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10. 如图14.2-10，在$△ ABC$中，$AB=7$，$AC=3$，$AD$是$△ ABC$的中线，求$AD$的长的取值范围。
答案
10. 解：如图，延长 AD 到点 E，使 DE=DA，连接 BE.
∵AD 是△ABC 的中线，
∴BD=CD.
在△BED 和△CAD 中，$\begin{cases} BD=CD, \\ ∠EDB=∠ADC, \\ DE=DA, \end{cases}$
∴△BED≌△CAD（SAS）.
∴EB=AC=3.
∵ED=AD，
∴AE=2AD.
在△ABE 中，AB-EB＜AE＜AB+EB，
∴7-3＜2AD＜7+3.
∴2＜AD＜5.
解析
【分析】
要求中线AD的取值范围，需将已知的AB、AC和AD转化到同一个三角形中，利用三角形三边关系求解。我们可以采用“倍长中线法”构造全等三角形：延长AD至E使DE=AD，借助中线的性质得到BD=CD，结合对顶角相等，用SAS证明△BED≌△CAD，将AC转化为BE，此时AE=2AD，在△ABE中利用三边关系列不等式，即可求出AD的范围。
【解析】
延长AD到点E，使DE=DA，连接BE。
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD。
在△BED和△CAD中：
$\begin{cases} BD=CD, \\ ∠EDB=∠ADC, \\ DE=DA, \end{cases}$
∴△BED≌△CAD（SAS），
∴EB=AC=3。
∵DE=DA，
∴AE=AD+DE=2AD。
在△ABE中，根据三角形三边关系可得：$AB-EB＜AE＜AB+EB$，
代入数值：$7-3＜2AD＜7+3$，
即$4＜2AD＜10$，
解得：$2＜AD＜5$。
【答案】
$2＜AD＜5$
【知识点】
倍长中线法，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系
【点评】
本题是三角形中线类问题的典型题，核心解题技巧是掌握倍长中线的辅助线构造方法，通过构造全等三角形将分散的边集中到同一个三角形中，再结合三角形三边关系求解，熟练掌握该辅助线做法可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.6
要求中线AD的取值范围，需将已知的AB、AC和AD转化到同一个三角形中，利用三角形三边关系求解。我们可以采用“倍长中线法”构造全等三角形：延长AD至E使DE=AD，借助中线的性质得到BD=CD，结合对顶角相等，用SAS证明△BED≌△CAD，将AC转化为BE，此时AE=2AD，在△ABE中利用三边关系列不等式，即可求出AD的范围。
【解析】
延长AD到点E，使DE=DA，连接BE。
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD。
在△BED和△CAD中：
$\begin{cases} BD=CD, \\ ∠EDB=∠ADC, \\ DE=DA, \end{cases}$
∴△BED≌△CAD（SAS），
∴EB=AC=3。
∵DE=DA，
∴AE=AD+DE=2AD。
在△ABE中，根据三角形三边关系可得：$AB-EB＜AE＜AB+EB$，
代入数值：$7-3＜2AD＜7+3$，
即$4＜2AD＜10$，
解得：$2＜AD＜5$。
【答案】
$2＜AD＜5$
【知识点】
倍长中线法，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系
【点评】
本题是三角形中线类问题的典型题，核心解题技巧是掌握倍长中线的辅助线构造方法，通过构造全等三角形将分散的边集中到同一个三角形中，再结合三角形三边关系求解，熟练掌握该辅助线做法可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.6
11. 如图14.2-11，在△ABC中，∠BAC=∠B=60°，AB=AC，D，E分别是边BC，AB所在直线上的动点，且BD=AE，直线AD与EC交于点F.
（1）当点D，E分别在边BC，AB上运动时，∠DFC的度数是否发生变化？若不变，求出其度数；若变化，写出其变化规律.
（2）当点D，E分别运动到CB，BA的延长线上时，（1）中的结论是否改变？请说明理由.
图14.2-11
（1）当点D，E分别在边BC，AB上运动时，∠DFC的度数是否发生变化？若不变，求出其度数；若变化，写出其变化规律.
（2）当点D，E分别运动到CB，BA的延长线上时，（1）中的结论是否改变？请说明理由.
