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12.先化简：$\dfrac{x+3}{1-x} ÷ \dfrac{x^2+3x}{x^2-2x+1}$，并在$1,-3,0,2$四个数中选择一个适合的数作为$x$的值代入求值.
答案
12.$\dfrac{1-x}{x},-\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
本题属于分式化简求值类题目，解题思路如下：①根据分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘这个分式的倒数；②对分子、分母中的多项式进行因式分解，再约分化为最简分式；③先根据分式有意义的条件（分母不为0、除式不为0）排除不合要求的x值，再选择合适的x代入最简分式计算结果。
【解析】
解：$\dfrac{x+3}{1-x} ÷ \dfrac{x^2+3x}{x^2-2x+1}$
$=\dfrac{x+3}{1-x} × \dfrac{x^2-2x+1}{x^2+3x}$
对多项式因式分解得：
$=\dfrac{x+3}{1-x} × \dfrac{(1-x)^2}{x(x+3)}$
约去公因式$x+3$和$1-x$（需满足$x≠ -3$且$x≠ 1$），得最简结果：
$=\dfrac{1-x}{x}$
要使原式有意义，需满足所有分母、除式不为0：
$1-x≠ 0$，$x^2+3x=x(x+3)≠ 0$，解得$x≠ 1$且$x≠ 0$且$x≠ -3$。
因此在1,-3,0,2中仅能选择$x=2$代入，得：
$\dfrac{1-2}{2}=-\dfrac{1}{2}$
【答案】
化简结果为$\dfrac{1-x}{x}$，代入$x=2$得值为$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式的除法运算，因式分解，分式有意义的条件
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心易错点是忽略分式有意义的限制，误选1、0、-3代入导致错误，做题时需先确定合法的x取值范围，再进行代入计算。
【难度系数】
0.7
本题属于分式化简求值类题目，解题思路如下：①根据分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘这个分式的倒数；②对分子、分母中的多项式进行因式分解，再约分化为最简分式；③先根据分式有意义的条件（分母不为0、除式不为0）排除不合要求的x值，再选择合适的x代入最简分式计算结果。
【解析】
解：$\dfrac{x+3}{1-x} ÷ \dfrac{x^2+3x}{x^2-2x+1}$
$=\dfrac{x+3}{1-x} × \dfrac{x^2-2x+1}{x^2+3x}$
对多项式因式分解得：
$=\dfrac{x+3}{1-x} × \dfrac{(1-x)^2}{x(x+3)}$
约去公因式$x+3$和$1-x$（需满足$x≠ -3$且$x≠ 1$），得最简结果：
$=\dfrac{1-x}{x}$
要使原式有意义，需满足所有分母、除式不为0：
$1-x≠ 0$，$x^2+3x=x(x+3)≠ 0$，解得$x≠ 1$且$x≠ 0$且$x≠ -3$。
因此在1,-3,0,2中仅能选择$x=2$代入，得：
$\dfrac{1-2}{2}=-\dfrac{1}{2}$
【答案】
化简结果为$\dfrac{1-x}{x}$，代入$x=2$得值为$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式的除法运算，因式分解，分式有意义的条件
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心易错点是忽略分式有意义的限制，误选1、0、-3代入导致错误，做题时需先确定合法的x取值范围，再进行代入计算。
【难度系数】
0.7
13.有甲、乙两筐水果,甲筐水果的质量为$(m-1)^2$ kg,乙筐水果的质量为$(m^2 -1)$ kg(其中$m＞1$).售完后,两筐水果都卖了150元.
