1. 下列各式中,计算结果是$x^2 +7x -18$的是（）

A.$(x-2)(x+9)$
B.$(x+2)(x+9)$
C.$(x-3)(x+6)$
D.$(x-1)(x+18)$

1. A

【分析】
本题有两种常见解题思路：思路一：利用多项式乘多项式的运算法则，将四个选项的式子分别展开，再与题干给出的$x^2+7x-18$对比，选出结果一致的选项；思路二：利用十字相乘法对目标式$x^2+7x-18$进行因式分解，直接得到对应的因式乘积，匹配对应选项即可。
【解析】
方法一：逐项展开验证
多项式乘多项式法则：$(m+n)(p+q)=mp+mq+np+nq$
选项A：$(x-2)(x+9)=x· x + 9x - 2x - 2×9 = x^2+7x-18$，与目标式一致；
选项B：$(x+2)(x+9)=x^2+9x+2x+18=x^2+11x+18$，与目标式不符；
选项C：$(x-3)(x+6)=x^2+6x-3x-18=x^2+3x-18$，与目标式不符；
选项D：$(x-1)(x+18)=x^2+18x-x-18=x^2+17x-18$，与目标式不符。
方法二：十字相乘法因式分解
对$x^2+7x-18$分解因式，需找两个数满足：乘积为$-18$，和为$7$，可得这两个数为$9$和$-2$，因此$x^2+7x-18=(x+9)(x-2)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
多项式乘多项式、十字相乘法因式分解
【点评】
本题考查整式乘法与因式分解的互逆应用，属于基础题型，熟练掌握多项式乘法运算规则或十字相乘法的使用技巧，即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9

2. 计算:
(1) $(2m + 1)(m - 3)$;
(2) $(a - 3)^2$.

2. (1) 解:原式 =2m² -6m +m -3 =2m² -5m -3.
(2) 解:原式 =(a - 3)(a - 3) =a² - 3a - 3a + 9 =a² - 6a + 9.

【分析】
本题考查整式的乘法运算，解题思路如下：
（1）对于两个多项式相乘的题型，依据多项式乘多项式的法则：用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所有的积相加，最后合并同类项就能得到结果，计算时要注意不要漏乘、不要搞错项的符号；
（2）对于平方形式的整式运算，既可以先转化为两个相同的多项式相乘，再按多项式乘法法则计算，也可以直接套用完全平方差公式计算，最后合并同类项即可。
【解析】
(1) 原式$=2m· m + 2m×(-3) + 1· m + 1×(-3) =2m^2 -6m +m -3 =2m^2 -5m -3$
(2) 原式$=(a - 3)(a - 3) =a· a + a×(-3) + (-3)· a + (-3)×(-3) =a^2 - 3a - 3a + 9 =a^2 - 6a + 9$
【答案】
(1) $2m^2 -5m -3$；(2) $a^2 -6a +9$
【知识点】
多项式乘多项式、完全平方公式、合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题，主要考察整式乘法的基本运算法则，计算时要注意不要漏乘多项式的项，同时留意各项的符号，熟练掌握相关公式能有效提升计算效率、减少错误。
【难度系数】
0.9

3. 计算:$(x+3)(x-5)-x(x-2).$

3. 解:原式 =x² -5x +3x -15 -(x² -2x) =x² -5x +3x -15 -x² +2x = -15.

【分析】
这是一道整式混合运算题，需遵循“先乘除，后加减”的运算顺序求解：第一步先分别计算两个乘法运算，其中$(x+3)(x-5)$用多项式乘多项式法则计算，$x(x-2)$用单项式乘多项式法则计算；第二步去掉括号，注意括号前是负号时，括号内各项要变号；第三步合并同类项，最终得到化简结果。
【解析】
原式$=x^2 -5x +3x -15 -(x^2 -2x)$
$=x^2 -5x +3x -15 -x^2 +2x$
$=-15$
【答案】
$-15$
【知识点】
多项式乘多项式；单项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查整式乘法法则和去括号、合并同类项的运算规则，解题的易错点是去括号时未注意括号前的负号导致符号出错，熟练掌握运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.8

4.（整体思想）若$a^2 + a = 2$，则$(a - 5)(a + 6) =$
.

4. -28

【分析】
本题可利用整体思想求解，解题思路如下：首先根据多项式乘多项式的运算法则，将待求的代数式$(a - 5)(a + 6)$展开并合并同类项，整理后可以得到含有$a^2+a$的式子，再将已知条件$a^2 + a = 2$整体代入整理后的式子，即可计算出结果，无需单独求出$a$的取值，简化计算过程。
【解析】
第一步：展开并化简待求式
根据多项式乘多项式法则$(m+n)(p+q)=mp+mq+np+nq$，可得：
$\begin{aligned}(a - 5)(a + 6)&=a· a + a·6 -5· a -5×6\\&=a^2 +6a -5a -30\\&=a^2 +a -30\end{aligned}$
第二步：整体代入求值
已知$a^2 + a = 2$，将其代入上式可得：
$a^2 +a -30 = 2 - 30 = -28$
【答案】
-28
【知识点】
多项式乘多项式；整体代入求值
【点评】
本题考查整体思想在代数式求值中的应用，解题的关键是将待求式展开整理为含已知代数式的形式，避免单独求解未知数带来的复杂计算，减少出错概率。
【难度系数】
0.7

5. 某市有一块长为$(3a + b)$米、宽为$(2a + b)$米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间修建一座边长是$(a - b)$米的正方形雕像.
(1)请用含$a,b$的代数式表示绿化面积$S$；
(2)当$a=3,b=2$时，求绿化面积$S$.

