3. 如图14.2-3，AB平分∠DAC，要用“SAS”判定$△ ABC ≌ △ ABD$，还需添加条件（）.

A.$CB=DB$
B.$AB=AB$
C.$AC=AD$
D.$∠ C=∠ D$

图14.2-3 图14.2-4 图14.2-5 图14.2-6

3. C

【分析】
首先回忆三角形全等的“SAS”判定定理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。先从题目已知条件入手，AB平分∠DAC，根据角平分线的定义可得∠CAB=∠DAB，同时AB是△ABC和△ABD的公共边，天然满足AB=AB。现在要凑齐“SAS”的条件：已经有了一组夹角相等，夹角的其中一条边相等，还差夹角的另一条边对应相等，也就是AC=AD，再逐个排查选项排除不符合要求的即可。
【解析】
已知AB平分∠DAC，根据角平分线的定义，得∠CAB=∠DAB。
△ABC和△ABD中，已有公共边AB=AB，要使用“SAS”判定全等，需要满足“两边及其夹角对应相等”：
当前已知夹角∠CAB=∠DAB，夹这个角的两条边中，AB=AB已经成立，还需要另一条夹边相等，即AC=AD。
逐一分析选项：
A选项：CB=DB，此时构成SSA，不能判定三角形全等，不符合要求；
B选项：AB=AB是公共边，属于已知隐含条件，不需要额外添加，不符合要求；
C选项：AC=AD，此时满足AC=AD，∠CAB=∠DAB，AB=AB，符合SAS判定条件，正确；
D选项：∠C=∠D，属于AAS判定的条件，不符合题目要求的SAS判定，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义；三角形全等的SAS判定
【点评】
本题考查三角形全等判定中SAS定理的应用，解题关键是先梳理出已知的相等边和角，再结合SAS定理的要求匹配缺失的条件，注意要准确区分不同全等判定定理的适用条件，避免混淆SSA等不能判定全等的情况。
【难度系数】
0.8

4. 如图14.2-4，$AA'$，$BB'$表示两根长度相同的木条. 若$O$是$AA'$，$BB'$的中点，经测量$AB=11\ \mathrm{cm}$，则容器的内径$A'B'$为（）.

A.$8\ \mathrm{cm}$
B.$9\ \mathrm{cm}$
C.$10\ \mathrm{cm}$
D.$11\ \mathrm{cm}$

4. D

【分析】
要解决这道题，我们可以通过证明三角形全等来得到对应边相等。首先从题目给出的“O是AA'，BB'的中点”这一条件，能得到两组对应边相等；再观察图形，两个三角形存在相等的对顶角，满足全等三角形的SAS判定条件，证明两个三角形全等后，利用全等三角形对应边相等的性质，就能直接求出A'B'的长度。
【解析】
解：
∵O是AA'，BB'的中点，
∴$OA=OA'$，$OB=OB'$。
在$△ AOB$和$△ A'OB'$中：
$\begin{cases}OA=OA' \\∠ AOB=∠ A'OB' \mathrm{（对顶角相等）} \\OB=OB'\end{cases}$
∴$△ AOB ≌ △ A'OB'$（SAS）
∴$A'B'=AB=11\ \mathrm{cm}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. SAS判定三角形全等
2. 全等三角形的性质
3. 对顶角的性质
【点评】
这是全等三角形在实际测量中的基础应用题，解题的关键是挖掘图形中隐含的对顶角相等的条件，结合已知的边相等的条件判定三角形全等，再利用全等性质得到所求线段长度，考查对全等判定和性质的基础应用能力。
【难度系数】
0.8

5. 如图14.2-5，CA平分∠DCB，CB=CD，DA的延长线交BC于点E。若∠EAC=49°，则∠BAE的度数为。

5. 82°

【分析】
解题思路可分为三步：首先，由角平分线得到一组等角，结合已知的等边和公共边，可通过SAS判定△ABC和△ADC全等；其次，利用全等三角形对应角相等的性质，得到∠BAC=∠DAC，再根据邻补角的和为180°求出∠DAC的度数，即可得到∠BAC的度数；最后，用∠BAC减去已知的∠EAC的度数，就能算出∠BAE的大小。
【解析】
1. 已知CA平分∠DCB，根据角平分线的定义可得：$∠ DCA=∠ BCA$。
2. 在$△ ABC$和$△ ADC$中：
$\begin{cases} CB=CD（已知）\\ ∠ BCA=∠ DCA（已证）\\ AC=AC（公共边） \end{cases}$
因此$△ ABC≌△ ADC$（SAS）。
3. 根据全等三角形对应角相等，可得$∠ BAC=∠ DAC$。
4. 因为DA的延长线交BC于点E，所以$∠ EAC$和$∠ DAC$是邻补角，即$∠ EAC+∠ DAC=180°$。已知$∠ EAC=49°$，代入得$∠ DAC=180°-49°=131°$，因此$∠ BAC=131°$。
5. 计算$∠ BAE$：$∠ BAE=∠ BAC-∠ EAC=131°-49°=82°$。
【答案】
$82°$
【知识点】
SAS判定三角形全等，全等三角形的性质，邻补角的性质
【点评】
本题属于全等三角形与角度计算的综合题，核心考点是全等三角形的判定和性质，解题的突破口是结合已知条件证明三角形全等，得到对应角的等量关系，再结合邻补角的性质完成角度推导，解题过程需要注意全等三角形对应角的对应关系不要找错。
【难度系数】
0.7

