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三、解答题
7. 如图，AB是$\odot O$的弦，C，D为直线AB上的两点，且$OC=OD$，求证：$AC=BD$.
7. 如图，AB是$\odot O$的弦，C，D为直线AB上的两点，且$OC=OD$，求证：$AC=BD$.
答案
证明：
过点O作OE⊥AB于点E，
∵ OE⊥AB，AB是⊙O的弦，
∴ 由垂径定理得：$AE = BE$，
又∵ $OC = OD$，$OE⊥CD$，
∴ $CE = DE$（等腰三角形三线合一），
∴ $CE - AE = DE - BE$，
即 $AC = BD$。
过点O作OE⊥AB于点E，
∵ OE⊥AB，AB是⊙O的弦，
∴ 由垂径定理得：$AE = BE$，
又∵ $OC = OD$，$OE⊥CD$，
∴ $CE = DE$（等腰三角形三线合一），
∴ $CE - AE = DE - BE$，
即 $AC = BD$。
解析
【分析】
要证明$AC=BD$，可通过作辅助线将待证线段转化为易证相等的线段的差：首先过圆心$O$作$AB$的垂线$OE$，一方面，$AB$是$\odot O$的弦，根据垂径定理可得到$AE=BE$；另一方面，已知$OC=OD$，可知$△ OCD$是等腰三角形，且$OE$垂直于$CD$（$CD$在直线$AB$上），根据等腰三角形三线合一的性质可得到$CE=DE$，最后通过线段的差运算即可推出$AC=BD$。
【解析】
证明：
过点$O$作$OE⊥ AB$于点$E$，
$\because OE⊥ AB$，$AB$是$\odot O$的弦，
$\therefore$ 由垂径定理得：$AE = BE$，
又$\because OC = OD$，$OE⊥ CD$，
$\therefore CE = DE$（等腰三角形三线合一），
$\therefore CE - AE = DE - BE$，
即 $AC = BD$。
【答案】
$AC=BD$
【知识点】
垂径定理，等腰三角形三线合一，线段和差计算
【点评】
本题是圆的基础证明题，解题关键是掌握过圆心作弦的垂线这一常用辅助线作法，结合垂径定理和等腰三角形性质即可求解，主要考查基础知识点的应用能力。
【难度系数】
0.7
要证明$AC=BD$，可通过作辅助线将待证线段转化为易证相等的线段的差：首先过圆心$O$作$AB$的垂线$OE$，一方面，$AB$是$\odot O$的弦，根据垂径定理可得到$AE=BE$；另一方面，已知$OC=OD$，可知$△ OCD$是等腰三角形，且$OE$垂直于$CD$（$CD$在直线$AB$上），根据等腰三角形三线合一的性质可得到$CE=DE$，最后通过线段的差运算即可推出$AC=BD$。
【解析】
证明：
过点$O$作$OE⊥ AB$于点$E$，
$\because OE⊥ AB$，$AB$是$\odot O$的弦，
$\therefore$ 由垂径定理得：$AE = BE$，
又$\because OC = OD$，$OE⊥ CD$，
$\therefore CE = DE$（等腰三角形三线合一），
$\therefore CE - AE = DE - BE$，
即 $AC = BD$。
【答案】
$AC=BD$
【知识点】
垂径定理，等腰三角形三线合一，线段和差计算
【点评】
本题是圆的基础证明题，解题关键是掌握过圆心作弦的垂线这一常用辅助线作法，结合垂径定理和等腰三角形性质即可求解，主要考查基础知识点的应用能力。
【难度系数】
0.7
8. 如图，$\odot O$的直径AB和弦CD相交于点E.若$AE=2\ \mathrm{cm}$，$BE=6\ \mathrm{cm}$，$∠ CEA=30°$，求：
(1) CD的长；
(2) 点C到AB的距离与点D到AB的距离之比.
(1) CD的长；
(2) 点C到AB的距离与点D到AB的距离之比.
