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10.(1)约分：$\dfrac{a^2 - b^2}{a^2 + 2ab + b^2}$；(2)通分：$\dfrac{2x}{x^2 - 9}$与$\dfrac{x}{2x + 6}$。
答案
10.(1)$\frac{a-b}{a+b}$ (2)$\frac{4x}{2(x-3)(x+3)},\frac{x(x-3)}{2(x-3)(x+3)}$
解析
【分析】
(1) 约分需先将分子、分母分别因式分解，再约去二者的公因式。本题分子是平方差结构，可利用平方差公式分解，分母是完全平方结构，可利用完全平方公式分解，找到公因式后约去即可得到结果。
(2) 通分需先确定两个分式的最简公分母：先分别对两个分母因式分解，再取各分母所有不同因式的最高次幂的乘积作为最简公分母，最后根据分式的基本性质，将两个分式的分母都化为最简公分母，分子同步乘对应的因式即可。
【解析】
(1) 先对分子、分母因式分解：
分子：$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
分母：$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
代入原式约去公因式$a+b$（$a+b≠0$）得：
$\dfrac{a^2 - b^2}{a^2 + 2ab + b^2} = \dfrac{(a - b)(a + b)}{(a + b)^2} = \dfrac{a - b}{a + b}$
(2) 先对两个分式的分母因式分解：
第一个分式分母：$x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)$
第二个分式分母：$2x + 6 = 2(x + 3)$
可得两个分式的最简公分母为$2(x + 3)(x - 3)$，对两个分式分别变形：
$\dfrac{2x}{x^2 - 9} = \dfrac{2x × 2}{2(x + 3)(x - 3)} = \dfrac{4x}{2(x - 3)(x + 3)}$
$\dfrac{x}{2x + 6} = \dfrac{x × (x - 3)}{2(x + 3)(x - 3)} = \dfrac{x(x - 3)}{2(x - 3)(x + 3)}$
【答案】
(1)$\frac{a-b}{a+b}$ (2)$\frac{4x}{2(x-3)(x+3)},\frac{x(x-3)}{2(x-3)(x+3)}$
【知识点】
分式的约分，分式的通分，因式分解
【点评】
本题是分式基本性质的基础应用题型，解题关键是先对分子、分母正确因式分解，再结合约分、通分的规则变形，掌握好此类题型是后续学习分式运算的基础。
【难度系数】
0.8
(1) 约分需先将分子、分母分别因式分解，再约去二者的公因式。本题分子是平方差结构，可利用平方差公式分解，分母是完全平方结构，可利用完全平方公式分解，找到公因式后约去即可得到结果。
(2) 通分需先确定两个分式的最简公分母：先分别对两个分母因式分解，再取各分母所有不同因式的最高次幂的乘积作为最简公分母，最后根据分式的基本性质，将两个分式的分母都化为最简公分母，分子同步乘对应的因式即可。
【解析】
(1) 先对分子、分母因式分解：
分子：$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
分母：$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
代入原式约去公因式$a+b$（$a+b≠0$）得：
$\dfrac{a^2 - b^2}{a^2 + 2ab + b^2} = \dfrac{(a - b)(a + b)}{(a + b)^2} = \dfrac{a - b}{a + b}$
(2) 先对两个分式的分母因式分解：
第一个分式分母：$x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)$
第二个分式分母：$2x + 6 = 2(x + 3)$
可得两个分式的最简公分母为$2(x + 3)(x - 3)$，对两个分式分别变形：
$\dfrac{2x}{x^2 - 9} = \dfrac{2x × 2}{2(x + 3)(x - 3)} = \dfrac{4x}{2(x - 3)(x + 3)}$
$\dfrac{x}{2x + 6} = \dfrac{x × (x - 3)}{2(x + 3)(x - 3)} = \dfrac{x(x - 3)}{2(x - 3)(x + 3)}$
【答案】
(1)$\frac{a-b}{a+b}$ (2)$\frac{4x}{2(x-3)(x+3)},\frac{x(x-3)}{2(x-3)(x+3)}$
【知识点】
分式的约分，分式的通分，因式分解
【点评】
本题是分式基本性质的基础应用题型，解题关键是先对分子、分母正确因式分解，再结合约分、通分的规则变形，掌握好此类题型是后续学习分式运算的基础。
【难度系数】
0.8
11.先化简,再求值:$\frac{3x^2 - xy}{9x^2 -6xy + y^2}$,其中$x=\frac{4}{3},y=-\frac{2}{3}.$
答案
11.$\frac{x}{3x-y},\frac{2}{7}$
解析
【分析】
解决这道分式化简求值题，思路分为两步：第一步先化简分式，观察分子分母的结构，先分别对分子、分母进行因式分解，再根据分式的基本性质约去公因式得到最简分式；第二步将给定的x、y的值代入最简分式计算结果，先化简再代值能有效减少计算量，降低出错概率。
【解析】
第一步：对分子、分母因式分解
分子：$3x^2 - xy = x(3x - y)$
