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6. 先化简,再求值:$x(x^2 - xy + y^2) - y(x^2 + xy + y^2)$,其中$x=1,y=1.$
答案
6. 解:原式 $=x^3 -x^2y +xy^2 -x^2y -xy^2 -y^3 =x^3 -2x^2y -y^3$.
当 $x=1,y=1$ 时,
原式 $=1^3 -2 ×1^2 ×1 -1^3 =1 -2 -1 =-2$.
当 $x=1,y=1$ 时,
原式 $=1^3 -2 ×1^2 ×1 -1^3 =1 -2 -1 =-2$.
解析
【分析】
这是一道整式化简求值题，解题思路分三步：第一步运用单项式乘多项式的法则去掉括号，去括号时要注意前面带负号的单项式乘多项式时，每一项都要变号；第二步识别并合并同类项，将式子化为最简形式；第三步将x=1、y=1代入化简后的式子，准确计算出结果即可。
【解析】
先利用单项式乘多项式法则展开原式：
原式$=x· x^2 - x· xy + x· y^2 - (y· x^2 + y· xy + y· y^2)$
$=x^3 -x^2y +xy^2 -x^2y -xy^2 -y^3$
再合并同类项：
$xy^2$与$-xy^2$抵消，剩余项合并得：$x^3 -2x^2y -y^3$
将$x=1,y=1$代入化简后的式子：
原式$=1^3 -2×1^2×1 -1^3 =1 -2 -1 =-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
单项式乘多项式；合并同类项；整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的基础题，核心考查单项式乘多项式的运算规则，解题时需格外注意去括号的符号变化，合并同类项和代入计算时要细心，避免不必要的计算错误。
【难度系数】
0.8
这是一道整式化简求值题，解题思路分三步：第一步运用单项式乘多项式的法则去掉括号，去括号时要注意前面带负号的单项式乘多项式时，每一项都要变号；第二步识别并合并同类项，将式子化为最简形式；第三步将x=1、y=1代入化简后的式子，准确计算出结果即可。
【解析】
先利用单项式乘多项式法则展开原式：
原式$=x· x^2 - x· xy + x· y^2 - (y· x^2 + y· xy + y· y^2)$
$=x^3 -x^2y +xy^2 -x^2y -xy^2 -y^3$
再合并同类项：
$xy^2$与$-xy^2$抵消，剩余项合并得：$x^3 -2x^2y -y^3$
将$x=1,y=1$代入化简后的式子：
原式$=1^3 -2×1^2×1 -1^3 =1 -2 -1 =-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
单项式乘多项式；合并同类项；整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的基础题，核心考查单项式乘多项式的运算规则，解题时需格外注意去括号的符号变化，合并同类项和代入计算时要细心，避免不必要的计算错误。
【难度系数】
0.8
1. 计算$a^2(a - 2b)$的结果是 （
A.$a^3 - a^2b$
B.$a^3 - 2a^2b$
C.$a^3 - 2ab^2$
D.$a^3 - a^2b^2$
B
）A.$a^3 - a^2b$
B.$a^3 - 2a^2b$
C.$a^3 - 2ab^2$
D.$a^3 - a^2b^2$
答案
1. B
解析
【分析】
本题考查单项式乘多项式的运算，解题思路是依据单项式乘多项式的运算法则，用单项式分别乘多项式的每一项，再把所得的积相加，计算过程中要注意同底数幂的乘法规则和符号问题。首先明确单项式为$a^2$，多项式为$a-2b$，分两步计算乘积再合并即可。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则：$m(a+b)=ma+mb$，对原式展开计算：
第一步：用$a^2$乘多项式的第一项$a$，得$a^2 · a = a^{2+1}=a^3$；
第二步：用$a^2$乘多项式的第二项$-2b$，得$a^2 · (-2b) = -2a^2b$；
第三步：将两次计算的积相加，可得$a^2(a-2b)=a^3 - 2a^2b$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 单项式乘多项式法则
