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1.某景点今年三月份接待游客25万人次，五月份接待游客61万人次，设该景点今年三月份到五月份接待游客人次的月平均增长率为$ x(x＞0) $，则可列方程为 （
A.$ 61(1-x)^2=25 $
B.$ 25(1-x)^2=61 $
C.$ 61(1+x)^2=25 $
D.$ 25(1+x)^2=61 $
D
）A.$ 61(1-x)^2=25 $
B.$ 25(1-x)^2=61 $
C.$ 61(1+x)^2=25 $
D.$ 25(1+x)^2=61 $
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查平均增长率的实际应用，解题时首先要明确增长率问题的基本数量关系：若初始量为a，平均增长率为x，经过n次增长后的最终量为b，则有公式$a(1+x)^n = b$。首先确定本题的初始量是三月份的25万人次，最终量是五月份的61万人次，再计算增长的期数：从三月到五月，中间经过四月、五月两次增长，即n=2，代入公式即可列出对应的方程。
【解析】
已知三月份接待游客25万人次，月平均增长率为$x$：
1. 四月份接待游客人次为三月份的$(1+x)$倍，即$25(1+x)$万人次；
2. 五月份接待游客人次为四月份的$(1+x)$倍，即$25(1+x) × (1+x) = 25(1+x)^2$万人次；
3. 题目给出五月份接待游客61万人次，因此可列方程：$25(1+x)^2 = 61$。
综上选D选项。
【答案】
D
【知识点】
1. 平均增长率问题
2. 列一元二次方程
【点评】
本题是平均增长率类的基础题型，解题核心是找准初始量、最终量和增长的期数，正确套用增长率公式即可求解，注意不要混淆增长率和降低率的公式，也不要数错增长的次数。
【难度系数】
0.8
本题考查平均增长率的实际应用，解题时首先要明确增长率问题的基本数量关系：若初始量为a，平均增长率为x，经过n次增长后的最终量为b，则有公式$a(1+x)^n = b$。首先确定本题的初始量是三月份的25万人次，最终量是五月份的61万人次，再计算增长的期数：从三月到五月，中间经过四月、五月两次增长，即n=2，代入公式即可列出对应的方程。
【解析】
已知三月份接待游客25万人次，月平均增长率为$x$：
1. 四月份接待游客人次为三月份的$(1+x)$倍，即$25(1+x)$万人次；
2. 五月份接待游客人次为四月份的$(1+x)$倍，即$25(1+x) × (1+x) = 25(1+x)^2$万人次；
3. 题目给出五月份接待游客61万人次，因此可列方程：$25(1+x)^2 = 61$。
综上选D选项。
【答案】
D
【知识点】
1. 平均增长率问题
2. 列一元二次方程
【点评】
本题是平均增长率类的基础题型，解题核心是找准初始量、最终量和增长的期数，正确套用增长率公式即可求解，注意不要混淆增长率和降低率的公式，也不要数错增长的次数。
【难度系数】
0.8
2.某种商品的原价为 50 元.因销售不畅,3月份降价 10％,从4月份开始涨价,5月份的售价为 64.8 元,则 4,5 月份两个月的平均涨价率为
20
％.答案
2.20
解析
【分析】
这是一道典型的平均变化率类应用题，解题思路如下：第一步先计算3月份降价后的商品售价，作为4、5月份涨价的基础量；第二步设两个月的平均涨价率为x，根据连续两次增长的数量关系：基础量×(1+平均增长率)²=最终售价，列出一元二次方程；第三步求解方程，结合涨价率为正数的实际意义舍去不符合题意的根，最终得到平均涨价率。
【解析】
首先计算3月份的商品售价：
已知原价50元，3月份降价10%，则3月售价为 $ 50×(1-10\%) = 50×0.9 = 45 $ 元。
设4、5月份的平均涨价率为$ x $，根据题意可得：
$ 45(1+x)^2 = 64.8 $
两边同时除以45，得：
$ (1+x)^2 = 1.44 $
开平方得：
$ 1+x = \pm1.2 $
因为涨价率为正数，所以舍去负根：
当$ 1+x=1.2 $时，$ x=0.2=20\% $；
当$ 1+x=-1.2 $时，$ x=-2.2 $，不符合实际，舍去。
所以4、5月份的平均涨价率为20%。
【答案】
20
【知识点】
一元二次方程的应用、平均增长率问题
【点评】
本题考查百分率相关的方程应用，核心是掌握平均变化率的公式，解题时要先准确计算出变化的基础量，列方程求解后注意结合实际情况验根，排除不符合逻辑的解。
【难度系数】
0.8
这是一道典型的平均变化率类应用题，解题思路如下：第一步先计算3月份降价后的商品售价，作为4、5月份涨价的基础量；第二步设两个月的平均涨价率为x，根据连续两次增长的数量关系：基础量×(1+平均增长率)²=最终售价，列出一元二次方程；第三步求解方程，结合涨价率为正数的实际意义舍去不符合题意的根，最终得到平均涨价率。
