知识点1 同底数幂的除法
1.

1. 10⁸ x⁷ 10⁴ 10⁴ x³ x³ 相加 相减$ a^{m+n} a^{m-n}$

【分析】
这道题围绕同底数幂的乘除运算设置，解题思路如下：①先处理同底数幂相乘的部分：根据乘方的意义，几个相同底数的幂相乘，底数保持不变，总指数等于各个幂的指数之和，据此计算举例中的式子，总结法则和公式；②再处理同底数幂相除的部分：利用乘法和除法互为逆运算的关系，已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数用除法，由此推导同底数幂相除的运算规律，计算举例、总结法则和公式即可。
【解析】
我们依次计算每个空：
1. 同底数幂相乘部分：
（1）举例：$10^6 × 10^2 = 10^{6+2}=10^8$；$x^5 · x^2 =x^{5+2}=x^7$
（2）法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加
（3）公式：$a^m · a^n = a^{m+n}$（$m,n$都是正整数）
2. 同底数幂相除部分：
（1）举例：因为$10^6 ÷ 10^2 =10^{6-2}=10^4$，所以$10^2 × 10^4=10^6$，反过来$10^6 ÷ 10^2=10^4$；
因为$x^5 ÷ x^2 =x^{5-2}=x^3$，所以$x^2 × x^3=x^5$，反过来$x^5 ÷ x^2=x^3$
（2）法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减
（3）公式：$a^m ÷ a^n =a^{m-n}$（$a≠ 0$，$m,n$都是正整数，且$m≥ n$）
【答案】
$10^8$；$x^7$；$10^4$；$10^4$；$x^3$；$x^3$；相加；相减；$a^{m+n}$；$a^{m-n}$
【知识点】
同底数幂的乘法法则；同底数幂的除法法则；乘除互逆关系
【点评】
本题是幂运算的基础题型，侧重考察同底数幂乘除法则的推导过程和内容理解，熟练掌握“底数不变，指数对应加减”的运算规律，是解决这类问题的核心，也为后续学习整式乘除运算打下基础。
【难度系数】
0.9

2.【例1】计算：
(1)$2^3 ÷ 2^2 =$ ；
(2)$x^7 ÷ x^2 =$ ；
(3)$a^5 ÷ a =$ ；
(4)$(xy)^5 ÷ (xy)^3 =$ ；
(5)$a^9 ÷ a^3 ÷ a =$ 。

2. (1) 2 (2) x⁵ (3) a⁴ (4) x²y² (5) a⁵

【分析】
解题前需先回忆同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即$a^m÷ a^n=a^{m-n}$（$a≠0$，$m、n$为正整数，且$m＞n$），同时注意单个字母的指数默认为1，多个同底数幂连除时按从左到右的顺序计算，底数为乘积形式时可先将整体看作底数运算，再展开化简。
解题步骤：先判断每道题的底数是否相同，底数相同直接套用同底数幂除法法则计算，底数为乘积形式的先按整体运算再用积的乘方法则展开。
【解析】
(1) 底数均为2，套用同底数幂除法法则：
$2^3÷2^2=2^{3-2}=2^1=2$
(2) 底数均为$x$，套用同底数幂除法法则：
$x^7÷ x^2=x^{7-2}=x^5$
(3) $a=a^1$，底数均为$a$，套用同底数幂除法法则：
$a^5÷ a=a^{5-1}=a^4$
(4) 将$(xy)$看作整体作为底数，先算同底数幂除法，再用积的乘方法则展开：
$(xy)^5÷(xy)^3=(xy)^{5-3}=(xy)^2=x^2y^2$
(5) 同底数幂连除，按从左到右顺序计算，或直接将指数连续相减：
$a^9÷ a^3÷ a=a^{9-3-1}=a^5$
【答案】
(1) 2 (2) $x^5$ (3) $a^4$ (4) $x^2y^2$ (5) $a^5$
【知识点】
同底数幂的除法、积的乘方、幂的同级运算
【点评】
本题是同底数幂除法的基础应用题型，核心是熟练掌握同底数幂的除法法则，运算时需注意不要遗漏单个字母的指数1，底数为乘积形式时可先整体运算再展开，连除运算时按顺序计算即可，是巩固幂运算性质的典型习题。
【难度系数】
0.85

3. 计算：
(1) $5^6 ÷ 5^2 =$ ；
(2) $m^5 ÷ m^2 =$ ；
(3) $(-x)^3 ÷ (-x) =$ ；
(4) $(ab)^6 ÷ (ab)^3 =$ ；
(5) $(a-b)^{10} ÷ (a-b)^5 ÷ (a-b)^3 =$ 。