答案
解：
(1) 过点O作OF⊥CD于点F，连接OC。
∵ AB是⊙O的直径，AE=2 cm，BE=6 cm，
∴ AB=AE+BE=8 cm，
∴ ⊙O的半径OC=OA=4 cm，
∴ OE=OA - AE=4 - 2=2 cm。
在Rt△OFE中，∠CEA=30°，
∴ OF=OE·sin30°=2×$\frac{1}{2}$=1 cm。
在Rt△OFC中，由勾股定理得：
CF=$\sqrt{OC^2 - OF^2}$=$\sqrt{4^2 - 1^2}$=$\sqrt{15}$ cm。
由垂径定理得：CD=2CF=$2\sqrt{15}$ cm。
(2) 过点C作CG⊥AB于点G，过点D作DH⊥AB于点H。
在Rt△CGE中，∠CEG=∠CEA=30°，
∴ CG=CE·sin30°=$\frac{1}{2}$CE。
在Rt△DHE中，∠DEH=∠CEA=30°，
∴ DH=DE·sin30°=$\frac{1}{2}$DE。
∴ $\frac{CG}{DH}$=$\frac{CE}{DE}$。
由(1)知，DF=CF=$\sqrt{15}$ cm，EF=$\sqrt{OE^2 - OF^2}$=$\sqrt{3}$ cm，
∴ CE=CF - EF=$\sqrt{15}-\sqrt{3}$，
DE=DF + EF=$\sqrt{15}+\sqrt{3}$，
∴ $\frac{CE}{DE}$=$\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{\sqrt{15}+\sqrt{3}}$=$\frac{(\sqrt{15}-\sqrt{3})^2}{(\sqrt{15})^2-(\sqrt{3})^2}$=$\frac{18-6\sqrt{5}}{12}$=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$。
综上，(1) CD的长为$2\sqrt{15}\ \mathrm{cm}$；(2) 点C到AB的距离与点D到AB的距离之比为$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$。
(1) 过点O作OF⊥CD于点F，连接OC。
∵ AB是⊙O的直径，AE=2 cm，BE=6 cm，
∴ AB=AE+BE=8 cm，
∴ ⊙O的半径OC=OA=4 cm，
∴ OE=OA - AE=4 - 2=2 cm。
在Rt△OFE中，∠CEA=30°，
∴ OF=OE·sin30°=2×$\frac{1}{2}$=1 cm。
在Rt△OFC中，由勾股定理得：
CF=$\sqrt{OC^2 - OF^2}$=$\sqrt{4^2 - 1^2}$=$\sqrt{15}$ cm。
由垂径定理得：CD=2CF=$2\sqrt{15}$ cm。
(2) 过点C作CG⊥AB于点G，过点D作DH⊥AB于点H。
在Rt△CGE中，∠CEG=∠CEA=30°，
∴ CG=CE·sin30°=$\frac{1}{2}$CE。
在Rt△DHE中，∠DEH=∠CEA=30°，
∴ DH=DE·sin30°=$\frac{1}{2}$DE。
∴ $\frac{CG}{DH}$=$\frac{CE}{DE}$。
由(1)知，DF=CF=$\sqrt{15}$ cm，EF=$\sqrt{OE^2 - OF^2}$=$\sqrt{3}$ cm，
∴ CE=CF - EF=$\sqrt{15}-\sqrt{3}$，
DE=DF + EF=$\sqrt{15}+\sqrt{3}$，
∴ $\frac{CE}{DE}$=$\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{\sqrt{15}+\sqrt{3}}$=$\frac{(\sqrt{15}-\sqrt{3})^2}{(\sqrt{15})^2-(\sqrt{3})^2}$=$\frac{18-6\sqrt{5}}{12}$=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$。
综上，(1) CD的长为$2\sqrt{15}\ \mathrm{cm}$；(2) 点C到AB的距离与点D到AB的距离之比为$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$。
解析
【分析】
(1) 求解弦长CD可结合垂径定理，通过作辅助线构造直角三角形计算：首先过圆心O作CD的垂线，将CD平分，先根据已知的AE、BE长度求出圆的半径和OE的长度，再利用∠CEA=30°求出圆心O到CD的距离，最后用勾股定理求出半弦长，乘以2即可得到CD的长度。
