24.「2026山东淄博博山期中，★★★」(14分)如图,已知二次函数$y=ax^2+bx+c$,其图象与x轴的一个公共点为$B(3,0)$,与y轴交于点$C(0,-3)$,且对称轴为直线$x=1$,过点B,C作直线BC.
(1)求抛物线和直线BC的表达式.
(2)利用图象求不等式$x^2-3x≥0$的解集.
(3)点P是第四象限内函数$y=ax^2+bx+c$的图象上的一个动点,连接PB,PC,当$△ PBC$的面积最大时,求点P的坐标及$△ PBC$面积的最大值.

(1)$\because$ 抛物线的对称轴为直线$x=1,B(3,0)$，$\therefore A(-1,0)$，$\therefore$ 抛物线的表达式为$y=a(x+1)(x-3)$，将$(0,-3)$代入，得$-3=(0+1)×(0-3)a$，解得$a=1$，$\therefore$ 抛物线的表达式为$y=(x+1)(x-3)=x^2-2x-3$.
设直线$BC$的表达式为$y=kx+d(k≠0)$，将点$B,C$的坐标分别代入，得$\begin{cases}3k+d=0,\\d=-3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=1,\\d=-3,\end{cases}$
$\therefore$ 直线$BC$的表达式为$y=x-3$.
(2)$\because x^2-3x≥0$，$\therefore x^2-2x-3≥x-3$，
$\therefore x^2-3x≥0$的解集为二次函数图象在一次函数图象上方时对应的自变量的取值范围，
$\because$ 抛物线$y=x^2-2x-3$与直线$y=x-3$的交点为$C(0,-3)$，$B(3,0)$，$\therefore$ 不等式$x^2-3x≥0$的解集为$x≤0$或$x≥3$.
(3)设点$P(m,m^2-2m-3)(0＜m＜3)$，如图，过点$P$作$PD// y$轴交$BC$于点$D$，则$D(m,m-3)$，
$\therefore PD=(m-3)-(m^2-2m-3)=-m^2+3m$，
$\therefore S_{△ PBC}=\frac{1}{2}· PD· 3=\frac{3}{2}(-m^2+3m)=-\frac{3}{2}m^2+\frac{9}{2}m=-\frac{3}{2}(m-\frac{3}{2})^2+\frac{27}{8}$，
$\because -\frac{3}{2}＜0$，$\therefore$ 当$m=\frac{3}{2}$时，$S_{△ PBC}$有最大值，最大值为$\frac{27}{8}$，
此时$y=(\frac{3}{2})^2-2×\frac{3}{2}-3=-\frac{15}{4}$，
$\therefore$ 当$△ PBC$的面积最大时，$P$的坐标为$(\frac{3}{2},-\frac{15}{4})$，$△ PBC$面积的最大值为$\frac{27}{8}$.