1. 计算$(-\dfrac{a}{2b})·\dfrac{2b}{a^2}$的结果是 （）

A.$-\dfrac{1}{a}$
B.$-\dfrac{1}{2a}$
C.$-\dfrac{1}{4a}$
D.$-\dfrac{b^2}{a}$

1.A

【分析】
这道题考查分式的乘法运算，解题时首先回忆分式乘法的运算法则：分式乘分式，用分子的乘积作为积的分子，分母的乘积作为积的分母，得到乘积形式后，再找出分子和分母的公因式进行约分，化简后就能得到最终结果。
【解析】
按照分式乘法法则逐步计算：
1. 分子相乘的结果作为积的分子，分母相乘的结果作为积的分母：
原式$=\dfrac{(-a)·2b}{2b· a^2}$
2. 约去分子和分母的公因式$2b$：
原式$=\dfrac{-a}{a^2}$
3. 约去分子和分母的公因式$a$（分式有意义隐含$a≠0$，$b≠0$）：
原式$=-\dfrac{1}{a}$
【答案】
A
【知识点】
分式的乘法运算，分式的约分
【点评】
本题是分式运算的基础题，重点考查分式乘法的基本法则和约分的操作方法，计算时只要找准公因式完整约分，就能快速得到正确结果。
【难度系数】
0.9

2.化简$\frac{3x+6}{x^2-2x} · \frac{x^2-4}{x^2+4x+4}$的结果为（）

A.$3$
B.$\frac{3}{x}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{x}{3}$

2.B

【分析】
本题是分式乘法运算题，解题思路为：首先利用提公因式法、公式法对每个分式的分子、分母分别进行因式分解，再根据分式乘法的规则，约掉分子和分母的公因式，最后将剩余部分相乘即可得到化简结果。
【解析】
解：先对各分式的分子、分母因式分解：
$\frac{3x+6}{x^2-2x}=\frac{3(x+2)}{x(x-2)}$，$\frac{x^2-4}{x^2+4x+4}=\frac{(x+2)(x-2)}{(x+2)^2}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{3(x+2)}{x(x-2)} · \frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)^2}\\&=\frac{3 · (x+2) · (x-2) · (x+2)}{x · (x-2) · (x+2)^2}\\&=\frac{3}{x}\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
分式的乘法运算、因式分解、分式的约分
【点评】
本题属于分式乘法的基础题型，解题核心是先因式分解再约分，能有效简化计算、降低运算量，熟练掌握提公因式、公式法等因式分解方法是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8

3. 化简$\frac{m-1}{m^2} ÷ \frac{m-1}{m}$的结果是（）

A.$m$
B.$\frac{1}{m}$
C.$m-1$
D.$\frac{1}{m-1}$

3.B

【分析】
遇到分式除法运算题，首先回忆分式除法的运算法则：除以一个不为0的分式，等于乘以这个分式的倒数。首先要确定运算有意义的条件：本题中分母$m^2≠0$、除数$\frac{m-1}{m}≠0$，即$m≠0$且$m≠1$，满足运算前提。接下来将除法转化为乘法，再找出分子和分母的公因式进行约分，即可得到化简结果，最后对应选项判断即可。
【解析】
根据分式除法法则，结合分式有意义的条件$m≠0$、$m≠1$，可得：
原式$=\frac{m-1}{m^2} × \frac{m}{m-1}$
对分子分母的公因式进行约分，约去公因式$m$和$m-1$，最终化简得$\frac{1}{m}$。
【答案】
B
【知识点】
分式的除法运算；分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题，解题的核心是熟练掌握分式除法的运算法则，约分时要注意找准分子分母的公因式，同时不要忽略分式有意义的隐含前提，整体考查内容比较基础。
【难度系数】
0.8