【解析】
首先计算3月份的商品售价：
已知原价50元，3月份降价10%，则3月售价为 $ 50×(1-10\%) = 50×0.9 = 45 $ 元。
设4、5月份的平均涨价率为$ x $，根据题意可得：
$ 45(1+x)^2 = 64.8 $
两边同时除以45，得：
$ (1+x)^2 = 1.44 $
开平方得：
$ 1+x = \pm1.2 $
因为涨价率为正数，所以舍去负根：
当$ 1+x=1.2 $时，$ x=0.2=20\% $；
当$ 1+x=-1.2 $时，$ x=-2.2 $，不符合实际，舍去。
所以4、5月份的平均涨价率为20%。
【答案】
20
【知识点】
一元二次方程的应用、平均增长率问题
【点评】
本题考查百分率相关的方程应用，核心是掌握平均变化率的公式，解题时要先准确计算出变化的基础量，列方程求解后注意结合实际情况验根，排除不符合逻辑的解。
【难度系数】
0.8
3.某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动.四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同.
(1)求该商场投入资金的月增长率.
(2)按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？
(1)求该商场投入资金的月增长率.
(2)按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？
答案
3. (1)解:设该商场投入资金的月增长率为x,由题意得,$20×(1+x)^2=24.2$,解得$x_1=0.1=10\%$,$x_2=-2.1$(舍去).答:该商场投入资金的月增长率为10%.
(2)$24.2×(1+10\%)=26.62$(万元),
∴预计该商场七月份投入资金将达到26.62万元.
(2)$24.2×(1+10\%)=26.62$(万元),
∴预计该商场七月份投入资金将达到26.62万元.
解析
【分析】
本题属于平均增长率类应用题，解题思路如下：（1）平均增长率问题的通用等量关系为：初始量×(1+月增长率)^增长月数=最终量。本题初始量是四月份的20万元，最终量是六月份的24.2万元，四月到六月间隔2个月，因此设月增长率为x即可列出一元二次方程求解，注意增长率为正数，需舍去不符合实际意义的负根。（2）七月份相对六月份又增长1个月，因此用六月份的投入资金乘以(1+月增长率)即可求出七月份的投入资金。
【解析】
(1) 解：设该商场投入资金的月增长率为x，由题意得：
$20(1+x)^2=24.2$
整理得：$(1+x)^2=1.21$
开平方得：$1+x=\pm1.1$
解得$x_1=0.1=10\%$，$x_2=-2.1$
由于增长率不能为负，故$x_2=-2.1$舍去。
答：该商场投入资金的月增长率为10%。
(2) 七月份投入资金为六月份资金乘以（1+增长率），代入数据计算：
$24.2×(1+10\%)=26.62$（万元）
答：预计该商场七月份投入资金将达到26.62万元。
【答案】
(1) 10%；(2) 26.62万元
【知识点】
1. 一元二次方程的应用 2. 平均增长率计算
【点评】
本题是平均增长率问题的基础题型，核心是掌握增长率的基本等量关系，解题时需要注意正确判断增长的时间间隔，同时要结合实际意义对方程的根进行取舍，是实际应用类问题的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
本题属于平均增长率类应用题，解题思路如下：（1）平均增长率问题的通用等量关系为：初始量×(1+月增长率)^增长月数=最终量。本题初始量是四月份的20万元，最终量是六月份的24.2万元，四月到六月间隔2个月，因此设月增长率为x即可列出一元二次方程求解，注意增长率为正数，需舍去不符合实际意义的负根。（2）七月份相对六月份又增长1个月，因此用六月份的投入资金乘以(1+月增长率)即可求出七月份的投入资金。
【解析】
(1) 解：设该商场投入资金的月增长率为x，由题意得：
$20(1+x)^2=24.2$
整理得：$(1+x)^2=1.21$
开平方得：$1+x=\pm1.1$
解得$x_1=0.1=10\%$，$x_2=-2.1$
由于增长率不能为负，故$x_2=-2.1$舍去。
答：该商场投入资金的月增长率为10%。
(2) 七月份投入资金为六月份资金乘以（1+增长率），代入数据计算：
$24.2×(1+10\%)=26.62$（万元）
答：预计该商场七月份投入资金将达到26.62万元。
【答案】
(1) 10%；(2) 26.62万元
【知识点】
1. 一元二次方程的应用 2. 平均增长率计算
【点评】
