开图的面的特征判断几何体类型，明确侧面积的组成，计算时结合图形给出的尺寸运算即可。
【难度系数】
0.7
12.（安阳期末）正方体的表面展开图如图所示，正方体标有$x$的面所对的面上标的数为$x$的相反数，正方体标有$y$的面与其所对的面上标的数相等.
(1) $x=$
(2) 求$5(3x^2y - xy^2) - (xy^2 + 3x^2y)$的值.
(1) $x=$
-1
，$y=$ 2
；(2) 求$5(3x^2y - xy^2) - (xy^2 + 3x^2y)$的值.
答案
12. (1) -1 2 (2) 当$x = -1$，$y = 2$时，原式$=12x^2y - 6xy^2 = 12×(-1)^2×2 - 6×(-1)×2^2 = 48$
解析
【分析】
要解决这道题，第一步先处理第(1)问：首先回忆正方体表面展开图相对面的特点：相对的面在展开图中不相邻，间隔一个正方形。先分别找出x、y对应的对面数字：观察展开图，x的对面是数字1，y的对面是数字2。再结合题干条件：x的对面是x的相反数，可得1是x的相反数，即可求出x的值；y和对面数字相等，即可直接得到y的值。
第二步处理第(2)问：整式求值类问题先化简再代入计算更简便，先按照去括号法则去掉括号，再合并同类项得到最简整式，最后把第(1)问求出的x、y的值代入最简式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 根据正方体表面展开图相对面不相邻的规律，可得：
标$x$的面的对面是标1的面，标$y$的面的对面是标2的面。
由题意，$x$的对面的数是$x$的相反数，因此$1=-x$，解得$x=-1$；
又因为标$y$的面与其对面的数相等，因此$y=2$。
(2) 先化简整式：
$\begin{aligned}&5(3x^2y - xy^2) - (xy^2 + 3x^2y)\\=&15x^2y - 5xy^2 - xy^2 - 3x^2y\\=&12x^2y - 6xy^2\end{aligned}$
将$x=-1$，$y=2$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=12×(-1)^2×2 - 6×(-1)×2^2\\&=12×1×2 + 6×4\\&=24 + 24\\&=48\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$，$\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{48}$
【知识点】
正方体展开图相对面判定，整式化简求值，相反数的定义
【点评】
本题结合了立体图形展开图和整式运算的知识点，解题核心是准确识别正方体展开图的相对面，再按照整式运算规则化简求值，属于基础综合题，主要考查基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，第一步先处理第(1)问：首先回忆正方体表面展开图相对面的特点：相对的面在展开图中不相邻，间隔一个正方形。先分别找出x、y对应的对面数字：观察展开图，x的对面是数字1，y的对面是数字2。再结合题干条件：x的对面是x的相反数，可得1是x的相反数，即可求出x的值；y和对面数字相等，即可直接得到y的值。
第二步处理第(2)问：整式求值类问题先化简再代入计算更简便，先按照去括号法则去掉括号，再合并同类项得到最简整式，最后把第(1)问求出的x、y的值代入最简式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 根据正方体表面展开图相对面不相邻的规律，可得：
标$x$的面的对面是标1的面，标$y$的面的对面是标2的面。
由题意，$x$的对面的数是$x$的相反数，因此$1=-x$，解得$x=-1$；
又因为标$y$的面与其对面的数相等，因此$y=2$。
(2) 先化简整式：
$\begin{aligned}&5(3x^2y - xy^2) - (xy^2 + 3x^2y)\\=&15x^2y - 5xy^2 - xy^2 - 3x^2y\\=&12x^2y - 6xy^2\end{aligned}$
将$x=-1$，$y=2$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=12×(-1)^2×2 - 6×(-1)×2^2\\&=12×1×2 + 6×4\\&=24 + 24\\&=48\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$，$\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{48}$
【知识点】
正方体展开图相对面判定，整式化简求值，相反数的定义
【点评】
本题结合了立体图形展开图和整式运算的知识点，解题核心是准确识别正方体展开图的相对面，再按照整式运算规则化简求值，属于基础综合题，主要考查基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
13. 如图①所示三棱柱的高为9cm，底面是一个每条边长都为5cm的三角形.
