引入 由于$(a^3 + ab) ÷ a =$ $· \frac{1}{a}$（将除法转化为乘法）= + （利用乘法分配律）= $a^3 ÷ a + ab ÷ a$（将乘法转化回除法）= .
因此,可省略乘法与除法的转化步骤得到等式$(a^3 + ab) ÷ a = a^3 ÷ a + ab ÷ a.$

1. $(a^3 + ab)$ 2. $a^3 · \frac{1}{a}$ 3. $ab · \frac{1}{a}$ 4. $a^2 + b$

【分析】
本题围绕多项式除以单项式的推导过程设计，解题时按照题目给出的步骤提示依次思考即可：第一步回忆除法转化为乘法的规则：除以一个非零整式等于乘这个整式的倒数，据此确定第一个空的内容；第二步回忆乘法分配律的形式，将括号内的两项分别与$\frac{1}{a}$相乘，得到第二、三个空的内容；最后按照单项式运算的规则计算结果，得到第四个空的答案。
【解析】
1. 根据“除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数”，可得$(a^3 + ab) ÷ a = (a^3 + ab) · \frac{1}{a}$，因此第一个空填$a^3 + ab$；
2. 利用乘法分配律$(m+n)·c = m·c + n·c$，将$(a^3 + ab) · \frac{1}{a}$展开得$a^3 · \frac{1}{a} + ab · \frac{1}{a}$，因此第二个空填$a^3 · \frac{1}{a}$，第三个空填$ab · \frac{1}{a}$；
3. 分别计算两个式子的结果：$a^3 · \frac{1}{a} = a^{3-1}=a^2$，$ab · \frac{1}{a}=b$，相加得$a^2 + b$，因此第四个空填$a^2 + b$。
【答案】
1. $(a^3 + ab)$ 2. $a^3 · \frac{1}{a}$ 3. $ab · \frac{1}{a}$ 4. $a^2 + b$
【知识点】
除法与乘法互化，乘法分配律，单项式除法运算
【点评】
本题通过递进式的推导过程，帮助理解多项式除以单项式的运算逻辑，本质是将陌生的多项式除法转化为已经掌握的单项式除法进行计算，是整式除法运算的基础内容，掌握该推导过程能有效避免多项式除法运算时漏项、错项的问题。
【难度系数】
0.9

归纳 多项式除以单项式法则:先把这个多项式的除以这个单项式,再把所得的商相加,即$(ma + mb + mc) ÷ m =$.

1. 每一项 2. $a + b + c$

【分析】
本题考查多项式除以单项式的法则内容，解题时可结合题干给出的推导示例理解法则：首先观察引入部分的计算过程，$(a^3+ab)÷a$是将多项式里的$a^3$、$ab$两个项分别除以$a$，再把得到的商相加，由此可总结出多项式除以单项式的运算步骤；再根据该步骤计算$(ma+mb+mc)÷m$，将每一项分别除以$m$后化简求和即可得到结果。
【解析】
根据多项式除以单项式的推导过程可知，运算时先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加。
计算$(ma+mb+mc)÷m$时，按照法则拆分计算：
原式$=ma÷m + mb÷m + mc÷m$
分别计算每一项：$ma÷m=a$，$mb÷m=b$，$mc÷m=c$
将各项结果相加，最终得到$a+b+c$。
【答案】
每一项；$a+b+c$
【知识点】
多项式除以单项式法则；整式除法运算；乘法分配律
【点评】
本题属于基础概念识记题，通过推导过程帮助理解多项式除以单项式的运算逻辑，熟练掌握该法则是进行整式混合运算的基础。
【难度系数】
0.9

1.【例1】计算：
（1）$(5x + 3xy) ÷ x = 5x ÷ x + 3xy ÷ x = \_\_\_\_\_\_$；
（2）$(12a^2b - 4ab) ÷ (4ab) = \_\_\_\_\_\_$；
（3）$(12a^3 - 6a^2 + 3a) ÷ (6a) = \_\_\_\_\_\_$.

(1) $5+3y$ (2) $3a-1$ (3) $2a^2 - a + \frac{1}{2}$

【分析】
本题考查多项式除以单项式的运算，解题思路遵循多项式除以单项式的运算法则：第一步将多项式的每一项分别除以单项式，第二步把每一次除法得到的商相加，最终得到结果。计算每一项的除法时，按照单项式除以单项式的规则：系数相除得到商的系数，同底数幂相除，注意运算时不要漏掉每一项的符号。
(1) 将原式拆为$5x÷ x$和$3xy÷ x$分别计算，再求和；
(2) 将原式拆为$12a^2b÷4ab$和$-4ab÷4ab$分别计算，再求和；
(3) 将原式拆为$12a^3÷6a$、$-6a^2÷6a$和$3a÷6a$分别计算，再求和。
【解析】
（1）计算每一项的商：
$5x÷ x=5$，$3xy÷ x=3y$，
将商相加得：$5+3y$；
（2）计算每一项的商：
$12a^2b÷(4ab)=3a$，$-4ab÷(4ab)=-1$，
将商相加得：$3a-1$；
（3）计算每一项的商：
$12a^3÷(6a)=2a^2$，$-6a^2÷(6a)=-a$，$3a÷(6a)=\frac{1}{2}$，
将商相加得：$2a^2 -a +\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $5+3y$ (2) $3a-1$ (3) $2a^2 - a + \frac{1}{2}$
【知识点】
多项式除以单项式；单项式除以单项式；同底数幂的除法
【点评】
本题是整式除法的基础题型，核心是熟练掌握多项式除以单项式的运算步骤，计算时要格外注意项的符号不要出错，系数的除法运算要准确，是后续复杂整式运算的基础。
【难度系数】
0.8