(2) 求解两点到AB的距离之比，分别过C、D作AB的垂线，两个距离均为含30°角的直角三角形的直角边，因此距离比等于CE与DE的长度比，先求出EF的长度，再结合垂径定理得到的CF=DF，分别算出CE、DE的长度，化简比值即可。
【解析】
(1) 过点O作$OF⊥ CD$于点F，连接OC。
∵ AB是$\odot O$的直径，$AE=2\ \mathrm{cm}$，$BE=6\ \mathrm{cm}$，
∴ $AB=AE+BE=8\ \mathrm{cm}$，
∴ $\odot O$的半径$OC=OA=4\ \mathrm{cm}$，
∴ $OE=OA - AE=4 - 2=2\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OFE$中，$∠ CEA=30°$，
∴ $OF=OE· \sin30°=2×\frac{1}{2}=1\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OFC$中，由勾股定理得：
$CF=\sqrt{OC^2 - OF^2}=\sqrt{4^2 - 1^2}=\sqrt{15}\ \mathrm{cm}$。
由垂径定理得：$CD=2CF=2\sqrt{15}\ \mathrm{cm}$。
(2) 过点C作$CG⊥ AB$于点G，过点D作$DH⊥ AB$于点H。
在$\mathrm{Rt}△ CGE$中，$∠ CEG=∠ CEA=30°$，
∴ $CG=CE· \sin30°=\frac{1}{2}CE$。
在$\mathrm{Rt}△ DHE$中，$∠ DEH=∠ CEA=30°$，
∴ $DH=DE· \sin30°=\frac{1}{2}DE$。
∴ $\frac{CG}{DH}=\frac{CE}{DE}$。
由(1)知，$DF=CF=\sqrt{15}\ \mathrm{cm}$，$EF=\sqrt{OE^2 - OF^2}=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
∴ $CE=CF - EF=\sqrt{15}-\sqrt{3}$，
$DE=DF + EF=\sqrt{15}+\sqrt{3}$，
∴ $\frac{CE}{DE}=\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{\sqrt{15}+\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{15}-\sqrt{3})^2}{(\sqrt{15})^2-(\sqrt{3})^2}=\frac{18-6\sqrt{5}}{12}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
(1) $CD$的长为$2\sqrt{15}\ \mathrm{cm}$；(2) 点C到AB的距离与点D到AB的距离之比为$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$。
【知识点】
垂径定理；勾股定理；含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题属于圆的常规计算题型，解题关键是合理作垂线构造直角三角形，结合圆的性质和直角三角形的边角关系求解，计算时要注意二次根式化简的规范，避免计算失误。
【难度系数】
0.6
(1) 求解弦长CD可结合垂径定理，通过作辅助线构造直角三角形计算：首先过圆心O作CD的垂线，将CD平分，先根据已知的AE、BE长度求出圆的半径和OE的长度，再利用∠CEA=30°求出圆心O到CD的距离，最后用勾股定理求出半弦长，乘以2即可得到CD的长度。
(2) 求解两点到AB的距离之比，分别过C、D作AB的垂线，两个距离均为含30°角的直角三角形的直角边，因此距离比等于CE与DE的长度比，先求出EF的长度，再结合垂径定理得到的CF=DF，分别算出CE、DE的长度，化简比值即可。
【解析】
(1) 过点O作$OF⊥ CD$于点F，连接OC。
∵ AB是$\odot O$的直径，$AE=2\ \mathrm{cm}$，$BE=6\ \mathrm{cm}$，
∴ $AB=AE+BE=8\ \mathrm{cm}$，
∴ $\odot O$的半径$OC=OA=4\ \mathrm{cm}$，
∴ $OE=OA - AE=4 - 2=2\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OFE$中，$∠ CEA=30°$，
∴ $OF=OE· \sin30°=2×\frac{1}{2}=1\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OFC$中，由勾股定理得：
