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三、解答题
7. 如图，AB为$\odot O$的直径，点F在$\odot O$上，E为AF的中点，连接EO，作$CO ⊥ EO$交$\odot O$于点C，作$CD ⊥ AB$于点D，$\odot O$的直径为10，$OE=4$，求OD的长.
7. 如图，AB为$\odot O$的直径，点F在$\odot O$上，E为AF的中点，连接EO，作$CO ⊥ EO$交$\odot O$于点C，作$CD ⊥ AB$于点D，$\odot O$的直径为10，$OE=4$，求OD的长.
答案
解：
∵ E为AF的中点，O是⊙O的圆心，
∴ 由垂径定理得 $OE⊥AF$，即$∠ AEO=90°$。
∵ $CO⊥EO$，
∴ $∠ EOC=90°$，
∴ $∠ AOE + ∠ COD = 180° - 90° = 90°$。
∵ $CD⊥AB$，
∴ $∠ CDO=90°$，
∴ $∠ OCD + ∠ COD = 90°$，
∴ $∠ AOE = ∠ OCD$。
∵ ⊙O的直径为10，
∴ $OA=OC=5$。
在$△ AEO$和$△ ODC$中：
$\begin{cases}∠ AEO = ∠ ODC = 90° \\∠ AOE = ∠ OCD \\OA = CO\end{cases}$
∴ $△ AEO ≌ △ ODC$（AAS），
∴ $OD = AE$。
在$Rt△ AEO$中，$∠ AEO=90°$，$OA=5$，$OE=4$，
由勾股定理得：$AE=\sqrt{OA^2 - OE^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=3$，
∴ $OD=3$。
∵ E为AF的中点，O是⊙O的圆心，
∴ 由垂径定理得 $OE⊥AF$，即$∠ AEO=90°$。
∵ $CO⊥EO$，
∴ $∠ EOC=90°$，
∴ $∠ AOE + ∠ COD = 180° - 90° = 90°$。
∵ $CD⊥AB$，
∴ $∠ CDO=90°$，
∴ $∠ OCD + ∠ COD = 90°$，
∴ $∠ AOE = ∠ OCD$。
∵ ⊙O的直径为10，
∴ $OA=OC=5$。
在$△ AEO$和$△ ODC$中：
$\begin{cases}∠ AEO = ∠ ODC = 90° \\∠ AOE = ∠ OCD \\OA = CO\end{cases}$
∴ $△ AEO ≌ △ ODC$（AAS），
∴ $OD = AE$。
在$Rt△ AEO$中，$∠ AEO=90°$，$OA=5$，$OE=4$，
由勾股定理得：$AE=\sqrt{OA^2 - OE^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=3$，
∴ $OD=3$。
解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手：E是AF的中点，O是圆心，根据垂径定理可得OE⊥AF，得到Rt△AEO；再结合多个垂直条件，利用同角的余角相等推导角的关系：由CO⊥EO得∠AOE+∠COD=90°，由CD⊥AB得∠OCD+∠COD=90°，因此推出∠AOE=∠OCD；结合圆的半径相等可知OA=OC，可证明△AEO和△ODC全等，得到OD=AE；最后在Rt△AEO中利用勾股定理求出AE的长度，即可得到OD的长。
【解析】
∵ E为AF的中点，O是⊙O的圆心，
∴ 由垂径定理得 $OE⊥AF$，即$∠ AEO=90°$。
∵ $CO⊥EO$，
∴ $∠ EOC=90°$，
∴ $∠ AOE + ∠ COD = 180° - 90° = 90°$。
∵ $CD⊥AB$，
∴ $∠ CDO=90°$，
∴ $∠ OCD + ∠ COD = 90°$，
∴ $∠ AOE = ∠ OCD$。
∵ ⊙O的直径为10，
∴ $OA=OC=5$。
在$△ AEO$和$△ ODC$中：
$\begin{cases}∠ AEO = ∠ ODC = 90° \\∠ AOE = ∠ OCD \\OA = CO\end{cases}$
∴ $△ AEO ≌ △ ODC$（AAS），
∴ $OD = AE$。
在$Rt△ AEO$中，$∠ AEO=90°$，$OA=5$，$OE=4$，
由勾股定理得：$AE=\sqrt{OA^2 - OE^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=3$，
∴ $OD=3$。
【答案】
3
【知识点】