2. 计算：
(1)$(-xy^2 + x^2y) ÷ (xy) = \_\_\_\_\_\_$；
(2)$(a^3b - 2a^2b^2) ÷ (-ab) = \_\_\_\_\_\_$；
(3)$(-16a^{n+3} - 8a^{n+2} + 2a^n) ÷ (4a^n) = \_\_\_\_\_\_$。

(1) $-y+x$ (2) $-a^2 + 2ab$ (3) $-4a^3 -2a^2 + \frac{1}{2}$

【分析】
本题考查多项式除以单项式的运算，解题思路遵循多项式除以单项式的法则：第一步将多项式的每一项分别除以单项式，第二步将所有项的商相加。计算过程中需注意：①系数相除时要正确判断符号；②同底数幂相除遵循“底数不变，指数相减”的规则；③含字母指数的幂运算要准确计算指数差。
【解析】
(1) 按法则拆分运算：
原式$=(-xy^2)÷(xy) + x^2y÷(xy)$
$=-x^{1-1}y^{2-1} + x^{2-1}y^{1-1}$
$=-y + x$
(2) 按法则拆分运算，注意除式带负号：
原式$=a^3b÷(-ab) + (-2a^2b^2)÷(-ab)$
$=-a^{3-1}b^{1-1} + 2a^{2-1}b^{2-1}$
$=-a^2 + 2ab$
(3) 按法则拆分运算，注意同底数幂的指数差计算：
原式$=(-16a^{n+3})÷(4a^n) + (-8a^{n+2})÷(4a^n) + 2a^n÷(4a^n)$
$=-4a^{(n+3)-n} - 2a^{(n+2)-n} + \frac{1}{2}a^{n-n}$
$=-4a^3 - 2a^2 + \frac{1}{2}$
【答案】
(1) $-y+x$ (2) $-a^2 + 2ab$ (3) $-4a^3 -2a^2 + \frac{1}{2}$
【知识点】
多项式除以单项式、同底数幂的除法、有理数的除法
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查多项式除以单项式的运算法则，易错点在于符号判断和指数运算，尤其是含字母指数的幂运算，计算时要逐项核对，避免漏项或符号出错。
【难度系数】
0.8

3.【例2】计算:
(1)$(a^2b^3 - a^3b^2) ÷ (ab)^2$;
(2)$(-2x)^2 - (6x^2 - 12x^4) ÷ (-2x^2)$.
4.计算:
(1)$(4ab^3 - 8a^2b^2) ÷ (4ab) - b^2$;
(2)$(-4a^3 -8a^3b^2 +12a^2b) ÷ (-2a)^2$.

3. (1) 解:原式 = $(a^2b^3 - a^3b^2) ÷ (a^2b^2)$
= $(a^2b^3) ÷ (a^2b^2) - (a^3b^2) ÷ (a^2b^2) = b - a.$
(2) 解:原式 = $4x^2 - [(6x^2) ÷ (-2x^2) - (12x^4) ÷ (-2x^2)]$
= $4x^2 - ( -3 + 6x^2 ) = 4x^2 + 3 - 6x^2 = -2x^2 + 3.$
4. (1) 解:原式 = $b^2 - 2ab - b^2 = -2ab.$
(2) 解:原式 = $(-4a^3 -8a^3b^2 +12a^2b) ÷ (4a^2)$
= $-a - 2ab^2 + 3b.$

【分析】
解答这类整式运算题需遵循正确的运算顺序：先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后计算加减运算，有括号的优先计算括号内的内容。遇到多项式除以单项式时，运用对应法则：将多项式的每一项分别除以单项式，再把得到的所有商相加，运算过程中需重点关注每一项的符号，避免符号出错。
【解析】
3.(1) 先计算乘方得$(ab)^2=a^2b^2$，再根据多项式除以单项式法则计算：
原式 = $(a^2b^3 - a^3b^2) ÷ (a^2b^2)$
$= a^2b^3 ÷ a^2b^2 - a^3b^2 ÷ a^2b^2$
$= b - a$
(2) 先计算乘方$(-2x)^2=4x^2$，再计算除法部分，最后算加减：
原式 = $4x^2 - [(6x^2) ÷ (-2x^2) - (12x^4) ÷ (-2x^2)]$
$= 4x^2 - ( -3 + 6x^2 )$
$= 4x^2 + 3 - 6x^2$
$= -2x^2 + 3$
4.(1) 先计算多项式除以单项式，再合并同类项：
原式 = $4ab^3÷4ab - 8a^2b^2÷4ab - b^2$
$= b^2 - 2ab - b^2$
$= -2ab$
(2) 先计算乘方$(-2a)^2=4a^2$，再根据多项式除以单项式法则计算：
原式 = $(-4a^3 -8a^3b^2 +12a^2b) ÷ 4a^2$
$= -4a^3÷4a^2 -8a^3b^2÷4a^2 +12a^2b÷4a^2$
$= -a - 2ab^2 + 3b$
【答案】
3.(1) $b - a$；(2) $-2x^2 + 3$
4.(1) $-2ab$；(2) $-a - 2ab^2 + 3b$
【知识点】
多项式除以单项式，积的乘方，整式的混合运算
【点评】
本题属于整式运算的基础巩固题，核心考查多项式除以单项式的运算法则和整式混合运算的顺序，解题时需注意各项符号的处理和幂运算的指数变化规则，熟练掌握该类题型是后续学习整式化简、因式分解等内容的基础。
【难度系数】
0.85

