21.「2025四川南充中考，★★☆」(10分)如图，一次函数与反比例函数的图象交于点$A(-3,1)$，$B(1,n)$.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式.
(2)点$C$在第二象限反比例函数的图象上，横坐标为$a$，过点$C$作$x$轴的垂线，交直线$AB$于点$D$，$CD=\dfrac{7}{2}$，求$a$的值.

21.解析 (1)设反比例函数的解析式为$y=\frac{k_1}{x}(k_1≠0)$,
将(-3,1)代入,得$1=\frac{k_1}{-3}$,解得$k_1=-3$,
∴ 反比例函数的解析式为$y=-\frac{3}{x}$.
∵ 点B(1,n)在$y=-\frac{3}{x}$的图象上,
∴ $n=-\frac{3}{1}=-3$,
∴ B(1,-3).
设一次函数的解析式为$y=k_2x+b(k_2≠0)$,
∴ $\begin{cases} -3k_2+b=1, \\ k_2+b=-3, \end{cases}$解得$\begin{cases} k_2=-1, \\ b=-2, \end{cases}$
∴ 一次函数的解析式为y=-x-2.
(2)
∵ CD⊥x轴,$C(a,-\frac{3}{a})$,
∴ D(a,-a-2),
∵ $CD=\frac{7}{2}$,
∴ $-a-2+\frac{3}{a}=\frac{7}{2}$或$-\frac{3}{a}+a+2=\frac{7}{2}$,
∴ a=-6或$a=\frac{1}{2}$或$a=\frac{3+\sqrt{57}}{4}$或$a=\frac{3-\sqrt{57}}{4}$,
∵ 点C在第二象限,
∴ a=-6或$a=\frac{3-\sqrt{57}}{4}$.

22.「2025湖北武汉模拟，★★☆」(10分)如图，一次函数$y=-x+b$与反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象交于点$A(m,3)$和$B(3,1)$。
(1)求一次函数的解析式和$m$的值。

22.解析 (1)把(3,1)代入y=-x+b,得1=-3+b,解得b=4,
∴ 一次函数的解析式是y=-x+4,
∵ 点A(m,3)在直线y=-x+4上,
∴ -m+4=3,
∴ m=1.
(2)0＜x≤1或x≥3.
详解:由(1)得点A(1,3),
结合图象可得$\frac{k}{x}≥-x+b$的解集为0＜x≤1或x≥3.
(3)
∵ 点P是线段AB上一点,
∴ 设P(n,-n+4),1≤n≤3,
∴ $S=\frac{1}{2}OD· PD=\frac{1}{2}· n(-n+4)=-\frac{1}{2}(n-2)^2+2$,
∵ $-\frac{1}{2}＜0$,且1≤n≤3,
∴ 当n=2时,S有最大值,最大值为2.

23. 聚焦 中考 跨学科主题学习「2026贵州铜仁碧江期中，★★☆」(12分)如图1，在左边托盘A中放置一个固定的重物，在右边托盘B中放置一定质量的砝码(托盘B可左右移动)，使得仪器左右平衡。改变托盘B与点O的距离，记录相应的托盘B中的砝码质量，得到下表。

(1)依据实验得出的x与y的对应点，在图2中画出函数图象，并求出函数解析式。
(2)当砝码质量为24 g时，求托盘B与点O的距离。
(3)当托盘B向左移动6 cm时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘B中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求移动前托盘B中的砝码质量。

23.解析 (1)描点并连线,函数图象如图所示,
由图象可得y与x是反比例函数关系,
∴ 设$y=\frac{k}{x}(k≠0)$,
∵ 当x=10时,y=30,
∴ $30=\frac{k}{10}$,解得k=300,
∴ 函数解析式为$y=\frac{300}{x}(x＞0)$.
(2)当y=24时,$24=\frac{300}{x}$,解得x=12.5,
∴ 当砝码质量为24 g时,托盘B与点O的距离是12.5 cm.
(3)设移动前托盘B中的砝码质量为m g,托盘B与点O的距离为a cm,
由题意得ma=300,2m(a-6)=300,解得m=25.
∴ 移动前托盘B中的砝码质量为25 g.