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9.「2025山东青岛中考，★★☆」将二次函数$y=x^2-2x-3$的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（
A.图象与y轴的公共点坐标是$(0,-3)$
B.当$x=1$时，函数取得最大值
C.图象与x轴的两个公共点之间的距离为4
D.当$x＞1$时，y的值随x值的增大而增大
C
）A.图象与y轴的公共点坐标是$(0,-3)$
B.当$x=1$时，函数取得最大值
C.图象与x轴的两个公共点之间的距离为4
D.当$x＞1$时，y的值随x值的增大而增大
答案
A.对于 $y=x^2-2x-3$,当 $x=0$ 时,$y=-3$,$\therefore$ 新函数图象与 $y$ 轴的公共点坐标为 $(0,3)$,故 A 错误.B.结合题中函数图象可知,函数没有最大值,故 B 错误.C.令 $y=x^2-2x-3=0$,解得 $x=3$ 或 $x=-1$,$\therefore$ 函数图象与 $x$ 轴的公共点坐标为 $(-1,0)$,$(3,0)$,$\therefore$ 图象与 $x$ 轴两个公共点之间的距离为 $3-(-1)=4$,故 C 正确.D.$\because y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$,$\therefore$ 图象的对称轴是直线 $x=1$,结合题中函数图象可得,当 $1＜x＜3$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小,当 $x＞3$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大,故 D 错误.故选 C.
10.「2026四川泸州期末，★★」如图，已知顶点坐标为$(-3,-6)$的抛物线$y=ax^2+bx+c$过点$(-1,-4)$，有下列结论：
①$abc＜0$；
②对于任意实数$m$，均有$am^2+bm+c+6＞0$；
③$-5a+c=-4$；
④若$ax^2+bx+c≥-4$，则$x≥-1$；
⑤$a＜\dfrac{4}{5}$。
其中结论正确的个数为 （
）
A.2
B.3
C.4
D.5
①$abc＜0$；
②对于任意实数$m$，均有$am^2+bm+c+6＞0$；
③$-5a+c=-4$；
④若$ax^2+bx+c≥-4$，则$x≥-1$；
⑤$a＜\dfrac{4}{5}$。
其中结论正确的个数为 （
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
$\because$ 抛物线开口向上,$\therefore a＞0$,$\because$ 抛物线的对称轴为直线 $x=-\dfrac{b}{2a}=-3$,$\therefore b=6a＞0$,$\because$ 抛物线与 $y$ 轴交于负半轴,$\therefore c＜0$,$\therefore abc＜0$,故①正确.
$\because$ 抛物线的顶点坐标为 $(-3,-6)$,$\therefore$ 当 $x=-3$ 时,函数取最小值 $-6$,$\therefore ax^2+bx+c≥-6$,$\therefore$ 对于任意实数 $m$,均有 $am^2+bm+c+6≥0$,故②错误.
$\because$ 抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 过点 $(-1,-4)$,$\therefore a-b+c=-4$,$\because b=6a$,$\therefore a-6a+c=-4$,即$-5a+c=-4$,故③正确.
$\because$ 抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 过点 $(-1,-4)$,且对称轴是直线 $x=-3$,$\therefore$ 抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 过点 $(-5,-4)$,若 $ax^2+bx+c≥-4$,则 $x≥-1$ 或 $x≤-5$,故④错误.
$\because$ 抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 的顶点坐标为 $(-3,-6)$,$b=6a$,$\therefore \dfrac{4ac-b^2}{4a}=\dfrac{4ac-36a^2}{4a}=c-9a=-6$,$\therefore c=9a-6$,$\because -5a+c=-4$,$\therefore -5a+9a-6=-4$,解得 $a=\dfrac{1}{2}$,$\therefore a＜\dfrac{4}{5}$,故⑤正确.
综上,正确结论的个数为 3.故选 B.
$\because$ 抛物线的顶点坐标为 $(-3,-6)$,$\therefore$ 当 $x=-3$ 时,函数取最小值 $-6$,$\therefore ax^2+bx+c≥-6$,$\therefore$ 对于任意实数 $m$,均有 $am^2+bm+c+6≥0$,故②错误.
$\because$ 抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 过点 $(-1,-4)$,$\therefore a-b+c=-4$,$\because b=6a$,$\therefore a-6a+c=-4$,即$-5a+c=-4$,故③正确.
$\because$ 抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 过点 $(-1,-4)$,且对称轴是直线 $x=-3$,$\therefore$ 抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 过点 $(-5,-4)$,若 $ax^2+bx+c≥-4$,则 $x≥-1$ 或 $x≤-5$,故④错误.
$\because$ 抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 的顶点坐标为 $(-3,-6)$,$b=6a$,$\therefore \dfrac{4ac-b^2}{4a}=\dfrac{4ac-36a^2}{4a}=c-9a=-6$,$\therefore c=9a-6$,$\because -5a+c=-4$,$\therefore -5a+9a-6=-4$,解得 $a=\dfrac{1}{2}$,$\therefore a＜\dfrac{4}{5}$,故⑤正确.
综上,正确结论的个数为 3.故选 B.
11.「2025青海中考，★☆」若$x=1$是一元二次方程$x^2 -4x +c=0$的一个根，则$c$的值为
3
。答案
3
解析 由题意得 $1^2-4×1+c=0$,解得 $c=3$.
解析 由题意得 $1^2-4×1+c=0$,解得 $c=3$.
12.「2026北京海淀月考，★☆☆」抛物线$y=(m-1)x^2+2x+1$与$x$轴有两个公共点，则$m$的取值范围为
$m＜2$ 且 $m≠1$
.答案
$m＜2$ 且 $m≠1$
解析 由题意得$\begin{cases}2^2-4×(m-1)×1＞0,\\m-1≠0,\end{cases}$解得 $m＜2$ 且 $m≠1$.
解析 由题意得$\begin{cases}2^2-4×(m-1)×1＞0,\\m-1≠0,\end{cases}$解得 $m＜2$ 且 $m≠1$.
13.「2025甘肃中考，★☆」已知点$A(2,y_1)$，$B(6,y_2)$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$的图象上，如果$y_1＞y_2$，那么$k=$
6(答案不唯一)
(请写出一个符合条件的$k$值)。答案
6(答案不唯一)
解析 $\because$ 点 $A(2,y_1)$,$B(6,y_2)$ 在反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象上,且 $y_1＞y_2$,$\therefore$ 在每个象限内,$y$ 随 $x$ 的增大而减小,$\therefore k＞0$,$\therefore k$ 的值可以是 6.(答案不唯一)
解析 $\because$ 点 $A(2,y_1)$,$B(6,y_2)$ 在反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象上,且 $y_1＞y_2$,$\therefore$ 在每个象限内,$y$ 随 $x$ 的增大而减小,$\therefore k＞0$,$\therefore k$ 的值可以是 6.(答案不唯一)
