引入 （1）下面是小西计算$(m+n)(a+b)$时的解答过程，请帮他完成剩余的部分：
解：令$c=m+n$，则$(m+n)(a+b)=c(a+b)=$$=(m+n)a+(m+n)b=$$.\therefore (m+n)(a+b)=$.
（2）如图，大长方形的面积可表示为$(m+n)(a+b)$或.因此得到：.

(1) 令$c=m+n$，则$(m+n)(a+b)=c(a+b)=ca + cb=(m+n)a+(m+n)b=ma + na + mb + nb$.$\therefore (m+n)(a+b)=ma + na + mb + nb$.
(2) 大长方形的面积可表示为$(m+n)(a+b)$或$ma + mb + na + nb$，因此得到：$(m + n)(a + b) = ma + mb + na + nb$

【分析】
第(1)问：运用换元思想，将$m+n$看作整体$c$，把多项式乘多项式转化为已学的单项式乘多项式，先利用乘法分配律展开$c(a+b)$，再将$c$还原为$m+n$，再次运用乘法分配律展开即可得到结果。
第(2)问：利用面积法，大长方形面积既可通过“长×宽”表示为$(m+n)(a+b)$，也可通过四个小长方形的面积和表示，两种表示方法的结果相等，即可验证多项式乘多项式的运算法则。
【解析】
(1) 令$c=m+n$，根据乘法分配律，单项式乘多项式需用单项式乘多项式的每一项再相加，因此$c(a+b)=ca+cb$；
将$c=m+n$代回，得$ca+cb=(m+n)a+(m+n)b$，再次运用乘法分配律分别展开两项：$(m+n)a=ma+na$，$(m+n)b=mb+nb$，合并后得$ma+na+mb+nb$；
因此可得$(m+n)(a+b)=ma+na+mb+nb$。
(2) 观察图形，四个小长方形的面积分别为$ma$、$mb$、$na$、$nb$，因此大长方形面积也可表示为四个小长方形面积之和，即$ma+mb+na+nb$；
由于两种方式表示的是同一个大长方形的面积，因此二者相等，可得结论：$(m + n)(a + b) = ma + mb + na + nb$。
【答案】
(1) $ca + cb$；$ma + na + mb + nb$；$ma + na + mb + nb$
(2) $ma + mb + na + nb$；$(m + n)(a + b) = ma + mb + na + nb$
【知识点】
1. 乘法分配律
2. 单项式乘多项式
3. 多项式乘多项式
【点评】
本题从代数推导和几何验证两个角度推导多项式乘多项式的运算法则，注重基础原理的理解，能帮助学生掌握多项式乘法的本质是多次运用乘法分配律。
【难度系数】
0.9

归纳 多项式乘多项式法则:一般地,多项式与多项式相乘,先用一个多项式的乘另一个多项式的,再把所得的积相.

多项式乘多项式法则:一般地,多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。

【分析】
本题考查多项式乘多项式法则的识记，解题时可结合乘法分配律推导法则的过程回忆内容：我们可以先将其中一个多项式看作整体，利用单项式乘多项式的法则展开，再进一步拆分推导，就能得到对应法则内容，结合题干表述完成填空即可。
【解析】
根据多项式乘多项式的标准法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。因此三个空依次对应填入：每一项、每一项、加。
【答案】
每一项；每一项；加
【知识点】
多项式乘多项式法则
【点评】
本题属于基础识记类题目，直接考查多项式乘多项式的核心法则，熟练掌握该法则是进行整式乘法运算、代数式化简及后续因式分解学习的重要前提。
【难度系数】
0.9

1.【例1】(人教八上$\mathrm{P}_{107}$例3改编)计算:
(1)$(x+2)(x+1)$；
(2)$(3x+y)(x-3y)$.
2.计算:(1)$(x-2)(x+3)$；
(2)$(4a-b)(3a-2b)$.

1. (1) 解:原式 = x · x + x · 1 + 2 · x + 2 × 1 = x² + x + 2x + 2 = x² + 3x + 2.
(2) 解:原式 = 3x · x - 3x · 3y + y · x - y · 3y = 3x² - 9xy + xy - 3y² = 3x² - 8xy - 3y².
2. (1) 解:原式 = x² + 3x - 2x - 6 = x² + x - 6.
(2) 解:原式 = 12a² - 8ab - 3ab + 2b² = 12a² - 11ab + 2b².

