7.毕业在即，某商店抓住商机准备购进一批纪念品，若商店花440元可以购进50个学生纪念品和10个教师纪念品，其中教师纪念品单个的成本比学生纪念品单个的成本多8元.
(1)请问这两种不同纪念品单个的成本分别是多少？
(2)如果商店购进1200个学生纪念品，第一周以每个10元的价格售出400个，第二周若按每个10元的价格仍可售出400个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售(根据市场调查，单价每降低1元，可多售出100个，但售价不得低于进价)，单价降低x元销售一周后，商店对剩余学生纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批纪念品共获利2500元，问第二周每个纪念品的销售价格为多少元？

7. (1)解:设学生纪念品单个的成本为 y 元,根据题意,得 50y+10(y+8)=440,解得 y=6,
∴y+8=6+8=14.答:学生纪念品单个的成本为 6 元,教师纪念品单个的成本为 14 元.
(2)因第二周单价降低 x 元,则这周的销量为(400+100x)个,由题意,得 400×(10-6)+(10-x-6)(400+100x)+(4-6)[(1200-400)-(400+100x)]=2500,即1600+(4-x)(400+100x)-2(400-100x)=2500,整理得 x²-2x+1=0,解得 x₁=x₂=1,则 10-1=9(元).答:第二周每个纪念品的销售价格为 9 元.

【分析】
（1）第一问可通过设未知数列一元一次方程求解，设学生纪念品单个成本为y元，则教师纪念品单个成本为(y+8)元，根据“50个学生纪念品总费用+10个教师纪念品总费用=440元”的等量关系列方程，解方程即可求得两种纪念品的成本。
（2）第二问属于销售利润类问题，总利润为三个阶段的利润之和：第一周原价销售的利润、第二周降价销售的利润、清仓处理的利润。先分别表示出每个阶段的单个利润和对应销量，再根据“总获利2500元”列一元二次方程，求解后验证解是否满足“售价不低于进价”的要求，最终得到第二周的售价。
【解析】
(1) 设学生纪念品单个的成本为 y 元，则教师纪念品单个的成本为(y+8)元，根据题意得：
$50y + 10(y + 8) = 440$
展开得$50y + 10y + 80 = 440$
合并同类项得$60y = 360$
解得 $y = 6$
则教师纪念品单个成本为：$y + 8 = 6 + 8 = 14$（元）
(2) 设第二周单价降低x元销售，则第二周的销量为$(400 + 100x)$个，已知学生纪念品单个成本为6元：
第一周利润：$400×(10 - 6) = 1600$（元）
第二周单个利润为$(10 - x - 6)$元，利润为$(4 - x)(400 + 100x)$元
清仓阶段剩余纪念品数量为：$1200 - 400 - (400 + 100x) = 400 - 100x$（个），单个利润为$4 - 6 = -2$元，清仓利润为$-2(400 - 100x)$元
根据总获利2500元列方程：
$1600 + (4 - x)(400 + 100x) - 2(400 - 100x) = 2500$
展开整理得：$-100x² + 200x + 2400 = 2500$
化简得：$x² - 2x + 1 = 0$
解得$x₁ = x₂ = 1$
此时第二周售价为$10 - 1 = 9$元，9元＞6元，符合售价不低于进价的要求。
【答案】
(1) 学生纪念品单个成本为6元，教师纪念品单个成本为14元；
(2) 第二周每个纪念品的销售价格为9元。
【知识点】
一元一次方程应用；一元二次方程应用；销售利润问题
【点评】
本题贴近实际经营场景，考查了用方程解决实际问题的能力，解题关键是梳理清楚数量关系，正确列出对应的方程，第二问需要分阶段计算利润，同时要注意结合实际限制条件验证解的合理性。
【难度系数】
0.65