（1）这个三棱柱有
（2）如图②，这是该三棱柱的表面展开图的一部分，请将它补充完整；
（3）这个三棱柱的侧面积是
（1）这个三棱柱有
5
个面，有9
条棱；（2）如图②，这是该三棱柱的表面展开图的一部分，请将它补充完整；
（3）这个三棱柱的侧面积是
135
cm²，要将该三棱柱的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，需剪开棱的棱长之和的最大值为37
cm.答案
13. (1) 5 9 (2) 略，作图不唯一 (3) 135 37
解析
【分析】
（1）求解棱柱的面和棱的数量，可根据棱柱的基本定义：n棱柱有（n+2）个面，3n条棱，本题是三棱柱，n=3，代入即可得到结果。
（2）补全三棱柱的表面展开图，首先明确三棱柱展开图的构成：2个全等的等边三角形（底面）和3个长方形（侧面），观察现有展开图的元素，补充缺失的1个长方形和1个三角形，保证边长对应即可。
（3）侧面积计算：三棱柱的侧面是3个完全相同的长方形，长方形的长是棱柱的高9cm，宽是底面边长5cm，计算3个长方形的面积和即可。求剪开棱长之和的最大值时，先计算所有棱的总长度，展开成平面图形时，面与面之间相连的棱不需要剪开，共有（面数-1）条相连棱，要使剪开的棱长和最大，就让未剪开的相连棱长度尽可能短，用总棱长减去最短的未剪开棱长和，即可得到最大值。
【解析】
（1）三棱柱有2个三角形底面、3个长方形侧面，总面数为2+3=5；棱分为上下底面的棱和侧棱，上下底面各3条棱，共3×2=6条，加上3条侧棱，总棱数为6+3=9。
（2）三棱柱的表面展开图包含2个边长为5cm的等边三角形、3个长为9cm、宽为5cm的长方形，观察图②，已经有1个等边三角形和2个长方形，只需在现有右侧长方形的旁边补充1个长9cm宽5cm的长方形，再在任意一个长方形的上下边沿对应位置补充1个边长为5cm的等边三角形即可，作图合理即可。
（3）①侧面积：每个侧面长方形的面积=5×9=45cm²，3个侧面的总面积=3×45=135cm²。
②所有棱的总长度：3条侧棱总长=3×9=27cm，6条底面棱总长=6×5=30cm，总棱长=27+30=57cm。将棱柱展开成平面图形时，5个面之间需要有4条棱相连（无需剪开），要使剪开的棱长和最大，就需要未剪开的4条棱长度尽可能短，选择长度为5cm的底面棱作为未剪开的棱，未剪开的总长度=4×5=20cm，因此剪开的棱长之和最大值=57-20=37cm。
【答案】
(1) 5，9；(2) 略，作图不唯一；(3) 135，37
【知识点】
棱柱的特征；立体图形的展开图；棱柱侧面积计算
【点评】
本题围绕三棱柱的性质、展开图和相关计算设置问题，既考查了基础概念的识记，也对空间想象能力和逻辑推理能力有一定要求，第三问的最值问题需要通过反向思考未剪开棱的长度来求解，是本题的难点。
【难度系数】
0.6
（1）求解棱柱的面和棱的数量，可根据棱柱的基本定义：n棱柱有（n+2）个面，3n条棱，本题是三棱柱，n=3，代入即可得到结果。
（2）补全三棱柱的表面展开图，首先明确三棱柱展开图的构成：2个全等的等边三角形（底面）和3个长方形（侧面），观察现有展开图的元素，补充缺失的1个长方形和1个三角形，保证边长对应即可。
（3）侧面积计算：三棱柱的侧面是3个完全相同的长方形，长方形的长是棱柱的高9cm，宽是底面边长5cm，计算3个长方形的面积和即可。求剪开棱长之和的最大值时，先计算所有棱的总长度，展开成平面图形时，面与面之间相连的棱不需要剪开，共有（面数-1）条相连棱，要使剪开的棱长和最大，就让未剪开的相连棱长度尽可能短，用总棱长减去最短的未剪开棱长和，即可得到最大值。
【解析】
（1）三棱柱有2个三角形底面、3个长方形侧面，总面数为2+3=5；棱分为上下底面的棱和侧棱，上下底面各3条棱，共3×2=6条，加上3条侧棱，总棱数为6+3=9。
（2）三棱柱的表面展开图包含2个边长为5cm的等边三角形、3个长为9cm、宽为5cm的长方形，观察图②，已经有1个等边三角形和2个长方形，只需在现有右侧长方形的旁边补充1个长9cm宽5cm的长方形，再在任意一个长方形的上下边沿对应位置补充1个边长为5cm的等边三角形即可，作图合理即可。
（3）①侧面积：每个侧面长方形的面积=5×9=45cm²，3个侧面的总面积=3×45=135cm²。
②所有棱的总长度：3条侧棱总长=3×9=27cm，6条底面棱总长=6×5=30cm，总棱长=27+30=57cm。将棱柱展开成平面图形时，5个面之间需要有4条棱相连（无需剪开），要使剪开的棱长和最大，就需要未剪开的4条棱长度尽可能短，选择长度为5cm的底面棱作为未剪开的棱，未剪开的总长度=4×5=20cm，因此剪开的棱长之和最大值=57-20=37cm。
【答案】
(1) 5，9；(2) 略，作图不唯一；(3) 135，37
【知识点】
棱柱的特征；立体图形的展开图；棱柱侧面积计算
【点评】
本题围绕三棱柱的性质、展开图和相关计算设置问题，既考查了基础概念的识记，也对空间想象能力和逻辑推理能力有一定要求，第三问的最值问题需要通过反向思考未剪开棱的长度来求解，是本题的难点。
【难度系数】
0.6
