登录
9. 如果$\frac{}{xy+y} ÷ \frac{x}{2x+2}$的运算结果为整式，则被遮挡的式子可能是（
A.$\frac{x}{3}$
B.$3xy$
C.$5y$
D.$x+y$
B
）A.$\frac{x}{3}$
B.$3xy$
C.$5y$
D.$x+y$
答案
9.B
解析
【分析】
我们可以先设被遮挡的式子为A，首先根据分式除法的运算法则，将除法运算转化为乘法运算，再对式子中可以因式分解的多项式分解因式，约分后得到化简后的表达式，结合运算结果为整式的要求，可推断出A需要含有xy的因式才能约掉分母的xy，最后逐一验证选项即可得出答案。
【解析】
设被遮挡的式子为A，先对原式中可因式分解的部分分解因式：
$xy+y=y(x+1)$，$2x+2=2(x+1)$
根据分式除法法则，除以一个分式等于乘它的倒数，将原式转化为乘法运算：
$\frac{A}{xy+y} ÷ \frac{x}{2x+2} = \frac{A}{y(x+1)} × \frac{2(x+1)}{x}$
约分化简得：$\frac{2A}{xy}$
已知运算结果为整式，说明A需含有因式$xy$，才能将分母的$xy$完全约去：
选项A：代入得$\frac{2×\frac{x}{3}}{xy}=\frac{2}{3y}$，是分式，不符合要求；
选项B：代入得$\frac{2×3xy}{xy}=6$，是整式，符合要求；
选项C：代入得$\frac{2×5y}{xy}=\frac{10}{x}$，是分式，不符合要求；
选项D：代入得$\frac{2(x+y)}{xy}$，是分式，不符合要求。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
分式的乘除运算，因式分解，整式的概念
【点评】
本题考查分式乘除的相关运算，解题时既可以先化简表达式反推被遮挡式子的特征，也可以直接将选项代入原式计算验证，解题过程中要注意因式分解的准确性和约分的规范性。
【难度系数】
0.7
我们可以先设被遮挡的式子为A，首先根据分式除法的运算法则，将除法运算转化为乘法运算，再对式子中可以因式分解的多项式分解因式，约分后得到化简后的表达式，结合运算结果为整式的要求，可推断出A需要含有xy的因式才能约掉分母的xy，最后逐一验证选项即可得出答案。
【解析】
设被遮挡的式子为A，先对原式中可因式分解的部分分解因式：
$xy+y=y(x+1)$，$2x+2=2(x+1)$
根据分式除法法则，除以一个分式等于乘它的倒数，将原式转化为乘法运算：
$\frac{A}{xy+y} ÷ \frac{x}{2x+2} = \frac{A}{y(x+1)} × \frac{2(x+1)}{x}$
约分化简得：$\frac{2A}{xy}$
已知运算结果为整式，说明A需含有因式$xy$，才能将分母的$xy$完全约去：
选项A：代入得$\frac{2×\frac{x}{3}}{xy}=\frac{2}{3y}$，是分式，不符合要求；
选项B：代入得$\frac{2×3xy}{xy}=6$，是整式，符合要求；
选项C：代入得$\frac{2×5y}{xy}=\frac{10}{x}$，是分式，不符合要求；
选项D：代入得$\frac{2(x+y)}{xy}$，是分式，不符合要求。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
分式的乘除运算，因式分解，整式的概念
【点评】
本题考查分式乘除的相关运算，解题时既可以先化简表达式反推被遮挡式子的特征，也可以直接将选项代入原式计算验证，解题过程中要注意因式分解的准确性和约分的规范性。
【难度系数】
0.7
10.如图,一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高$a$ cm的墨水,将瓶盖盖好后倒置,墨水水面高为$h$ cm,则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（
A.$\frac{b}{a+b}$
B.$\frac{a}{a+b}$
C.$\frac{h}{a+b}$
D.$\frac{h}{a+h}$
B
）A.$\frac{b}{a+b}$
B.$\frac{a}{a+b}$
C.$\frac{h}{a+b}$
D.$\frac{h}{a+h}$
答案
10.B
解析
【分析】