垂径定理；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于圆与三角形的综合基础题，解题关键是通过直角的互余关系推导相等的角，借助全等三角形将待求线段转化为可直接计算的线段，考察学生对基础定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件入手：E是AF的中点，O是圆心，根据垂径定理可得OE⊥AF，得到Rt△AEO；再结合多个垂直条件，利用同角的余角相等推导角的关系：由CO⊥EO得∠AOE+∠COD=90°，由CD⊥AB得∠OCD+∠COD=90°，因此推出∠AOE=∠OCD；结合圆的半径相等可知OA=OC，可证明△AEO和△ODC全等，得到OD=AE；最后在Rt△AEO中利用勾股定理求出AE的长度，即可得到OD的长。
【解析】
∵ E为AF的中点，O是⊙O的圆心，
∴ 由垂径定理得 $OE⊥AF$，即$∠ AEO=90°$。
∵ $CO⊥EO$，
∴ $∠ EOC=90°$，
∴ $∠ AOE + ∠ COD = 180° - 90° = 90°$。
∵ $CD⊥AB$，
∴ $∠ CDO=90°$，
∴ $∠ OCD + ∠ COD = 90°$，
∴ $∠ AOE = ∠ OCD$。
∵ ⊙O的直径为10，
∴ $OA=OC=5$。
在$△ AEO$和$△ ODC$中：
$\begin{cases}∠ AEO = ∠ ODC = 90° \\∠ AOE = ∠ OCD \\OA = CO\end{cases}$
∴ $△ AEO ≌ △ ODC$（AAS），
∴ $OD = AE$。
在$Rt△ AEO$中，$∠ AEO=90°$，$OA=5$，$OE=4$，
由勾股定理得：$AE=\sqrt{OA^2 - OE^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=3$，
∴ $OD=3$。
【答案】
3
【知识点】
垂径定理；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于圆与三角形的综合基础题，解题关键是通过直角的互余关系推导相等的角，借助全等三角形将待求线段转化为可直接计算的线段，考察学生对基础定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
8. 如图,点B,C在$\odot O$上,点A在$\odot O$内.若$OA=8$,$AB=12$,$∠ A=∠ B=60°$,求BC的长.
答案
解：
延长AO交BC于点D，
∵ ∠A=∠B=60°，
∴ ∠ADB=180°-∠A-∠B=60°，
∴ △ABD为等边三角形，
∴ AD=BD=AB=12，
∵ OA=8，
∴ OD=AD-OA=12-8=4，
过点O作OE⊥BC于点E，
由垂径定理得：BC=2BE，
在Rt△ODE中，∠ODE=60°，
∴ ∠DOE=30°，
∴ DE=$\frac{1}{2}$OD=2，
∴ BE=BD-DE=12-2=10，
∴ BC=2BE=20。
延长AO交BC于点D，
∵ ∠A=∠B=60°，
∴ ∠ADB=180°-∠A-∠B=60°，
∴ △ABD为等边三角形，
∴ AD=BD=AB=12，
∵ OA=8，
∴ OD=AD-OA=12-8=4，
过点O作OE⊥BC于点E，
由垂径定理得：BC=2BE，
在Rt△ODE中，∠ODE=60°，
∴ ∠DOE=30°，
∴ DE=$\frac{1}{2}$OD=2，
∴ BE=BD-DE=12-2=10，
∴ BC=2BE=20。
解析
【分析】
要求弦BC的长，可结合圆的垂径定理将求弦长转化为求半弦长。首先观察已知条件∠A=∠B=60°，可通过延长AO交BC于点D，先证△ABD是等边三角形，得到BD、AD的长度，进而算出OD的长度；再过圆心O作BC的垂线，利用垂径定理可知BC=2BE，接着在含60°角的直角△ODE中，利用30°角直角三角形的性质求出DE的长度，最后算出BE的长度，乘以2即可得到BC的长。
【解析】
延长AO交BC于点D，
∵ ∠A=∠B=60°，
∴ ∠ADB=180°-∠A-∠B=60°，
∴ △ABD为等边三角形，
∴ AD=BD=AB=12，
∵ OA=8，
∴ OD=AD-OA=12-8=4，
过点O作OE⊥BC于点E，
由垂径定理得：BC=2BE，
在Rt△ODE中，∠ODE=60°，
∴ ∠DOE=30°，
∴ DE=$\frac{1}{2}$OD=2，
∴ BE=BD-DE=12-2=10，
∴ BC=2BE=20。
【答案】
20
【知识点】