2. 同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查单项式乘多项式的运算规则，解题时需注意不要漏乘多项式的项，同时要准确计算同底数幂的乘法，避免出现指数运算错误、符号错误等问题。
【难度系数】
0.9
本题考查单项式乘多项式的运算，解题思路是依据单项式乘多项式的运算法则，用单项式分别乘多项式的每一项，再把所得的积相加，计算过程中要注意同底数幂的乘法规则和符号问题。首先明确单项式为$a^2$，多项式为$a-2b$，分两步计算乘积再合并即可。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则：$m(a+b)=ma+mb$，对原式展开计算：
第一步：用$a^2$乘多项式的第一项$a$，得$a^2 · a = a^{2+1}=a^3$；
第二步：用$a^2$乘多项式的第二项$-2b$，得$a^2 · (-2b) = -2a^2b$；
第三步：将两次计算的积相加，可得$a^2(a-2b)=a^3 - 2a^2b$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 单项式乘多项式法则
2. 同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查单项式乘多项式的运算规则，解题时需注意不要漏乘多项式的项，同时要准确计算同底数幂的乘法，避免出现指数运算错误、符号错误等问题。
【难度系数】
0.9
2. 填空：
(1) $ m(2 - m) = \_\_\_\_\_\_ $;
(2) (2025 南充) $ a(a - 3) - a^2 = \_\_\_\_\_\_ $;
(3) $ (-5a^2) · (2a + 3b) = \_\_\_\_\_\_ $;
(4) $ ( \frac{4}{3}xy - 2x^2y ) · \frac{1}{2}xy = \_\_\_\_\_\_ $.
(1) $ m(2 - m) = \_\_\_\_\_\_ $;
(2) (2025 南充) $ a(a - 3) - a^2 = \_\_\_\_\_\_ $;
(3) $ (-5a^2) · (2a + 3b) = \_\_\_\_\_\_ $;
(4) $ ( \frac{4}{3}xy - 2x^2y ) · \frac{1}{2}xy = \_\_\_\_\_\_ $.
答案
(1) 2m - m²
(2) -3a
(3) -10a³ - 15a²b
(4) $\frac{2}{3}x^2y^2 - x^3y^2$
(2) -3a
(3) -10a³ - 15a²b
(4) $\frac{2}{3}x^2y^2 - x^3y^2$
解析
【分析】
这几道题均考查整式的乘法与加减混合运算，核心解题思路是：① 遇到单项式乘多项式时，遵循分配律原则，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加；② 运算过程中注意同底数幂相乘时底数不变、指数相加的规则，注意正负号的处理；③ 运算完成后若有同类项，需合并同类项得到最简结果。
【解析】
(1) 根据单项式乘多项式法则展开：
$m(2 - m) = m × 2 + m × (-m) = 2m - m^2$
(2) 先展开单项式乘多项式，再合并同类项：
$a(a - 3) - a^2 = a^2 - 3a - a^2 = -3a$
(3) 根据单项式乘多项式法则展开，结合同底数幂乘法运算：
$(-5a^2) · (2a + 3b) = (-5a^2) × 2a + (-5a^2) × 3b = -10a^3 - 15a^2b$
(4) 用多项式的每一项分别乘单项式，再求和：
$(\frac{4}{3}xy - 2x^2y) · \frac{1}{2}xy = \frac{4}{3}xy × \frac{1}{2}xy + (-2x^2y) × \frac{1}{2}xy = \frac{2}{3}x^2y^2 - x^3y^2$
【答案】
(1) $2m - m^2$
(2) $-3a$
(3) $-10a^3 - 15a^2b$
(4) $\frac{2}{3}x^2y^2 - x^3y^2$
【知识点】
单项式乘多项式、合并同类项、幂的乘法运算
【点评】