解题时可运用转化思想和设参法：首先明确墨水体积始终不变，正放时墨水为规则圆柱，可直接用圆柱体积公式表示体积；倒置后空出的部分也可转化为底面积与瓶身相同、高为b的规则圆柱，由此可表示出瓶子的总容积，最后计算墨水体积与总容积的比值即可，所设的底面积参数最后可约去，无需计算具体数值。
【解析】
设玻璃瓶的圆柱瓶身底面积为$S\ \mathrm{cm}^2$。
1. 计算墨水体积：正放时墨水为高$a\ \mathrm{cm}$的圆柱，根据圆柱体积公式$V=Sh$，得墨水体积$V_{\mathrm{墨}}=S· a$。
2. 计算空瓶部分体积：倒置后，空出的部分为高$b\ \mathrm{cm}$的圆柱，底面积同样为$S$，得空瓶体积$V_{\mathrm{空}}=S· b$。
3. 计算玻璃瓶总容积：$V_{\mathrm{总}}=V_{\mathrm{墨}}+V_{\mathrm{空}}=Sa+Sb=S(a+b)$。
4. 计算体积占比：$\frac{V_{\mathrm{墨}}}{V_{\mathrm{总}}}=\frac{Sa}{S(a+b)}=\frac{a}{a+b}$（$S≠0$，可约去）。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆柱体积计算；分式化简；等积变形
【点评】
本题考查立体图形的体积计算与分式应用，解题核心是抓住墨水体积不变的特点，将不规则的空余部分体积转化为规则圆柱体积求解，巧用设参消参的方法简化计算，注意题干中的$h$为干扰条件，不要被误导。
【难度系数】
0.7
解题时可运用转化思想和设参法：首先明确墨水体积始终不变，正放时墨水为规则圆柱，可直接用圆柱体积公式表示体积；倒置后空出的部分也可转化为底面积与瓶身相同、高为b的规则圆柱，由此可表示出瓶子的总容积，最后计算墨水体积与总容积的比值即可，所设的底面积参数最后可约去，无需计算具体数值。
【解析】
设玻璃瓶的圆柱瓶身底面积为$S\ \mathrm{cm}^2$。
1. 计算墨水体积：正放时墨水为高$a\ \mathrm{cm}$的圆柱，根据圆柱体积公式$V=Sh$，得墨水体积$V_{\mathrm{墨}}=S· a$。
2. 计算空瓶部分体积：倒置后，空出的部分为高$b\ \mathrm{cm}$的圆柱，底面积同样为$S$，得空瓶体积$V_{\mathrm{空}}=S· b$。
3. 计算玻璃瓶总容积：$V_{\mathrm{总}}=V_{\mathrm{墨}}+V_{\mathrm{空}}=Sa+Sb=S(a+b)$。
4. 计算体积占比：$\frac{V_{\mathrm{墨}}}{V_{\mathrm{总}}}=\frac{Sa}{S(a+b)}=\frac{a}{a+b}$（$S≠0$，可约去）。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆柱体积计算；分式化简；等积变形
【点评】
本题考查立体图形的体积计算与分式应用，解题核心是抓住墨水体积不变的特点，将不规则的空余部分体积转化为规则圆柱体积求解，巧用设参消参的方法简化计算，注意题干中的$h$为干扰条件，不要被误导。
【难度系数】
0.7
11.计算：
(1)$\frac{a^2 + ab}{b} · \frac{a^2 - ab}{a^2 - b^2}$；
(2)$\frac{4a + 4b}{5ab} ÷ \frac{a^2 - b^2}{15a^2b}$；
(3)$\frac{x^2 - 6x + 9}{9 - x^2} · \frac{x^2 + 3x}{2x - 6}$；
(4)$\frac{a^2 - 1}{a^2 + 2a + 1} ÷ \frac{a - a^2}{a + 1}$；
(1)$\frac{a^2 + ab}{b} · \frac{a^2 - ab}{a^2 - b^2}$；
(2)$\frac{4a + 4b}{5ab} ÷ \frac{a^2 - b^2}{15a^2b}$；
(3)$\frac{x^2 - 6x + 9}{9 - x^2} · \frac{x^2 + 3x}{2x - 6}$；
(4)$\frac{a^2 - 1}{a^2 + 2a + 1} ÷ \frac{a - a^2}{a + 1}$；
答案
11.(1)$\dfrac{a^2}{b}$ (2)$\dfrac{12a}{a-b}$ (3)$-\dfrac{x}{2}$ (4)$-\dfrac{1}{a}$
解析
【分析】
分式乘除运算的解题思路可分为三步：①遇除法先转化为乘法，即除以一个分式等于乘这个分式的倒数；②对每个分式的分子、分母进行因式分解（优先提公因式，再用平方差、完全平方公式）；③约去分子分母的公因式，最终化简为最简分式或整式，计算过程要注意符号的处理。
