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1.随着中考结束，初三某毕业班的每一个同学都向其他同学赠送一张自己的照片留作纪念，全班共送出了2256张照片，若该班有x名同学，则根据题意可列出方程为（
A.$x(x-1)=2256$
B.$x(x+1)=2256$
C.$2x(x-1)=2256$
D.$\frac{1}{2}x(x-1)=2256$
A
）A.$x(x-1)=2256$
B.$x(x+1)=2256$
C.$2x(x-1)=2256$
D.$\frac{1}{2}x(x-1)=2256$
答案
1.A
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要梳理题目中的数量关系：全班共有x名同学，每名同学不需要给自己赠送照片，因此每名同学需要给其余(x-1)名同学各赠送1张照片。由于赠送照片是双向的，甲给乙送和乙给甲送是两张独立的照片，不存在重复计算的情况，因此总照片数等于学生总人数乘以每名同学赠送的照片数，据此即可列出对应方程。
【解析】
解：设该班共有x名同学。
1. 计算每名同学送出的照片数：每名同学无需给自己送照片，因此每人送出(x-1)张照片。
2. 计算全班总送出的照片数：全班共有x名同学，因此总送出照片数为$x(x-1)$张。
3. 结合题意总送出2256张照片，可列方程：$x(x-1)=2256$。
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 互赠类问题等量关系
【点评】
本题是一元二次方程应用的基础常考题，解题关键是区分互送类问题和单循环问题（如握手、单循环比赛）的数量关系：互送为双向计数无需除以2，单循环为单向计数需要除以2，掌握该区别即可快速正确列式。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要梳理题目中的数量关系：全班共有x名同学，每名同学不需要给自己赠送照片，因此每名同学需要给其余(x-1)名同学各赠送1张照片。由于赠送照片是双向的，甲给乙送和乙给甲送是两张独立的照片，不存在重复计算的情况，因此总照片数等于学生总人数乘以每名同学赠送的照片数，据此即可列出对应方程。
【解析】
解：设该班共有x名同学。
1. 计算每名同学送出的照片数：每名同学无需给自己送照片，因此每人送出(x-1)张照片。
2. 计算全班总送出的照片数：全班共有x名同学，因此总送出照片数为$x(x-1)$张。
3. 结合题意总送出2256张照片，可列方程：$x(x-1)=2256$。
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 互赠类问题等量关系
【点评】
本题是一元二次方程应用的基础常考题，解题关键是区分互送类问题和单循环问题（如握手、单循环比赛）的数量关系：互送为双向计数无需除以2，单循环为单向计数需要除以2，掌握该区别即可快速正确列式。
【难度系数】
0.7
2.某校九年级举行篮球比赛，赛制为单循环赛，即每一个球队都和其他的球队进行一场比赛.已知共举行了45场比赛.则参加比赛的球队共有
10
个.答案
2.10
解析
【分析】
解题时首先要明确单循环赛的比赛规则：每两个球队之间只进行1场比赛。我们可以先设参赛球队数量为x个，每个球队需要和其余(x-1)个球队各赛1场，此时计算的场次中每场比赛都被重复统计了2次（比如甲队对乙队和乙队对甲队是同一场比赛），因此总比赛场数应为$\frac{1}{2}x(x-1)$。结合题目给出的总场数45场，即可列出一元二次方程，求解后根据实际意义舍去不符合要求的根，就能得到参赛球队的数量。
【解析】
设参加比赛的球队共有$x$个。
根据单循环赛的总场次计算公式，可列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=45$
整理方程得：
$x^2 - x - 90 = 0$
因式分解得：
$(x-10)(x+9)=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=-9$
因为球队数量不能为负数，所以舍去$x=-9$，即$x=10$。
【答案】
10
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 单循环赛计数规则
3. 一元二次方程的求解
【点评】
本题属于一元二次方程的实际应用类基础题，解题核心是准确理解单循环赛的赛制，找准总场次的等量关系列方程，求解后要注意验证根是否符合实际问题的要求，舍弃不符合题意的负根。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确单循环赛的比赛规则：每两个球队之间只进行1场比赛。我们可以先设参赛球队数量为x个，每个球队需要和其余(x-1)个球队各赛1场，此时计算的场次中每场比赛都被重复统计了2次（比如甲队对乙队和乙队对甲队是同一场比赛），因此总比赛场数应为$\frac{1}{2}x(x-1)$。结合题目给出的总场数45场，即可列出一元二次方程，求解后根据实际意义舍去不符合要求的根，就能得到参赛球队的数量。
【解析】
设参加比赛的球队共有$x$个。
根据单循环赛的总场次计算公式，可列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=45$
整理方程得：
$x^2 - x - 90 = 0$
因式分解得：
$(x-10)(x+9)=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=-9$
因为球队数量不能为负数，所以舍去$x=-9$，即$x=10$。
【答案】
10
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 单循环赛计数规则
3. 一元二次方程的求解
【点评】
本题属于一元二次方程的实际应用类基础题，解题核心是准确理解单循环赛的赛制，找准总场次的等量关系列方程，求解后要注意验证根是否符合实际问题的要求，舍弃不符合题意的负根。
【难度系数】
0.7
3.如图,这是某年1月的日历,1月1日下方标有“元旦”二字.“元旦”意为“初始之日”.我国历史上的“元旦”指的是农历“正月初一”,1949年中华人民共和国以公历1月1日为元旦.在该日历中,用“日”形框框住任意6个数,若其中最小数与最大数的乘积为100,求这个最小数.
