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【变式2】在某届航展上，某飞行表演队在航展上表演特技飞行.表演时飞机从空中某一位置开始，上升的高度记作正数，下降的高度记作负数，连续五次特技飞行高度记录(单位:km)如下:+2.5,−1.2,+1.1,−1.5,+0.8.
(1)飞机最后所在的位置比开始位置高还是低？高了多少千米或低了多少千米？
(2)若飞机平均上升1 km需消耗6 L燃油，平均下降1 km需消耗4 L燃油，则飞机在这五次特技飞行中，一共消耗多少升燃油？
(1)飞机最后所在的位置比开始位置高还是低？高了多少千米或低了多少千米？
(2)若飞机平均上升1 km需消耗6 L燃油，平均下降1 km需消耗4 L燃油，则飞机在这五次特技飞行中，一共消耗多少升燃油？
答案
解：
(1) 计算五次飞行高度的总和：
$\begin{aligned}&(+2.5)+(-1.2)+(+1.1)+(-1.5)+(+0.8)\\=&[(+2.5)+(+1.1)+(+0.8)]+[(-1.2)+(-1.5)]\\=&4.4+(-2.7)\\=&1.7(\mathrm{km})\end{aligned}$
结果为正，说明飞机最后所在的位置比开始位置高，高了1.7千米。
(2) 上升的总路程为：
$|+2.5|+|+1.1|+|+0.8|=4.4(\mathrm{km})$
上升消耗燃油：$4.4×6=26.4(\mathrm{L})$
下降的总路程为：
$|-1.2|+|-1.5|=2.7(\mathrm{km})$
下降消耗燃油：$2.7×4=10.8(\mathrm{L})$
总耗油量：$26.4+10.8=37.2(\mathrm{L})$
答：(1) 飞机最后所在的位置比开始位置高，高了1.7千米；(2) 一共消耗37.2升燃油。
(1) 计算五次飞行高度的总和：
$\begin{aligned}&(+2.5)+(-1.2)+(+1.1)+(-1.5)+(+0.8)\\=&[(+2.5)+(+1.1)+(+0.8)]+[(-1.2)+(-1.5)]\\=&4.4+(-2.7)\\=&1.7(\mathrm{km})\end{aligned}$
结果为正，说明飞机最后所在的位置比开始位置高，高了1.7千米。
(2) 上升的总路程为：
$|+2.5|+|+1.1|+|+0.8|=4.4(\mathrm{km})$
上升消耗燃油：$4.4×6=26.4(\mathrm{L})$
下降的总路程为：
$|-1.2|+|-1.5|=2.7(\mathrm{km})$
下降消耗燃油：$2.7×4=10.8(\mathrm{L})$
总耗油量：$26.4+10.8=37.2(\mathrm{L})$
答：(1) 飞机最后所在的位置比开始位置高，高了1.7千米；(2) 一共消耗37.2升燃油。
解析
【分析】
（1）要判断飞机最终位置和初始位置的高低，核心是计算五次高度变化的代数和：题目规定上升为正、下降为负，五个数相加的结果若为正，说明最终位置更高，结果为负则更低，结果的绝对值就是高低差。计算时可利用有理数加法交换律和结合律，将正数、负数分别归类求和，简化运算。
（2）计算耗油量时，上升和下降的油耗标准不同，且油耗仅和实际飞行的路程有关，与升降方向无关，因此需要先分别统计上升总高度（所有正数的绝对值之和）、下降总高度（所有负数的绝对值之和），再分别乘以对应每千米的耗油量，相加后得到总耗油量。
