8.【例3】计算：
(1) $(21x^5y^3) ÷ (3xy) = \_\_\_\_\_\_$；
(2) $(-5a^4b^2c) ÷ (15a^3b) = \_\_\_\_\_\_$。

(1) 7x⁴y² (2) -1/3 abc

【分析】
这两道题都是单项式除以单项式的计算，解题思路遵循单项式除以单项式的法则：先将被除式与除式的系数相除，所得结果作为商的系数；再将同底数幂分别相除，依据同底数幂相除，底数不变、指数相减的规则计算，结果作为商的因式；对于只在被除式中出现的字母，连同它的指数一起作为商的因式，最后将各部分结果相乘即可。
【解析】
(1) 计算$(21x^5y^3) ÷ (3xy)$：
第一步计算系数的商：$21÷3=7$；
第二步计算同底数幂的商：$x^5÷x=x^{5-1}=x^4$，$y^3÷y=y^{3-1}=y^2$；
将各部分相乘得结果：$7x^4y^2$。
(2) 计算$(-5a^4b^2c) ÷ (15a^3b)$：
第一步计算系数的商：$-5÷15=-\frac{1}{3}$；
第二步计算同底数幂的商：$a^4÷a^3=a^{4-3}=a$，$b^2÷b=b^{2-1}=b$；
第三步保留仅在被除式中出现的字母$c$；
将各部分相乘得结果：$-\frac{1}{3}abc$。
【答案】
(1) $7x^4y^2$；(2) $-\frac{1}{3}abc$
【知识点】
单项式除以单项式法则；同底数幂的除法性质
【点评】
本题属于整式除法的基础题型，核心考查单项式除以单项式的运算规则，解题时要注意系数的符号、指数的运算规则，不要漏写仅在被除式中存在的字母，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8

10.【例4】(1)若$a^x=4,a^y=2$,则$a^{x-y}=$；
(2)已知$x^m=6,x^n=9$,求$x^{2m-n}$的值.

10. (1) 2 (2) 解:
∵ xᵐ=6,xⁿ=9,
∴$ x^{2m-n}=(xᵐ)²÷xⁿ=6²÷9=4.$

【分析】
这两道题均考查幂的运算法则的逆用，解题思路如下：1. 对于指数为差的幂的运算，首先想到逆用同底数幂的除法法则：$a^{m-n}=a^m÷ a^n$，将待求式拆成两个同底数幂相除的形式；2. 若指数还有倍数关系，再逆用幂的乘方法则：$a^{mn}=(a^m)^n$，将幂的底数转化为已知条件给出的形式，最后代入数值计算即可。
【解析】
(1) 根据同底数幂除法的逆运算可得：$a^{x-y}=a^x÷ a^y$，
将$a^x=4,a^y=2$代入得：原式$=4÷2=2$。
(2) 先对$x^{2m-n}$变形，逆用同底数幂除法和幂的乘方法则：
$x^{2m-n}=x^{2m}÷ x^n=(x^m)^2÷ x^n$，
将$x^m=6,x^n=9$代入得：
原式$=6^2÷9=36÷9=4$。
【答案】
(1) 2；(2) 4
【知识点】
同底数幂的除法；幂的乘方的运算
【点评】
本题属于幂的运算的基础题型，解题核心是灵活逆用幂的相关运算法则对式子进行变形，这类题型是整式运算的常考基础题，熟练掌握公式的正用和逆用是解题关键。
【难度系数】
0.8

11.已知$a^n=2,a^m=3,a^k=4$,试求$a^{2n+m-2k}$的值.

11. 解:
∵ aⁿ=2,aᵐ=3,aᵏ=4,
∴$ a^{2n+m-2k}=a^{2n}·aᵐ÷a^{2k}=(aⁿ)²·aᵐ÷(aᵏ)²$
=2²×3÷4² = 3/4.

【分析】
解题时先观察待求式的指数为$2n+m-2k$，包含指数的和、差、倍数运算，需逆用幂的运算法则变形：首先根据同底数幂乘、除法的指数运算规律，将$a^{2n+m-2k}$拆分为$a^{2n} · a^m ÷ a^{2k}$；再逆用幂的乘方法则，将$a^{2n}$转化为$(a^n)^2$、$a^{2k}$转化为$(a^k)^2$，变形后的式子全部由已知的$a^n、a^m、a^k$构成，直接代入数值计算即可。
【解析】
解：$\because a^n=2,a^m=3,a^k=4$，
逆用同底数幂的乘、除法法则和幂的乘方法则，可得：
$a^{2n+m-2k}=a^{2n} · a^m ÷ a^{2k}=(a^n)^2 · a^m ÷ (a^k)^2$
将已知数值代入计算：
原式$=2^2 × 3 ÷ 4^2 = 4 × 3 ÷ 16 = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方
【点评】
本题重点考查幂的运算性质的逆用，解题关键是熟练掌握幂的各类运算法则，能根据待求式的指数特征将其转化为符合已知条件的形式，运算时需注意区分不同幂运算的指数变化规则，避免混淆。
【难度系数】
0.8

