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8.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，设第三季度生产零件数量的月平均增长率为x，那么 （
A.$50(1+x^2)=196$
B.$50+50(1+x^2)=196$
C.$50+50(1+x)+50(1+x)^2=196$
D.$50+50(1+x)+50(1+2x)=196$
C
）A.$50(1+x^2)=196$
B.$50+50(1+x^2)=196$
C.$50+50(1+x)+50(1+x)^2=196$
D.$50+50(1+x)+50(1+2x)=196$
答案
8.C
解析
【分析】
解题时首先明确第三季度包含7、8、9三个月，总产量为三个月产量之和。已知7月份产量为50万个，月平均增长率为x，我们可以逐次推导8月、9月的产量：8月产量是在7月基础上增长x，即50(1+x)；9月产量是在8月基础上再增长x，即8月产量乘(1+x)，也就是50(1+x)²。最后将三个月产量相加等于第三季度总产量196万个，即可列出对应方程匹配选项。
【解析】
第三季度包含7月、8月、9月，总产量为三个月产量之和：
1. 7月份产量已知为50万个；
2. 8月份产量：在7月产量基础上增长x，为$50(1+x)$万个；
3. 9月份产量：在8月产量基础上再增长x，为$50(1+x) × (1+x)=50(1+x)^2$万个；
4. 结合第三季度总产量为196万个，列方程得：$50+50(1+x)+50(1+x)^2=196$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平均增长率问题、一元二次方程的应用
【点评】
本题是平均增长率类的典型基础题，解题核心是准确写出每个周期的产量表达式，易错点是容易误将单月产量当作季度总产量，漏加其他月份的产量。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确第三季度包含7、8、9三个月，总产量为三个月产量之和。已知7月份产量为50万个，月平均增长率为x，我们可以逐次推导8月、9月的产量：8月产量是在7月基础上增长x，即50(1+x)；9月产量是在8月基础上再增长x，即8月产量乘(1+x)，也就是50(1+x)²。最后将三个月产量相加等于第三季度总产量196万个，即可列出对应方程匹配选项。
【解析】
第三季度包含7月、8月、9月，总产量为三个月产量之和：
1. 7月份产量已知为50万个；
2. 8月份产量：在7月产量基础上增长x，为$50(1+x)$万个；
3. 9月份产量：在8月产量基础上再增长x，为$50(1+x) × (1+x)=50(1+x)^2$万个；
4. 结合第三季度总产量为196万个，列方程得：$50+50(1+x)+50(1+x)^2=196$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平均增长率问题、一元二次方程的应用
【点评】
本题是平均增长率类的典型基础题，解题核心是准确写出每个周期的产量表达式，易错点是容易误将单月产量当作季度总产量，漏加其他月份的产量。
【难度系数】
0.8
9.某商店销售某种品牌的茶叶,购进时的价格是40元/kg.根据市场调查发现:在一段时间内,销售单价$x$(元/kg)与销售量$y$(kg)之间满足的关系如图所示.要使该商店销售这种茶叶获得8000元的销售利润且让利于顾客,则该茶叶的销售单价应定为
60
元/kg.答案
9.60
解析
【分析】
解题思路如下：首先观察图像可知销售量y与销售单价x是一次函数关系，先利用图像给出的两个点通过待定系数法求出函数解析式；再根据“总利润=每千克的利润×销售量”的等量关系列出一元二次方程，最后结合“让利于顾客”的要求，选择数值更小的解即可。
【解析】
设销售量$y$与销售单价$x$的函数关系式为$y=kx+b(k≠0)$，将点$(50,500)$、$(60,400)$代入得：
$\begin{cases}50k+b=500 \\60k+b=400 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$10k=-100$，解得$k=-10$，将$k=-10$代入$50k+b=500$，得$-500+b=500$，解得$b=1000$，因此函数关系式为$y=-10x+1000$。
已知每千克茶叶的利润为$(x-40)$元，总利润为8000元，列方程得：
$(x-40)(-10x+1000)=8000$
展开整理得：$x^2-140x+4800=0$，因式分解得$(x-60)(x-80)=0$，解得$x_1=60$，$x_2=80$。
因为要让利于顾客，需选择更低的销售单价，因此取$x=60$。
【答案】
60
【知识点】
待定系数法求一次函数，销售利润计算，一元二次方程求解