图14.2-11
答案
11. 解：（1）∠DFC 的度数不发生变化，且∠DFC=60°.
在△ABD 和△CAE 中，$\begin{cases} AB=CA, \\ ∠B=∠CAE, \\ BD=AE, \end{cases}$
∴△ABD≌△CAE（SAS）.
∴∠BAD=∠ACE.
∴∠DFC=∠DAC+∠ACE=∠DAC+∠BAD=∠BAC=60°.
（2）（1）中的结论不改变. 理由如下：
当点 D，E 分别运动到 CB，BA 的延长线上时，如图.
∵∠ABD+∠ABC=180°，
∠CAE+∠BAC=180°，
∠ABC=∠BAC=60°，
∴∠ABD=∠CAE=120°.
在△ABD 和△CAE 中，$\begin{cases} AB=CA, \\ ∠ABD=∠CAE, \\ BD=AE, \end{cases}$
∴△ABD≌△CAE（SAS）.
∴∠D=∠E.
∵∠EAF=∠BAD，
∴∠DFC=∠EAF+∠E=∠BAD+∠D=∠ABC=60°.
∴当点 D，E 分别运动到 CB，BA 的延长线上时，（1）中的结论不改变.
解析
【分析】
（1）首先由已知∠BAC=∠B=60°、AB=AC，可判断△ABC为等边三角形，得到AB=AC、∠B=∠CAE=60°；结合BD=AE的条件，可通过SAS证明△ABD≌△CAE，得到对应角∠BAD=∠ACE；再利用三角形外角的性质，将∠DFC转化为∠DAC+∠ACE，通过等量代换即可得到∠DFC的定值。
（2）当点运动到延长线上时，先利用平角的性质，结合∠ABC=∠BAC=60°推导出∠ABD=∠CAE=120°，仍然结合AB=AC、BD=AE的条件，通过SAS证明△ABD≌△CAE，得到角的等量关系，再通过对顶角相等和三角形外角的性质进行代换，即可验证结论是否成立。
【解析】
（1）∠DFC的度数不发生变化，推导如下：
在△ABD和△CAE中，
$\begin{cases} AB=CA, \\ ∠B=∠CAE, \\ BD=AE, \end{cases}$
∴△ABD≌△CAE（SAS），
∴∠BAD=∠ACE，
根据三角形外角的性质可得：∠DFC=∠DAC+∠ACE，
代入∠ACE=∠BAD，得∠DFC=∠DAC+∠BAD=∠BAC=60°。
（2）（1）中的结论不改变，理由如下：
当点D，E分别运动到CB，BA的延长线上时，
∵∠ABD+∠ABC=180°，∠CAE+∠BAC=180°，且∠ABC=∠BAC=60°，
∴∠ABD=∠CAE=120°，
在△ABD和△CAE中，
$\begin{cases} AB=CA, \\ ∠ABD=∠CAE, \\ BD=AE, \end{cases}$
∴△ABD≌△CAE（SAS），
∴∠D=∠E，
∵∠EAF和∠BAD是对顶角，
∴∠EAF=∠BAD，
根据三角形外角的性质可得：∠DFC=∠EAF+∠E，
代入∠E=∠D、∠EAF=∠BAD，得∠DFC=∠BAD+∠D=∠ABC=60°，因此（1）的结论不变。
【答案】
11. 解：（1）∠DFC 的度数不发生变化，且∠DFC=60°.
在△ABD 和△CAE 中，$\begin{cases} AB=CA, \\ ∠B=∠CAE, \\ BD=AE, \end{cases}$
∴△ABD≌△CAE（SAS）.
∴∠BAD=∠ACE.
∴∠DFC=∠DAC+∠ACE=∠DAC+∠BAD=∠BAC=60°.
（2）（1）中的结论不改变. 理由如下：
当点 D，E 分别运动到 CB，BA 的延长线上时，如图.
∵∠ABD+∠ABC=180°，
∠CAE+∠BAC=180°，
∠ABC=∠BAC=60°，
∴∠ABD=∠CAE=120°.
在△ABD 和△CAE 中，$\begin{cases} AB=CA, \\ ∠ABD=∠CAE, \\ BD=AE, \end{cases}$
∴△ABD≌△CAE（SAS）.
