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1. 如图，OA，OB，OC都是$\odot O$的半径，AC，OB交于点D.若$AD=CD=8$，$OD=6$，则BD的长为().
A.5
B.4
C.3
D.2
A.5
B.4
C.3
D.2
答案
B
解析
【分析】
首先，由OA、OC都是圆的半径可得OA=OC，即△OAC是等腰三角形，结合已知AD=CD，根据等腰三角形三线合一的性质可推出OB⊥AC，得到Rt△OAD；接下来在直角三角形中利用勾股定理求出半径OA的长度，OB和OA相等，最后用OB的长度减去OD的长度就能得到BD的长。
【解析】
解：
∵OA、OC均为$\odot O$的半径，
∴OA=OC，即$△ OAC$是等腰三角形，
又
∵AD=CD，
∴OB⊥AC（等腰三角形三线合一），即$∠ ADO=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADO$中，AD=8，OD=6，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{AD^2+OD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$，
∵OB是$\odot O$的半径，
∴OB=OA=10，
∴BD=OB-OD=10-6=4。
【答案】
B
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形三线合一；勾股定理
【点评】
本题是圆的性质与三角形知识结合的基础题，解题的突破口是利用等腰三角形的性质得到垂直关系，再结合勾股定理求出半径，整体计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
首先，由OA、OC都是圆的半径可得OA=OC，即△OAC是等腰三角形，结合已知AD=CD，根据等腰三角形三线合一的性质可推出OB⊥AC，得到Rt△OAD；接下来在直角三角形中利用勾股定理求出半径OA的长度，OB和OA相等，最后用OB的长度减去OD的长度就能得到BD的长。
【解析】
解：
∵OA、OC均为$\odot O$的半径，
∴OA=OC，即$△ OAC$是等腰三角形，
又
∵AD=CD，
∴OB⊥AC（等腰三角形三线合一），即$∠ ADO=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADO$中，AD=8，OD=6，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{AD^2+OD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$，
∵OB是$\odot O$的半径，
∴OB=OA=10，
∴BD=OB-OD=10-6=4。
【答案】
B
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形三线合一；勾股定理
【点评】
本题是圆的性质与三角形知识结合的基础题，解题的突破口是利用等腰三角形的性质得到垂直关系，再结合勾股定理求出半径，整体计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
2. 如图,点 O 在矩形 ADHG 的边 DH 上,且$\odot O$交 DH 于点 E,F,交 AG 于点 B,C.若$AB=4,BC=6,DE=2$,则$DF=$().
A.13
B.12
C.11
D.10
A.13
B.12
C.11
D.10
答案
B
解析
【分析】
这是圆与矩形结合的几何计算题，解题思路如下：首先，观察到圆中有弦BC，优先考虑垂径定理，过圆心O作弦BC的垂线，即可得到BC的中点；其次结合矩形的性质，可证得包含A、D、O、M的四边形为矩形，得到对边相等的关系，求出OD的长度；再结合DE的长度算出圆的半径，最终就能求出DF的长度。
【解析】
解：过点O作$OM ⊥ AG$于点M，
根据垂径定理，得$BM = MC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} × 6 = 3$，
$\therefore AM = AB + BM = 4 + 3 = 7$，
$\because$ 四边形$ADHG$是矩形，
$\therefore AG // DH$，$∠ A = ∠ D = 90°$，
又$\because OM ⊥ AG$，
$\therefore OM ⊥ DH$，四边形$ADOM$是矩形，
$\therefore OD = AM = 7$，
$\because OE$是$\odot O$的半径，点E在D、O之间，
$\therefore OE = OD - DE = 7 - 2 = 5$，即$\odot O$的半径$r=5$，
$\therefore OF = r = 5$，
$\therefore DF = OD + OF = 7 + 5 = 12$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，矩形的性质，圆的基本性质
【点评】
本题属于基础综合题，核心考查垂径定理和矩形性质的结合应用，解题关键是构造过圆心垂直于弦的辅助线，将圆的性质和矩形的边的关系结合起来求解，能有效检验学生对基础几何定理的应用能力和辅助线构造意识。
【难度系数】
0.7
这是圆与矩形结合的几何计算题，解题思路如下：首先，观察到圆中有弦BC，优先考虑垂径定理，过圆心O作弦BC的垂线，即可得到BC的中点；其次结合矩形的性质，可证得包含A、D、O、M的四边形为矩形，得到对边相等的关系，求出OD的长度；再结合DE的长度算出圆的半径，最终就能求出DF的长度。
【解析】
解：过点O作$OM ⊥ AG$于点M，
根据垂径定理，得$BM = MC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} × 6 = 3$，
$\therefore AM = AB + BM = 4 + 3 = 7$，
$\because$ 四边形$ADHG$是矩形，
$\therefore AG // DH$，$∠ A = ∠ D = 90°$，
又$\because OM ⊥ AG$，
$\therefore OM ⊥ DH$，四边形$ADOM$是矩形，
$\therefore OD = AM = 7$，
$\because OE$是$\odot O$的半径，点E在D、O之间，
$\therefore OE = OD - DE = 7 - 2 = 5$，即$\odot O$的半径$r=5$，
$\therefore OF = r = 5$，
$\therefore DF = OD + OF = 7 + 5 = 12$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，矩形的性质，圆的基本性质
【点评】
本题属于基础综合题，核心考查垂径定理和矩形性质的结合应用，解题关键是构造过圆心垂直于弦的辅助线，将圆的性质和矩形的边的关系结合起来求解，能有效检验学生对基础几何定理的应用能力和辅助线构造意识。
【难度系数】
0.7
3. 如图，CD为$\odot O$的直径，弦AB交CD于点E，且$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，$ED=2$，$AB=10$，则$CD=(\quad)$.