本题是平均增长率问题的基础题型，核心是掌握增长率的基本等量关系，解题时需要注意正确判断增长的时间间隔，同时要结合实际意义对方程的根进行取舍，是实际应用类问题的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
4.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系,每盆植3株时,平均每株盈利4元;若每盆增加1株,平均每株盈利减少0.5元,要使每盆的盈利达到15元,每盆应多植多少株?设每盆多植x株,则可以列出的方程是 (
A.$(3+x)(4-0.5x)=15$
B.$(x+3)(4+0.5x)=15$
C.$(x+4)(3-0.5x)=15$
D.$(x+1)(4-0.5x)=15$
A
)A.$(3+x)(4-0.5x)=15$
B.$(x+3)(4+0.5x)=15$
C.$(x+4)(3-0.5x)=15$
D.$(x+1)(4-0.5x)=15$
答案
4.A
解析
【分析】
解这道题首先要明确利润问题的核心等量关系：每盆总盈利=每盆总株数×平均每株盈利。首先结合题干设的未知数“每盆多植x株”，分别推导多植后的每盆总株数、平均每株盈利的表达式，再代入总盈利为15元的条件就能列出方程，对应选项即可。
【解析】
第一步：推导多植x株后每盆的总株数
原本每盆植3株，现在多植x株，因此现在每盆总株数为$(3+x)$株。
第二步：推导多植x株后平均每株的盈利
原本平均每株盈利4元，每增加1株平均每株盈利减少0.5元，现在多植了x株，因此平均每株盈利共减少$0.5x$元，现在平均每株盈利为$(4-0.5x)$元。
第三步：根据总盈利列方程
已知每盆总盈利要达到15元，代入总盈利公式可得：
$(3+x)(4-0.5x)=15$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 利润问题等量关系
【点评】
本题是典型的利润类列方程基础题，解题关键是找准总利润的计算逻辑，结合题干条件准确表示出相关未知量，代入等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解这道题首先要明确利润问题的核心等量关系：每盆总盈利=每盆总株数×平均每株盈利。首先结合题干设的未知数“每盆多植x株”，分别推导多植后的每盆总株数、平均每株盈利的表达式，再代入总盈利为15元的条件就能列出方程，对应选项即可。
【解析】
第一步：推导多植x株后每盆的总株数
原本每盆植3株，现在多植x株，因此现在每盆总株数为$(3+x)$株。
第二步：推导多植x株后平均每株的盈利
原本平均每株盈利4元，每增加1株平均每株盈利减少0.5元，现在多植了x株，因此平均每株盈利共减少$0.5x$元，现在平均每株盈利为$(4-0.5x)$元。
第三步：根据总盈利列方程
已知每盆总盈利要达到15元，代入总盈利公式可得：
$(3+x)(4-0.5x)=15$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 利润问题等量关系
【点评】
本题是典型的利润类列方程基础题，解题关键是找准总利润的计算逻辑，结合题干条件准确表示出相关未知量，代入等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5.某商品的成本价为200元，出售价比成本高出五成，由于销路不畅，连续两次打折降价，但仍可赚43元，若两次打的折扣相同，则每次所打的是
九
折。答案
5.九
解析
【分析】
解题时首先明确各数量关系：首先根据“出售价比成本高出五成”计算出商品的原出售价；再设每次打的折扣为x折，两次打折后售价为原售价乘以$(\frac{x}{10})^2$；最后根据“最终仍赚43元”，即最终售价=成本+利润，列一元二次方程求解即可，注意折扣为正数，舍去负根。
【解析】
第一步：计算商品原出售价
成本价200元，出售价比成本高五成（即50%），因此原出售价为：
$200 × (1+50\%) = 200 × 1.5 = 300$（元）
第二步：设未知数列方程
设每次所打的折扣为$x$折，两次打折后商品的售价为$300 × ( \frac{x}{10} )^2$元。
根据最终利润为43元，可得最终售价为$200+43=243$元，因此列方程：
$300 × ( \frac{x}{10} )^2 = 243$
第三步：解方程
化简方程：
$300 × \frac{x^2}{100} = 243$
$3x^2 = 243$
$x^2 = 81$
解得$x_1=9$，$x_2=-9$（折扣不能为负，舍去）
所以每次所打的是九折。
【答案】
九
【知识点】
一元二次方程应用；利润计算；折扣计算
【点评】