【解析】
(1) 计算五次飞行高度的总和：
$\begin{aligned}&(+2.5)+(-1.2)+(+1.1)+(-1.5)+(+0.8)\\=&[(+2.5)+(+1.1)+(+0.8)]+[(-1.2)+(-1.5)]\\=&4.4+(-2.7)\\=&1.7(\mathrm{km})\end{aligned}$
结果为正，说明飞机最后所在的位置比开始位置高，高了1.7千米。
(2) 上升的总高度为：
$|+2.5|+|+1.1|+|+0.8|=4.4(\mathrm{km})$
上升消耗燃油：$4.4×6=26.4(\mathrm{L})$
下降的总高度为：
$|-1.2|+|-1.5|=2.7(\mathrm{km})$
下降消耗燃油：$2.7×4=10.8(\mathrm{L})$
总耗油量：$26.4+10.8=37.2(\mathrm{L})$
【答案】
(1) 飞机最后所在的位置比开始位置高，高了1.7千米；
(2) 一共消耗37.2升燃油。
【知识点】
正负数的实际应用，有理数加法运算律，绝对值的应用
【点评】
本题结合特技飞行的实际场景出题，解题时需要注意区分“高度净变化量”和“实际飞行总路程”的计算差异，既考察了有理数运算的基本功，也能锻炼用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
（1）要判断飞机最终位置和初始位置的高低，核心是计算五次高度变化的代数和：题目规定上升为正、下降为负，五个数相加的结果若为正，说明最终位置更高，结果为负则更低，结果的绝对值就是高低差。计算时可利用有理数加法交换律和结合律，将正数、负数分别归类求和，简化运算。
（2）计算耗油量时，上升和下降的油耗标准不同，且油耗仅和实际飞行的路程有关，与升降方向无关，因此需要先分别统计上升总高度（所有正数的绝对值之和）、下降总高度（所有负数的绝对值之和），再分别乘以对应每千米的耗油量，相加后得到总耗油量。
【解析】
(1) 计算五次飞行高度的总和：
$\begin{aligned}&(+2.5)+(-1.2)+(+1.1)+(-1.5)+(+0.8)\\=&[(+2.5)+(+1.1)+(+0.8)]+[(-1.2)+(-1.5)]\\=&4.4+(-2.7)\\=&1.7(\mathrm{km})\end{aligned}$
结果为正，说明飞机最后所在的位置比开始位置高，高了1.7千米。
(2) 上升的总高度为：
$|+2.5|+|+1.1|+|+0.8|=4.4(\mathrm{km})$
上升消耗燃油：$4.4×6=26.4(\mathrm{L})$
下降的总高度为：
$|-1.2|+|-1.5|=2.7(\mathrm{km})$
下降消耗燃油：$2.7×4=10.8(\mathrm{L})$
总耗油量：$26.4+10.8=37.2(\mathrm{L})$
【答案】
(1) 飞机最后所在的位置比开始位置高，高了1.7千米；
(2) 一共消耗37.2升燃油。
【知识点】
正负数的实际应用，有理数加法运算律，绝对值的应用
【点评】
本题结合特技飞行的实际场景出题，解题时需要注意区分“高度净变化量”和“实际飞行总路程”的计算差异，既考察了有理数运算的基本功，也能锻炼用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
1. 下列变形中，运用加法运算律正确的是().