6. 如图14.2-6，AD是$△ ABC$的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且$DE=DF$，连接BF，CE. 有下列说法：①$CE=BF$；②$△ ABD ≌ △ ACD$；③$BF // CE$；④$△ BDF$和$△ CDE$的面积相等. 其中正确的是.（填序号）

6. ①③④

【分析】
解题时先从已知条件入手：首先AD是△ABC的中线，可推出BD=CD；再结合DE=DF、对顶角相等的隐含条件，先证明△BDF和△CDE全等，再根据全等三角形的性质逐一验证四个说法的正误。注意判断△ABD和△ACD全等时，不能默认AB=AC，需严格按全等判定条件分析。
【解析】
1. 证明△BDF≌△CDE：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD。
在△BDF和△CDE中：
$\begin{cases} BD=CD \\ ∠BDF=∠CDE\quad(\mathrm{对顶角相等}) \\ DF=DE \end{cases}$
∴△BDF≌△CDE（SAS）。
2. 逐一判断结论：
①由全等三角形对应边相等，得CE=BF，故①正确；
②△ABD和△ACD中，仅BD=CD、AD为公共边，缺少边或角相等的条件，无法判定全等，故②错误；
③由全等三角形对应角相等，得∠FBD=∠ECD，根据内错角相等，两直线平行，可得BF//CE，故③正确；
④全等三角形面积相等，因此△BDF和△CDE的面积相等，故④正确。
【答案】
①③④
【知识点】
全等三角形的判定与性质；平行线的判定；三角形中线的定义
【点评】
本题是基础的几何综合题，核心是通过已知条件找到全等三角形，再利用全等的性质推导边、角、位置关系和面积关系，解题时要注意避免主观假设三角形为等腰三角形，导致错误判断结论②。
【难度系数】
0.7

7. 如图14.2-7，已知点B，F，C，E在一条直线上，AB=DE，AB//DE，BF=EC。
求证AC//DF。

图14.2-7

7. 证明：
∵BF=EC，
∴BF+FC=EC+FC.
∴BC=EF.
∵AB//DE，
∴∠B=∠E.
在△ABC 和△DEF 中，$\begin{cases} AB=DE, \\ ∠B=∠E, \\ BC=EF, \end{cases}$
∴△ABC≌△DEF（SAS）.
∴∠ACB=∠DFE.
∴AC//DF.

【分析】
要证明AC//DF，根据平行线的判定规则，需要先证明内错角∠ACB=∠DFE。观察两角所属的三角形，可通过证明△ABC≌△DEF得到对应角相等。首先梳理全等的已知条件：题目已给出AB=DE；由AB//DE可推出同位角∠B=∠E；再由BF=EC，给两边同时加上公共线段FC，即可得到全等所需的另一组等边BC=EF，满足SAS的全等判定条件，进而可推导出最终结论。
【解析】
证明：
∵BF=EC，
∴BF+FC=EC+FC，即BC=EF。
∵AB//DE，
∴∠B=∠E。
在△ABC和△DEF中，
$\begin{cases} AB=DE, \\ ∠B=∠E, \\ BC=EF, \end{cases}$
∴△ABC≌△DEF（SAS）。
∴∠ACB=∠DFE。
∴AC//DF。
【答案】
证明：
∵BF=EC，
∴BF+FC=EC+FC.
∴BC=EF.
∵AB//DE，
∴∠B=∠E.
在△ABC 和△DEF 中，$\begin{cases} AB=DE, \\ ∠B=∠E, \\ BC=EF, \end{cases}$
∴△ABC≌△DEF（SAS）.
∴∠ACB=∠DFE.
∴AC//DF.
【知识点】
平行线的性质与判定；SAS证三角形全等；线段和差运算
【点评】
本题属于基础几何证明题，将平行线的证明转化为全等三角形的证明是解题的核心思路，解题关键是利用已知线段关系推导全等所需的等边，结合平行线性质得到等角，通过SAS判定全等后即可得到证平行所需的内错角相等，掌握相关基础知识点就能快速解答。
【难度系数】
0.8