答案
3. 解:设最小数为 x,则最大数为 x+15.根据题意,得 x(x+15)=100,解得 x₁=5,x₂=-20.
∵x＞0,
∴x=5.答:这个最小数为 5.
∵x＞0,
∴x=5.答:这个最小数为 5.
解析
【分析】
解题时首先观察日历“日”形框内的数字规律：日历中同一行相邻两个数相差1，上下相邻两行同一列的数相差7，“日”形框包含3行2列共6个数，最小数位于框内第一行左侧，最大数位于框内第三行右侧，因此最大数比最小数大$2×7+1=15$。接下来设最小数为$x$，即可表示出最大数为$x+15$，结合二者乘积为100的条件列一元二次方程求解，最后结合日期为正整数的实际意义舍去不符合要求的根即可得到答案。
【解析】
解：设这个最小数为$ x $，根据日历“日”形框的数字规律，可得最大数为$ x+15 $。
根据题意列方程得：
$x(x+15)=100$
解得$x_1=5$，$x_2=-20$。
∵日期为正数，即$x＞0$，
∴$x=-20$不符合题意，舍去，
∴$x=5$。
【答案】
这个最小数为5
【知识点】
日历中的数字规律；一元二次方程的实际应用；一元二次方程的求解
【点评】
本题结合生活中的日历场景考查方程的实际应用，解题核心是准确找出框选数字的数量关系，同时注意求解后要结合实际情况对根进行取舍，能锻炼学生的观察能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察日历“日”形框内的数字规律：日历中同一行相邻两个数相差1，上下相邻两行同一列的数相差7，“日”形框包含3行2列共6个数，最小数位于框内第一行左侧，最大数位于框内第三行右侧，因此最大数比最小数大$2×7+1=15$。接下来设最小数为$x$，即可表示出最大数为$x+15$，结合二者乘积为100的条件列一元二次方程求解，最后结合日期为正整数的实际意义舍去不符合要求的根即可得到答案。
【解析】
解：设这个最小数为$ x $，根据日历“日”形框的数字规律，可得最大数为$ x+15 $。
根据题意列方程得：
$x(x+15)=100$
解得$x_1=5$，$x_2=-20$。
∵日期为正数，即$x＞0$，
∴$x=-20$不符合题意，舍去，
∴$x=5$。
【答案】
这个最小数为5
【知识点】
日历中的数字规律；一元二次方程的实际应用；一元二次方程的求解
【点评】
本题结合生活中的日历场景考查方程的实际应用，解题核心是准确找出框选数字的数量关系，同时注意求解后要结合实际情况对根进行取舍，能锻炼学生的观察能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
4. 小明同学想用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为$21\mathrm{cm}^2$的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）。设剪去的正方形边长为$x$ cm，则可列出关于$x$的方程为
(11-2x)(7-2x)=21
。答案
4.(11-2x)(7-2x)=21
解析
【分析】
解题的核心是找到等量关系：无盖长方体纸盒的底面积=21cm²，再表示出折叠后底面的长和宽即可列方程。首先思考图形变化：四个角各剪去边长为x的正方形后，折叠成的长方体底面的长是原矩形长减去2个x（左右各剪掉1个x的长度），底面的宽是原矩形宽减去2个x（上下各剪掉1个x的长度），再结合矩形面积公式代入等量关系即可得到方程。
【解析】
设剪去的正方形边长为x cm，
则折叠后无盖长方体纸盒的底面长为(11-2x)cm，底面宽为(7-2x)cm，
根据矩形面积公式“面积=长×宽”，结合底面积为21cm²的条件，可列方程：
(11-2x)(7-2x)=21
【答案】
(11-2x)(7-2x)=21
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；图形折叠的性质
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题型，解题关键是理清图形折叠前后的边长变化关系，结合对应等量关系列方程即可，不易出错。
【难度系数】
0.8
解题的核心是找到等量关系：无盖长方体纸盒的底面积=21cm²，再表示出折叠后底面的长和宽即可列方程。首先思考图形变化：四个角各剪去边长为x的正方形后，折叠成的长方体底面的长是原矩形长减去2个x（左右各剪掉1个x的长度），底面的宽是原矩形宽减去2个x（上下各剪掉1个x的长度），再结合矩形面积公式代入等量关系即可得到方程。
【解析】
设剪去的正方形边长为x cm，
则折叠后无盖长方体纸盒的底面长为(11-2x)cm，底面宽为(7-2x)cm，
根据矩形面积公式“面积=长×宽”，结合底面积为21cm²的条件，可列方程：
(11-2x)(7-2x)=21
【答案】
(11-2x)(7-2x)=21
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；图形折叠的性质
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题型，解题关键是理清图形折叠前后的边长变化关系，结合对应等量关系列方程即可，不易出错。
【难度系数】
0.8
5. 如图①，一张矩形纸板的长为24cm，宽为12cm，将其剪掉四角并折叠成如图②所示的有盖长方体盒子.若该长方体盒子的底面积为$32\mathrm{cm}^2$，求该长方体盒子的高.