1.（齐齐哈尔中考）下列计算正确的是（）

A.$4a^2 + 2a^2 = 6a^4$
B.$5a · 2a = 10a$
C.$a^6 ÷ a^2 = a^3$
D.$(-a^2)^2 = a^4$

1. D

【分析】
本题考查整式的各类运算法则，解题时需逐个分析选项，分别对应运用不同的整式运算规则判断正误，最终选出正确选项即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
选项A：合并同类项时，系数相加，字母和字母的指数保持不变，因此$4a^2 + 2a^2 = (4+2)a^2=6a^2$，而非$6a^4$，故A错误。
选项B：单项式乘单项式时，系数相乘，同底数幂相乘底数不变、指数相加，因此$5a · 2a = (5×2)·(a·a)=10a^2$，而非$10a$，故B错误。
选项C：同底数幂相除时，底数不变、指数相减，因此$a^6 ÷ a^2 = a^{6-2}=a^4$，而非$a^3$，故C错误。
选项D：积的乘方等于各因式分别乘方，幂的乘方底数不变、指数相乘，因此$(-a^2)^2 = (-1)^2·(a^2)^2=1·a^{2×2}=a^4$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
合并同类项；整式乘除；幂的运算
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查整式运算的基础法则，解题的关键是熟练区分不同运算中指数的计算规则，避免法则混淆。
【难度系数】
0.8

2.如果“$□ × 2ab = 6a^2b$”，那么“$□$”内应填的式子（）

A.$12a$
B.$12ab$
C.$4ab$
D.$3a$

2. D

【分析】
已知两个单项式的乘积与其中一个单项式，求另一个未知单项式，可利用乘法与除法的互逆关系求解：未知单项式等于乘积除以已知的单项式，再按照单项式除以单项式的运算法则计算，分别计算系数的商、同底数幂的商，最后合并结果即可对应选项。
【解析】
根据乘除互逆关系可得，内的式子为：
$\begin{aligned}□ &= 6a^2b ÷ 2ab \\&=(6÷2)×(a^2÷ a)×(b÷ b) \\&=3× a^{2-1}× b^{1-1} \\&=3× a × 1 \\&=3a\end{aligned}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
单项式除以单项式；同底数幂的除法
【点评】
本题是整式运算的基础题，解题的关键是明确乘除的互逆关系，将问题转化为单项式除法运算，熟练掌握单项式除法的计算规则即可快速解题。
【难度系数】
0.9

3. 若代数式$(x-4)^0$有意义，则实数$x$的取值范围是。

3. $x≠4$

【分析】
要确定使零指数幂有意义的x的取值范围，首先回忆零指数幂的相关规定：只有当底数不为0时，零指数幂才有意义。因此本题只需让代数式的底数x-4不等于0，解这个简单的不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
根据零指数幂的定义：$a^0=1$（$a≠0$），可知零指数幂有意义的条件是底数不为0。
要使代数式$(x-4)^0$有意义，则底数$x-4≠0$，
解得：$x≠4$。
【答案】
$x≠4$
【知识点】
零指数幂的意义，代数式有意义的条件
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是牢记零指数幂的底数不能为0的限制条件，直接代入求解即可，属于易得分题型。
【难度系数】
0.9

4. 计算:
(1)$(x-y)^{6}÷ (x-y)^{6}=$ ;
(2)$(-ab)^{3}÷ (-ab)^{2}=$ ;
(3)$(-6a^{3}bc^{2})÷ (-3a^{2}c^{2})=$ .

