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8. 如图14.2-8，∠1=∠B，点E，F分别在AB，BC上，BE=CD，BF=CA，连接EF.
(1) 求证∠D=∠2；
(2) 若EF//AC，∠D=78°，求∠BAC的度数.
图14.2-8
(1) 求证∠D=∠2；
(2) 若EF//AC，∠D=78°，求∠BAC的度数.
图14.2-8
答案
8. (1) 证明：在△BEF 和△CDA 中，$\begin{cases} BE=CD, \\ ∠B=∠1, \\ BF=CA, \end{cases}$
∴△BEF≌△CDA（SAS）.
∴∠D=∠2.
(2) 解：
∵∠D=∠2，∠D=78°，
∴∠2=78°.
∵EF//AC，
∴∠BAC=∠2=78°.
∴△BEF≌△CDA（SAS）.
∴∠D=∠2.
(2) 解：
∵∠D=∠2，∠D=78°，
∴∠2=78°.
∵EF//AC，
∴∠BAC=∠2=78°.
解析
【分析】
(1) 要证明∠D=∠2，观察两角分别属于△BEF和△CDA，已知两组对应边相等：BE=CD、BF=CA，且题目给出一组对应角相等∠B=∠1，恰好符合SAS全等判定条件，可先证两个三角形全等，再利用全等三角形对应角相等即可得证；(2) 由(1)的结论可先得到∠2与∠D相等，再结合EF//AC的条件，利用平行线同位角相等的性质，即可求出∠BAC的度数。
【解析】
(1) 证明：在△BEF 和△CDA 中，
$\begin{cases} BE=CD, \\ ∠B=∠1, \\ BF=CA, \end{cases}$
∴△BEF≌△CDA（SAS），
∴∠D=∠2。
(2) 解：
∵∠D=∠2，∠D=78°，
∴∠2=78°，
∵EF//AC，根据两直线平行，同位角相等，
∴∠BAC=∠2=78°。
【答案】
(1) 证明如上；(2) $78°$
【知识点】
SAS判定全等、全等三角形性质、平行线的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是找准全等三角形的对应边和对应角，熟练掌握相关基础定理即可顺利解题，作答时要注意逻辑严谨，全等判定的对应条件不要混淆。
【难度系数】
0.8
(1) 要证明∠D=∠2，观察两角分别属于△BEF和△CDA，已知两组对应边相等：BE=CD、BF=CA，且题目给出一组对应角相等∠B=∠1，恰好符合SAS全等判定条件，可先证两个三角形全等，再利用全等三角形对应角相等即可得证；(2) 由(1)的结论可先得到∠2与∠D相等，再结合EF//AC的条件，利用平行线同位角相等的性质，即可求出∠BAC的度数。
【解析】
(1) 证明：在△BEF 和△CDA 中，
$\begin{cases} BE=CD, \\ ∠B=∠1, \\ BF=CA, \end{cases}$
∴△BEF≌△CDA（SAS），
∴∠D=∠2。
(2) 解：
∵∠D=∠2，∠D=78°，
∴∠2=78°，
∵EF//AC，根据两直线平行，同位角相等，
∴∠BAC=∠2=78°。
【答案】
(1) 证明如上；(2) $78°$
【知识点】
SAS判定全等、全等三角形性质、平行线的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是找准全等三角形的对应边和对应角，熟练掌握相关基础定理即可顺利解题，作答时要注意逻辑严谨，全等判定的对应条件不要混淆。
【难度系数】
0.8
9. 如图14.2-9，在△ABC中，D是边BC的中点，连接AD并延长到点E，使$DE=AD$，连接CE.
（1）求证$△ ABD ≌ △ ECD$；
（2）若$△ ABD$的面积为5，求$△ ACE$的面积.
图14.2-9
（1）求证$△ ABD ≌ △ ECD$；
（2）若$△ ABD$的面积为5，求$△ ACE$的面积.
图14.2-9
答案
9. （1）证明：
∵D 是边 BC 的中点，
∴BD=CD.
在△ABD 和△ECD 中，$\begin{cases} BD=CD, \\ ∠ADB=∠EDC, \\ AD=ED, \end{cases}$
∴△ABD≌△ECD（SAS）.
（2）解：
∵D 是边 BC 的中点，
∴$S_{△ABD}=S_{△ACD}$.