8. 如图，某海军基地位于A处，其正南方向200海里处有一个重要目标B，在B的正东方向200海里处有一个重要目标C.小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头，小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向.一艘军舰从A出发，先后沿AB，BC方向，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰.
(1)小岛D和小岛F相距多少海里？
(2)已知军舰的速度是补给船速度的2倍，军舰在由B到C航行的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1海里，$\sqrt{6}\approx2.45$）

8. (1)解:连结 DF,则 DF//AB,
∵AB⊥BC,AB=BC=200 海里,
∴AC=200$\sqrt{2}$海里,∠C=45°,DF⊥BC,
∵D 为 AC 的中点.
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=100$\sqrt{2}$海里,DF=CF,$\sqrt{2}$DF=CD,
∴DF=CF=100 海里,
∴小岛 D 和小岛 F 相距 100 海里.
(2)设相遇时补给船航行了 y 海里,则 DE=y 海里,AB+BE=2y 海里,EF=AB+BC-(AB+BE)-CF=(300-2y)海里,在 Rt△DEF 中,根据勾股定理可得方程 y²=100²+(300-2y)²,整理,得 3y²-1200y+100000=0,解得 y₁=200-$\frac{100\sqrt{6}}{3}$≈118.3,y₂=200+$\frac{100\sqrt{6}}{3}$≈281.7.
∵300-2y＞0,y＜150,
∴y≈118.3.答:相遇时补给船大约航行了 118.3 海里.

【分析】
(1) 先根据方位关系判断DF与AB平行，结合AB⊥BC可知DF⊥BC；△ABC是等腰直角三角形，先求出AC长度，再由D是AC中点得到CD的长度，△DFC也是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形边长关系即可求出DF的长度。
(2) 设相遇时补给船航行了y海里，根据军舰速度是补给船的2倍，可知军舰行驶总路程为2y海里，进而用含y的式子表示出Rt△DEF中EF的长度，再结合勾股定理列出一元二次方程，求解后根据E在BC上的实际情况对根进行取舍，得到符合题意的解。
【解析】
(1) 连接DF，由F在D的正南方向，可得$DF// AB$，
$\because AB⊥ BC$，$AB=BC=200$海里，
$\therefore AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=200\sqrt{2}$海里，$∠ C=45°$，$DF⊥ BC$，
$\because D$为$AC$的中点，
$\therefore CD=\frac{1}{2}AC=100\sqrt{2}$海里，
在$Rt△ DFC$中，$∠ C=45°$，故$DF=CF$，且$DF^2+CF^2=CD^2$，即$\sqrt{2}DF=CD$，
$\therefore DF=CF=\frac{CD}{\sqrt{2}}=\frac{100\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=100$海里。
(2) 设相遇时补给船航行了$y$海里，则$DE=y$海里，
$\because$军舰速度是补给船的2倍，行驶时间相同，
$\therefore$军舰行驶的总路程$AB+BE=2y$海里，
$EF=AB+BC-(AB+BE)-CF=200+200-2y-100=(300-2y)$海里，
在$Rt△ DEF$中，根据勾股定理得：$DE^2=DF^2+EF^2$，
即$y^2=100^2+(300-2y)^2$，
整理得：$3y^2-1200y+100000=0$，
解这个方程得：$y_1=200-\frac{100\sqrt{6}}{3}\approx200-\frac{100×2.45}{3}\approx118.3$，
$y_2=200+\frac{100\sqrt{6}}{3}\approx281.7$，
$\because E$在$BC$上，故$EF=300-2y＞0$，即$y＜150$，
$\therefore y_2\approx281.7$不符合题意，舍去，故$y\approx118.3$。
【答案】
(1) 小岛D和小岛F相距100海里；
(2) 相遇时补给船大约航行了118.3海里。
【知识点】
等腰直角三角形的性质，勾股定理，一元二次方程的实际应用
【点评】
本题结合方位角考查几何与方程的综合应用，解题的关键是找准几何图形中的边长关系，根据勾股定理建立方程，同时要注意方程的解需符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.6