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有理数的加法运算律
(1)加法交换律:两个数相加,交换的位置,和.用字母表示为$a+b=$.
(2)加法结合律:三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和.用字母表示为$(a+b)+c=$.
(1)加法交换律:两个数相加,交换的位置,和.用字母表示为$a+b=$.
(2)加法结合律:三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和.用字母表示为$(a+b)+c=$.
答案
解：
(1) 加数；不变；$b+a$
(2) 不变；$a+(b+c)$
(1) 加数；不变；$b+a$
(2) 不变；$a+(b+c)$
解析
【分析】
本题考查有理数加法运算律的基础概念，属于识记类题型，解题时直接回忆教材中两个运算律的定义内容对应填空即可。首先处理第(1)问：加法交换律的核心是交换两个加数的位置，和不改变，字母表示就是互换两个加数的位置；再处理第(2)问：加法结合律的核心是改变三个数的相加顺序（先算前两个或先算后两个），和不变，字母表示是把后两个加数优先结合相加。
【解析】
(1) 根据加法交换律的定义：两个数相加，交换加数的位置，和不变，用字母表示为$a+b=b+a$，因此三个空依次填对应内容即可。
(2) 根据加法结合律的定义：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，用字母表示为$(a+b)+c=a+(b+c)$，因此两个空依次填对应内容即可。
【答案】
(1) 加数；不变；$b+a$
(2) 不变；$a+(b+c)$
【知识点】
加法交换律；加法结合律
【点评】
本题是对有理数加法运算律基础内容的直接考查，属于记忆类基础题，熟练掌握两个运算律的内容和字母表达是解题的关键，这两个运算律也是后续进行有理数加法简便运算的核心依据。
【难度系数】
0.9
本题考查有理数加法运算律的基础概念，属于识记类题型，解题时直接回忆教材中两个运算律的定义内容对应填空即可。首先处理第(1)问：加法交换律的核心是交换两个加数的位置，和不改变，字母表示就是互换两个加数的位置；再处理第(2)问：加法结合律的核心是改变三个数的相加顺序（先算前两个或先算后两个），和不变，字母表示是把后两个加数优先结合相加。
【解析】
(1) 根据加法交换律的定义：两个数相加，交换加数的位置，和不变，用字母表示为$a+b=b+a$，因此三个空依次填对应内容即可。
(2) 根据加法结合律的定义：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，用字母表示为$(a+b)+c=a+(b+c)$，因此两个空依次填对应内容即可。
【答案】
(1) 加数；不变；$b+a$
(2) 不变；$a+(b+c)$
【知识点】
加法交换律；加法结合律
【点评】
本题是对有理数加法运算律基础内容的直接考查，属于记忆类基础题，熟练掌握两个运算律的内容和字母表达是解题的关键，这两个运算律也是后续进行有理数加法简便运算的核心依据。
【难度系数】
0.9
【例1】计算：
(1)$(-6)+8+(-4)+12$；
(2)$43+(-77)+27+(-43)$；
(3)$(+1.25)+(-\frac{1}{2})+(-\frac{3}{4})+(+1\frac{3}{4})$。
规律总结
(1)相反数结合法——互为相反数的两个数先相加；
(2)同号结合法——符号相同的数先相加；
(3)同分母结合法——分母相同的分数先相加；
(4)凑整法——相加能得到整数的多个数先相加；
(5)同形结合法——整数与整数、分数与分数分别相加。
(1)$(-6)+8+(-4)+12$；
(2)$43+(-77)+27+(-43)$；
(3)$(+1.25)+(-\frac{1}{2})+(-\frac{3}{4})+(+1\frac{3}{4})$。
规律总结
(1)相反数结合法——互为相反数的两个数先相加；
(2)同号结合法——符号相同的数先相加；
(3)同分母结合法——分母相同的分数先相加；
(4)凑整法——相加能得到整数的多个数先相加；