A.$3+(-2)=2+3$
B.$4+(-6)+3=(-6)+4+3$
C.$[5+(-2)]+4=[5+(-4)]+2$
D.$\frac{1}{6}+(-1)+(+\frac{5}{6})=(\frac{1}{6}+\frac{5}{6})+(+1)$
A.$3+(-2)=2+3$
B.$4+(-6)+3=(-6)+4+3$
C.$[5+(-2)]+4=[5+(-4)]+2$
D.$\frac{1}{6}+(-1)+(+\frac{5}{6})=(\frac{1}{6}+\frac{5}{6})+(+1)$
答案
B
解析
【分析】
首先明确有理数加法的两个运算律：1.加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，即$a+b=b+a$，注意交换时要连同加数的符号一起交换；2.加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，即$(a+b)+c=a+(b+c)$。解题时逐一对照运算律验证每个选项是否符合即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. $3+(-2)$运用加法交换律应该为$(-2)+3$，选项中等式右边把$-2$的符号丢掉写成了$2$，变形错误。
B. $4+(-6)+3$交换$4$和$-6$的位置，得到$(-6)+4+3$，符合加法交换律，变形正确。
C. $[5+(-2)]+4$不管用交换律还是结合律，加数的符号都不能改变，选项中等式右边把$-2$改成了$+2$，$+4$改成了$-4$，变形错误。
D. $\frac{1}{6}+(-1)+(+\frac{5}{6})$运用结合律分组应该为$(\frac{1}{6}+\frac{5}{6})+(-1)$，选项中等式右边把$-1$写成了$+1$，变形错误。
综上，只有B选项变形正确。
【答案】
B
【知识点】
加法交换律、加法结合律
【点评】
本题核心易错点是运用加法运算律交换加数位置时，必须连同加数的符号一起交换，不能只交换数字而忽略符号，做题时要注意核对每个加数的符号是否保持不变。
【难度系数】
0.8
首先明确有理数加法的两个运算律：1.加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，即$a+b=b+a$，注意交换时要连同加数的符号一起交换；2.加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，即$(a+b)+c=a+(b+c)$。解题时逐一对照运算律验证每个选项是否符合即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. $3+(-2)$运用加法交换律应该为$(-2)+3$，选项中等式右边把$-2$的符号丢掉写成了$2$，变形错误。
B. $4+(-6)+3$交换$4$和$-6$的位置，得到$(-6)+4+3$，符合加法交换律，变形正确。
C. $[5+(-2)]+4$不管用交换律还是结合律，加数的符号都不能改变，选项中等式右边把$-2$改成了$+2$，$+4$改成了$-4$，变形错误。
D. $\frac{1}{6}+(-1)+(+\frac{5}{6})$运用结合律分组应该为$(\frac{1}{6}+\frac{5}{6})+(-1)$，选项中等式右边把$-1$写成了$+1$，变形错误。
综上，只有B选项变形正确。
【答案】
B
【知识点】
加法交换律、加法结合律
【点评】
本题核心易错点是运用加法运算律交换加数位置时，必须连同加数的符号一起交换，不能只交换数字而忽略符号，做题时要注意核对每个加数的符号是否保持不变。
【难度系数】
0.8
2. $5+(-3)+12=5+12+(-3)$运用了()。
A.加法交换律
B.加法结合律
C.分配律
D.移项
A.加法交换律
B.加法结合律
C.分配律
D.移项
答案
A
解析
【分析】
解题时首先要明确各选项对应的数学概念的定义，再对比题干中式子的变化特征判断符合哪一规律：1.先回忆加法交换律、加法结合律、分配律、移项的核心特征；2.观察等式左右两边的加数是否变化、位置或运算顺序是否调整；3.将式子的变化和各概念特征匹配，得出答案。
【解析】
我们先分析等式的变化：等式左边为$5+(-3)+12$，等式右边为$5+12+(-3)$，两个式子的加数完全相同，仅交换了$-3$和$12$两个加数的位置，和不变。
再逐一判断选项：
A. 加法交换律的内容是：两个数相加，交换加数的位置，和不变，多个数相加时交换任意加数位置和也不变，符合本题式子的变化特征；
B. 加法结合律是改变加法的运算顺序，不交换加数位置，不符合本题特征；
C. 分配律是乘法对加法的运算规律，本题仅涉及加法运算，不符合；
D. 移项是解方程时将项从等号的一侧移到另一侧，需要改变符号，本题是等号同侧交换加数位置，不属于移项，不符合。
因此选A。
【答案】
A
【知识点】
加法交换律；有理数加法运算律
【点评】
本题考查对常见运算规律和相关概念的区分，解题的关键是准确掌握各概念的核心特征，分清交换加数位置、改变运算顺序、移项等操作的差异，属于基础概念类考题。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确各选项对应的数学概念的定义，再对比题干中式子的变化特征判断符合哪一规律：1.先回忆加法交换律、加法结合律、分配律、移项的核心特征；2.观察等式左右两边的加数是否变化、位置或运算顺序是否调整；3.将式子的变化和各概念特征匹配，得出答案。
【解析】
我们先分析等式的变化：等式左边为$5+(-3)+12$，等式右边为$5+12+(-3)$，两个式子的加数完全相同，仅交换了$-3$和$12$两个加数的位置，和不变。
再逐一判断选项：
A. 加法交换律的内容是：两个数相加，交换加数的位置，和不变，多个数相加时交换任意加数位置和也不变，符合本题式子的变化特征；
B. 加法结合律是改变加法的运算顺序，不交换加数位置，不符合本题特征；
C. 分配律是乘法对加法的运算规律，本题仅涉及加法运算，不符合；
D. 移项是解方程时将项从等号的一侧移到另一侧，需要改变符号，本题是等号同侧交换加数位置，不属于移项，不符合。
因此选A。
【答案】
A
【知识点】
加法交换律；有理数加法运算律
【点评】
本题考查对常见运算规律和相关概念的区分，解题的关键是准确掌握各概念的核心特征，分清交换加数位置、改变运算顺序、移项等操作的差异，属于基础概念类考题。
【难度系数】
0.9
3.七年级(1)班一学期的班费收支情况如下(收入为正):+250元,−55元,−120元,+7元.该班期末时,班费结余为().