∴∠D=∠E.
∵∠EAF=∠BAD，
∴∠DFC=∠EAF+∠E=∠BAD+∠D=∠ABC=60°.
∴当点 D，E 分别运动到 CB，BA 的延长线上时，（1）中的结论不改变.
【知识点】
SAS判定三角形全等，三角形外角性质，等边三角形性质
【点评】
本题为动点背景下的角度定值探究题，解题关键是抓住运动过程中不变的边角关系证明三角形全等，通过角的等量代换将待求角度转化为已知定角，能有效考查全等三角形的应用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
（1）首先由已知∠BAC=∠B=60°、AB=AC，可判断△ABC为等边三角形，得到AB=AC、∠B=∠CAE=60°；结合BD=AE的条件，可通过SAS证明△ABD≌△CAE，得到对应角∠BAD=∠ACE；再利用三角形外角的性质，将∠DFC转化为∠DAC+∠ACE，通过等量代换即可得到∠DFC的定值。
（2）当点运动到延长线上时，先利用平角的性质，结合∠ABC=∠BAC=60°推导出∠ABD=∠CAE=120°，仍然结合AB=AC、BD=AE的条件，通过SAS证明△ABD≌△CAE，得到角的等量关系，再通过对顶角相等和三角形外角的性质进行代换，即可验证结论是否成立。
【解析】
（1）∠DFC的度数不发生变化，推导如下：
在△ABD和△CAE中，
$\begin{cases} AB=CA, \\ ∠B=∠CAE, \\ BD=AE, \end{cases}$
∴△ABD≌△CAE（SAS），
∴∠BAD=∠ACE，
根据三角形外角的性质可得：∠DFC=∠DAC+∠ACE，
代入∠ACE=∠BAD，得∠DFC=∠DAC+∠BAD=∠BAC=60°。
（2）（1）中的结论不改变，理由如下：
当点D，E分别运动到CB，BA的延长线上时，
∵∠ABD+∠ABC=180°，∠CAE+∠BAC=180°，且∠ABC=∠BAC=60°，
∴∠ABD=∠CAE=120°，
在△ABD和△CAE中，
$\begin{cases} AB=CA, \\ ∠ABD=∠CAE, \\ BD=AE, \end{cases}$
∴△ABD≌△CAE（SAS），
∴∠D=∠E，
∵∠EAF和∠BAD是对顶角，
∴∠EAF=∠BAD，
根据三角形外角的性质可得：∠DFC=∠EAF+∠E，
代入∠E=∠D、∠EAF=∠BAD，得∠DFC=∠BAD+∠D=∠ABC=60°，因此（1）的结论不变。
【答案】
11. 解：（1）∠DFC 的度数不发生变化，且∠DFC=60°.
在△ABD 和△CAE 中，$\begin{cases} AB=CA, \\ ∠B=∠CAE, \\ BD=AE, \end{cases}$
∴△ABD≌△CAE（SAS）.
∴∠BAD=∠ACE.
∴∠DFC=∠DAC+∠ACE=∠DAC+∠BAD=∠BAC=60°.
（2）（1）中的结论不改变. 理由如下：
当点 D，E 分别运动到 CB，BA 的延长线上时，如图.
∵∠ABD+∠ABC=180°，
∠CAE+∠BAC=180°，
∠ABC=∠BAC=60°，
∴∠ABD=∠CAE=120°.
在△ABD 和△CAE 中，$\begin{cases} AB=CA, \\ ∠ABD=∠CAE, \\ BD=AE, \end{cases}$
∴△ABD≌△CAE（SAS）.
∴∠D=∠E.
∵∠EAF=∠BAD，
∴∠DFC=∠EAF+∠E=∠BAD+∠D=∠ABC=60°.
∴当点 D，E 分别运动到 CB，BA 的延长线上时，（1）中的结论不改变.
【知识点】
SAS判定三角形全等，三角形外角性质，等边三角形性质
【点评】
本题为动点背景下的角度定值探究题，解题关键是抓住运动过程中不变的边角关系证明三角形全等，通过角的等量代换将待求角度转化为已知定角，能有效考查全等三角形的应用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