答案
5. 解:设该长方体盒子的高为 x cm,则该长方体盒子的底面长为$\frac{24-2x}{2}=(12-x)$cm,宽为(12-2x)cm.根据题意,得(12-x)(12-2x)=32,解得 x₁=4,x₂=14. 又
∵12-2x＞0,
∴x＜6.
∴x=4. 答:该长方体盒子的高为 4cm.
∵12-2x＞0,
∴x＜6.
∴x=4. 答:该长方体盒子的高为 4cm.
解析
【分析】
本题属于一元二次方程的几何实际应用问题，解题思路如下：首先设长方体盒子的高为x cm，这个高就是剪掉的四个角的小正方形的边长；其次结合有盖长方体的折叠方式推导底面长宽：原纸板长24cm，左右各剪掉1个边长为x的小正方形后，剩余长度要平分作为盒子底面长和盖子的长，因此底面长为$(24-2x)÷2=(12-x)$cm；原纸板宽12cm，上下各剪掉1个边长为x的小正方形，因此底面宽为$(12-2x)$cm；最后根据“底面积=长×宽”的等量关系列方程，求解后结合边长为正的实际要求舍去不符合题意的根，即可得到结果。
【解析】
解：设该长方体盒子的高为x cm。
由折叠方式可得，长方体盒子的底面长为$\frac{24-2x}{2}=(12-x)$cm，底面宽为$(12-2x)$cm。
根据底面积为$32\mathrm{cm}^2$，列方程得：
$(12-x)(12-2x)=32$
整理得$x^2-18x+56=0$，因式分解得$(x-4)(x-14)=0$，
解得$x_1=4$，$x_2=14$。
∵底面宽$12-2x＞0$，即$x＜6$，
∴$x=14$不符合实际意义，舍去，
∴$x=4$。
【答案】
该长方体盒子的高为4cm。
【知识点】
一元二次方程的应用，矩形面积计算，折叠的性质
【点评】
本题是一元二次方程结合几何折叠的典型应用题，解题核心是结合折叠特点准确表示出长方体底面的长和宽，同时要注意几何问题中边长为正的隐含条件，对求解出的根进行检验取舍，避免出现错解。
【难度系数】
0.6
本题属于一元二次方程的几何实际应用问题，解题思路如下：首先设长方体盒子的高为x cm，这个高就是剪掉的四个角的小正方形的边长；其次结合有盖长方体的折叠方式推导底面长宽：原纸板长24cm，左右各剪掉1个边长为x的小正方形后，剩余长度要平分作为盒子底面长和盖子的长，因此底面长为$(24-2x)÷2=(12-x)$cm；原纸板宽12cm，上下各剪掉1个边长为x的小正方形，因此底面宽为$(12-2x)$cm；最后根据“底面积=长×宽”的等量关系列方程，求解后结合边长为正的实际要求舍去不符合题意的根，即可得到结果。
【解析】
解：设该长方体盒子的高为x cm。
由折叠方式可得，长方体盒子的底面长为$\frac{24-2x}{2}=(12-x)$cm，底面宽为$(12-2x)$cm。
根据底面积为$32\mathrm{cm}^2$，列方程得：
$(12-x)(12-2x)=32$
整理得$x^2-18x+56=0$，因式分解得$(x-4)(x-14)=0$，
解得$x_1=4$，$x_2=14$。
∵底面宽$12-2x＞0$，即$x＜6$，
∴$x=14$不符合实际意义，舍去，
∴$x=4$。
【答案】
该长方体盒子的高为4cm。
【知识点】
一元二次方程的应用，矩形面积计算，折叠的性质
【点评】
本题是一元二次方程结合几何折叠的典型应用题，解题核心是结合折叠特点准确表示出长方体底面的长和宽，同时要注意几何问题中边长为正的隐含条件，对求解出的根进行检验取舍，避免出现错解。
【难度系数】
0.6
6. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气.”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月增长率相同.