【点评】
本题将一次函数与实际利润问题结合，既考查了函数解析式的求解能力，也要求学生结合实际限制条件筛选方程的解，解题时要注意不要忽略题中“让利于顾客”这类隐含要求。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先观察图像可知销售量y与销售单价x是一次函数关系，先利用图像给出的两个点通过待定系数法求出函数解析式；再根据“总利润=每千克的利润×销售量”的等量关系列出一元二次方程，最后结合“让利于顾客”的要求，选择数值更小的解即可。
【解析】
设销售量$y$与销售单价$x$的函数关系式为$y=kx+b(k≠0)$，将点$(50,500)$、$(60,400)$代入得：
$\begin{cases}50k+b=500 \\60k+b=400 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$10k=-100$，解得$k=-10$，将$k=-10$代入$50k+b=500$，得$-500+b=500$，解得$b=1000$，因此函数关系式为$y=-10x+1000$。
已知每千克茶叶的利润为$(x-40)$元，总利润为8000元，列方程得：
$(x-40)(-10x+1000)=8000$
展开整理得：$x^2-140x+4800=0$，因式分解得$(x-60)(x-80)=0$，解得$x_1=60$，$x_2=80$。
因为要让利于顾客，需选择更低的销售单价，因此取$x=60$。
【答案】
60
【知识点】
待定系数法求一次函数，销售利润计算，一元二次方程求解
【点评】
本题将一次函数与实际利润问题结合，既考查了函数解析式的求解能力，也要求学生结合实际限制条件筛选方程的解，解题时要注意不要忽略题中“让利于顾客”这类隐含要求。
【难度系数】
0.7
10.(平顶山市期末)现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递总件数分别为10万件和14.4万件，现假定该公司每月投递总件数的增长率相同.
(1)求该快递公司投递总件数的月增长率；
(2)如果平均每人每月最多可投0.5万件，那么该公司现有的29名快递投递员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名投递员？
(1)求该快递公司投递总件数的月增长率；
(2)如果平均每人每月最多可投0.5万件，那么该公司现有的29名快递投递员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名投递员？
答案
10. (1)解:设该快递公司投递总件数的月增长率为x,根据题意,得$10(1+x)^2=14.4$,解得$x_1=0.2=20\%$,$x_2=-2.2$(不符合题意,舍去),答:该快递公司投递总件数的月增长率为20%.
(2)由(1)得,$14.4×1.2=17.28$(万件),$29×0.5=14.5$(万件),$14.5＜17.28$,故不能完成任务.因为$(17.28-14.5)÷0.5=5.56$,所以至少需要增加6名投递员.答:至少需要增加6名投递员.
(2)由(1)得,$14.4×1.2=17.28$(万件),$29×0.5=14.5$(万件),$14.5＜17.28$,故不能完成任务.因为$(17.28-14.5)÷0.5=5.56$,所以至少需要增加6名投递员.答:至少需要增加6名投递员.
解析
【分析】
（1）本题属于平均增长率类应用题，核心公式为：增长后量=增长前量×(1+月增长率)^增长月数。已知三月份投递量为10万件（增长前量），到五月份经过2次增长后投递量为14.4万件，因此可设月增长率为x，代入公式列一元二次方程求解，注意增长率为正数，需舍去不符合实际意义的负根。
（2）先根据（1）中求出的月增长率，计算6月份的快递投递总任务量；再计算现有29名投递员每月最多可完成的投递量，两者比较判断能否完成任务；若不能完成，先计算任务差额，除以每人每月最大投递量，注意投递员人数为正整数，需用进一法取整得到需要增加的最少人数。
【解析】
(1) 设该快递公司投递总件数的月增长率为x，根据题意可得：
$10(1+x)^2=14.4$
解方程得：$(1+x)^2=1.44$
开平方得：$1+x=\pm1.2$
解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（增长率不能为负，不符合题意，舍去）
(2) 首先计算今年6月份的快递投递任务量：
$14.4×(1+20\%)=14.4×1.2=17.28$（万件）
再计算现有29名投递员每月最多可投递的总量：
$29×0.5=14.5$（万件）
因为$14.5＜17.28$，所以现有29名投递员不能完成6月份的投递任务。
计算需要增加的投递员数量：
需额外完成的投递量为$17.28-14.5=2.78$（万件）
需要增加的人数为$2.78÷0.5=5.56$