3. (1) 5⁴ (2) m³ (3) x² (4) a³b³ (5) (a-b)²

【分析】
这组题目均属于同底数幂的除法运算类题目，解题核心是运用同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减（公式为$a^m÷ a^n=a^{m-n}$，$a≠0$，$m$、$n$为正整数且$m＞n$）。解题时先确认每道小题的底数是否一致，若底数为负数、乘积形式或多项式，需将其看作整体参与运算，最后结合幂的符号规则、积的乘方法则化简结果即可。
【解析】
(1) 底数为$5$的同底数幂相除，直接套用法则：
$5^6÷5^2=5^{6-2}=5^4$
(2) 底数为$m$的同底数幂相除，套用法则：
$m^5÷ m^2=m^{5-2}=m^3$
(3) 底数为$(-x)$的同底数幂相除，运算后化简符号：
$(-x)^3÷(-x)=(-x)^{3-1}=(-x)^2=x^2$
(4) 底数为$(ab)$的同底数幂相除，再用积的乘方法则展开：
$(ab)^6÷(ab)^3=(ab)^{6-3}=(ab)^3=a^3b^3$
(5) 底数为$(a-b)$的同底数幂连续相除，指数依次相减：
$(a-b)^{10}÷(a-b)^5÷(a-b)^3=(a-b)^{10-5-3}=(a-b)^2$
【答案】
(1) $5^4$；(2) $m^3$；(3) $x^2$；(4) $a^3b^3$；(5) $(a-b)^2$
【知识点】
同底数幂的除法，积的乘方，幂的符号化简
【点评】
本题是幂的运算的基础练习题，主要考查对同底数幂除法法则的理解和运用，解题时需注意将相同的底数（包括多项式、乘积形式的底数）看作整体运算，避免混淆指数的运算规则。
【难度系数】
0.85

4. (1)性质：$a^0 =$ ______ $(a≠0)$，即任何不等于0的数的0次幂都等于 ______。
(2)公式的推导：$\because a^m ÷ a^m =1, a^m ÷ a^m =a^{(\_\_\_\_\_\_)} =a^{(\_\_\_\_\_\_)},\therefore a^0 =$ ______ $(a$ ______ $0)$。

(1) 1 1 (2) m-m 0 1 ≠

【分析】
本题考查零指数幂的性质及其推导，解题思路如下：
(1) 第一问直接考查零指数幂的基本性质，回忆相关规定直接填空即可；
(2) 第二问利用已学的同底数幂的除法法则推导零指数幂的结果：首先根据同底数幂相除，底数不变、指数相减的法则，写出$a^m÷ a^m$的指数运算结果，再结合“两个相同的非零数相除商为1”的结论，即可推导出零指数幂的结果，同时要注意底数不能为0的限制条件，避免除数为0导致运算无意义。
【解析】
(1) 根据零指数幂的性质规定：任何不等于0的数的0次幂都等于1，因此$a^0=1$（$a\ne0$），两个空依次填1、1；
(2) 根据同底数幂的除法法则：$a^m÷ a^n=a^{m-n}$（$a\ne0$，$m$、$n$都是正整数），当$m=n$时，可得$a^m÷ a^m=a^{m-m}=a^0$；又因为两个相同的非零数相除的商为1，即$a^m÷ a^m=1$，因此可推出$a^0=1$，其中底数$a$不能为0，否则除数为0运算无意义，因此四个空依次填$m-m$、$0$、$1$、$\ne$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{1}$；$\boldsymbol{1}$
(2) $\boldsymbol{m-m}$；$\boldsymbol{0}$；$\boldsymbol{1}$；$\boldsymbol{≠}$
【知识点】
零指数幂的性质；同底数幂的除法法则
【点评】
本题属于基础概念题，侧重考查对零指数幂性质的理解和推导逻辑的掌握，牢记底数不为0的限制条件是解题的关键，也为后续复杂整式的乘除运算打下基础。
【难度系数】
0.9

5.【例2】计算:(1)$5^0 =$ ;
(2)$(π - 3)^0 =$ ;
(3)若$(a - 1)^0 = 1$,则$a$的取值范围是 .
6.计算:(1)$(-\dfrac{1}{2})^0 =$ ;
(2)$(2026 + \sqrt{3})^0 =$ .

