24. 核心素养 推理能力「2026 四川成都十八中月考，★★☆」(14 分)如图,在平面直角坐标系$xOy$中,一次函数$y=2x-2$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象交于$A(m,-4),B$两点.
(1)求反比例函数的解析式及点$B$的坐标.
(2)点$C$是第一象限内反比例函数图象上一点,且$S_{△ ABC}=6$,求点$C$的坐标.
(3)在(2)的条件下,点$C$位于点$B$左侧,连接$BC$,点$M$为双曲线上一动点,平面内是否存在一点$N$,使以点$B,C,M,N$为顶点的四边形是矩形?若存在,请求出点$N$的坐标;若不存在,请说明理由.

24.解析 (1)
∵ 一次函数y=2x-2的图象过点A(m,-4),
∴ -4=2m-2,解得m=-1,
∴ A(-1,-4),
把(-1,-4)代入$y=\frac{k}{x}$,得k=-1×(-4)=4,
∴ 反比例函数的解析式为$y=\frac{4}{x}$.
联立,得$\begin{cases} y=\frac{4}{x}, \\ y=2x-2, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=2, \\ y=2 \end{cases}$或$\begin{cases} x=-1, \\ y=-4, \end{cases}$
结合题意可知点B的坐标为(2,2).
(2)如图,过点C作x轴的平行线交直线AB于点H.
设$C(c,\frac{4}{c})$,则$H(\frac{2}{c}+1,\frac{4}{c})$,
∴ $CH=\left|c-\frac{2}{c}-1\right|$,
∴ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}×\left|c-\frac{2}{c}-1\right|×|2-(-4)|=6$,
整理,得$\left|c-\frac{2}{c}-1\right|=2$,
∴ $c=\frac{3+\sqrt{17}}{2}$或c=1(负值已舍去),
∴ 点C的坐标为(1,4)或$(\frac{3+\sqrt{17}}{2},\sqrt{17}-3)$.
(3)存在点N,使以点B,C,M,N为顶点的四边形为矩形.
∵ 点C位于点B左侧,
∴ C(1,4),
①当四边形BCNM为矩形时,如图,设BM交y轴于点P,
过点B作直线l⊥x轴,过点C作CF⊥直线l于点F,过点P作PE⊥直线l于点E,
∴ ∠FCB+∠FBC=∠FBC+∠PBE=90°,
∴ ∠FCB=∠PBE.
∵ C(1,4),B(2,2),
∴ CF=1,BF=2,PE=2,
∴ BF=PE.
在△BCF和△PBE中,$\begin{cases} ∠FCB=∠EBP, \\ ∠CFB=∠BEP=90°, \\ BF=PE, \end{cases}$
∴ △BCF≌△PBE(AAS),
∴ BE=CF=1,
∴ P(0,1),
设直线BM的解析式为y=kx+1(k≠0),
将(2,2)代入,得2k+1=2,解得$k=\frac{1}{2}$,
∴ 直线BM的解析式为$y=\frac{1}{2}x+1$.
联立,得$\begin{cases} y=\frac{4}{x}, \\ y=\frac{1}{2}x+1, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=2, \\ y=2 \end{cases}$或$\begin{cases} x=-4, \\ y=-1, \end{cases}$
∴ M(-4,-1),
由矩形的性质可知点B(2,2)移动到点C(1,4)的方式和点M(-4,-1)移动到点N的方式一致,
∴ N(-5,1).
②当四边形BCM'N'为矩形时,易知M'C//BM,
∴ 设直线M'C的解析式为$y=\frac{1}{2}x+t(t≠1)$,
把(1,4)代入,得$\frac{1}{2}+t=4$,解得$t=\frac{7}{2}$,
∴ 直线M'C的解析式为$y=\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$,
联立,得$\begin{cases} y=\frac{4}{x}, \\ y=\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=-8, \\ y=-\frac{1}{2} \end{cases}$或$\begin{cases} x=1, \\ y=4, \end{cases}$
结合解析图可知$M'(-8,-\frac{1}{2})$,
由矩形的性质可知点B(2,2)移动到点C(1,4)的方式和点N'移动到点$M'(-8,-\frac{1}{2})$的方式一致,
∴ $N'(-7,-\frac{5}{2})$.
综上,点N的坐标为(-5,1)或$(-7,-\frac{5}{2})$.