由于人数必须为正整数，因此至少需要增加6名投递员。
【答案】
(1) 该快递公司投递总件数的月增长率为20%；
(2) 不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加6名投递员。
【知识点】
平均增长率问题、一元二次方程的实际应用、实际问题取整
【点评】
本题结合生活实际考查了增长率相关的方程应用，解题时要找准等量关系正确列方程，同时需注意实际问题的取值要符合现实要求，比如增长率不能为负、人员数量需为正整数，避免因忽略实际意义导致错误。
【难度系数】
0.7
（1）本题属于平均增长率类应用题，核心公式为：增长后量=增长前量×(1+月增长率)^增长月数。已知三月份投递量为10万件（增长前量），到五月份经过2次增长后投递量为14.4万件，因此可设月增长率为x，代入公式列一元二次方程求解，注意增长率为正数，需舍去不符合实际意义的负根。
（2）先根据（1）中求出的月增长率，计算6月份的快递投递总任务量；再计算现有29名投递员每月最多可完成的投递量，两者比较判断能否完成任务；若不能完成，先计算任务差额，除以每人每月最大投递量，注意投递员人数为正整数，需用进一法取整得到需要增加的最少人数。
【解析】
(1) 设该快递公司投递总件数的月增长率为x，根据题意可得：
$10(1+x)^2=14.4$
解方程得：$(1+x)^2=1.44$
开平方得：$1+x=\pm1.2$
解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（增长率不能为负，不符合题意，舍去）
(2) 首先计算今年6月份的快递投递任务量：
$14.4×(1+20\%)=14.4×1.2=17.28$（万件）
再计算现有29名投递员每月最多可投递的总量：
$29×0.5=14.5$（万件）
因为$14.5＜17.28$，所以现有29名投递员不能完成6月份的投递任务。
计算需要增加的投递员数量：
需额外完成的投递量为$17.28-14.5=2.78$（万件）
需要增加的人数为$2.78÷0.5=5.56$
由于人数必须为正整数，因此至少需要增加6名投递员。
【答案】
(1) 该快递公司投递总件数的月增长率为20%；
(2) 不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加6名投递员。
【知识点】
平均增长率问题、一元二次方程的实际应用、实际问题取整
【点评】
本题结合生活实际考查了增长率相关的方程应用，解题时要找准等量关系正确列方程，同时需注意实际问题的取值要符合现实要求，比如增长率不能为负、人员数量需为正整数，避免因忽略实际意义导致错误。
【难度系数】
0.7
11.(核心素养·应用意识)某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车,在一定范围内,每部汽车的进价与销售量有如下关系:若当月仅售出1部汽车,则该部汽车的进价为27万元;每多售出1部,所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部.月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司,销售量在10部以内(含10部),每部返利0.5万元;销售量在10部以上,每部返利1万元.
(1)若该公司当月售出3部汽车,则每部汽车的进价为
(2)如果汽车的售价为28万元/部,该公司计划当月盈利12万元,那么需要售出多少部汽车?(盈利=销售利润+返利)
(1)若该公司当月售出3部汽车,则每部汽车的进价为
26.8
万元;(2)如果汽车的售价为28万元/部,该公司计划当月盈利12万元,那么需要售出多少部汽车?(盈利=销售利润+返利)
答案
11. (1)26.8
(2)解:设需要售出x部汽车,则有每部汽车的利润为$28-[27-0.1(x-1)]=(0.1x+0.9)$万元.当$0≤x≤10$时,可得$x(0.1x+0.9)+0.5x=12$,即$x^2+14x-120=0$,解得$x_1=6$,$x_2=-20$(不合题意,舍去);当$x＞10$时,则有$x(0.1x+0.9)+x=12$,即$x^2+19x-120=0$,解得$x_3=5$,$x_4=-24$(不合题意,舍去),因为$5＜10$,所以$x=5$不合题意.答:需要售出6部汽车.
(2)解:设需要售出x部汽车,则有每部汽车的利润为$28-[27-0.1(x-1)]=(0.1x+0.9)$万元.当$0≤x≤10$时,可得$x(0.1x+0.9)+0.5x=12$,即$x^2+14x-120=0$,解得$x_1=6$,$x_2=-20$(不合题意,舍去);当$x＞10$时,则有$x(0.1x+0.9)+x=12$,即$x^2+19x-120=0$,解得$x_3=5$,$x_4=-24$(不合题意,舍去),因为$5＜10$,所以$x=5$不合题意.答:需要售出6部汽车.