本组题目属于整式运算的基础题型，重点考查对单项式乘多项式法则的掌握程度，运算时需注意符号判断、同底数幂的运算规则，养成良好的运算习惯即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
这几道题均考查整式的乘法与加减混合运算，核心解题思路是：① 遇到单项式乘多项式时，遵循分配律原则，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加；② 运算过程中注意同底数幂相乘时底数不变、指数相加的规则，注意正负号的处理；③ 运算完成后若有同类项，需合并同类项得到最简结果。
【解析】
(1) 根据单项式乘多项式法则展开：
$m(2 - m) = m × 2 + m × (-m) = 2m - m^2$
(2) 先展开单项式乘多项式，再合并同类项：
$a(a - 3) - a^2 = a^2 - 3a - a^2 = -3a$
(3) 根据单项式乘多项式法则展开，结合同底数幂乘法运算：
$(-5a^2) · (2a + 3b) = (-5a^2) × 2a + (-5a^2) × 3b = -10a^3 - 15a^2b$
(4) 用多项式的每一项分别乘单项式，再求和：
$(\frac{4}{3}xy - 2x^2y) · \frac{1}{2}xy = \frac{4}{3}xy × \frac{1}{2}xy + (-2x^2y) × \frac{1}{2}xy = \frac{2}{3}x^2y^2 - x^3y^2$
【答案】
(1) $2m - m^2$
(2) $-3a$
(3) $-10a^3 - 15a^2b$
(4) $\frac{2}{3}x^2y^2 - x^3y^2$
【知识点】
单项式乘多项式、合并同类项、幂的乘法运算
【点评】
本组题目属于整式运算的基础题型，重点考查对单项式乘多项式法则的掌握程度，运算时需注意符号判断、同底数幂的运算规则，养成良好的运算习惯即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
3. 计算:
(1) $-3x · (2x^2 - x + 4)$;
(2) $(b^2 - ab) · (-2a)^3$.
(1) $-3x · (2x^2 - x + 4)$;
(2) $(b^2 - ab) · (-2a)^3$.
答案
3. (1) 解:原式 = -3x · 2x² + (-3x) · (-x) + (-3x) · 4
= -6x³ + 3x² - 12x.
(2) 解:原式 = (b² - ab) · (-8a³) = -8a³b² + 8a⁴b.
= -6x³ + 3x² - 12x.
(2) 解:原式 = (b² - ab) · (-8a³) = -8a³b² + 8a⁴b.
解析
【分析】
这两道题都属于整式乘法基础运算，解题思路如下：(1)第一题是单项式乘多项式题型，需运用乘法分配律，将单项式$-3x$分别与多项式$2x^2 - x + 4$的每一项相乘，再把所有乘积相加，计算时注意每一项的符号，同底数幂相乘时指数相加即可。(2)第二题要遵循先乘方再乘法的运算顺序，先根据积的乘方法则算出$(-2a)^3$的结果，再将得到的单项式与多项式$(b^2 - ab)$的每一项相乘，同样注意符号和幂运算规则。
【解析】
(1) 根据单项式乘多项式法则展开：
原式$= -3x · 2x^2 + (-3x) · (-x) + (-3x) · 4$
分别计算每一项乘积：
$= -6x^3 + 3x^2 - 12x$
(2) 先计算乘方部分：$(-2a)^3 = (-2)^3 · a^3 = -8a^3$
再进行单项式乘多项式运算：
原式$= (b^2 - ab) · (-8a^3)$
$= b^2 · (-8a^3) + (-ab) · (-8a^3)$
$= -8a^3b^2 + 8a^4b$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-6x^3 + 3x^2 - 12x}$；(2) $\boldsymbol{-8a^3b^2 + 8a^4b}$
【知识点】
单项式乘多项式，积的乘方运算，同底数幂乘法
【点评】
本题是整式运算的典型基础题，核心考查运算顺序和符号处理能力，计算时需注意先算乘方再算乘法，避免符号错误和幂运算规则混淆，适合巩固整式乘法的基础运算能力。
【难度系数】
0.8