$CF=\sqrt{OC^2 - OF^2}=\sqrt{4^2 - 1^2}=\sqrt{15}\ \mathrm{cm}$。
由垂径定理得：$CD=2CF=2\sqrt{15}\ \mathrm{cm}$。
(2) 过点C作$CG⊥ AB$于点G，过点D作$DH⊥ AB$于点H。
在$\mathrm{Rt}△ CGE$中，$∠ CEG=∠ CEA=30°$，
∴ $CG=CE· \sin30°=\frac{1}{2}CE$。
在$\mathrm{Rt}△ DHE$中，$∠ DEH=∠ CEA=30°$，
∴ $DH=DE· \sin30°=\frac{1}{2}DE$。
∴ $\frac{CG}{DH}=\frac{CE}{DE}$。
由(1)知，$DF=CF=\sqrt{15}\ \mathrm{cm}$，$EF=\sqrt{OE^2 - OF^2}=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
∴ $CE=CF - EF=\sqrt{15}-\sqrt{3}$，
$DE=DF + EF=\sqrt{15}+\sqrt{3}$，
∴ $\frac{CE}{DE}=\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{\sqrt{15}+\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{15}-\sqrt{3})^2}{(\sqrt{15})^2-(\sqrt{3})^2}=\frac{18-6\sqrt{5}}{12}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
(1) $CD$的长为$2\sqrt{15}\ \mathrm{cm}$；(2) 点C到AB的距离与点D到AB的距离之比为$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$。
【知识点】
垂径定理；勾股定理；含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题属于圆的常规计算题型，解题关键是合理作垂线构造直角三角形，结合圆的性质和直角三角形的边角关系求解，计算时要注意二次根式化简的规范，避免计算失误。
【难度系数】
0.6
9. 如图,某小组发现8 m高的旗杆 DE 的影子落在了有一圆弧形小桥的路上,其中 $DE ⊥ EF$于点 E,于是该小组开展了测算小桥所在圆半径长的活动.他们测得 EG 的长为 3 m, HF的长为 1 m,拱高($\overset{\frown}{GH}$的中点 N 到弦 GH 的距离,即 MN 的长)为 2 m.小刚身高 1.6 m,同时测得其影长为 2.4 m.求小桥所在圆的半径长.
答案
解：
根据同一时刻物高与影长成正比，可得：
$\frac{DE}{EF}=\frac{1.6}{2.4}$
将$DE=8\ \mathrm{m}$代入，得$\frac{8}{EF}=\frac{1.6}{2.4}$，解得$EF=12\ \mathrm{m}$。
因此$GH=EF-EG-HF=12-3-1=8\ \mathrm{m}$。
因为N是$\overset{\frown}{GH}$的中点，MN⊥ GH，由垂径定理可知M是GH的中点，
所以$GM=\frac{1}{2}GH=4\ \mathrm{m}$。
设小桥所在圆的圆心为O，半径为$r\ \mathrm{m}$，连接OG，
由题意可知点O在直线NM上，$MN=2\ \mathrm{m}$，因此$OM=(r-2)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OMG$中，由勾股定理得：
$OG^2=OM^2+GM^2$
即$r^2=(r-2)^2+4^2$展开化简得4r=20，解得r=5。答：小桥所在圆的半径长为$\boldsymbol{5\ \mathrm{m}}$。
根据同一时刻物高与影长成正比，可得：
$\frac{DE}{EF}=\frac{1.6}{2.4}$
将$DE=8\ \mathrm{m}$代入，得$\frac{8}{EF}=\frac{1.6}{2.4}$，解得$EF=12\ \mathrm{m}$。
因此$GH=EF-EG-HF=12-3-1=8\ \mathrm{m}$。
因为N是$\overset{\frown}{GH}$的中点，MN⊥ GH，由垂径定理可知M是GH的中点，
所以$GM=\frac{1}{2}GH=4\ \mathrm{m}$。
设小桥所在圆的圆心为O，半径为$r\ \mathrm{m}$，连接OG，
