18.「2025四川内江隆昌一模，★★★」如图,在平面直角坐标系$xOy$中,正方形$OABC$的$OA$边在$x$轴正半轴上,边$OC$在$y$轴正半轴上,$OA=3$,反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象与$BC$边交于点$D$,与$AB$边交于点$E$,点$P$在$y$轴上,若$△ ODE$的面积为$\frac{5}{2}$,则$PD+PE$的最小值是.

18.答案 $\sqrt{26}$
解析
∵ 四边形OABC是正方形,
∴ AB=OC=AO=BC=3,
∴ 点B的坐标为(3,3),
∵ 点D,E在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象上,
∴ $D(\frac{k}{3},3)$,$E(3,\frac{k}{3})$,
∴ $S_{△ODE}=S_{正方形OABC}-S_{△AOE}-S_{△COD}-S_{△BDE}=3×3-\frac{1}{2}k-\frac{1}{2}k-\frac{1}{2}(3-\frac{k}{3})(3-\frac{k}{3})=\frac{5}{2}$,解得k=6或k=-6(不合题意,舍去),
∴ $y=\frac{6}{x}$,$D(2,3)$,$E(3,2)$,如图,作点D关于y轴的对称点D'(-2,3),连接ED'交y轴于点P,连接DP,则PD+PE=PD'+PE=D'E,此时D'E的长即为PD+PE的最小值,由勾股定理得$D'E=\sqrt{(3+2)^2+(2-3)^2}=\sqrt{26}$,
∴ PD+PE的最小值是$\sqrt{26}$.

三、解答题(共66分)
19.「2026广西来宾期中，★☆」(10分)已知关于x的反比例函数$y=\frac{1+m}{x}$的图象经过点A(2,3).
(1)求m的值和反比例函数的解析式.
(2)当1＜x＜4时,求y的取值范围.

19.解析 (1)
∵ 关于x的反比例函数$y=\frac{1+m}{x}$的图象经过点A(2,3),
∴ $3=\frac{1+m}{2}$,解得m=5,
∴ 这个反比例函数的解析式为$y=\frac{6}{x}$.
(2)当x=1时,y=6,当x=4时,$y=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$,
∵ 6＞0,
∴ 当1＜x＜4时,y的取值范围是$\frac{3}{2}＜y＜6$.

20.「2026江苏苏州姑苏期中，★☆」(10分)如图，$△ ABO$是等腰直角三角形，$∠ ABO=90°$，双曲线$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$经过点$B$，过点$A(6,0)$作$x$轴的垂线交双曲线于点$C$，连接$CB,OC$.
(1)求点$C$的坐标.
(2)求$△ OBC$的面积.

20.解析 (1)
∵ △ABO是等腰直角三角形,∠ABO=90°,点A(6,0),
∴ B(3,3),
∵ 点B(3,3)在反比例函数的图象上,
∴ k=3×3=9,
∴ 反比例函数的解析式为$y=\frac{9}{x}$,
当x=6时,$y=\frac{3}{2}$,
∴ $C(6,\frac{3}{2})$.
(2)
∵ $S_{四边形OACB}=S_{△AOB}+S_{△ABC}=\frac{1}{2}×6×3+\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×(6-3)=\frac{45}{4}$,
∴ $S_{△OBC}=S_{四边形OACB}-S_{△OAC}=\frac{45}{4}-\frac{1}{2}×6×\frac{3}{2}=\frac{27}{4}$.