这两道题都属于整式乘法基础运算，解题思路如下：(1)第一题是单项式乘多项式题型，需运用乘法分配律，将单项式$-3x$分别与多项式$2x^2 - x + 4$的每一项相乘，再把所有乘积相加，计算时注意每一项的符号，同底数幂相乘时指数相加即可。(2)第二题要遵循先乘方再乘法的运算顺序，先根据积的乘方法则算出$(-2a)^3$的结果，再将得到的单项式与多项式$(b^2 - ab)$的每一项相乘，同样注意符号和幂运算规则。
【解析】
(1) 根据单项式乘多项式法则展开：
原式$= -3x · 2x^2 + (-3x) · (-x) + (-3x) · 4$
分别计算每一项乘积：
$= -6x^3 + 3x^2 - 12x$
(2) 先计算乘方部分：$(-2a)^3 = (-2)^3 · a^3 = -8a^3$
再进行单项式乘多项式运算：
原式$= (b^2 - ab) · (-8a^3)$
$= b^2 · (-8a^3) + (-ab) · (-8a^3)$
$= -8a^3b^2 + 8a^4b$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-6x^3 + 3x^2 - 12x}$；(2) $\boldsymbol{-8a^3b^2 + 8a^4b}$
【知识点】
单项式乘多项式，积的乘方运算，同底数幂乘法
【点评】
本题是整式运算的典型基础题，核心考查运算顺序和符号处理能力，计算时需注意先算乘方再算乘法，避免符号错误和幂运算规则混淆，适合巩固整式乘法的基础运算能力。
【难度系数】
0.8
4. (2025 浙江)化简求值:$x(5 - x) + x^2 + 3$,其中$x=2.$
答案
4. 解:原式 = 5x - x² + x² + 3 = 5x + 3.
当 x = 2 时,原式 = 5 × 2 + 3 = 13.
当 x = 2 时,原式 = 5 × 2 + 3 = 13.
解析
【分析】
本题是整式化简求值题，解题思路清晰：首先需要利用单项式乘多项式的运算法则去掉原式中的括号，再合并同类项将原式化为最简形式，最后把x=2代入化简后的式子计算结果即可，先化简再代入能减少计算量，降低出错率。
【解析】
解：先对原式化简：
原式 = 5x - x² + x² + 3
合并同类项后，-x²与+x²抵消，可得：
原式 = 5x + 3
将x=2代入化简后的式子：
原式 = 5×2 + 3 = 10 + 3 = 13
【答案】
13
【知识点】
单项式乘多项式、合并同类项、代数式求值
【点评】
本题属于整式运算的基础题，主要考查整式的基本运算规则，解题时注意去括号不要漏乘项，合并同类项时准确识别同类项，先化简再求值的思路能大幅提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.9
本题是整式化简求值题，解题思路清晰：首先需要利用单项式乘多项式的运算法则去掉原式中的括号，再合并同类项将原式化为最简形式，最后把x=2代入化简后的式子计算结果即可，先化简再代入能减少计算量，降低出错率。
【解析】
解：先对原式化简：
原式 = 5x - x² + x² + 3
合并同类项后，-x²与+x²抵消，可得：
原式 = 5x + 3
将x=2代入化简后的式子：
原式 = 5×2 + 3 = 10 + 3 = 13
【答案】
13
【知识点】
单项式乘多项式、合并同类项、代数式求值
【点评】
本题属于整式运算的基础题，主要考查整式的基本运算规则，解题时注意去括号不要漏乘项，合并同类项时准确识别同类项，先化简再求值的思路能大幅提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.9
5. (2025自贡)若$2a + b = -1$，则$4a^2 + 2ab - b$的值为
1
答案
5. 1
解析
【分析】
解题时先观察已知条件和所求代数式的结构特征：已知给出了2a+b的整体值，所求代数式的前两项4a²+2ab提取公因式2a后可得到含2a+b的式子，因此我们先对所求代数式前两项提公因式，再将已知的2a+b=-1整体代入，化简后再次构造2a+b的整体代入计算即可得到结果，不需要单独求解a、b的值。
【解析】
解：对所求代数式进行变形：
$4a^2 + 2ab - b$
$= 2a(2a + b) - b$（对前两项提取公因式2a）
将$2a + b = -1$代入上式，得：
$= 2a×(-1) - b$
$= -2a - b$
提取负号构造整体$2a + b$：
$= -(2a + b)$