5.【例3】先化简，再求值：$[(2b - a)(a + 2b) - (a - 2b)^2] ÷ (-2a)$，其中$a = -1$，$b = -\dfrac{1}{2}$。

5. 解:原式 = $[4b^2 - a^2 - (a^2 - 4ab + 4b^2)] ÷ (-2a)$
= $(4b^2 - a^2 - a^2 + 4ab - 4b^2) ÷ (-2a)$
= $(-2a^2 + 4ab) ÷ (-2a) = a - 2b.$
当$a = -1$,$b = -\frac{1}{2}$时,原式 = $-1 - 2 × (-\frac{1}{2}) = 0.$

【分析】
本题是整式化简求值类题目，遵循“先化简、再代值、最后计算”的思路求解即可：第一步先处理中括号内的整式乘法运算，观察可知$(2b - a)(a + 2b)$符合平方差公式的形式，$(a - 2b)^2$符合完全平方公式的形式，可先利用两个乘法公式展开对应项；第二步对展开后的式子去括号，注意括号前为负号时，括号内每一项都要变号，再合并同类项得到最简多项式；第三步按照多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式，得到最简化简结果；最后将$a$、$b$的取值代入化简后的式子计算最终结果即可。
【解析】
解：原式$=[4b^2 - a^2 - (a^2 - 4ab + 4b^2)] ÷ (-2a)$
$=(4b^2 - a^2 - a^2 + 4ab - 4b^2) ÷ (-2a)$
$=(-2a^2 + 4ab) ÷ (-2a)$
$=(-2a^2)÷(-2a) + 4ab÷(-2a)$
$=a - 2b$
当$a = -1$，$b = -\dfrac{1}{2}$时，
原式$=-1 - 2 × (-\dfrac{1}{2}) = -1 + 1 = 0$
【答案】
$0$
【知识点】
平方差公式、完全平方公式、多项式除以单项式
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查乘法公式的运用和整式四则运算的规则，解题时要特别注意去括号的符号变化，代入负数值运算时也要留意符号，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8

6.化简求值:$[(5x + 2y)(3x - 2y) - 4y(2x - y)] ÷ (3x)$,其中$x=2,y=\dfrac{1}{2}$.

6. 解:原式 = $(15x^2 - 10xy + 6xy - 4y^2 - 8xy + 4y^2) ÷ (3x)$
= $(15x^2 - 12xy) ÷ (3x) = 5x - 4y.$
当$x=2$,$y=\frac{1}{2}$时,原式 = $5×2 - 4 × \frac{1}{2} = 10 - 2 = 8.$

【分析】
本题属于整式化简求值题，遵循“先化简、再求值”的思路解题：首先按运算顺序计算中括号内的运算，先分别计算多项式乘多项式、单项式乘多项式，再去括号合并同类项得到括号内的最简结果；接下来按照多项式除以单项式的法则计算除法，得到最简整式；最后将x、y的取值代入最简式计算即可，先化简再求值能大幅降低计算量，减少出错概率。
【解析】
首先计算中括号内的乘法运算，再合并同类项：
原式$=(15x^2 - 10xy + 6xy - 4y^2 - 8xy + 4y^2) ÷ 3x$
合并同类项后，$-4y^2$与$+4y^2$抵消，$xy$项合并得$-12xy$，因此：
原式$=(15x^2 - 12xy) ÷ 3x$
按照多项式除以单项式法则，将括号内每一项分别除以$3x$：
$15x^2 ÷ 3x = 5x$，$-12xy ÷ 3x = -4y$，因此化简得：
原式$=5x - 4y$
将$x=2$，$y=\dfrac{1}{2}$代入化简后的式子：
原式$=5×2 - 4×\dfrac{1}{2}=10 - 2=8$
【答案】
8
【知识点】
多项式乘多项式；单项式乘多项式；多项式除以单项式
【点评】
本题考查整式的混合运算与化简求值，计算时要注意运算顺序和去括号后的符号问题，先化简再代入求值的方法比直接代入原式计算更简便，能有效提升计算准确率。
【难度系数】
0.8