(1)求进馆人次的月增长率；
(2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由.
(1)求进馆人次的月增长率；
(2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由.
答案
6. (1)解:设进馆人次的月增长率为 x,由题意,得 128+128(1+x)+128(1+x)²=608,化简,得 4x²+12x-7=0,解得 x₁=0.5=50%,x₂=-3.5(舍去).答:进馆人次的月增长率为 50%.
(2)第四个月的进馆人次为 128×(1+50%)³=128×$\frac{27}{8}$=432＜500.答:校图书馆能接纳第四个月的进馆人次.
(2)第四个月的进馆人次为 128×(1+50%)³=128×$\frac{27}{8}$=432＜500.答:校图书馆能接纳第四个月的进馆人次.
解析
【分析】
（1）本题属于平均增长率类的实际应用题，首先明确增长率问题的基本数量关系：若初始量为$a$，月增长率为$x$，则第二个月的量为$a(1+x)$，第三个月的量为$a(1+x)^2$。题目给出前三个月累计进馆608人次，即三个月的进馆人次之和为608，据此设未知数列一元二次方程求解即可，注意增长率为正数，需对解出的根进行取舍。
（2）第二问在已求得增长率的基础上，先利用增长率公式计算第四个月的进馆人次，再和图书馆每月最大接纳量500比较大小，即可得出结论。
【解析】
(1) 设进馆人次的月增长率为$ x $，由题意得：
$ 128 + 128(1+x) + 128(1+x)^2 = 608 $
化简得：$ 4x^2 + 12x -7 = 0 $
解得：$ x_1=0.5=50\% $，$ x_2=-3.5 $
由于增长率不能为负，故舍去$ x_2=-3.5 $。
(2) 计算第四个月的进馆人次：
$ 128×(1+50\%)^3 = 128× \frac{27}{8}=432 $
因为$ 432 ＜ 500 $，因此校图书馆可以接纳第四个月的进馆人次。
【答案】
(1) 进馆人次的月增长率为50%；
(2) 校图书馆能接纳第四个月的进馆人次。
【知识点】
一元二次方程的应用，平均增长率问题，有理数大小比较
【点评】
本题是典型的增长率类实际应用问题，核心是找准等量关系列方程，解题时需注意“累计进馆人次”是多个月的总和，而非单个月的人次，同时要结合实际意义对方程的根进行合理取舍，侧重考查对基础应用模型的掌握能力。
【难度系数】
0.7
（1）本题属于平均增长率类的实际应用题，首先明确增长率问题的基本数量关系：若初始量为$a$，月增长率为$x$，则第二个月的量为$a(1+x)$，第三个月的量为$a(1+x)^2$。题目给出前三个月累计进馆608人次，即三个月的进馆人次之和为608，据此设未知数列一元二次方程求解即可，注意增长率为正数，需对解出的根进行取舍。
（2）第二问在已求得增长率的基础上，先利用增长率公式计算第四个月的进馆人次，再和图书馆每月最大接纳量500比较大小，即可得出结论。
【解析】
(1) 设进馆人次的月增长率为$ x $，由题意得：
$ 128 + 128(1+x) + 128(1+x)^2 = 608 $
化简得：$ 4x^2 + 12x -7 = 0 $
解得：$ x_1=0.5=50\% $，$ x_2=-3.5 $
由于增长率不能为负，故舍去$ x_2=-3.5 $。
(2) 计算第四个月的进馆人次：
$ 128×(1+50\%)^3 = 128× \frac{27}{8}=432 $
因为$ 432 ＜ 500 $，因此校图书馆可以接纳第四个月的进馆人次。
【答案】
(1) 进馆人次的月增长率为50%；
(2) 校图书馆能接纳第四个月的进馆人次。
【知识点】
一元二次方程的应用，平均增长率问题，有理数大小比较
【点评】
本题是典型的增长率类实际应用问题，核心是找准等量关系列方程，解题时需注意“累计进馆人次”是多个月的总和，而非单个月的人次，同时要结合实际意义对方程的根进行合理取舍，侧重考查对基础应用模型的掌握能力。
【难度系数】
0.7