(5)同形结合法——整数与整数、分数与分数分别相加。
答案
解：
(1) 原式$=[(-6)+(-4)]+(8+12)$
$=-10+20$
$=10$
(2) 原式$=[43+(-43)]+[(-77)+27]$
$=0+(-50)$
$=-50$
(3) 原式$=(+1.25)+[(-\frac{3}{4})+(+1\frac{3}{4})]+(-\frac{1}{2})$
$=1.25+1-0.5$
$=1.75$（或$\frac{7}{4}$、$1\frac{3}{4}$）
(1) 原式$=[(-6)+(-4)]+(8+12)$
$=-10+20$
$=10$
(2) 原式$=[43+(-43)]+[(-77)+27]$
$=0+(-50)$
$=-50$
(3) 原式$=(+1.25)+[(-\frac{3}{4})+(+1\frac{3}{4})]+(-\frac{1}{2})$
$=1.25+1-0.5$
$=1.75$（或$\frac{7}{4}$、$1\frac{3}{4}$）
解析
【分析】
这三道题均为有理数的连加运算，可利用加法交换律和结合律选择合适的简便方法计算，降低计算难度：
(1)观察算式可发现-6和-4均为负数，相加可凑得整十数，8和12均为正数，相加也可凑整，因此选择同号结合法，先分别计算负数的和与正数的和，再相加即可。
(2)观察算式发现43和-43互为相反数，根据互为相反数的两个数和为0的性质，选择相反数结合法先计算这两个数的和，再计算剩余两个数的和即可。
(3)观察算式发现$-\frac{3}{4}$和$+1\frac{3}{4}$分母相同，相加可得整数，因此选择同分母结合法先计算这两个数的和，再统一数的形式计算剩余数的和即可。
【解析】
(1) 利用加法交换律和结合律，将同号数结合：
原式$=[(-6)+(-4)]+(8+12)$
先计算括号内的和：$=-10+20$
计算最终结果：$=10$
(2) 利用加法交换律和结合律，将互为相反数的数结合：
原式$=[43+(-43)]+[(-77)+27]$
先计算括号内的和：$=0+(-50)$
计算最终结果：$=-50$
(3) 利用加法交换律和结合律，将同分母分数结合：
原式$=(+1.25)+[(-\frac{3}{4})+(+1\frac{3}{4})]+(-\frac{1}{2})$
先计算同分母分数的和，再将分数化为小数：$=1.25+1-0.5$
计算最终结果：$=1.75$（或$\frac{7}{4}$、$1\frac{3}{4}$）
【答案】
(1)$10$；(2)$-50$；(3)$1.75$（或$\frac{7}{4}$、$1\frac{3}{4}$）
【知识点】
有理数加法运算律；有理数加法计算；简便运算技巧
【点评】
本题核心考察有理数加法运算律的灵活运用，解题的关键是先观察数字的特征，匹配对应的简便结合方法，可有效减少计算量，降低出错概率，是有理数运算的基础题型。
【难度系数】
0.8
这三道题均为有理数的连加运算，可利用加法交换律和结合律选择合适的简便方法计算，降低计算难度：
(1)观察算式可发现-6和-4均为负数，相加可凑得整十数，8和12均为正数，相加也可凑整，因此选择同号结合法，先分别计算负数的和与正数的和，再相加即可。
(2)观察算式发现43和-43互为相反数，根据互为相反数的两个数和为0的性质，选择相反数结合法先计算这两个数的和，再计算剩余两个数的和即可。
(3)观察算式发现$-\frac{3}{4}$和$+1\frac{3}{4}$分母相同，相加可得整数，因此选择同分母结合法先计算这两个数的和，再统一数的形式计算剩余数的和即可。
【解析】
(1) 利用加法交换律和结合律，将同号数结合：
原式$=[(-6)+(-4)]+(8+12)$
先计算括号内的和：$=-10+20$
计算最终结果：$=10$
(2) 利用加法交换律和结合律，将互为相反数的数结合：
原式$=[43+(-43)]+[(-77)+27]$
先计算括号内的和：$=0+(-50)$
计算最终结果：$=-50$
(3) 利用加法交换律和结合律，将同分母分数结合：
原式$=(+1.25)+[(-\frac{3}{4})+(+1\frac{3}{4})]+(-\frac{1}{2})$