【分析】
这4道小题均为多项式乘多项式的基础运算题，解题思路严格遵循多项式乘多项式运算法则：第一步，先用第一个多项式的每一项分别乘第二个多项式的每一项，运算时注意保留每项的符号，不要漏乘任意一项；第二步，将所有乘积相加，再合并式子中的同类项，最终得到最简结果即可。
【解析】
1. (1) 根据多项式乘多项式法则展开：
原式 $= x · x + x · 1 + 2 · x + 2 × 1$
$= x^2 + x + 2x + 2$
合并同类项得：$= x^2 + 3x + 2$
(2) 根据多项式乘多项式法则展开：
原式 $= 3x · x - 3x · 3y + y · x - y · 3y$
$= 3x^2 - 9xy + xy - 3y^2$
合并同类项得：$= 3x^2 - 8xy - 3y^2$
2. (1) 根据多项式乘多项式法则展开：
原式 $= x · x + x · 3 - 2 · x - 2 × 3$
$= x^2 + 3x - 2x - 6$
合并同类项得：$= x^2 + x - 6$
(2) 根据多项式乘多项式法则展开：
原式 $= 4a · 3a - 4a · 2b - b · 3a + b · 2b$
$= 12a^2 - 8ab - 3ab + 2b^2$
合并同类项得：$= 12a^2 - 11ab + 2b^2$
【答案】
1. (1) $x^2 + 3x + 2$；(2) $3x^2 - 8xy - 3y^2$
2. (1) $x^2 + x - 6$；(2) $12a^2 - 11ab + 2b^2$
【知识点】
多项式乘多项式，合并同类项
【点评】
本题是整式乘法的基础练习题，核心考查对多项式乘多项式运算法则的熟练运用，计算时要注意不要漏乘项，同时准确判断每项的符号，合并同类项时系数计算要仔细，避免出现低级运算错误。
【难度系数】
0.8

3.【例2】计算：$(x - y)(x^2 + xy + y^2)$.
4.计算：$(x^2 + 2x + 3)(2x -5)$.

3. 解:原式 = x³ + x²y + xy² - x²y - xy² - y³ = x³ - y³.
4. 解:原式 = 2x³ - 5x² + 4x² - 10x + 6x - 15 = 2x³ - x² - 4x - 15.

【分析】
这两道题均考查多项式乘多项式的运算，解题思路遵循多项式乘法的通用法则：①先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，注意不要漏乘、不要弄错每一项的符号；②将所有乘积相加后，合并同类项得到最简结果。第3题是二项式乘三项式，依次用x、-y分别乘第二个多项式的三项即可展开；第4题是三项式乘二项式，依次用第一个多项式的三项分别乘2x、-5即可展开。
【解析】
3. 按照多项式乘多项式法则展开：
原式 = x·x² + x·xy + x·y² - y·x² - y·xy - y·y²
= x³ + x²y + xy² - x²y - xy² - y³
合并同类项后，x²y与-x²y抵消，xy²与-xy²抵消，得：
原式 = x³ - y³
4. 按照多项式乘多项式法则展开：
原式 = x²·2x + x²·(-5) + 2x·2x + 2x·(-5) + 3·2x + 3·(-5)
= 2x³ - 5x² + 4x² - 10x + 6x - 15
合并同类项：
-5x²+4x²=-x²，-10x+6x=-4x，因此得：
原式 = 2x³ - x² - 4x - 15
【答案】
3. $x^3 - y^3$；4. $2x^3 - x^2 - 4x - 15$
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项
【点评】
这两道是整式乘法的基础题型，核心是熟练掌握多项式乘法的运算规则，计算时需注意不要漏乘项，同时要准确判断每一项的符号，避免符号错误。第3题的结果是常用的立方差公式，熟练记忆可以提升后续相关运算的效率。
【难度系数】
0.8

5.【例3】先化简,再求值:$4a(a+1)-(a+1)(2a-1)$,其中$a=2$.
6.(2025 盐城)先化简,再求值:$a(a+1)-(a+2)(a-2)$,其中$a=6$.

5. 解:原式 = 4a² + 4a - (2a² - a + 2a - 1) = 4a² + 4a - 2a² + a - 2a + 1 = 2a² + 3a + 1.
当a = 2时,原式 = 2×2² + 3×2 + 1 = 15.
6. 解:原式 = a² + a - (a² - 4) = a² + a - a² + 4 = a + 4.
当a = 6时,原式 = 6 + 4 = 10.

【分析】
这两道题均为整式化简求值题，解题可分两步进行：①化简：先根据单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则分别展开各个乘积项，注意如果乘积项前有负号，去括号时括号内的每一项都要变号，再合并同类项得到最简整式；②代值计算：将给定的a的取值代入化简后的最简整式，计算得到最终结果。计算过程中要注意不要漏乘多项式的项，同时关注符号变化避免出错。
【解析】
第5题
解：先利用整式乘法法则展开：
原式$=4a^2 + 4a - (2a^2 - a + 2a - 1)$
去括号（括号前为负号，各项需变号）：
$=4a^2 + 4a - 2a^2 + a - 2a + 1$
合并同类项得最简式：
$=2a^2 + 3a + 1$
将$a=2$代入最简式计算：
原式$=2× 2^2 + 3× 2 + 1 = 8 + 6 + 1 = 15$
第6题
解：先利用整式乘法法则展开：
原式$=a^2 + a - (a^2 - 2a + 2a - 4)$
化简括号内的项后去括号：
$=a^2 + a - a^2 + 4$
合并同类项得最简式：
$=a + 4$
将$a=6$代入最简式计算：
原式$=6 + 4 = 10$
【答案】
5. 化简结果为$2a^2+3a+1$，值为$\boxed{15}$；
6. 化简结果为$a+4$，值为$\boxed{10}$
【知识点】
单项式乘多项式；多项式乘多项式；整式化简求值
【点评】
这两道题是整式运算的常规基础题，核心考查整式乘法的运算法则，以及去括号、合并同类项的计算能力，做题时需注意去括号的符号变化，避免漏乘、符号错误导致失分。
【难度系数】
0.8