等边三角形的判定与性质，垂径定理，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的性质与三角形性质结合的基础综合题，解题的关键是合理构造辅助线，先利用等边三角形的性质得到相关线段长度，再结合垂径定理求解弦长，是圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
要求弦BC的长，可结合圆的垂径定理将求弦长转化为求半弦长。首先观察已知条件∠A=∠B=60°，可通过延长AO交BC于点D，先证△ABD是等边三角形，得到BD、AD的长度，进而算出OD的长度；再过圆心O作BC的垂线，利用垂径定理可知BC=2BE，接着在含60°角的直角△ODE中，利用30°角直角三角形的性质求出DE的长度，最后算出BE的长度，乘以2即可得到BC的长。
【解析】
延长AO交BC于点D，
∵ ∠A=∠B=60°，
∴ ∠ADB=180°-∠A-∠B=60°，
∴ △ABD为等边三角形，
∴ AD=BD=AB=12，
∵ OA=8，
∴ OD=AD-OA=12-8=4，
过点O作OE⊥BC于点E，
由垂径定理得：BC=2BE，
在Rt△ODE中，∠ODE=60°，
∴ ∠DOE=30°，
∴ DE=$\frac{1}{2}$OD=2，
∴ BE=BD-DE=12-2=10，
∴ BC=2BE=20。
【答案】
20
【知识点】
等边三角形的判定与性质，垂径定理，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的性质与三角形性质结合的基础综合题，解题的关键是合理构造辅助线，先利用等边三角形的性质得到相关线段长度，再结合垂径定理求解弦长，是圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
9. 不过圆心O的直线l交$\odot O$于C，D两点，AB是$\odot O$的直径，$AE ⊥ l$于点E，$BF ⊥ l$于点F.
（1）如图，在下面三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；
（2）请你观察本题（1）中所画的图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论；（不再标注其他字母，不写推理过程）
（3）请你选择（1）中的一个图形，证明（2）所得出的结论.
（1）如图，在下面三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；
（2）请你观察本题（1）中所画的图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论；（不再标注其他字母，不写推理过程）
（3）请你选择（1）中的一个图形，证明（2）所得出的结论.
答案
解：
(1) 补画的三个不同位置图形满足：
第一个图：直径AB与直线l不相交，A、B在直线l同侧，直线l与⊙O交于C、D两点，作AE⊥l，BF⊥l；
第二个图：直线l与线段AB相交（交点不经过圆心O），A、B在直线l两侧，直线l与⊙O交于C、D两点，作AE⊥l，BF⊥l；
第三个图：直线l与AB的延长线相交，A、B在直线l同侧，直线l与⊙O交于C、D两点，作AE⊥l，BF⊥l。
（图形位置合理即可）
(2) 结论：$\boldsymbol{EC = FD}$。
(3) 选取第一个图形证明：
过点$O$作$OG ⊥ l$于点$G$。
$\because AE ⊥ l$，$BF ⊥ l$，
$\therefore AE // OG // BF$。
$\because O$是$AB$的中点，
$\therefore EG = FG$。
由垂径定理，$OG ⊥$弦$CD$，得$CG = DG$。
$\therefore EG - CG = FG - DG$，
即$EC = FD$。
(1) 补画的三个不同位置图形满足：
第一个图：直径AB与直线l不相交，A、B在直线l同侧，直线l与⊙O交于C、D两点，作AE⊥l，BF⊥l；
第二个图：直线l与线段AB相交（交点不经过圆心O），A、B在直线l两侧，直线l与⊙O交于C、D两点，作AE⊥l，BF⊥l；
第三个图：直线l与AB的延长线相交，A、B在直线l同侧，直线l与⊙O交于C、D两点，作AE⊥l，BF⊥l。
（图形位置合理即可）
(2) 结论：$\boldsymbol{EC = FD}$。
(3) 选取第一个图形证明：
过点$O$作$OG ⊥ l$于点$G$。
$\because AE ⊥ l$，$BF ⊥ l$，
$\therefore AE // OG // BF$。
$\because O$是$AB$的中点，
$\therefore EG = FG$。
由垂径定理，$OG ⊥$弦$CD$，得$CG = DG$。