本题是结合生活场景的利润折扣类应用题，解题核心是理清成本、原售价、折扣、最终售价、利润之间的数量关系，尤其要注意“打x折”的正确表示是原售价乘以$\frac{x}{10}$，避免出现将折扣直接乘以x的错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确各数量关系：首先根据“出售价比成本高出五成”计算出商品的原出售价；再设每次打的折扣为x折，两次打折后售价为原售价乘以$(\frac{x}{10})^2$；最后根据“最终仍赚43元”，即最终售价=成本+利润，列一元二次方程求解即可，注意折扣为正数，舍去负根。
【解析】
第一步：计算商品原出售价
成本价200元，出售价比成本高五成（即50%），因此原出售价为：
$200 × (1+50\%) = 200 × 1.5 = 300$（元）
第二步：设未知数列方程
设每次所打的折扣为$x$折，两次打折后商品的售价为$300 × ( \frac{x}{10} )^2$元。
根据最终利润为43元，可得最终售价为$200+43=243$元，因此列方程：
$300 × ( \frac{x}{10} )^2 = 243$
第三步：解方程
化简方程：
$300 × \frac{x^2}{100} = 243$
$3x^2 = 243$
$x^2 = 81$
解得$x_1=9$，$x_2=-9$（折扣不能为负，舍去）
所以每次所打的是九折。
【答案】
九
【知识点】
一元二次方程应用；利润计算；折扣计算
【点评】
本题是结合生活场景的利润折扣类应用题，解题核心是理清成本、原售价、折扣、最终售价、利润之间的数量关系，尤其要注意“打x折”的正确表示是原售价乘以$\frac{x}{10}$，避免出现将折扣直接乘以x的错误。
【难度系数】
0.7
6.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价的措施.经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.若商场平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价
20
元.答案
6.20
解析
【分析】
本题属于销售利润类应用题，解题核心是抓住“总利润=单件利润×销售数量”的等量关系。首先设降价金额为未知数，分别表示出降价后的单件利润和日销售量，根据总盈利1200元列一元二次方程求解，最后结合“尽快减少库存”的要求对求得的根进行取舍，选择降价幅度更大的解即可。
【解析】
设每件衬衫应降价$x$元。
降价后每件衬衫的利润为$(40 - x)$元，
每降价1元多售2件，降价$x$元后日均销售量为$(20 + 2x)$件。
根据总盈利=单件利润×销售量，可列方程：
$(40 - x)(20 + 2x) = 1200$
展开整理得：
$800 + 80x - 20x - 2x^2 = 1200$
$x^2 - 30x + 200 = 0$
因式分解得：
$(x - 10)(x - 20) = 0$
解得$x_1 = 10$，$x_2 = 20$。
因为要尽快减少库存，降价越多，销售量越大，库存减少越快，故$x=10$不符合题意，舍去。
因此每件衬衫应降价20元。
【答案】
20
【知识点】
销售利润等量关系，一元二次方程求解，实际问题根的取舍
【点评】
本题是常见的销售利润类应用题，解题的关键是准确找到总利润的等量关系列方程，易错点是容易忽略“尽快减少库存”的限制条件，忘记对求出的根进行合理取舍，导致错解。
【难度系数】
0.7
本题属于销售利润类应用题，解题核心是抓住“总利润=单件利润×销售数量”的等量关系。首先设降价金额为未知数，分别表示出降价后的单件利润和日销售量，根据总盈利1200元列一元二次方程求解，最后结合“尽快减少库存”的要求对求得的根进行取舍，选择降价幅度更大的解即可。
【解析】
设每件衬衫应降价$x$元。
降价后每件衬衫的利润为$(40 - x)$元，
每降价1元多售2件，降价$x$元后日均销售量为$(20 + 2x)$件。
根据总盈利=单件利润×销售量，可列方程：
$(40 - x)(20 + 2x) = 1200$
展开整理得：
$800 + 80x - 20x - 2x^2 = 1200$
$x^2 - 30x + 200 = 0$
因式分解得：
$(x - 10)(x - 20) = 0$
解得$x_1 = 10$，$x_2 = 20$。
因为要尽快减少库存，降价越多，销售量越大，库存减少越快，故$x=10$不符合题意，舍去。
因此每件衬衫应降价20元。
【答案】
20
【知识点】
销售利润等量关系，一元二次方程求解，实际问题根的取舍
【点评】
本题是常见的销售利润类应用题，解题的关键是准确找到总利润的等量关系列方程，易错点是容易忽略“尽快减少库存”的限制条件，忘记对求出的根进行合理取舍，导致错解。
【难度系数】
0.7
7.端午节期间,某水果超市调查某种水果的销售情况.下面是调查员的对话:
小王:该水果的进价是每千克22元.