解析
【分析】
(1) 第一问根据进价与销售量的关系计算：售出1部汽车进价为27万元，每多售出1部所有汽车的进价降低0.1万元/部，售出3部时比售出1部多2部，因此总降价为$0.1×2=0.2$万元，用初始进价减去总降价即可得到每部汽车的进价。
(2) 第二问属于利润类一元二次方程应用，首先设售出$x$部汽车，先算出每部汽车的销售利润（售价减去进价），再根据返利规则分两种情况讨论：①销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；②销售量在10部以上，每部返利1万元。分别根据“盈利=销售利润+返利”的等量关系列方程求解，最后检验解是否符合对应取值范围和实际意义，舍去不合理解。
【解析】
(1) 当月售出3部汽车时，每部汽车的进价为：
$27 - 0.1×(3-1) = 27 - 0.2 = 26.8$（万元）
(2) 设需要售出$x$部汽车。
首先计算每部汽车的销售利润：
售价为28万元/部，进价为$27 - 0.1(x-1)$万元/部，因此每部的销售利润为：
$28 - [27 - 0.1(x-1)] = 0.1x + 0.9$（万元）
分两种情况讨论：
① 当$0≤ x≤10$时，每部返利0.5万元，根据总盈利12万元列方程：
$x(0.1x + 0.9) + 0.5x = 12$
整理得：$x^2 + 14x - 120 = 0$
解得：$x_1=6$，$x_2=-20$（销售量不能为负，舍去）
$x=6$满足$0≤ x≤10$，符合题意。
② 当$x＞10$时，每部返利1万元，列方程：
$x(0.1x + 0.9) + x = 12$
整理得：$x^2 + 19x - 120 = 0$
解得：$x_3=5$，$x_4=-24$（舍去）
$x=5＜10$，不满足$x＞10$的条件，舍去。
综上，需要售出6部汽车。
【答案】
(1) $\boxed{26.8}$；(2) 需要售出$\boxed{6}$部汽车
【知识点】
一元二次方程的应用；利润问题；分类讨论思想
【点评】
本题结合实际销售场景考查利润类方程的应用，解题关键是理清进价、销售利润、返利之间的数量关系，尤其要注意返利规则的分段要求，解出方程后必须检验根是否符合实际意义和对应分段的取值范围，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
(1) 第一问根据进价与销售量的关系计算：售出1部汽车进价为27万元，每多售出1部所有汽车的进价降低0.1万元/部，售出3部时比售出1部多2部，因此总降价为$0.1×2=0.2$万元，用初始进价减去总降价即可得到每部汽车的进价。
(2) 第二问属于利润类一元二次方程应用，首先设售出$x$部汽车，先算出每部汽车的销售利润（售价减去进价），再根据返利规则分两种情况讨论：①销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；②销售量在10部以上，每部返利1万元。分别根据“盈利=销售利润+返利”的等量关系列方程求解，最后检验解是否符合对应取值范围和实际意义，舍去不合理解。
【解析】
(1) 当月售出3部汽车时，每部汽车的进价为：
$27 - 0.1×(3-1) = 27 - 0.2 = 26.8$（万元）
(2) 设需要售出$x$部汽车。
首先计算每部汽车的销售利润：
售价为28万元/部，进价为$27 - 0.1(x-1)$万元/部，因此每部的销售利润为：
$28 - [27 - 0.1(x-1)] = 0.1x + 0.9$（万元）
分两种情况讨论：
① 当$0≤ x≤10$时，每部返利0.5万元，根据总盈利12万元列方程：
$x(0.1x + 0.9) + 0.5x = 12$
整理得：$x^2 + 14x - 120 = 0$
解得：$x_1=6$，$x_2=-20$（销售量不能为负，舍去）
$x=6$满足$0≤ x≤10$，符合题意。
② 当$x＞10$时，每部返利1万元，列方程：
$x(0.1x + 0.9) + x = 12$
整理得：$x^2 + 19x - 120 = 0$
解得：$x_3=5$，$x_4=-24$（舍去）
$x=5＜10$，不满足$x＞10$的条件，舍去。
综上，需要售出6部汽车。
【答案】
(1) $\boxed{26.8}$；(2) 需要售出$\boxed{6}$部汽车
【知识点】
一元二次方程的应用；利润问题；分类讨论思想
【点评】
本题结合实际销售场景考查利润类方程的应用，解题关键是理清进价、销售利润、返利之间的数量关系，尤其要注意返利规则的分段要求，解出方程后必须检验根是否符合实际意义和对应分段的取值范围，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
