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8.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车，已知在甲、乙两地的销售利润$y$(万元)与销售量$x$(辆)之间分别满足：$y_1 = -x^2 + 10x$，$y_2 = 2x$.若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为
46
万元.答案
8.46
9.(教材第56页第8题变式)辰星旅游度假村有甲种风格客房15间，乙种风格客房20间.按现有定价:若全部入住，一天营业额为8500元;若甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天营业额为5000元.
(1)甲、乙两种客房每间现有定价分别是多少元?
(2)度假村以乙种风格客房为例，市场情况调研发现:若每个房间每天按现有定价，房间会全部住满;当每个房间每天的定价每增加20元时，就会有两个房间空闲.如果游客居住房间，度假村需对每个房间每天支出80元的各种费用.当每间房间定价为多少元时，乙种风格客房每天的利润$ w $最大，最大利润是多少元?
(1)甲、乙两种客房每间现有定价分别是多少元?
(2)度假村以乙种风格客房为例，市场情况调研发现:若每个房间每天按现有定价，房间会全部住满;当每个房间每天的定价每增加20元时，就会有两个房间空闲.如果游客居住房间，度假村需对每个房间每天支出80元的各种费用.当每间房间定价为多少元时，乙种风格客房每天的利润$ w $最大，最大利润是多少元?
答案
9. (1)解:设甲、乙两种客房每间现有定价分别是 $x$ 元、$y$ 元,根据题意,得
$\begin{cases} 15x+20y=8500,\\ 10x+10y=5000, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=300,\\ y=200. \end{cases}$ 答:甲、乙两种客房每间现有定价分别是 300 元、200 元.
(2)设每天的定价增加了 $m$ 个 20 元,则有 $2m$ 个房间空闲,根据题意,得 $w=(20-2m)(200+20m-80) = -40m^2+160m+2400=-40(m-2)^2+2560$,
$\because -40＜0,\therefore$ 当 $m=2$ 时,$w$ 取得最大值,最大值为 2560,此时房间的定价为 $200+2× 20=240$(元).答:当每间房间定价为 240 元时,乙种风格客房每天的利润 $w$ 最大,最大利润是 2560 元.
$\begin{cases} 15x+20y=8500,\\ 10x+10y=5000, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=300,\\ y=200. \end{cases}$ 答:甲、乙两种客房每间现有定价分别是 300 元、200 元.
(2)设每天的定价增加了 $m$ 个 20 元,则有 $2m$ 个房间空闲,根据题意,得 $w=(20-2m)(200+20m-80) = -40m^2+160m+2400=-40(m-2)^2+2560$,
$\because -40＜0,\therefore$ 当 $m=2$ 时,$w$ 取得最大值,最大值为 2560,此时房间的定价为 $200+2× 20=240$(元).答:当每间房间定价为 240 元时,乙种风格客房每天的利润 $w$ 最大,最大利润是 2560 元.
10.(核心素养·抽象能力)某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售,经市场调查发现:销售单价不低于进价时,日销售量y(盒)与销售单价x(元)是一次函数关系,下表是y与x的几组对应值.
|销售单价x/元|…|12|14|16|18|20|…|
|----|----|----|----|----|----|----|----|
|日销售量y/盒|…|
|52|48|44|40|…|
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)糖果销售单价定为多少元时,所获日销售利润最大,最大利润是多少？
(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品,赠送礼品后,为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元,求m的值.
|销售单价x/元|…|12|14|16|18|20|…|
|----|----|----|----|----|----|----|----|
|日销售量y/盒|…|
|52|48|44|40|…|(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)糖果销售单价定为多少元时,所获日销售利润最大,最大利润是多少？
(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品,赠送礼品后,为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元,求m的值.
答案
10. (1)解:设 $y=kx+b(k≠ 0).$ $\therefore \begin{cases} 12k+b=56,\\ 14k+b=52, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=-2,\\ b=80. \end{cases}$ $\therefore y=-2x+80;$
(2)设日销售利润为 $W$ 元. $W=(x-10)(-2x+80) = -2x^2+100x-800=-2(x-25)^2+450.$ $\because -2＜0,\therefore$ 此抛物线的开口向下,$\therefore$ 当 $x=25$ 时,$W$ 有最大值,为 450.答:糖果销售单价定为 25 元时,所获日销售利润最大,最大利润是 450 元；
(3)$W=(x-10-m)(-2x+80) = -2x^2+(100+2m)x-800-80m.$ $\because$ 最大利润为 392 元,$\therefore \frac{4×(-2)(-800-80m)-(100+2m)^2}{4×(-2)}=392.$ 整理,得 $m^2-60m+116=0.$ 解得 $m_1=2,m_2=58.$ 当 $m=58$ 时,$x=-\frac{b}{2a}=54,\therefore$ 每盒糖果的利润为 $54-10-58=-14$(元),不符合题意,舍去. $\therefore m$ 的值为 2.
(2)设日销售利润为 $W$ 元. $W=(x-10)(-2x+80) = -2x^2+100x-800=-2(x-25)^2+450.$ $\because -2＜0,\therefore$ 此抛物线的开口向下,$\therefore$ 当 $x=25$ 时,$W$ 有最大值,为 450.答:糖果销售单价定为 25 元时,所获日销售利润最大,最大利润是 450 元；
(3)$W=(x-10-m)(-2x+80) = -2x^2+(100+2m)x-800-80m.$ $\because$ 最大利润为 392 元,$\therefore \frac{4×(-2)(-800-80m)-(100+2m)^2}{4×(-2)}=392.$ 整理,得 $m^2-60m+116=0.$ 解得 $m_1=2,m_2=58.$ 当 $m=58$ 时,$x=-\frac{b}{2a}=54,\therefore$ 每盒糖果的利润为 $54-10-58=-14$(元),不符合题意,舍去. $\therefore m$ 的值为 2.