∵△ABD≌△ECD，
∴$S_{△ABD}=S_{△ECD}$.
∴$S_{△ACD}=S_{△ECD}=S_{△ABD}=5$.
∴$S_{△ACE}=S_{△ACD}+S_{△ECD}=5+5=10$，
即△ACE 的面积为 10.
∵D 是边 BC 的中点，
∴BD=CD.
在△ABD 和△ECD 中，$\begin{cases} BD=CD, \\ ∠ADB=∠EDC, \\ AD=ED, \end{cases}$
∴△ABD≌△ECD（SAS）.
（2）解：
∵D 是边 BC 的中点，
∴$S_{△ABD}=S_{△ACD}$.
∵△ABD≌△ECD，
∴$S_{△ABD}=S_{△ECD}$.
∴$S_{△ACD}=S_{△ECD}=S_{△ABD}=5$.
∴$S_{△ACE}=S_{△ACD}+S_{△ECD}=5+5=10$，
即△ACE 的面积为 10.
解析
【分析】
（1）要证明△ABD≌△ECD，先梳理已知条件：由D是BC中点可得BD=CD，题目给出DE=AD，再结合对顶角∠ADB=∠EDC，满足两边及其夹角对应相等的条件，即可用SAS判定两个三角形全等。
（2）求△ACE的面积，首先根据D是BC中点，△ABD和△ACD等底同高，面积相等；再结合第一问的全等结论，全等三角形面积相等，可得△ACD、△ECD的面积都等于△ABD的面积，△ACE的面积是这两个三角形面积之和，代入数值计算即可。
【解析】
（1）证明：
∵D是边BC的中点，
∴BD=CD。
在△ABD和△ECD中，
$\begin{cases} BD=CD, \\ ∠ADB=∠EDC, \\ AD=ED, \end{cases}$
∴△ABD≌△ECD（SAS）。
（2）解：
∵D是边BC的中点，△ABD和△ACD等底同高，
∴$S_{△ABD}=S_{△ACD}$。
∵△ABD≌△ECD，
∴$S_{△ABD}=S_{△ECD}$。
∴$S_{△ACD}=S_{△ECD}=S_{△ABD}=5$。
∴$S_{△ACE}=S_{△ACD}+S_{△ECD}=5+5=10$。
【答案】
（1）△ABD≌△ECD得证；
（2）△ACE的面积为10。
【知识点】
SAS判定全等、全等三角形的性质、等底同高三角形面积相等
【点评】
本题是全等三角形与三角形面积结合的基础题，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，结合中点性质得到相等的边和面积关系，侧重对基础知识应用能力的考察。
【难度系数】
0.8
（1）要证明△ABD≌△ECD，先梳理已知条件：由D是BC中点可得BD=CD，题目给出DE=AD，再结合对顶角∠ADB=∠EDC，满足两边及其夹角对应相等的条件，即可用SAS判定两个三角形全等。
（2）求△ACE的面积，首先根据D是BC中点，△ABD和△ACD等底同高，面积相等；再结合第一问的全等结论，全等三角形面积相等，可得△ACD、△ECD的面积都等于△ABD的面积，△ACE的面积是这两个三角形面积之和，代入数值计算即可。
【解析】
（1）证明：
∵D是边BC的中点，
∴BD=CD。
在△ABD和△ECD中，
$\begin{cases} BD=CD, \\ ∠ADB=∠EDC, \\ AD=ED, \end{cases}$
∴△ABD≌△ECD（SAS）。
（2）解：
∵D是边BC的中点，△ABD和△ACD等底同高，
∴$S_{△ABD}=S_{△ACD}$。
∵△ABD≌△ECD，
∴$S_{△ABD}=S_{△ECD}$。
∴$S_{△ACD}=S_{△ECD}=S_{△ABD}=5$。
∴$S_{△ACE}=S_{△ACD}+S_{△ECD}=5+5=10$。
【答案】
（1）△ABD≌△ECD得证；
（2）△ACE的面积为10。
【知识点】
SAS判定全等、全等三角形的性质、等底同高三角形面积相等
【点评】
本题是全等三角形与三角形面积结合的基础题，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，结合中点性质得到相等的边和面积关系，侧重对基础知识应用能力的考察。
【难度系数】
0.8