4.化简$\frac{x^2 -4}{x^2 -4x +4} ÷ \frac{x+2}{3x -6}$的结果是 （）

A.$-3$
B.$\frac{x+2}{x-2}$
C.$3$
D.$x-2$

4.C

【分析】
要解决分式化简问题，首先回忆分式除法的运算规则：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。解题步骤可分为三步：第一步，先对每个分式的分子、分母中的多项式进行因式分解；第二步，将除法运算转化为乘法运算；第三步，约去分子分母的公因式，得到最简结果即可。
【解析】
第一步：对各多项式因式分解
$x^2-4=(x+2)(x-2)$，$x^2-4x+4=(x-2)^2$，$3x-6=3(x-2)$
第二步：将除法转化为乘法
原式$=\frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)^2} × \frac{3(x-2)}{x+2}$
第三步：约分计算
分子分母的公因式$x+2$、$(x-2)^2$均可约去，最终得结果为$3$。
【答案】
C
【知识点】
分式的乘除运算、因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题的关键是先对多项式正确因式分解，再将除法转换为乘法后约分，计算时要注意颠倒除式的分子分母，避免因符号或分子分母颠倒出错。
【难度系数】
0.8

5.定义两种运算：$a△ b=\frac{1}{a+b}$，$a*b=\frac{b}{a^2 - b^2}$，则$m△ n÷(m*n)=$。

5.$\dfrac{m-n}{n}$

【分析】
首先明确题目给出的两种新定义运算的规则，先根据$a△b=\frac{1}{a+b}$写出$m△n$的分式表达式，再根据$a*b=\frac{b}{a^2 - b^2}$写出$m*n$的分式表达式；接下来将两个表达式代入待求式，按照分式除法的运算法则，把除法转化为乘法，再利用平方差公式对多项式因式分解，最后约去分子分母的公因式即可得到化简结果。
【解析】
根据新定义运算规则：
1. 计算$m△n$：将$a=m$，$b=n$代入$a△b=\frac{1}{a+b}$，得$m△n=\frac{1}{m+n}$；
2. 计算$m*n$：将$a=m$，$b=n$代入$a*b=\frac{b}{a^2 - b^2}$，得$m*n=\frac{n}{m^2 - n^2}$；
3. 代入待求式计算：
$\begin{aligned}m△n÷(m*n)&=\frac{1}{m+n}÷\frac{n}{m^2 - n^2}\\&=\frac{1}{m+n}×\frac{m^2 - n^2}{n}\\&=\frac{1}{m+n}×\frac{(m+n)(m-n)}{n}\\&=\frac{m-n}{n}\end{aligned}$
（运算过程隐含分式有意义的条件：$m+n≠0$，$m-n≠0$，$n≠0$）
【答案】
$\dfrac{m-n}{n}$
【知识点】
新定义运算、分式乘除运算、平方差公式因式分解
【点评】
本题结合新定义考查分式的运算，解题的核心是准确理解新运算的规则，再按照分式乘除的运算顺序，结合因式分解约分求解即可，注意运算过程中要保证分式有意义。
【难度系数】
0.8

6.小明在做数学作业时,不小心将式子中除号后边的代数式污染了,即$(\frac{4-x^2}{3x^2-2xy})÷$,若该题的答案为$\frac{x+2}{3x-2y}$,则被污染的代数式为.

6.$\dfrac{2-x}{x}$

【分析】
本题可根据除法运算中“除数=被除数÷商”的关系求解被污染的代数式。首先设被污染的代数式为$A$，结合题意列出$A$的表达式，再依据分式除法的运算法则将除法转化为乘法，随后对分子分母进行因式分解，最后约分即可得到结果。
【解析】
设被污染的代数式为$ A $，根据题意可得：
$\frac{4-x^2}{3x^2-2xy} ÷ A = \frac{x+2}{3x-2y}$
根据“除数=被除数÷商”，得：
$A = \frac{4-x^2}{3x^2-2xy} ÷ \frac{x+2}{3x-2y}$
根据分式除法法则，除以一个分式等于乘以该分式的倒数，转化为乘法运算：
$A = \frac{4-x^2}{3x^2-2xy} × \frac{3x-2y}{x+2}$
对分子、分母因式分解：
$4-x^2=(2-x)(2+x)$，$3x^2-2xy=x(3x-2y)$，代入上式得：
$A = \frac{(2-x)(x+2)}{x(3x-2y)} × \frac{3x-2y}{x+2}$
约去分子、分母的公因式$x+2$和$3x-2y$，化简得：
$A = \frac{2-x}{x}$
【答案】
$\dfrac{2-x}{x}$
【知识点】
分式除法运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础应用题型，解题核心是明确除法各部分的数量关系，计算过程中要注意因式分解的正确性，约分时找准公因式，避免出现符号或因式遗漏的错误。
【难度系数】
0.7