4. (1) 1 (2) $-ab$ (3) $2ab$

【分析】
这三道题均考查整式除法的基础运算，解题思路如下：
1. 对于同底数幂相除的题型，优先运用同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，同时牢记非零数的0次幂等于1；
2. 对于单项式除以单项式的题型，按照“系数先相除，同底数幂分别相除，仅在被除式中出现的字母连同指数直接作为商的因式”的步骤计算，同时注意运算过程中的符号判断。
【解析】
(1) 把$(x-y)$看作整体，根据同底数幂的除法法则、非零数的0次幂为1计算：
原式$=(x-y)^{6-6}=(x-y)^0=1$（默认$x≠ y$，代数式有意义）
(2) 把$(-ab)$看作整体，根据同底数幂的除法法则计算：
原式$=(-ab)^{3-2}=(-ab)^1=-ab$
(3) 根据单项式除以单项式的运算法则计算：
系数相除：$(-6)÷(-3)=2$；
同底数幂相除：$a^3÷ a^2=a^{3-2}=a$，$c^2÷ c^2=1$；
仅被除式含有的字母$b$直接保留，因此结果为$2× a× b×1=2ab$
【答案】
(1) $1$；(2) $-ab$；(3) $2ab$
【知识点】
同底数幂的除法、零指数幂、单项式除以单项式
【点评】
本题属于整式除法的基础计算题，核心是牢记相关运算法则，计算时重点注意符号的判断，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.85

5. 计算：
(1) $(-2x^3y^2)^3 ÷ (2x^2y)$；
(2) $(14m^2n)^2 ÷ (7m^2) ÷ (7m)$。

5. (1) 解:原式 = $(-8x^9y^6) ÷ (2x^2y)$
$= (-8 ÷ 2)x^{9-2}y^{6-1} = -4x^7y^5$.
(2) 解:原式 = $(196m^4n^2) ÷ (7m^2) ÷ (7m)$
$= (28m^2n^2) ÷ (7m) = 4mn^2$.

【分析】
本题考查整式的乘除混合运算，解题遵循先算乘方、再算除法的运算顺序：
(1) 第一步先根据积的乘方法则计算$(-2x^3y^2)^3$，将每个因式分别乘方；第二步再根据单项式除以单项式的法则，将系数、同底数幂分别相除，得到最终结果。
(2) 第一步先根据积的乘方法则计算$(14m^2n)^2$，再按照从左到右的顺序，依次运用单项式除以单项式的法则进行除法运算，运算时注意遵循同底数幂的除法指数计算规则。
【解析】
(1) 先计算积的乘方：
原式$=(-2)^3 · (x^3)^3 · (y^2)^3 ÷ (2x^2y) = (-8x^9y^6) ÷ (2x^2y)$
再根据单项式除以单项式法则计算：
$= (-8 ÷ 2) · x^{9-2} · y^{6-1} = -4x^7y^5$
(2) 先计算积的乘方：
原式$=14^2 · (m^2)^2 · n^2 ÷ (7m^2) ÷ (7m) = 196m^4n^2 ÷ (7m^2) ÷ (7m)$
从左到右依次计算除法：
第一步：$196m^4n^2 ÷ (7m^2) = (196÷7) · m^{4-2} · n^2 = 28m^2n^2$
第二步：$28m^2n^2 ÷ (7m) = (28÷7) · m^{2-1} · n^2 = 4mn^2$
【答案】
(1) $\boxed{-4x^7y^5}$；(2) $\boxed{4mn^2}$
【知识点】
积的乘方运算；单项式除以单项式；同底数幂的除法
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心是熟练掌握各类运算法则，运算时需特别注意系数的符号、幂的指数的变化规律，按照运算顺序逐步计算即可有效避免错误。
【难度系数】
0.8

6.（乐山中考）若$m,n$满足$3m - n - 4 = 0$，则$8^m ÷ 2^n = \_\_\_\_\_\_.$

6. 16

【分析】
首先观察所求式子的底数8和2均为2的幂，因此第一步先利用幂的乘方的性质将底数统一为2，再根据同底数幂的除法法则，将除法运算转化为指数的减法运算；接着对已知等式变形得到3m-n的值，将其整体代入转化后的式子即可计算出结果。
【解析】
先将底数统一为2：
$8^m = (2^3)^m = 2^{3m}$，
根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得：
$8^m ÷ 2^n = 2^{3m} ÷ 2^n = 2^{3m - n}$，
由已知$3m - n - 4 = 0$，移项得$3m - n = 4$，
将$3m - n = 4$代入上式得：$2^{4}=16$。
【答案】
16
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂的除法、整体代入求值
【点评】
本题是幂的运算的常规应用题型，解题核心是先统一幂的底数，再结合已知条件整体代入计算，熟练掌握幂的各类运算性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8

7. (2025上海)据报道，我国某科研团队近期成功研制出一种新闪存器件，其快速擦写速度全球领先. 已知一皮秒等于$1× 10^{-12}$秒，该器件执行一次擦写需要400皮秒，则该器件一秒可以擦写次.(科学记数法表示)