先计算同分母分数的和，再将分数化为小数：$=1.25+1-0.5$
计算最终结果：$=1.75$（或$\frac{7}{4}$、$1\frac{3}{4}$）
【答案】
(1)$10$；(2)$-50$；(3)$1.75$（或$\frac{7}{4}$、$1\frac{3}{4}$）
【知识点】
有理数加法运算律；有理数加法计算；简便运算技巧
【点评】
本题核心考察有理数加法运算律的灵活运用，解题的关键是先观察数字的特征，匹配对应的简便结合方法，可有效减少计算量，降低出错概率，是有理数运算的基础题型。
【难度系数】
0.8
【变式1】计算：
(1)$(-\frac{3}{2})+(-\frac{5}{12})+\frac{5}{2}+(-\frac{7}{12})$；
(2)$5.6+(-0.9)+4.4+(-8.1)$。
(1)$(-\frac{3}{2})+(-\frac{5}{12})+\frac{5}{2}+(-\frac{7}{12})$；
(2)$5.6+(-0.9)+4.4+(-8.1)$。
答案
解：
(1) 原式$=[(-\dfrac{3}{2})+\dfrac{5}{2}]+[(-\dfrac{5}{12})+(-\dfrac{7}{12})]$
$=1+(-1)$
$=0$
(2) 原式$=(5.6+4.4)+[(-0.9)+(-8.1)]$
$=10+(-9)$
$=1$
(1) 原式$=[(-\dfrac{3}{2})+\dfrac{5}{2}]+[(-\dfrac{5}{12})+(-\dfrac{7}{12})]$
$=1+(-1)$
$=0$
(2) 原式$=(5.6+4.4)+[(-0.9)+(-8.1)]$
$=10+(-9)$
$=1$
解析
【分析】
这两道题为有理数加法运算题，可运用加法交换律和结合律简化计算，无需按从左到右的顺序依次计算。第(1)题中存在两组同分母分数，将同分母分数分别结合计算更简便；第(2)题中5.6与4.4的和为整数，-0.9与-8.1的和也为整数，将这两组数分别结合计算可快速得出结果。
【解析】
(1) 利用加法交换律、结合律分组计算：
原式$=[(-\dfrac{3}{2})+\dfrac{5}{2}]+[(-\dfrac{5}{12})+(-\dfrac{7}{12})]$
$=1+(-1)$
$=0$
(2) 利用加法交换律、结合律将可凑整的数分组计算：
原式$=(5.6+4.4)+[(-0.9)+(-8.1)]$
$=10+(-9)$
$=1$
【答案】
(1)$0$；(2)$1$
【知识点】
有理数加法交换律，有理数加法结合律，凑整简便计算
【点评】
这两道题重点考察有理数加法运算律的应用，通过将同分母、和为整数的数优先结合计算，能大幅简化运算过程，降低计算出错概率，是有理数运算的常用基础技巧。
【难度系数】
0.85
这两道题为有理数加法运算题，可运用加法交换律和结合律简化计算，无需按从左到右的顺序依次计算。第(1)题中存在两组同分母分数，将同分母分数分别结合计算更简便；第(2)题中5.6与4.4的和为整数，-0.9与-8.1的和也为整数，将这两组数分别结合计算可快速得出结果。
【解析】
(1) 利用加法交换律、结合律分组计算：
原式$=[(-\dfrac{3}{2})+\dfrac{5}{2}]+[(-\dfrac{5}{12})+(-\dfrac{7}{12})]$
$=1+(-1)$
$=0$
(2) 利用加法交换律、结合律将可凑整的数分组计算：
原式$=(5.6+4.4)+[(-0.9)+(-8.1)]$
$=10+(-9)$
$=1$
【答案】
(1)$0$；(2)$1$
【知识点】
有理数加法交换律，有理数加法结合律，凑整简便计算
【点评】
这两道题重点考察有理数加法运算律的应用，通过将同分母、和为整数的数优先结合计算，能大幅简化运算过程，降低计算出错概率，是有理数运算的常用基础技巧。
【难度系数】
0.85
【例2】出租车司机王师傅某天上午一直在东西走向的解放路上营运，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午的行驶记录(单位：km)如下：+8，+4，-10，-3，+6，-5，-2，-7，+4，+6，-9，-11.