7.已知非零有理数$x,y$满足$x^2 -6xy +9y^2=0$，则$\dfrac{x-2y}{x+2y}=$

7.$\dfrac{1}{5}$

【分析】
首先观察已知等式的左边是二次三项式，符合完全平方公式的结构特征，第一步先对左边进行因式分解，利用平方的非负性得到x与y的数量关系；再将x用含y的式子表示，代入所求分式，结合x、y是非零有理数的条件约分即可得到结果。
【解析】
首先对已知等式左边因式分解：
$x^2 -6xy +9y^2=(x-3y)^2$
因此原等式可转化为：
$(x-3y)^2=0$
由平方的性质可得$x-3y=0$，即$x=3y$。
已知x、y是非零有理数，因此$x+2y=3y+2y=5y≠0$，分式有意义。
将$x=3y$代入$\dfrac{x-2y}{x+2y}$得：
$\dfrac{x-2y}{x+2y}=\dfrac{3y-2y}{3y+2y}=\dfrac{y}{5y}=\dfrac{1}{5}$
【答案】
$\dfrac{1}{5}$
【知识点】
1. 完全平方公式因式分解
2. 分式化简求值
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，解题核心是通过因式分解得到两个变量的数量关系，再代入目标分式约分计算，掌握完全平方公式的结构是解题的前提。
【难度系数】
0.8

8. 观察下列算式：
① $1× \dfrac{2}{2^2 -1} = \dfrac{2}{3×1}$；② $\dfrac{4}{3}× \dfrac{3}{3^2 -1} = \dfrac{3}{3×2}$；③ $\dfrac{5}{3}× \dfrac{4}{4^2 -1} = \dfrac{4}{3×3}$；④ $2× \dfrac{5}{5^2 -1} = \dfrac{5}{3×4}$。
按照以上规律，写出第$n$个算式：（用含正整数$n$的算式表示）。

8.$\dfrac{n+2}{3}×\dfrac{n+1}{(n+1)^2-1}=\dfrac{n+1}{3n}$

【分析】
解决这类算式规律探究题，可将每个算式拆分为左边第一个乘数、左边第二个乘数、右边结果三个独立部分，分别对应序号n=1、2、3、4的情况，逐一梳理每个位置的表达式和n的对应关系，组合得到初步规律后，再通过分式运算验证规律是否成立即可。
【解析】
我们逐部分对比序号和算式的对应关系：
1. 分析左边第一个乘数：
n=1时，第一个乘数为$1=\frac{1+2}{3}$；
n=2时，第一个乘数为$\frac{4}{3}=\frac{2+2}{3}$；
n=3时，第一个乘数为$\frac{5}{3}=\frac{3+2}{3}$；
n=4时，第一个乘数为$2=\frac{6}{3}=\frac{4+2}{3}$；
因此第n个算式左边第一个乘数为$\frac{n+2}{3}$。
2. 分析左边第二个乘数：
n=1时，第二个乘数为$\frac{2}{2^2-1}$，分子$2=1+1$，分母$2^2-1=(1+1)^2-1$；
n=2时，第二个乘数为$\frac{3}{3^2-1}$，分子$3=2+1$，分母$3^2-1=(2+1)^2-1$；
同理可得第n个算式左边第二个乘数为$\frac{n+1}{(n+1)^2-1}$。
3. 分析等式右边结果：
n=1时，结果为$\frac{2}{3×1}$，分子$2=1+1$，分母$3×1=3×n$；
n=2时，结果为$\frac{3}{3×2}$，分子$3=2+1$，分母$3×2=3×n$；
因此第n个算式右边结果为$\frac{n+1}{3n}$。
验证规律：左边$=\frac{n+2}{3}×\frac{n+1}{(n+1)^2-1}=\frac{n+2}{3}×\frac{n+1}{n(n+2)}=\frac{n+1}{3n}=$右边，规律成立。
【答案】
$\dfrac{n+2}{3}×\dfrac{n+1}{(n+1)^2-1}=\dfrac{n+1}{3n}$
【知识点】
规律探究，分式乘法，列代数式
【点评】
本题属于基础的规律探究类题型，核心解题思路是拆分复杂算式分部分找对应关系，得到表达式后可通过分式运算验证正确性，能有效锻炼观察、归纳能力。
【难度系数】
0.6