$\therefore EG - CG = FG - DG$，
即$EC = FD$。
解析
【分析】
（1）补画图形时按直线l与直径AB的位置关系分类即可：①直线l与AB无交点，A、B在l同侧；②直线l与线段AB相交（交点不过圆心），A、B在l两侧；③直线l与AB的延长线相交，A、B在l同侧，再按要求作出AE⊥l、BF⊥l即可。
（2）推导共同的相等线段时，可先作辅助线：过O作OG⊥l于G，由AE、BF、OG都垂直于l，可得三条线互相平行，结合O是AB中点可得G是EF中点，即EG=FG；再由垂径定理得OG垂直弦CD，故CG=DG，通过线段的和差运算即可得到相等的线段。
（3）证明结论时，先作出上述辅助线，依次证明EG=FG、CG=DG，再对两式作差即可证得EC=FD。
【解析】
(1) 补画的三个图形分别为：
① 图(1)：直径AB与直线l不相交，点A、B在直线l同侧，直线l与⊙O交于C、D两点，分别作AE⊥l于E，BF⊥l于F；
② 图(2)：直线l与线段AB相交（交点不经过圆心O），点A、B在直线l两侧，直线l与⊙O交于C、D两点，分别作AE⊥l于E，BF⊥l于F；
③ 图(3)：直线l与AB的延长线相交，点A、B在直线l同侧，直线l与⊙O交于C、D两点，分别作AE⊥l于E，BF⊥l于F。
（图形位置合理即可）
(2) 各图共有的线段相等结论：$\boldsymbol{EC = FD}$。
(3) 选择图(1)证明：
过点$O$作$OG ⊥ l$于点$G$。
$\because AE ⊥ l$，$BF ⊥ l$，
$\therefore AE// OG// BF$。
$\because O$是$AB$的中点，
$\therefore G$是$EF$的中点，即$EG = FG$。
根据垂径定理，$OG ⊥$弦$CD$，可得$CG = DG$。
$\therefore EG - CG = FG - DG$，
即$EC = FD$。
（选择其他图形证明逻辑一致，均可得到该结论）
【答案】
(1) 补画图形见解析（三种位置符合要求即可）；
(2) $\boldsymbol{EC = FD}$；
(3) 证明过程见解析。
【知识点】
垂径定理；平行线的性质；线段和差运算
【点评】
本题结合分类讨论思想考查圆的基本性质与几何推理能力，构造过圆心且垂直于弦的辅助线是解题的关键，有助于学生掌握垂径定理与平行线性质的综合应用方法。
【难度系数】
0.7
（1）补画图形时按直线l与直径AB的位置关系分类即可：①直线l与AB无交点，A、B在l同侧；②直线l与线段AB相交（交点不过圆心），A、B在l两侧；③直线l与AB的延长线相交，A、B在l同侧，再按要求作出AE⊥l、BF⊥l即可。
（2）推导共同的相等线段时，可先作辅助线：过O作OG⊥l于G，由AE、BF、OG都垂直于l，可得三条线互相平行，结合O是AB中点可得G是EF中点，即EG=FG；再由垂径定理得OG垂直弦CD，故CG=DG，通过线段的和差运算即可得到相等的线段。
（3）证明结论时，先作出上述辅助线，依次证明EG=FG、CG=DG，再对两式作差即可证得EC=FD。
【解析】
(1) 补画的三个图形分别为：
① 图(1)：直径AB与直线l不相交，点A、B在直线l同侧，直线l与⊙O交于C、D两点，分别作AE⊥l于E，BF⊥l于F；
② 图(2)：直线l与线段AB相交（交点不经过圆心O），点A、B在直线l两侧，直线l与⊙O交于C、D两点，分别作AE⊥l于E，BF⊥l于F；
③ 图(3)：直线l与AB的延长线相交，点A、B在直线l同侧，直线l与⊙O交于C、D两点，分别作AE⊥l于E，BF⊥l于F。
（图形位置合理即可）
(2) 各图共有的线段相等结论：$\boldsymbol{EC = FD}$。
(3) 选择图(1)证明：
过点$O$作$OG ⊥ l$于点$G$。
$\because AE ⊥ l$，$BF ⊥ l$，
$\therefore AE// OG// BF$。
$\because O$是$AB$的中点，
$\therefore G$是$EF$的中点，即$EG = FG$。
根据垂径定理，$OG ⊥$弦$CD$，可得$CG = DG$。
$\therefore EG - CG = FG - DG$，
即$EC = FD$。
（选择其他图形证明逻辑一致，均可得到该结论）
【答案】
(1) 补画图形见解析（三种位置符合要求即可）；
(2) $\boldsymbol{EC = FD}$；
(3) 证明过程见解析。
【知识点】
垂径定理；平行线的性质；线段和差运算
【点评】
本题结合分类讨论思想考查圆的基本性质与几何推理能力，构造过圆心且垂直于弦的辅助线是解题的关键，有助于学生掌握垂径定理与平行线性质的综合应用方法。
【难度系数】
0.7