A.82元
B.85元
C.35元
D.92元
A.82元
B.85元
C.35元
D.92元
答案
A
解析
【分析】
首先明确班费结余的计算逻辑：结余等于所有收支金额的代数和，题目中已经规定收入为正，支出为负，因此只需把给出的4个收支数据相加即可。计算时可以运用有理数加法的交换律和结合律，将正数、负数分别归类相加，能简化计算步骤，减少计算错误。
【解析】
根据题意，班费结余为所有收支的和，列式计算如下：
$\begin{aligned}&(+250)+(-55)+(-120)+(+7)\\=&(250+7)+[(-55)+(-120)] \quad \mathrm{（加法交换律、结合律）}\\=&257+(-175)\\=&257-175\\=&82(\mathrm{元})\end{aligned}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
正负数的应用、有理数加法、加法运算律
【点评】
本题结合生活中的班费收支场景考查有理数加法的实际应用，解题核心是理解正负数的实际意义，合理运用加法运算律可提升计算效率，属于基础类题目。
【难度系数】
0.85
首先明确班费结余的计算逻辑：结余等于所有收支金额的代数和，题目中已经规定收入为正，支出为负，因此只需把给出的4个收支数据相加即可。计算时可以运用有理数加法的交换律和结合律，将正数、负数分别归类相加，能简化计算步骤，减少计算错误。
【解析】
根据题意，班费结余为所有收支的和，列式计算如下：
$\begin{aligned}&(+250)+(-55)+(-120)+(+7)\\=&(250+7)+[(-55)+(-120)] \quad \mathrm{（加法交换律、结合律）}\\=&257+(-175)\\=&257-175\\=&82(\mathrm{元})\end{aligned}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
正负数的应用、有理数加法、加法运算律
【点评】
本题结合生活中的班费收支场景考查有理数加法的实际应用，解题核心是理解正负数的实际意义，合理运用加法运算律可提升计算效率，属于基础类题目。
【难度系数】
0.85
4.利用加法运算律简便运算：
(1)$(-5)+3+(+5)+(-2)$；
(2)$19.5+(-6.9)+(-3.1)+(-9.5)$；
(3)$4.5+(-2.5)+9\frac{1}{3}+(-15\frac{2}{3})+2\frac{1}{3}$。
(1)$(-5)+3+(+5)+(-2)$；
(2)$19.5+(-6.9)+(-3.1)+(-9.5)$；
(3)$4.5+(-2.5)+9\frac{1}{3}+(-15\frac{2}{3})+2\frac{1}{3}$。
答案
解：
(1) 原式$=[(-5)+(+5)]+[3+(-2)]$
$=0+1$
$=1$
(2) 原式$=[19.5+(-9.5)]+[(-6.9)+(-3.1)]$
$=10+(-10)$
$=0$
(3) 原式$=[4.5+(-2.5)]+[9\frac{1}{3}+(-15\frac{2}{3})+2\frac{1}{3}]$
$=2+[(9\frac{1}{3}+2\frac{1}{3})+(-15\frac{2}{3})]$
$=2+(11\frac{2}{3}-15\frac{2}{3})$
$=2+(-4)$
$=-2$
(1) 原式$=[(-5)+(+5)]+[3+(-2)]$
$=0+1$
$=1$
(2) 原式$=[19.5+(-9.5)]+[(-6.9)+(-3.1)]$
$=10+(-10)$
$=0$
