14.「2026重庆江津期末，★☆」若关于$x$的一元二次方程$(m-1)x^2 - (2m+1)x + m+1 = 0$有实数根，则实数$m$的取值范围是________.

$m≥-\dfrac{5}{4}$且$m≠1$
解析 $\because$ 一元二次方程$(m-1)x^2-(2m+1)x+m+1=0$有实数根,
$\therefore \Delta≥0$,即$[-(2m+1)]^2-4(m-1)(m+1)≥0$,解得$m≥-\dfrac{5}{4}$,
$\because m-1≠0$,$\therefore m≠1$,$\therefore m$的取值范围是$m≥-\dfrac{5}{4}$且$m≠1$.

15.「2026湖南常德芷兰实验学校月考，★★☆」某公司从2021年开始投入技术改进资金，技术改进后，产品的成本不断降低，具体数据如下表：

按照这种变化规律，若2025年投入技改资金5万元，预计2025年产品的成本是万元/件.

7.2
解析 由题表数据可知,$2.5×14.4=36$,$3×12=36$,$4×9=36$,$4.5×8=36$,所以产品成本与投入技改资金成反比例,设产品成本为 $y$ 万元/件,投入的技改资金为 $x$ 万元,则产品成本 $y$ 与投入技改资金 $x$ 的函数关系式为 $y=\dfrac{36}{x}$,$\therefore$ 当 $x=5$ 时,$y=\dfrac{36}{5}=7.2$,故预计 2025 年产品成本是 7.2 万元/件.

16.「2025山东滨州阳信期末，★★☆」已知关于x的一元二次方程$ax^2+bx+1=0$的两根之差为4，则代数式$12a - b^2$的最大值为.

1
解析 设方程两根分别为 $x_1$,$x_2$,则 $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$,$x_1x_2=\dfrac{1}{a}$,
$\because$ 两根之差为 4,$\therefore (x_1-x_2)^2=16$,$\therefore (x_1+x_2)^2-4x_1x_2=16$,
即 $(-\dfrac{b}{a})^2-4×\dfrac{1}{a}=16$,整理,得 $b^2-4a=16a^2$,$\therefore b^2=16a^2+4a$,
$\therefore 12a-b^2=-16a^2+8a=-16(a-\dfrac{1}{4})^2+1$,
$\therefore$ 当 $a=\dfrac{1}{4}$ 时,代数式 $12a-b^2$ 取最大值 1.

17.「2026辽宁铁岭期末，★★☆」如图，矩形OABC的顶点B在反比例函数$y=\frac{3}{x}(x＞0)$的图象上，点A在x轴的正半轴上，AB=3BC，点D在x轴的负半轴上，AD=AB，连接BD，过点A作AE//BD交y轴于点E，点F在直线AE上，连接FD，FB，则△BDF的面积为。

$\dfrac{9}{2}$
解析 $\because AE// BD$,$\therefore S_{△ BDF}=S_{△ ABD}$,$\because$ 顶点 $B$ 在反比例函数 $y=\dfrac{3}{x}(x＞0)$ 的图象上,$\therefore S_{\mathrm{矩形}OABC}=3$,$\because S_{\mathrm{矩形}OABC}=BC· AB$,$AB=3BC$,$\therefore S_{\mathrm{矩形}OABC}=3BC^2=3$,$\therefore BC=1$(舍负),$\therefore AB=AD=3$,$\therefore S_{△ ABD}=\dfrac{1}{2}AD· AB=\dfrac{9}{2}$,$\therefore S_{△ BDF}=\dfrac{9}{2}$.

18.「2026河北保定莲池期中，★★」如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的边长为2,AB//y轴,A(1,4),抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{4}{3}x-\frac{8}{3}+h$与正方形ABCD始终有公共点,则h的取值范围是.

$\dfrac{34}{9}≤ h≤\dfrac{43}{6}$
解析 $\because$ 正方形 $ABCD$ 的边长为 2,$AB// y$ 轴,$A(1,4)$,
$\therefore B(1,2)$,$C(3,2)$,$D(3,4)$,当抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{4}{3}x-\dfrac{8}{3}+h$ 经过点 $D$ 时,$-\dfrac{1}{2}×3^2+\dfrac{4}{3}×3-\dfrac{8}{3}+h=4$,解得 $h=\dfrac{43}{6}$.当抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{4}{3}x-\dfrac{8}{3}+h=-\dfrac{1}{2}(x-\dfrac{4}{3})^2-\dfrac{16}{9}+h$ 的顶点在 $BC$ 上时,$-\dfrac{16}{9}+h=2$,解得 $h=\dfrac{34}{9}$.$\because$ 抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{4}{3}x-\dfrac{8}{3}+h$ 与正方形 $ABCD$ 始终有公共点,$\therefore h$ 的取值范围为 $\dfrac{34}{9}≤ h≤\dfrac{43}{6}$.