(1)将第几名乘客送到目的地时，王师傅刚好回到上午出发点？
(2)将最后一名乘客送到目的地时，王师傅距上午出发点多远？
(3)若出租车每行驶100 km耗油7 L，这天上午出租车耗油多少升？
(1)将第几名乘客送到目的地时，王师傅刚好回到上午出发点？
(2)将最后一名乘客送到目的地时，王师傅距上午出发点多远？
(3)若出租车每行驶100 km耗油7 L，这天上午出租车耗油多少升？
答案
解：
(1) 计算前6次行驶记录的和：
$\begin{aligned}(+8)+(+4)+(-10)+(-3)+(+6)+(-5)&=[(+8)+(+4)+(+6)]+[(-10)+(-3)+(-5)]\\&=18-18\\&=0\end{aligned}$
答：将第6名乘客送到目的地时，王师傅刚好回到上午出发点。
(2) 计算所有行驶记录的和：
$\begin{aligned}&(+8)+(+4)+(-10)+(-3)+(+6)+(-5)+(-2)+(-7)+(+4)+(+6)+(-9)+(-11)\\=&[(+8)+(+4)+(+6)+(+4)+(+6)]+[(-10)+(-3)+(-5)+(-2)+(-7)+(-9)+(-11)]\\=&28-47\\=&-19\end{aligned}$
$|-19|=19$
答：王师傅距上午出发点19 km。
(3) 计算总行驶路程：
$\begin{aligned}&|+8|+|+4|+|-10|+|-3|+|+6|+|-5|+|-2|+|-7|+|+4|+|+6|+|-9|+|-11|\\=&8+4+10+3+6+5+2+7+4+6+9+11\\=&75\ (\mathrm{km})\end{aligned}$
耗油量为：$75×\frac{7}{100}=5.25\ (\mathrm{L})$
答：这天上午出租车耗油5.25 L。
(1) 计算前6次行驶记录的和：
$\begin{aligned}(+8)+(+4)+(-10)+(-3)+(+6)+(-5)&=[(+8)+(+4)+(+6)]+[(-10)+(-3)+(-5)]\\&=18-18\\&=0\end{aligned}$
答：将第6名乘客送到目的地时，王师傅刚好回到上午出发点。
(2) 计算所有行驶记录的和：
$\begin{aligned}&(+8)+(+4)+(-10)+(-3)+(+6)+(-5)+(-2)+(-7)+(+4)+(+6)+(-9)+(-11)\\=&[(+8)+(+4)+(+6)+(+4)+(+6)]+[(-10)+(-3)+(-5)+(-2)+(-7)+(-9)+(-11)]\\=&28-47\\=&-19\end{aligned}$
$|-19|=19$
答：王师傅距上午出发点19 km。
(3) 计算总行驶路程：
$\begin{aligned}&|+8|+|+4|+|-10|+|-3|+|+6|+|-5|+|-2|+|-7|+|+4|+|+6|+|-9|+|-11|\\=&8+4+10+3+6+5+2+7+4+6+9+11\\=&75\ (\mathrm{km})\end{aligned}$
耗油量为：$75×\frac{7}{100}=5.25\ (\mathrm{L})$
答：这天上午出租车耗油5.25 L。
解析
【分析】
本题是正负数在实际行程问题中的应用，解题思路如下：
(1) 回到出发点意味着累计行驶的代数和为0，我们从第一次行驶记录开始依次累加，直到累加结果为0，对应的次数就是所求的乘客序号，计算时可以用加法交换律和结合律简化运算。
(2) 求送完最后一名乘客距出发点的距离，需要将所有行驶记录相加，所得结果的绝对值就是距离出发点的距离，结果的正负表示相对出发点的方向。
(3) 耗油量和行驶方向无关，只和总路程有关，因此总路程是所有行驶记录的绝对值之和，算出总路程后再结合每100km的耗油量即可求出总耗油量。
【解析】
(1) 计算前6次行驶记录的和：