(1)哪筐水果卖的单价高？
(2)高的单价是低的单价的多少倍？
(1)哪筐水果卖的单价高？
(2)高的单价是低的单价的多少倍？
答案
13.(1)甲筐水果的单价卖得高 (2)高的单价是低的单价的$\dfrac{m+1}{m-1}$倍
解析
【分析】
要解决这两个问题，首先牢记“单价=总价÷质量”的数量关系，先分别表示出两筐水果的单价。
对于第(1)问，两个单价的分子都是150，因此只需比较两个分母（即两筐水果的质量）的大小即可，可通过作差法判断两个代数式的大小关系，进而得到单价的大小关系；
对于第(2)问，求高单价是低单价的几倍，只需用高单价除以低单价，利用分式的除法运算法则计算，约分后即可得到结果。
【解析】
(1) 首先根据单价公式写出两筐水果的单价：
甲筐水果单价为 $\frac{150}{(m-1)^2}$ 元/kg，乙筐水果单价为 $\frac{150}{m^2-1}$ 元/kg。
用作差法比较两个分母的大小：
$\begin{aligned}(m-1)^2 - (m^2 -1)&=m^2 - 2m +1 -m^2 +1\\&=2 - 2m\\&=-2(m-1)\end{aligned}$
已知 $m＞1$，所以 $m-1＞0$，因此 $-2(m-1)＜0$，即 $(m-1)^2 ＜ m^2 -1$。
因为两个单价的分子都是正数150，分母越小分数值越大，且$(m-1)^2＞0$、$m^2-1＞0$，所以 $\frac{150}{(m-1)^2} ＞ \frac{150}{m^2-1}$，即甲筐水果的单价更高。
(2) 求高单价是低单价的倍数，用甲筐单价除以乙筐单价：
$\begin{aligned}\frac{150}{(m-1)^2} ÷ \frac{150}{m^2-1} &= \frac{150}{(m-1)^2} × \frac{m^2-1}{150}\\&=\frac{(m+1)(m-1)}{(m-1)^2}\\&=\frac{m+1}{m-1}\end{aligned}$
【答案】
(1) 甲筐水果卖的单价高；
(2) 高的单价是低的单价的 $\dfrac{m+1}{m-1}$ 倍。
【知识点】
1. 分式的除法运算
2. 作差法比较代数式大小
3. 分式约分
【点评】
本题结合实际销售场景考查分式的相关运算，解题核心是先根据单价公式正确列出两个单价的代数式，再通过比较分母大小判断单价高低，计算倍数时注意先对多项式因式分解再约分，能有效降低运算难度，减少出错。
【难度系数】
0.7
要解决这两个问题，首先牢记“单价=总价÷质量”的数量关系，先分别表示出两筐水果的单价。
对于第(1)问，两个单价的分子都是150，因此只需比较两个分母（即两筐水果的质量）的大小即可，可通过作差法判断两个代数式的大小关系，进而得到单价的大小关系；
对于第(2)问，求高单价是低单价的几倍，只需用高单价除以低单价，利用分式的除法运算法则计算，约分后即可得到结果。
【解析】
(1) 首先根据单价公式写出两筐水果的单价：
甲筐水果单价为 $\frac{150}{(m-1)^2}$ 元/kg，乙筐水果单价为 $\frac{150}{m^2-1}$ 元/kg。
用作差法比较两个分母的大小：
$\begin{aligned}(m-1)^2 - (m^2 -1)&=m^2 - 2m +1 -m^2 +1\\&=2 - 2m\\&=-2(m-1)\end{aligned}$
已知 $m＞1$，所以 $m-1＞0$，因此 $-2(m-1)＜0$，即 $(m-1)^2 ＜ m^2 -1$。
因为两个单价的分子都是正数150，分母越小分数值越大，且$(m-1)^2＞0$、$m^2-1＞0$，所以 $\frac{150}{(m-1)^2} ＞ \frac{150}{m^2-1}$，即甲筐水果的单价更高。
(2) 求高单价是低单价的倍数，用甲筐单价除以乙筐单价：
$\begin{aligned}\frac{150}{(m-1)^2} ÷ \frac{150}{m^2-1} &= \frac{150}{(m-1)^2} × \frac{m^2-1}{150}\\&=\frac{(m+1)(m-1)}{(m-1)^2}\\&=\frac{m+1}{m-1}\end{aligned}$
【答案】
(1) 甲筐水果卖的单价高；
(2) 高的单价是低的单价的 $\dfrac{m+1}{m-1}$ 倍。
【知识点】
1. 分式的除法运算
2. 作差法比较代数式大小
3. 分式约分
【点评】
本题结合实际销售场景考查分式的相关运算，解题核心是先根据单价公式正确列出两个单价的代数式，再通过比较分母大小判断单价高低，计算倍数时注意先对多项式因式分解再约分，能有效降低运算难度，减少出错。
【难度系数】
0.7