A.$13$
B.$\dfrac{25}{2}$
C.$\dfrac{29}{2}$
D.$28$
A.$13$
B.$\dfrac{25}{2}$
C.$\dfrac{29}{2}$
D.$28$
答案
C
解析
【分析】
首先根据已知$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$且CD是圆的直径，结合垂径定理的推论，可得出CD垂直平分AB，得到AE的长度；接下来要求直径CD，只需先求半径，设半径为r，将直角三角形OAE的三条边用含r的代数式表示，再利用勾股定理列方程求解半径，最终求出直径即可。
【解析】
$\because \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，CD为$\odot O$的直径，
$\therefore CD⊥ AB$，$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$（垂径定理推论）。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=OD=r$，$OE=OD-ED=r-2$。
在$Rt△ OAE$中，由勾股定理得：
$OA^2=OE^2+AE^2$
代入得：$r^2=(r-2)^2+5^2$
展开得：$r^2=r^2-4r+4+25$
整理得：$4r=29$，解得$r=\frac{29}{4}$
$\therefore$直径$CD=2r=2×\frac{29}{4}=\frac{29}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理及推论；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆的性质的典型应用题，解题关键是通过弧相等的条件得到直径与弦的垂直平分关系，再结合勾股定理建立方程求解半径，计算难度较低，掌握垂径定理即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
首先根据已知$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$且CD是圆的直径，结合垂径定理的推论，可得出CD垂直平分AB，得到AE的长度；接下来要求直径CD，只需先求半径，设半径为r，将直角三角形OAE的三条边用含r的代数式表示，再利用勾股定理列方程求解半径，最终求出直径即可。
【解析】
$\because \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，CD为$\odot O$的直径，
$\therefore CD⊥ AB$，$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$（垂径定理推论）。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=OD=r$，$OE=OD-ED=r-2$。
在$Rt△ OAE$中，由勾股定理得：
$OA^2=OE^2+AE^2$
代入得：$r^2=(r-2)^2+5^2$
展开得：$r^2=r^2-4r+4+25$
整理得：$4r=29$，解得$r=\frac{29}{4}$
$\therefore$直径$CD=2r=2×\frac{29}{4}=\frac{29}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理及推论；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆的性质的典型应用题，解题关键是通过弧相等的条件得到直径与弦的垂直平分关系，再结合勾股定理建立方程求解半径，计算难度较低，掌握垂径定理即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
二、填空题
4. 如图，将$\odot O$沿弦AB折叠，使折叠后的$\overset{\frown}{AB}$经过圆心O，则$∠ OAB$的度数为。
4. 如图，将$\odot O$沿弦AB折叠，使折叠后的$\overset{\frown}{AB}$经过圆心O，则$∠ OAB$的度数为。
答案
$\boldsymbol{30°}$
解析
【分析】
解决本题的思路如下：第一步，结合折叠的轴对称性质，折叠后$\overset{\frown}{AB}$过圆心O，可推出圆心O到弦AB的距离等于圆半径的一半；第二步，过圆心作弦AB的垂线，构造直角三角形；第三步，利用直角三角形中“若直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的锐角为30°”的性质，即可求出$∠OAB$的度数。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$，过点$O$作$OD⊥AB$于点$D$。
根据折叠的性质，折叠后$\overset{\frown}{AB}$经过圆心$O$，可知圆心$O$到弦$AB$的距离$OD$等于半径的$\frac{1}{2}$，即$OD=\frac{1}{2}r$。