分母：$9x^2 - 6xy + y^2 = (3x - y)^2$（符合完全平方差公式）
第二步：约分，化简分式
原式$=\frac{x(3x - y)}{(3x - y)^2} = \frac{x}{3x - y}$（$3x-y≠0$，可约去公因式$3x-y$）
第三步：代入数值计算
将$x=\frac{4}{3},y=-\frac{2}{3}$代入$\frac{x}{3x - y}$得：
$3x - y = 3×\frac{4}{3} - (-\frac{2}{3}) = 4 + \frac{2}{3} = \frac{14}{3}$
则原式$=\frac{\frac{4}{3}}{\frac{14}{3}} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$
【答案】
化简结果为$\frac{x}{3x-y}$，求值结果为$\frac{2}{7}$
【知识点】
因式分解，分式约分，代入求值
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，核心考查因式分解的熟练度以及分式基本性质的应用，解题时要注意先化简再代入，约分时需确保公因式不为0，计算时代入负数要注意符号处理。
【难度系数】
0.75
解决这道分式化简求值题，思路分为两步：第一步先化简分式，观察分子分母的结构，先分别对分子、分母进行因式分解，再根据分式的基本性质约去公因式得到最简分式；第二步将给定的x、y的值代入最简分式计算结果，先化简再代值能有效减少计算量，降低出错概率。
【解析】
第一步：对分子、分母因式分解
分子：$3x^2 - xy = x(3x - y)$
分母：$9x^2 - 6xy + y^2 = (3x - y)^2$（符合完全平方差公式）
第二步：约分，化简分式
原式$=\frac{x(3x - y)}{(3x - y)^2} = \frac{x}{3x - y}$（$3x-y≠0$，可约去公因式$3x-y$）
第三步：代入数值计算
将$x=\frac{4}{3},y=-\frac{2}{3}$代入$\frac{x}{3x - y}$得：
$3x - y = 3×\frac{4}{3} - (-\frac{2}{3}) = 4 + \frac{2}{3} = \frac{14}{3}$
则原式$=\frac{\frac{4}{3}}{\frac{14}{3}} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$
【答案】
化简结果为$\frac{x}{3x-y}$，求值结果为$\frac{2}{7}$
【知识点】
因式分解，分式约分，代入求值
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，核心考查因式分解的熟练度以及分式基本性质的应用，解题时要注意先化简再代入，约分时需确保公因式不为0，计算时代入负数要注意符号处理。
【难度系数】
0.75
12. 已知$a+b=-2,ab=\frac{1}{2}$，求分式$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的值.
答案
12.$-4$
解析
【分析】
待求式是两个异分母分式的和，解题时首先考虑利用分式的基本性质对其通分化简，通分后可发现所得式子的分子、分母恰好对应已知的$a+b$和$ab$，无需单独求解$a$、$b$的具体数值，直接整体代入已知条件计算即可，可大幅简化计算过程。
【解析】
解：先对$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$进行通分化简：
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{b}{ab}+\frac{a}{ab}=\frac{a+b}{ab}$
将已知条件$a+b=-2$，$ab=\frac{1}{2}$代入化简后的式子：
$\frac{a+b}{ab}=\frac{-2}{\frac{1}{2}}=-2×2=-4$
【答案】
$-4$
【知识点】
分式的通分；分式的加减运算；整体代入求值
【点评】
本题属于分式求值的基础题型，解题关键是掌握异分母分式的加减运算法则，灵活运用整体代入的思想求值，避免因求解$a$、$b$的数值带来的复杂计算。
【难度系数】
0.8
待求式是两个异分母分式的和，解题时首先考虑利用分式的基本性质对其通分化简，通分后可发现所得式子的分子、分母恰好对应已知的$a+b$和$ab$，无需单独求解$a$、$b$的具体数值，直接整体代入已知条件计算即可，可大幅简化计算过程。
【解析】
解：先对$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$进行通分化简：
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{b}{ab}+\frac{a}{ab}=\frac{a+b}{ab}$
将已知条件$a+b=-2$，$ab=\frac{1}{2}$代入化简后的式子：
$\frac{a+b}{ab}=\frac{-2}{\frac{1}{2}}=-2×2=-4$
【答案】
$-4$
【知识点】
分式的通分；分式的加减运算；整体代入求值
【点评】
本题属于分式求值的基础题型，解题关键是掌握异分母分式的加减运算法则，灵活运用整体代入的思想求值，避免因求解$a$、$b$的数值带来的复杂计算。
【难度系数】
0.8
13.若$\frac{5x - 7}{x^2 - 4x -5} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-5}$，求$A,B$的值.