小李:当销售价为每千克38元时,每天可售出160千克;若每千克降低3元,每天的销售量将增加120千克.
根据他们的对话,解决下面所给问题:超市每天要获得销售利润3640元,又要尽可能让顾客得到实惠,这种水果的销售价应定为每千克多少元?
小王:该水果的进价是每千克22元.
小李:当销售价为每千克38元时,每天可售出160千克;若每千克降低3元,每天的销售量将增加120千克.
根据他们的对话,解决下面所给问题:超市每天要获得销售利润3640元,又要尽可能让顾客得到实惠,这种水果的销售价应定为每千克多少元?
答案
7. 解:设每千克降低x元,超市每天可获得销售利润3640元,由题意,得$(38-x-22)(160+\frac{x}{3}×120)=3640$,整理,得$x^2-12x+27=0$,解得$x_1=3$,$x_2=9$.
∵要尽可能让顾客得到实惠,
∴$x=9$,
∴销售价为每千克$38-9=29$(元).答:这种水果的销售价应定为每千克29元.
∵要尽可能让顾客得到实惠,
∴$x=9$,
∴销售价为每千克$38-9=29$(元).答:这种水果的销售价应定为每千克29元.
解析
【分析】
这是一道销售利润类应用题，解题核心是抓住“总利润=每千克利润×销售量”的等量关系。首先明确已知条件：进价22元/千克，原售价38元/千克时销量160千克，每降3元销量增加120千克，目标总利润3640元，且要尽可能让顾客得到实惠即降价幅度尽可能大。我们可以设每千克降价x元，先表示出降价后的每千克利润，再表示出降价后的总销售量，根据总利润的等量关系列一元二次方程，解方程后结合“让顾客得实惠”的要求选取合适的降价值，最后计算最终售价即可。
【解析】
解：设每千克降低x元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意得：
$(38-x-22)(160+\frac{x}{3}×120)=3640$
整理得：$x^2-12x+27=0$
解得：$x_1=3$，$x_2=9$
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴$x=9$
∴销售价为每千克$38-9=29$(元)。
答：这种水果的销售价应定为每千克29元。
【答案】
29元
【知识点】
一元二次方程的应用；销售利润问题；一元二次方程的解法
【点评】
本题是典型的实际应用类题型，解题关键是找准利润问题的等量关系正确列方程，同时要注意结合题目给出的限制条件筛选符合实际需求的解，避免忽略隐含要求答错。
【难度系数】
0.7
这是一道销售利润类应用题，解题核心是抓住“总利润=每千克利润×销售量”的等量关系。首先明确已知条件：进价22元/千克，原售价38元/千克时销量160千克，每降3元销量增加120千克，目标总利润3640元，且要尽可能让顾客得到实惠即降价幅度尽可能大。我们可以设每千克降价x元，先表示出降价后的每千克利润，再表示出降价后的总销售量，根据总利润的等量关系列一元二次方程，解方程后结合“让顾客得实惠”的要求选取合适的降价值，最后计算最终售价即可。
【解析】
解：设每千克降低x元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意得：
$(38-x-22)(160+\frac{x}{3}×120)=3640$
整理得：$x^2-12x+27=0$
解得：$x_1=3$，$x_2=9$
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴$x=9$
∴销售价为每千克$38-9=29$(元)。
答：这种水果的销售价应定为每千克29元。
【答案】
29元
【知识点】
一元二次方程的应用；销售利润问题；一元二次方程的解法
【点评】
本题是典型的实际应用类题型，解题关键是找准利润问题的等量关系正确列方程，同时要注意结合题目给出的限制条件筛选符合实际需求的解，避免忽略隐含要求答错。
【难度系数】
0.7