由题意可知点O在直线NM上，$MN=2\ \mathrm{m}$，因此$OM=(r-2)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OMG$中，由勾股定理得：
$OG^2=OM^2+GM^2$
即$r^2=(r-2)^2+4^2$展开化简得4r=20，解得r=5。答：小桥所在圆的半径长为$\boldsymbol{5\ \mathrm{m}}$。
解析
【分析】
解题时先从平行投影的规律入手，同一时刻物体高度和影长的比值固定，先利用该比例关系求出旗杆的总影长EF，再减去EG、HF的长度得到弦GH的长；接下来处理圆弧的问题，已知弧GH的中点N到弦GH的距离为拱高MN，根据垂径定理可知MN的延长线过圆心，且M是GH的中点，可得到GM的长度；最后设圆的半径为r，用含r的式子表示出圆心到弦GH的距离OM，在直角三角形OMG中利用勾股定理列方程求解即可得到半径长度。
【解析】
解：根据同一时刻物高与影长成正比，可得：
$\frac{DE}{EF}=\frac{1.6}{2.4}$
将$DE=8\ \mathrm{m}$代入，得$\frac{8}{EF}=\frac{1.6}{2.4}$，解得$EF=12\ \mathrm{m}$。
因此$GH=EF-EG-HF=12-3-1=8\ \mathrm{m}$。
因为N是$\overset{\frown}{GH}$的中点，$MN⊥ GH$，由垂径定理可知M是GH的中点，
所以$GM=\frac{1}{2}GH=4\ \mathrm{m}$。
设小桥所在圆的圆心为O，半径为$r\ \mathrm{m}$，连接OG，
由题意可知点O在直线NM上，$MN=2\ \mathrm{m}$，因此$OM=(r-2)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OMG$中，由勾股定理得：
$OG^2=OM^2+GM^2$
即$r^2=(r-2)^2+4^2$，展开得$r^2=r^2-4r+4+16$，化简得$4r=20$，解得$r=5$。
【答案】
$\boldsymbol{5\ \mathrm{m}}$
【知识点】
平行投影的性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是结合实际场景的几何综合题，将投影知识与圆的计算相结合，需要学生掌握平行投影的比例关系，熟练运用垂径定理将圆的问题转化为直角三角形问题，同时学会利用方程思想求解几何未知量，贴合生活实际，能够锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6
解题时先从平行投影的规律入手，同一时刻物体高度和影长的比值固定，先利用该比例关系求出旗杆的总影长EF，再减去EG、HF的长度得到弦GH的长；接下来处理圆弧的问题，已知弧GH的中点N到弦GH的距离为拱高MN，根据垂径定理可知MN的延长线过圆心，且M是GH的中点，可得到GM的长度；最后设圆的半径为r，用含r的式子表示出圆心到弦GH的距离OM，在直角三角形OMG中利用勾股定理列方程求解即可得到半径长度。
【解析】
解：根据同一时刻物高与影长成正比，可得：
$\frac{DE}{EF}=\frac{1.6}{2.4}$
将$DE=8\ \mathrm{m}$代入，得$\frac{8}{EF}=\frac{1.6}{2.4}$，解得$EF=12\ \mathrm{m}$。
因此$GH=EF-EG-HF=12-3-1=8\ \mathrm{m}$。
因为N是$\overset{\frown}{GH}$的中点，$MN⊥ GH$，由垂径定理可知M是GH的中点，
所以$GM=\frac{1}{2}GH=4\ \mathrm{m}$。
设小桥所在圆的圆心为O，半径为$r\ \mathrm{m}$，连接OG，
由题意可知点O在直线NM上，$MN=2\ \mathrm{m}$，因此$OM=(r-2)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OMG$中，由勾股定理得：
$OG^2=OM^2+GM^2$
即$r^2=(r-2)^2+4^2$，展开得$r^2=r^2-4r+4+16$，化简得$4r=20$，解得$r=5$。
【答案】
$\boldsymbol{5\ \mathrm{m}}$
【知识点】
平行投影的性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是结合实际场景的几何综合题，将投影知识与圆的计算相结合，需要学生掌握平行投影的比例关系，熟练运用垂径定理将圆的问题转化为直角三角形问题，同时学会利用方程思想求解几何未知量，贴合生活实际，能够锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6