【解析】
(1) 先对各部分因式分解：
$\frac{a^2+ab}{b}·\frac{a^2-ab}{a^2-b^2}=\frac{a(a+b)}{b}·\frac{a(a-b)}{(a+b)(a-b)}$
约去公因式$(a+b)$、$(a-b)$，得：
原式$=\frac{a·a}{b}=\frac{a^2}{b}$
(2) 先将除法转化为乘法，再因式分解：
$\frac{4a+4b}{5ab}÷\frac{a^2-b^2}{15a^2b}=\frac{4(a+b)}{5ab}·\frac{15a^2b}{(a+b)(a-b)}$
约去公因式$5ab$、$(a+b)$，得：
原式$=\frac{4×3a}{a-b}=\frac{12a}{a-b}$
(3) 先对各部分因式分解，注意符号：
$\frac{x^2-6x+9}{9-x^2}·\frac{x^2+3x}{2x-6}=\frac{(x-3)^2}{-(x^2-9)}·\frac{x(x+3)}{2(x-3)}=\frac{(x-3)^2}{-(x+3)(x-3)}·\frac{x(x+3)}{2(x-3)}$
约去公因式$(x-3)$、$(x+3)$，得：
原式$=-\frac{x}{2}$
(4) 先将除法转化为乘法，再因式分解：
$\frac{a^2-1}{a^2+2a+1}÷\frac{a-a^2}{a+1}=\frac{(a+1)(a-1)}{(a+1)^2}·\frac{a+1}{-a(a-1)}$
约去公因式$(a+1)$、$(a-1)$，得：
原式$=-\frac{1}{a}$
【答案】
(1)$\dfrac{a^2}{b}$ (2)$\dfrac{12a}{a-b}$ (3)$-\dfrac{x}{2}$ (4)$-\dfrac{1}{a}$
【知识点】
分式乘除运算、因式分解、约分
【点评】
本题是分式乘除的基础运算题，解题核心是先将多项式因式分解再约分，计算时需重点留意含负号的因式，避免符号出错，熟练掌握提公因式法和公式法因式分解是准确解题的前提。
【难度系数】
0.8
分式乘除运算的解题思路可分为三步：①遇除法先转化为乘法，即除以一个分式等于乘这个分式的倒数；②对每个分式的分子、分母进行因式分解（优先提公因式，再用平方差、完全平方公式）；③约去分子分母的公因式，最终化简为最简分式或整式，计算过程要注意符号的处理。
【解析】
(1) 先对各部分因式分解：
$\frac{a^2+ab}{b}·\frac{a^2-ab}{a^2-b^2}=\frac{a(a+b)}{b}·\frac{a(a-b)}{(a+b)(a-b)}$
约去公因式$(a+b)$、$(a-b)$，得：
原式$=\frac{a·a}{b}=\frac{a^2}{b}$
(2) 先将除法转化为乘法，再因式分解：
$\frac{4a+4b}{5ab}÷\frac{a^2-b^2}{15a^2b}=\frac{4(a+b)}{5ab}·\frac{15a^2b}{(a+b)(a-b)}$
约去公因式$5ab$、$(a+b)$，得：
原式$=\frac{4×3a}{a-b}=\frac{12a}{a-b}$
(3) 先对各部分因式分解，注意符号：
$\frac{x^2-6x+9}{9-x^2}·\frac{x^2+3x}{2x-6}=\frac{(x-3)^2}{-(x^2-9)}·\frac{x(x+3)}{2(x-3)}=\frac{(x-3)^2}{-(x+3)(x-3)}·\frac{x(x+3)}{2(x-3)}$
约去公因式$(x-3)$、$(x+3)$，得：
原式$=-\frac{x}{2}$
(4) 先将除法转化为乘法，再因式分解：
$\frac{a^2-1}{a^2+2a+1}÷\frac{a-a^2}{a+1}=\frac{(a+1)(a-1)}{(a+1)^2}·\frac{a+1}{-a(a-1)}$
约去公因式$(a+1)$、$(a-1)$，得：
原式$=-\frac{1}{a}$
【答案】
(1)$\dfrac{a^2}{b}$ (2)$\dfrac{12a}{a-b}$ (3)$-\dfrac{x}{2}$ (4)$-\dfrac{1}{a}$
【知识点】
分式乘除运算、因式分解、约分
【点评】
本题是分式乘除的基础运算题，解题核心是先将多项式因式分解再约分，计算时需重点留意含负号的因式，避免符号出错，熟练掌握提公因式法和公式法因式分解是准确解题的前提。
【难度系数】
0.8