∵ $OA$是$\odot O$的半径，
∴ $OA=r$。
在$Rt△ OAD$中，$OD=\frac{1}{2}OA$，
∴ 直角边$OD$所对的锐角$∠ OAB=30°$（在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°）。
【答案】
$\boldsymbol{30°}$
【知识点】
折叠的性质；垂径定理；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础常考题，解题的关键是结合折叠性质得出圆心到弦AB的距离为半径的一半，再结合直角三角形的性质即可求解。
【难度系数】
0.7
解决本题的思路如下：第一步，结合折叠的轴对称性质，折叠后$\overset{\frown}{AB}$过圆心O，可推出圆心O到弦AB的距离等于圆半径的一半；第二步，过圆心作弦AB的垂线，构造直角三角形；第三步，利用直角三角形中“若直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的锐角为30°”的性质，即可求出$∠OAB$的度数。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$，过点$O$作$OD⊥AB$于点$D$。
根据折叠的性质，折叠后$\overset{\frown}{AB}$经过圆心$O$，可知圆心$O$到弦$AB$的距离$OD$等于半径的$\frac{1}{2}$，即$OD=\frac{1}{2}r$。
∵ $OA$是$\odot O$的半径，
∴ $OA=r$。
在$Rt△ OAD$中，$OD=\frac{1}{2}OA$，
∴ 直角边$OD$所对的锐角$∠ OAB=30°$（在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°）。
【答案】
$\boldsymbol{30°}$
【知识点】
折叠的性质；垂径定理；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础常考题，解题的关键是结合折叠性质得出圆心到弦AB的距离为半径的一半，再结合直角三角形的性质即可求解。
【难度系数】
0.7
5. 下列说法正确的有.(填序号)
① 平分弧的直径垂直平分弧所对的弦；
② 平分弦的直径平分弦所对的弧；
③ 垂直于弦的直线必过圆心；
④ 垂直于弦的直径平分弦所对的弧.
① 平分弧的直径垂直平分弧所对的弦；
② 平分弦的直径平分弦所对的弧；
③ 垂直于弦的直线必过圆心；
④ 垂直于弦的直径平分弦所对的弧.
答案
解：
根据垂径定理及其相关推论逐一判断：
① 由圆的对称性可知，平分弧的直径垂直平分弧所对的弦，该说法正确；
② 当被平分的弦本身是直径时，平分弦的直径不一定平分这条弦所对的弧，该说法错误；
③ 垂直于弦的直线有无数条，不一定经过圆心，该说法错误；
④ 根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，同时平分弦所对的弧，该说法正确。
综上，正确的是$\boldsymbol{①④}$。
根据垂径定理及其相关推论逐一判断：
① 由圆的对称性可知，平分弧的直径垂直平分弧所对的弦，该说法正确；
② 当被平分的弦本身是直径时，平分弦的直径不一定平分这条弦所对的弧，该说法错误；
③ 垂直于弦的直线有无数条，不一定经过圆心，该说法错误；
④ 根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，同时平分弦所对的弧，该说法正确。
综上，正确的是$\boldsymbol{①④}$。
解析
【分析】
这道题考查垂径定理及其推论的应用，解题时首先要明确垂径定理及各个推论的完整内容，尤其要注意相关结论成立的前提条件，接下来逐个分析四个说法，判断每个说法的条件是否满足定理要求、是否存在遗漏条件的情况，最终确定正确的序号。
【解析】
根据垂径定理及其相关推论逐一判断：
① 由圆的对称性可知，平分弧的直径垂直平分弧所对的弦，该说法正确；
② 平分弦（不是直径）的直径平分弦所对的弧，当被平分的弦本身是直径时，平分弦的直径不一定平分这条弦所对的弧，该说法错误；
③ 垂直于弦的直线有无数条，只有同时垂直且平分弦的直线才必过圆心，因此垂直于弦的直线不一定经过圆心，该说法错误；
④ 根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，同时平分弦所对的弧，该说法正确。
综上，正确的是①④。
【答案】
①④
【知识点】
垂径定理及推论
【点评】
本题是对圆的基本性质中垂径定理相关内容的基础考查，易错点在于容易忽略“平分弦的直径平分弦所对的弧”的前提是被平分的弦不是直径，同时要注意区分“垂直于弦的直线”和“垂直于弦的直径”的差异，做题时需逐一核对结论成立的条件。
【难度系数】
0.7
这道题考查垂径定理及其推论的应用，解题时首先要明确垂径定理及各个推论的完整内容，尤其要注意相关结论成立的前提条件，接下来逐个分析四个说法，判断每个说法的条件是否满足定理要求、是否存在遗漏条件的情况，最终确定正确的序号。