5. 解:(1)根据题意,得绿化面积 S = (3a + b)(2a + b) -(a - b)² =6a² +3ab +2ab +b² -(a² -ab -ab +b²) =(5a² +7ab)平方米.
(2)把 a =3,b =2 代入 S =5a² +7ab,得 S =5×3² +7×3×2 =87(平方米).
答:绿化面积 S 为 87 平方米.

【分析】
要求绿化面积，可采用“整体减空白”的思路：阴影部分面积=长方形地块的总面积-中间正方形雕像的面积。先分别根据长方形面积公式（长×宽）、正方形面积公式（边长²）写出两个面积的代数式，再通过整式乘法、去括号、合并同类项化简得到S的表达式；第二问直接将a、b的取值代入第一问得到的化简后代数式，计算即可得到结果。
【解析】
(1) 由题意可知，绿化面积等于长方形地块面积减去中间正方形雕像的面积：
长方形面积 = $(3a+b)(2a+b)$，正方形雕像面积 = $(a-b)^2$
因此绿化面积：
$\begin{aligned}S&=(3a+b)(2a+b)-(a-b)^2\\&=6a^2+3ab+2ab+b^2-(a^2-2ab+b^2)\\&=6a^2+5ab+b^2 -a^2+2ab -b^2\\&=5a^2+7ab\end{aligned}$
(2) 当$a=3$，$b=2$时，代入$S=5a^2+7ab$得：
$\begin{aligned}S&=5×3^2 +7×3×2\\&=5×9 +42\\&=45+42\\&=87\end{aligned}$
【答案】
(1) $S=(5a^2+7ab)$平方米；
(2) 87平方米。
【知识点】
1. 整式的混合运算
2. 阴影面积计算
3. 代数式求值
【点评】
本题是整式运算在实际几何问题中的应用，解题核心是掌握“整体减空白”的阴影面积求解思路，同时要熟练掌握多项式乘法、完全平方公式的展开规则，去括号时注意符号变化，代入求值时计算要准确，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8

6. 已知$(2x^2 + mx - n)(x - 1)$展开的结果中，不含$x^2$和$x$项. ($m,n$为常数)
(1)求$m,n$的值；
(2)在(1)的条件下，求$(m - n)(m^2 + mn + n^2)$的值.

6. (1) 解:原式 =2x³ -2x² +mx² -mx -nx +n =2x³ +(m - 2)x² +(-m -n)x +n.
∵ (2x² + mx - n)(x - 1)展开的结果中,不含 x² 和 x 项,
∴ $\begin{cases} m - 2 = 0, \\ -m - n = 0. \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} m = 2, \\ n = -2. \end{cases}$
(2) 解:$(m - n)(m^2 + mn + n^2) = m^3 + m^2n + mn^2 - m^2n - mn^2 - n^3 = m^3 - n^3$.
当 m =2,n = -2 时,原式 =2³ -(-2)³ =8 -(-8) =16.

【分析】
（1）解题时先利用多项式乘多项式的运算法则将原式展开，合并同类项后，根据“展开结果中不含$x^2$和$x$项”的条件，可知$x^2$项、$x$项的系数均为0，据此列出关于$m$、$n$的二元一次方程组，解方程组即可求出$m$、$n$的值。
（2）可以先将待求的整式展开，合并同类项进行化简，再将（1）中求得的$m$、$n$的值代入化简后的式子计算，能简化计算过程，降低出错率。
【解析】
(1) 先展开原式：
$\begin{aligned}(2x^2 + mx - n)(x - 1)&=2x^3 -2x^2 +mx^2 -mx -nx +n\\&=2x^3 +(m - 2)x^2 +(-m -n)x +n\end{aligned}$
∵展开结果中不含$x^2$和$x$项，即这两项的系数为0，
∴列方程组得：$\begin{cases} m - 2 = 0 \\ -m - n = 0 \end{cases}$
解第一个方程得$m=2$，将$m=2$代入第二个方程：$-2 -n=0$，解得$n=-2$。
(2) 先化简待求式：
$\begin{aligned}(m - n)(m^2 + mn + n^2)&=m^3 + m^2n + mn^2 - m^2n - mn^2 - n^3\\&=m^3 - n^3\end{aligned}$
将$m=2$，$n=-2$代入上式：
原式$=2^3 - (-2)^3 = 8 - (-8) = 16$。
【答案】
(1) $m=2$，$n=-2$；(2) $16$
【知识点】
多项式乘多项式；二元一次方程组求解；整式化简求值
【点评】
本题的核心是理解“多项式不含某一项即该项系数为0”的规则，第二问先化简后代入求值的方法，比直接代入原式计算更简便，能有效减少计算失误。
【难度系数】
0.8