再次将$2a + b = -1$代入，得：
$= -(-1) = 1$
【答案】
1
【知识点】
提公因式法因式分解；整体代入求代数式值
【点评】
本题考查代数式的化简求值，解题关键是利用提公因式构造已知条件的整体形式，通过整体代入简化计算过程，体现了代数运算中的整体思想，避免了不必要的计算量。
【难度系数】
0.75
解题时先观察已知条件和所求代数式的结构特征：已知给出了2a+b的整体值，所求代数式的前两项4a²+2ab提取公因式2a后可得到含2a+b的式子，因此我们先对所求代数式前两项提公因式，再将已知的2a+b=-1整体代入，化简后再次构造2a+b的整体代入计算即可得到结果，不需要单独求解a、b的值。
【解析】
解：对所求代数式进行变形：
$4a^2 + 2ab - b$
$= 2a(2a + b) - b$（对前两项提取公因式2a）
将$2a + b = -1$代入上式，得：
$= 2a×(-1) - b$
$= -2a - b$
提取负号构造整体$2a + b$：
$= -(2a + b)$
再次将$2a + b = -1$代入，得：
$= -(-1) = 1$
【答案】
1
【知识点】
提公因式法因式分解；整体代入求代数式值
【点评】
本题考查代数式的化简求值，解题关键是利用提公因式构造已知条件的整体形式，通过整体代入简化计算过程，体现了代数运算中的整体思想，避免了不必要的计算量。
【难度系数】
0.75
6. 求证:代数式 $ n(n + 4) - n(n - 6) + 10 $ 的值能被5整除.(其中n为自然数)
答案
6. 证明:原式 = n² + 4n - n² + 6n + 10 = 10n + 10 = 10(n + 1).
∵ n 为自然数，
∴ 10(n + 1)能被 5 整除.
∴ 代数式 n(n + 4) - n(n - 6) + 10 的值都能被 5 整除.
∵ n 为自然数，
∴ 10(n + 1)能被 5 整除.
∴ 代数式 n(n + 4) - n(n - 6) + 10 的值都能被 5 整除.
解析
【分析】
要证明代数式的值能被5整除，首先需要将代数式化简为最简形式，再判断其是否为5的倍数。解题时先利用单项式乘多项式的法则展开原式中的乘积项，再通过去括号、合并同类项得到最简结果，最后结合n是自然数的条件，验证最简结果含有因数5即可完成证明。
【解析】
第一步：利用单项式乘多项式法则展开各项：
$n(n+4)=n^2+4n$，$-n(n-6)=-n^2+6n$，代入原式得：
原式$=n^2 + 4n - n^2 + 6n + 10$
第二步：合并同类项化简：
$n^2$与$-n^2$抵消，$4n+6n=10n$，因此化简后为$10n+10$，提取公因式得$10(n+1)$。
第三步：判断整除性：
因为n为自然数，所以$n+1$是正整数，$10(n+1)=5×2(n+1)$，显然是5的整数倍，因此能被5整除。
【答案】
证明:原式 = $n^2 + 4n - n^2 + 6n + 10 = 10n + 10 = 10(n + 1)$.
∵ n 为自然数，
∴ $10(n + 1)$能被 5 整除.
∴ 代数式 $n(n + 4) - n(n - 6) + 10$ 的值都能被 5 整除.
【知识点】
单项式乘多项式，合并同类项，整除判定
【点评】
本题属于整式运算的基础应用题型，核心考查整式化简的能力，只要熟练掌握整式的运算法则，将原式化简为含因数5的形式即可快速解题，有助于巩固整式运算的基础。
【难度系数】
0.8
要证明代数式的值能被5整除，首先需要将代数式化简为最简形式，再判断其是否为5的倍数。解题时先利用单项式乘多项式的法则展开原式中的乘积项，再通过去括号、合并同类项得到最简结果，最后结合n是自然数的条件，验证最简结果含有因数5即可完成证明。
【解析】
第一步：利用单项式乘多项式法则展开各项：
$n(n+4)=n^2+4n$，$-n(n-6)=-n^2+6n$，代入原式得：
原式$=n^2 + 4n - n^2 + 6n + 10$
第二步：合并同类项化简：
$n^2$与$-n^2$抵消，$4n+6n=10n$，因此化简后为$10n+10$，提取公因式得$10(n+1)$。
第三步：判断整除性：
因为n为自然数，所以$n+1$是正整数，$10(n+1)=5×2(n+1)$，显然是5的整数倍，因此能被5整除。
【答案】
证明:原式 = $n^2 + 4n - n^2 + 6n + 10 = 10n + 10 = 10(n + 1)$.