【解析】
根据垂径定理及其相关推论逐一判断：
① 由圆的对称性可知，平分弧的直径垂直平分弧所对的弦，该说法正确；
② 平分弦（不是直径）的直径平分弦所对的弧，当被平分的弦本身是直径时，平分弦的直径不一定平分这条弦所对的弧，该说法错误；
③ 垂直于弦的直线有无数条，只有同时垂直且平分弦的直线才必过圆心，因此垂直于弦的直线不一定经过圆心，该说法错误；
④ 根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，同时平分弦所对的弧，该说法正确。
综上，正确的是①④。
【答案】
①④
【知识点】
垂径定理及推论
【点评】
本题是对圆的基本性质中垂径定理相关内容的基础考查，易错点在于容易忽略“平分弦的直径平分弦所对的弧”的前提是被平分的弦不是直径，同时要注意区分“垂直于弦的直线”和“垂直于弦的直径”的差异，做题时需逐一核对结论成立的条件。
【难度系数】
0.7
6. 如图，AB是$\odot O$的直径，D，M分别是弦AC，$\overset{\frown}{AC}$的中点，$AC=12$，$BC=5$. 则MD的长是.
答案
$\boldsymbol{4}$
解析
【分析】
解题时首先从AB是圆的直径入手，利用直径所对圆周角为直角的性质，确定△ABC是直角三角形，通过勾股定理算出直径AB的长度，得到圆的半径。再结合D是AC中点、O是AB中点的条件，可知OD是△ABC的中位线，可求出OD的长度和OD与AC的垂直关系。最后根据M是弧AC中点的性质，由垂径定理推论可知OM垂直于AC，进而得到O、D、M三点共线，用半径OM减去OD的长度即可求出MD的长。
【解析】
1.
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角是直角）。
2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AC=12$，$BC=5$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13$，
∴$\odot O$的半径$OM=\frac{1}{2}AB=\frac{13}{2}=6.5$。
3.
∵O是AB中点，D是AC中点，
∴OD是$△ ABC$的中位线，
∴$OD// BC$，$OD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×5=2.5$，
又
∵$BC⊥ AC$，
∴$OD⊥ AC$。
4.
∵M是$\overset{\frown}{AC}$的中点，OM是$\odot O$的半径，
∴$OM⊥ AC$（平分弧的半径垂直于弧所对的弦），
∴O、D、M三点共线。
5.
∴$MD=OM-OD=6.5-2.5=4$。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
直径所对圆周角性质；三角形中位线定理；垂径定理推论
【点评】
本题是圆的基础综合题，将圆的基本性质和三角形中位线知识点结合考查，解题的核心是判断出O、D、M三点共线，再通过线段和差计算结果，需要考生熟练掌握相关性质的灵活应用。
【难度系数】
0.7
解题时首先从AB是圆的直径入手，利用直径所对圆周角为直角的性质，确定△ABC是直角三角形，通过勾股定理算出直径AB的长度，得到圆的半径。再结合D是AC中点、O是AB中点的条件，可知OD是△ABC的中位线，可求出OD的长度和OD与AC的垂直关系。最后根据M是弧AC中点的性质，由垂径定理推论可知OM垂直于AC，进而得到O、D、M三点共线，用半径OM减去OD的长度即可求出MD的长。
【解析】
1.
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角是直角）。
2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AC=12$，$BC=5$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13$，
∴$\odot O$的半径$OM=\frac{1}{2}AB=\frac{13}{2}=6.5$。
3.
∵O是AB中点，D是AC中点，
∴OD是$△ ABC$的中位线，
∴$OD// BC$，$OD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×5=2.5$，
又
∵$BC⊥ AC$，
∴$OD⊥ AC$。
4.
∵M是$\overset{\frown}{AC}$的中点，OM是$\odot O$的半径，
∴$OM⊥ AC$（平分弧的半径垂直于弧所对的弦），
∴O、D、M三点共线。
5.
∴$MD=OM-OD=6.5-2.5=4$。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
直径所对圆周角性质；三角形中位线定理；垂径定理推论
【点评】
本题是圆的基础综合题，将圆的基本性质和三角形中位线知识点结合考查，解题的核心是判断出O、D、M三点共线，再通过线段和差计算结果，需要考生熟练掌握相关性质的灵活应用。
【难度系数】
0.7