7. $2.5 × 10^9$

【分析】
要计算该器件一秒可以擦写的次数，首先需要将单次擦写的时间单位从皮秒换算为秒，再用总时间1秒除以单次擦写所需时间即可得到结果。解题分三步：第一步根据皮秒和秒的换算关系，求出400皮秒对应的秒数；第二步用1除以单次擦写时间得到擦写次数；第三步将结果整理为符合要求的科学记数法形式。
【解析】
1. 换算单次擦写时间的单位：
已知1皮秒=$1×10^{-12}$秒，因此400皮秒=$400×1×10^{-12}$秒=$4×10^{-10}$秒。
2. 计算1秒内的擦写次数：
擦写次数=总时间÷单次擦写时间=$1÷(4×10^{-10})$
根据负整数指数幂的运算规则：
$1÷(4×10^{-10})=\frac{1}{4}×10^{10}=0.25×10^{10}$
3. 调整为标准科学记数法形式（要求$1≤|a|＜10$）：
$0.25×10^{10}=2.5×10^9$
【答案】
$2.5 × 10^9$
【知识点】
1. 科学记数法
2. 负整数指数幂运算
3. 单位换算
【点评】
本题结合科技前沿热点命题，考查基础运算能力，解题核心是正确进行单位换算，掌握科学记数法的规范表示方法，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

8. 先化简,再求值:$(2+a)(2-a)+a(a-5b)+3a^5b^3÷(-a^2b)^2$,其中$ab=-\frac{1}{2}$.

8. 解:原式 = $4 - 2a + 2a - a^2 + a^2 - 5ab + 3a^5b^3 ÷ a^4b^2$
$= 4 - 5ab + 3ab = 4 - 2ab$.
当$ab = -\frac{1}{2}$时,原式 = $4 - 2 × (-\frac{1}{2}) = 5$.

【分析】
本题是整式化简求值类题目，解题思路如下：首先观察式子结构，分别计算各部分运算：①利用平方差公式计算(2+a)(2-a)，②按照单项式乘多项式法则计算a(a-5b)，③先算乘方运算求出(-a²b)²的结果，再按照单项式除以单项式法则计算除法项；其次合并同类项，将原式化简为仅含有ab的最简代数式；最后将$ab=-\frac{1}{2}$整体代入最简式计算即可，无需单独求解a、b的取值，可简化计算过程。
【解析】
解：原式 = $4 - a^2 + a^2 - 5ab + 3a^5b^3 ÷ a^4b^2$
$= 4 - 5ab + 3ab$
$= 4 - 2ab$
当$ab = -\frac{1}{2}$时，
原式 = $4 - 2 × (-\frac{1}{2}) = 4 + 1 = 5$
【答案】
5
【知识点】
平方差公式，整式混合运算，整体代入求值
【点评】
本题侧重考查整式运算的基础法则，熟练掌握乘法公式、整式乘除的运算规则是解题的关键，整体代入思想的运用能有效减少计算步骤，提升正确率。
【难度系数】
0.8

9. (拓展题)(分类讨论)已知$(x - 1)^{x + 6}=1$,求x的值.

9. 解:①当$x - 1 = 1$时,$x = 2$,此时$(2 - 1)^{2+6} = 1$成立.
②当$x - 1 = -1$时,$x = 0$,此时$(0 - 1)^{0+6} = 1$成立.
③当$x + 6 = 0$时,$x = -6$,此时$(-6 - 1)^{-6+6} = 1$成立.
综上所述,$x$的值为2,0,-6.

【分析】要使幂的运算结果为1，结合已学的乘方性质，共有三种符合条件的情况：①1的任意次幂都是1；②-1的偶次幂是1；③非零数的0次幂是1。我们分这三类分别求解x，再验证结果是否符合对应情况的前提条件，就能得到所有满足要求的x值。
【解析】
①当底数$x-1=1$时，解得$x=2$，此时$(2-1)^{2+6}=1^8=1$，符合题意；
②当底数$x-1=-1$时，解得$x=0$，此时$(0-1)^{0+6}=(-1)^6=1$，符合题意；
③当指数$x+6=0$时，解得$x=-6$，此时底数$x-1=-7≠0$，$(-7)^0=1$，符合题意。
综上所述，x的值为2，0，-6。
【答案】x的值为2，0，-6
【知识点】零指数幂性质；乘方的意义；分类讨论思想
【点评】解决这类幂的值为1的问题，核心是要考虑全所有可能的情况，分类讨论时要注意验证前提条件，比如零指数幂要求底数不为0、-1的偶次幂要求指数为偶数，避免出现漏解或者错解。
【难度系数】0.6