$\begin{aligned}(+8)+(+4)+(-10)+(-3)+(+6)+(-5)&=[(+8)+(+4)+(+6)]+[(-10)+(-3)+(-5)]\\&=18-18\\&=0\end{aligned}$
(2) 计算所有行驶记录的和：
$\begin{aligned}&(+8)+(+4)+(-10)+(-3)+(+6)+(-5)+(-2)+(-7)+(+4)+(+6)+(-9)+(-11)\\=&[(+8)+(+4)+(+6)+(+4)+(+6)]+[(-10)+(-3)+(-5)+(-2)+(-7)+(-9)+(-11)]\\=&28-47\\=&-19\end{aligned}$
距出发点的距离为$|-19|=19\ \mathrm{km}$
(3) 计算总行驶路程：
$\begin{aligned}&|+8|+|+4|+|-10|+|-3|+|+6|+|-5|+|-2|+|-7|+|+4|+|+6|+|-9|+|-11|\\=&8+4+10+3+6+5+2+7+4+6+9+11\\=&75\ (\mathrm{km})\end{aligned}$
耗油量为：$75×\frac{7}{100}=5.25\ (\mathrm{L})$
【答案】
(1) 第6名；(2) 19 km；(3) 5.25 L
【知识点】
正负数的实际意义，有理数加法运算，绝对值的应用
【点评】
本题结合生活场景考察有理数的相关运算，解题核心是区分“相对出发点的位移”和“总行驶路程”的差异，位移是行驶记录代数和的绝对值，总路程是所有行驶记录绝对值的和，计算时合理运用加法运算律可简化过程、降低错误率。
【难度系数】
0.7
本题是正负数在实际行程问题中的应用，解题思路如下：
(1) 回到出发点意味着累计行驶的代数和为0，我们从第一次行驶记录开始依次累加，直到累加结果为0，对应的次数就是所求的乘客序号，计算时可以用加法交换律和结合律简化运算。
(2) 求送完最后一名乘客距出发点的距离，需要将所有行驶记录相加，所得结果的绝对值就是距离出发点的距离，结果的正负表示相对出发点的方向。
(3) 耗油量和行驶方向无关，只和总路程有关，因此总路程是所有行驶记录的绝对值之和，算出总路程后再结合每100km的耗油量即可求出总耗油量。
【解析】
(1) 计算前6次行驶记录的和：
$\begin{aligned}(+8)+(+4)+(-10)+(-3)+(+6)+(-5)&=[(+8)+(+4)+(+6)]+[(-10)+(-3)+(-5)]\\&=18-18\\&=0\end{aligned}$
(2) 计算所有行驶记录的和：
$\begin{aligned}&(+8)+(+4)+(-10)+(-3)+(+6)+(-5)+(-2)+(-7)+(+4)+(+6)+(-9)+(-11)\\=&[(+8)+(+4)+(+6)+(+4)+(+6)]+[(-10)+(-3)+(-5)+(-2)+(-7)+(-9)+(-11)]\\=&28-47\\=&-19\end{aligned}$
距出发点的距离为$|-19|=19\ \mathrm{km}$
(3) 计算总行驶路程：
$\begin{aligned}&|+8|+|+4|+|-10|+|-3|+|+6|+|-5|+|-2|+|-7|+|+4|+|+6|+|-9|+|-11|\\=&8+4+10+3+6+5+2+7+4+6+9+11\\=&75\ (\mathrm{km})\end{aligned}$
耗油量为：$75×\frac{7}{100}=5.25\ (\mathrm{L})$
【答案】
(1) 第6名；(2) 19 km；(3) 5.25 L
【知识点】
正负数的实际意义，有理数加法运算，绝对值的应用
【点评】
本题结合生活场景考察有理数的相关运算，解题核心是区分“相对出发点的位移”和“总行驶路程”的差异，位移是行驶记录代数和的绝对值，总路程是所有行驶记录绝对值的和，计算时合理运用加法运算律可简化过程、降低错误率。
【难度系数】
0.7