答案
13.$A=2,B=3$
解析
【分析】
本题是分式恒等求参数的问题，解题思路如下：首先对左边分式的分母因式分解，可发现其等于右边两个分式分母的乘积；接下来将右边的两个分式通分相加，此时等式两边分母相同，要使分式相等，则两边分子必须相等；最后将右边的分子展开整理，根据等式两边多项式的一次项系数、常数项分别对应相等，列出关于A、B的二元一次方程组，解方程组即可求出A、B的值。
【解析】
步骤1：对左边分式的分母因式分解
$x^2 - 4x - 5 = (x+1)(x-5)$
步骤2：将右边两个分式通分相加
$\frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-5} = \frac{A(x-5) + B(x+1)}{(x+1)(x-5)}$
步骤3：根据分式相等的条件，两边分母相同，则分子相等
$5x - 7 = A(x-5) + B(x+1)$
步骤4：展开并整理右边的多项式
$5x -7 = (A+B)x + (-5A + B)$
步骤5：根据多项式恒等时对应系数相等，列方程组
$\begin{cases} A + B = 5 \\ -5A + B = -7 \end{cases}$
步骤6：解方程组
用第一个方程减去第二个方程，得：$6A = 12$，解得$A=2$
将$A=2$代入$A+B=5$，得$2+B=5$，解得$B=3$
【答案】
$A=2,B=3$
【知识点】
1.分式的基本性质
2.因式分解
3.二元一次方程组的解法
【点评】
本题是分式拆分求参数的典型题型，核心是利用分式通分后分子相等的性质，结合多项式对应系数相等建立方程求解，熟练掌握该方法可快速解决同类分式恒等变形问题。
【难度系数】
0.7
本题是分式恒等求参数的问题，解题思路如下：首先对左边分式的分母因式分解，可发现其等于右边两个分式分母的乘积；接下来将右边的两个分式通分相加，此时等式两边分母相同，要使分式相等，则两边分子必须相等；最后将右边的分子展开整理，根据等式两边多项式的一次项系数、常数项分别对应相等，列出关于A、B的二元一次方程组，解方程组即可求出A、B的值。
【解析】
步骤1：对左边分式的分母因式分解
$x^2 - 4x - 5 = (x+1)(x-5)$
步骤2：将右边两个分式通分相加
$\frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-5} = \frac{A(x-5) + B(x+1)}{(x+1)(x-5)}$
步骤3：根据分式相等的条件，两边分母相同，则分子相等
$5x - 7 = A(x-5) + B(x+1)$
步骤4：展开并整理右边的多项式
$5x -7 = (A+B)x + (-5A + B)$
步骤5：根据多项式恒等时对应系数相等，列方程组
$\begin{cases} A + B = 5 \\ -5A + B = -7 \end{cases}$
步骤6：解方程组
用第一个方程减去第二个方程，得：$6A = 12$，解得$A=2$
将$A=2$代入$A+B=5$，得$2+B=5$，解得$B=3$
【答案】
$A=2,B=3$
【知识点】
1.分式的基本性质
2.因式分解
3.二元一次方程组的解法
【点评】
本题是分式拆分求参数的典型题型，核心是利用分式通分后分子相等的性质，结合多项式对应系数相等建立方程求解，熟练掌握该方法可快速解决同类分式恒等变形问题。
【难度系数】
0.7
14. (1)通分：$\frac{z}{xy}, \frac{y}{xz}, \frac{x}{yz}$；
(2)求证：$\frac{x}{yz} + \frac{y}{zx} + \frac{z}{xy}$的值不能为0；
(3)求证：$\frac{a-b}{(b-c)(c-a)} + \frac{b-c}{(a-b)(c-a)} + \frac{c-a}{(a-b)(b-c)}$的值不可能为0。
(2)求证：$\frac{x}{yz} + \frac{y}{zx} + \frac{z}{xy}$的值不能为0；
(3)求证：$\frac{a-b}{(b-c)(c-a)} + \frac{b-c}{(a-b)(c-a)} + \frac{c-a}{(a-b)(b-c)}$的值不可能为0。
答案
14.(1)$\frac{z^2}{xyz},\frac{y^2}{xyz},\frac{x^2}{xyz}$ (2)略 (3)略
解析
【分析】
(1) 通分的核心是先确定各分式分母的最简公分母，观察三个分式的分母$xy、xz、yz$，取各分母所有因式的最高次幂的乘积，可得最简公分母为$xyz$，再将每个分式的分子、分母同乘对应的缺项因式即可完成通分。
(2) 要证明分式和的值不能为0，需结合“分式值为0的条件是分子为0且分母不为0”分析：先将三个分式通分化简，再验证若分子为0时会导致分母无意义，即可证明结论。