(3) 原式$=[4.5+(-2.5)]+[9\frac{1}{3}+(-15\frac{2}{3})+2\frac{1}{3}]$
$=2+[(9\frac{1}{3}+2\frac{1}{3})+(-15\frac{2}{3})]$
$=2+(11\frac{2}{3}-15\frac{2}{3})$
$=2+(-4)$
$=-2$
解析
【分析】
进行有理数加法简便运算时，核心是灵活运用加法交换律和结合律，优先将特征匹配的数结合计算：①互为相反数的两个数相加得0，可先结合；②相加能得到整数的数可先凑整结合；③同分母的分数可先结合计算，避免通分麻烦。
针对3个小题具体思考：
(1) 观察到-5和+5互为相反数，先结合得0，再计算剩余的3和-2的和即可；
(2) 观察到19.5和-9.5相减得整数10，-6.9和-3.1相加得整数-10，两组分别结合后再计算；
(3) 先将小数4.5和-2.5结合凑出整数2，剩余3个同分母的带分数，先将两个正带分数相加，再和负带分数计算，简化运算。
【解析】
(1) 原式$=[(-5)+(+5)]+[3+(-2)]$
$=0+1$
$=1$
(2) 原式$=[19.5+(-9.5)]+[(-6.9)+(-3.1)]$
$=10+(-10)$
$=0$
(3) 原式$=[4.5+(-2.5)]+[9\frac{1}{3}+(-15\frac{2}{3})+2\frac{1}{3}]$
$=2+[(9\frac{1}{3}+2\frac{1}{3})+(-15\frac{2}{3})]$
$=2+(11\frac{2}{3}-15\frac{2}{3})$
$=2+(-4)$
$=-2$
【答案】
(1)$1$；(2)$0$；(3)$-2$
【知识点】
有理数加法运算律；凑整简便计算；相反数性质
【点评】
本题是有理数加法运算的基础题型，解题的核心是学会观察数字特征，选择合适的数优先结合计算，既能提升运算速度，也能降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
进行有理数加法简便运算时，核心是灵活运用加法交换律和结合律，优先将特征匹配的数结合计算：①互为相反数的两个数相加得0，可先结合；②相加能得到整数的数可先凑整结合；③同分母的分数可先结合计算，避免通分麻烦。
针对3个小题具体思考：
(1) 观察到-5和+5互为相反数，先结合得0，再计算剩余的3和-2的和即可；
(2) 观察到19.5和-9.5相减得整数10，-6.9和-3.1相加得整数-10，两组分别结合后再计算；
(3) 先将小数4.5和-2.5结合凑出整数2，剩余3个同分母的带分数，先将两个正带分数相加，再和负带分数计算，简化运算。
【解析】
(1) 原式$=[(-5)+(+5)]+[3+(-2)]$
$=0+1$
$=1$
(2) 原式$=[19.5+(-9.5)]+[(-6.9)+(-3.1)]$
$=10+(-10)$
$=0$
(3) 原式$=[4.5+(-2.5)]+[9\frac{1}{3}+(-15\frac{2}{3})+2\frac{1}{3}]$
$=2+[(9\frac{1}{3}+2\frac{1}{3})+(-15\frac{2}{3})]$
$=2+(11\frac{2}{3}-15\frac{2}{3})$
$=2+(-4)$
$=-2$
【答案】
(1)$1$；(2)$0$；(3)$-2$
【知识点】
有理数加法运算律；凑整简便计算；相反数性质
【点评】
本题是有理数加法运算的基础题型，解题的核心是学会观察数字特征，选择合适的数优先结合计算，既能提升运算速度，也能降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