5. (1) 1 (2) 1 (3) a≠1 6. (1) 1 (2) 1

【分析】
解题时首先回忆零指数幂的核心运算规则：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即$a^0=1$（$a≠0$），解题的关键是判断每个式子的底数是否不为0：
1. 对于纯数字底数的零指数幂，直接判断底数是否为0，不为0则结果为1；
2. 对于含字母的零指数幂，若要求结果为1，只需令底数不等于0，求解不等式即可得到字母的取值范围。
【解析】
根据零指数幂的运算规则$a^0=1$（$a≠0$），逐个计算如下：
5.(1) 底数$5≠0$，因此$5^0=1$；
(2) 因为$π\approx3.14＞3$，所以底数$π-3≠0$，因此$(π-3)^0=1$；
(3) 若$(a-1)^0=1$，需满足底数不为0，即$a-1≠0$，解得$a≠1$；
6.(1) 底数$-\frac{1}{2}≠0$，因此$(-\frac{1}{2})^0=1$；
(2) 因为$2026＞0$，$\sqrt{3}＞0$，所以底数$2026+\sqrt{3}≠0$，因此$(2026+\sqrt{3})^0=1$。
【答案】
5.(1)1；(2)1；(3)$a≠1$；6.(1)1；(2)1
【知识点】
1. 零指数幂的性质；2. 一元一次不等式求解
【点评】
本题是零指数幂的基础考查题，核心易错点是忽略零指数幂成立的前提是底数不为0，只要牢记规则，仔细判断底数的取值，就能快速得分。
【难度系数】
0.9

7.
| 项目 | 单项式乘单项式 | 单项式除以单项式 |
| --- | --- | --- |
| 举例 | $6x^5 · 3x^2 = \_\_\_\_\_\_$；
$8x^3y · (-2x) = \_\_\_\_\_\_$ | $3x^2 · \_\_\_\_\_\_ = 6x^5 ⇒ (6x^5) ÷ (3x^2) = \_\_\_\_\_\_$；
$(-2x) · \_\_\_\_\_\_ = 8x^3y ⇒ (8x^3y) ÷ (-2x) = \_\_\_\_\_\_$ |
| 法则 | 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 |
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式 |

18x⁷ -16x⁴y 2x³ 2x³ (-4x²y) -4x²y

【分析】
解决本题需要分别运用单项式乘单项式、单项式除以单项式的运算法则：
1. 计算单项式乘法时，分三步处理：先将两个单项式的系数相乘得到积的系数，再把同底数幂相乘作为积的因式，最后把只在一个单项式中出现的字母连同它的指数直接作为积的因式；
2. 计算单项式除法时，既可以利用乘法和除法互为逆运算求解，也可以直接用除法法则：先把系数、同底数幂分别相除得到商的因式，只在被除式里含有的字母连同指数直接作为商的因式，计算时注意符号的处理。
【解析】
我们逐个计算每个空：
1. 计算$6x^5 · 3x^2$：
系数相乘：$6×3=18$，同底数幂相乘：$x^5·x^2=x^{5+2}=x^7$，合并得$18x^7$；
2. 计算$8x^3y · (-2x)$：
系数相乘：$8×(-2)=-16$，同底数幂相乘：$x^3·x=x^{3+1}=x^4$，保留单独的字母$y$，合并得$-16x^4y$；
3. 求$3x^2$乘的因式，以及$(6x^5)÷(3x^2)$的结果：
用逆运算计算：$6x^5÷3x^2$，系数相除$6÷3=2$，同底数幂相除$x^5÷x^2=x^{5-2}=x^3$，得结果为$2x^3$，因此两个空都填$2x^3$；
4. 求$(-2x)$乘的因式，以及$(8x^3y)÷(-2x)$的结果：
用逆运算计算：$8x^3y÷(-2x)$，系数相除$8÷(-2)=-4$，同底数幂相除$x^3÷x=x^{3-1}=x^2$，保留被除式独有的$y$，得结果为$-4x^2y$，因此两个空都填$-4x^2y$。
【答案】
$18x^7$；$-16x^4y$；$2x^3$；$2x^3$；$-4x^2y$；$-4x^2y$
【知识点】
单项式乘单项式运算，单项式除以单项式运算，同底数幂的乘除
【点评】
本题是整式乘除的基础运算题，核心考查单项式乘除的运算法则，解题时要格外注意系数的符号和同底数幂指数的运算规则，避免因粗心出错，熟练掌握本题的运算方法是后续学习复杂整式运算的基础。
【难度系数】
0.8