(3) 思路同第(2)问，先对三个分式通分化简得到和的分子、分母，再结合分式有意义的条件，可发现分子为0的情况和分母有意义的条件矛盾，即可得证。
【解析】
(1) 三个分式的最简公分母为$xyz$，对各分式变形：
$\frac{z}{xy}=\frac{z· z}{xy· z}=\frac{z^2}{xyz}$；
$\frac{y}{xz}=\frac{y· y}{xz· y}=\frac{y^2}{xyz}$；
$\frac{x}{yz}=\frac{x· x}{yz· x}=\frac{x^2}{xyz}$。
(2) 证明：通分求和得：
$\frac{x}{yz} + \frac{y}{zx} + \frac{z}{xy}=\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz}$
若分式有意义，则$xyz≠0$，即$x、y、z$均不为0。若分式值为0，需分子$x^2+y^2+z^2=0$，即$x=y=z=0$，与$xyz≠0$矛盾，因此该式的值不能为0。
(3) 证明：三个分式的最简公分母为$(a-b)(b-c)(c-a)$，通分求和得：
原式=$\frac{(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
若分式有意义，则$(a-b)(b-c)(c-a)≠0$，即$a≠ b、b≠ c、c≠ a$，此时$(a-b)^2＞0、(b-c)^2＞0、(c-a)^2＞0$，分子为三个正数之和，必然大于0，不可能为0，因此该式的值不可能为0。
【答案】
(1)$\frac{z^2}{xyz},\frac{y^2}{xyz},\frac{x^2}{xyz}$ (2)略 (3)略
【知识点】
分式的通分，分式有意义的条件，平方的非负性
【点评】
本题重点考察分式的基本性质，解题易错点是忽略分式值为0的前提是分式有意义（分母不为0），仅通过分子为0判断结果，只要准确找到最简公分母通分，再结合非负数性质分析分子取值即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
(1) 通分的核心是先确定各分式分母的最简公分母，观察三个分式的分母$xy、xz、yz$，取各分母所有因式的最高次幂的乘积，可得最简公分母为$xyz$，再将每个分式的分子、分母同乘对应的缺项因式即可完成通分。
(2) 要证明分式和的值不能为0，需结合“分式值为0的条件是分子为0且分母不为0”分析：先将三个分式通分化简，再验证若分子为0时会导致分母无意义，即可证明结论。
(3) 思路同第(2)问，先对三个分式通分化简得到和的分子、分母，再结合分式有意义的条件，可发现分子为0的情况和分母有意义的条件矛盾，即可得证。
【解析】
(1) 三个分式的最简公分母为$xyz$，对各分式变形：
$\frac{z}{xy}=\frac{z· z}{xy· z}=\frac{z^2}{xyz}$；
$\frac{y}{xz}=\frac{y· y}{xz· y}=\frac{y^2}{xyz}$；
$\frac{x}{yz}=\frac{x· x}{yz· x}=\frac{x^2}{xyz}$。
(2) 证明：通分求和得：
$\frac{x}{yz} + \frac{y}{zx} + \frac{z}{xy}=\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz}$
若分式有意义，则$xyz≠0$，即$x、y、z$均不为0。若分式值为0，需分子$x^2+y^2+z^2=0$，即$x=y=z=0$，与$xyz≠0$矛盾，因此该式的值不能为0。
(3) 证明：三个分式的最简公分母为$(a-b)(b-c)(c-a)$，通分求和得：
原式=$\frac{(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
若分式有意义，则$(a-b)(b-c)(c-a)≠0$，即$a≠ b、b≠ c、c≠ a$，此时$(a-b)^2＞0、(b-c)^2＞0、(c-a)^2＞0$，分子为三个正数之和，必然大于0，不可能为0，因此该式的值不可能为0。
【答案】
(1)$\frac{z^2}{xyz},\frac{y^2}{xyz},\frac{x^2}{xyz}$ (2)略 (3)略
【知识点】
分式的通分，分式有意义的条件，平方的非负性
【点评】
本题重点考察分式的基本性质，解题易错点是忽略分式值为0的前提是分式有意义（分母不为0），仅通过分子为0判断结果，只要准确找到最简公分母通分，再结合非负数性质分析分子取值即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