∵ n 为自然数，
∴ $10(n + 1)$能被 5 整除.
∴ 代数式 $n(n + 4) - n(n - 6) + 10$ 的值都能被 5 整除.
【知识点】
单项式乘多项式，合并同类项，整除判定
【点评】
本题属于整式运算的基础应用题型，核心考查整式化简的能力，只要熟练掌握整式的运算法则，将原式化简为含因数5的形式即可快速解题，有助于巩固整式运算的基础。
【难度系数】
0.8
7.光明中学要新建一座教学实验楼，量得地基为长方形，长为$3a$米，宽为$(2a + 3)$米，求地基的面积，并计算当$a = 5$时地基的面积.
答案
7. 解:由题意,得 3a · (2a + 3) = 6a² + 9a.
当a = 5时,原式 = 6 × 5² + 9 × 5 = 150 + 45 = 195.
答:地基的面积为(6a² + 9a)平方米. 当a = 5时,地基的面积为 195 平方米.
当a = 5时,原式 = 6 × 5² + 9 × 5 = 150 + 45 = 195.
答:地基的面积为(6a² + 9a)平方米. 当a = 5时,地基的面积为 195 平方米.
解析
【分析】
解题时首先回忆长方形的面积公式：长方形面积=长×宽。第一步将题目给出的长和宽代入公式，利用单项式乘多项式的运算法则展开，得到地基面积的代数式；第二步将a=5代入所得的代数式，按照有理数的运算顺序计算即可得到具体的面积值。
【解析】
解：根据长方形面积公式可得地基面积为：
$3a · (2a + 3)$
根据单项式乘多项式的运算法则展开：
$= 3a · 2a + 3a · 3$
$= 6a^2 + 9a$（平方米）
当$a = 5$时，将其代入上式计算：
原式$= 6 × 5^2 + 9 × 5$
$= 6 × 25 + 45$
$= 150 + 45$
$= 195$（平方米）
答：地基的面积为$(6a^2 + 9a)$平方米，当$a = 5$时地基的面积为195平方米。
【答案】
地基的面积为$(6a^2 + 9a)$平方米，当$a=5$时地基的面积为195平方米。
【知识点】
长方形面积计算；单项式乘多项式；代数式求值
【点评】
本题是整式运算在实际问题中的应用，核心是熟练掌握单项式乘多项式的运算规则，代入求值时要注意遵循有理数的运算顺序，避免出现运算顺序错误或漏乘的问题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆长方形的面积公式：长方形面积=长×宽。第一步将题目给出的长和宽代入公式，利用单项式乘多项式的运算法则展开，得到地基面积的代数式；第二步将a=5代入所得的代数式，按照有理数的运算顺序计算即可得到具体的面积值。
【解析】
解：根据长方形面积公式可得地基面积为：
$3a · (2a + 3)$
根据单项式乘多项式的运算法则展开：
$= 3a · 2a + 3a · 3$
$= 6a^2 + 9a$（平方米）
当$a = 5$时，将其代入上式计算：
原式$= 6 × 5^2 + 9 × 5$
$= 6 × 25 + 45$
$= 150 + 45$
$= 195$（平方米）
答：地基的面积为$(6a^2 + 9a)$平方米，当$a = 5$时地基的面积为195平方米。
【答案】
地基的面积为$(6a^2 + 9a)$平方米，当$a=5$时地基的面积为195平方米。
【知识点】
长方形面积计算；单项式乘多项式；代数式求值
【点评】
本题是整式运算在实际问题中的应用，核心是熟练掌握单项式乘多项式的运算规则，代入求值时要注意遵循有理数的运算顺序，避免出现运算顺序错误或漏乘的问题。
【难度系数】
0.9
