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1.有下列四个命题:①相等的圆心角所对的弧相等.②圆中最长的弦是直径.③平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.④等弧对等弦.其中正确的是(
A.①②④
B.②③④
C.②④
D.②③
C
).A.①②④
B.②③④
C.②④
D.②③
答案
C
解析
【分析】
本题是关于圆的基本性质的命题判断题，解题时需逐个分析4个命题，回忆每个相关定理的完整内容及成立的前提条件，判断命题是否缺少限定条件，进而筛选出正确的命题。
【解析】
我们逐一分析各个命题：
1. 命题①：相等的圆心角所对的弧相等。该结论成立的前提是“在同圆或等圆中”，命题未说明前提，因此①错误；
2. 命题②：圆中最长的弦是直径。直径的长度等于2倍半径，任意非直径的弦长度都小于直径，因此②正确；
3. 命题③：平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。该结论要求被平分的弦不能是直径，若弦本身是直径，两条直径互相平分但不一定垂直，命题未加这个限定，因此③错误；
4. 命题④：等弧对等弦。等弧的定义是能够完全重合的弧，其必然存在于同圆或等圆中，因此等弧对应的弦一定相等，因此④正确。
综上，正确的命题是②④，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
圆的基本性质，圆心角弧弦关系，垂径定理
【点评】
本题侧重考查圆相关性质定理的辨析，易错点是容易忽略定理成立的限定条件导致误判，只要牢记各定理的完整内容和适用前提就能轻松解答。
【难度系数】
0.7
本题是关于圆的基本性质的命题判断题，解题时需逐个分析4个命题，回忆每个相关定理的完整内容及成立的前提条件，判断命题是否缺少限定条件，进而筛选出正确的命题。
【解析】
我们逐一分析各个命题：
1. 命题①：相等的圆心角所对的弧相等。该结论成立的前提是“在同圆或等圆中”，命题未说明前提，因此①错误；
2. 命题②：圆中最长的弦是直径。直径的长度等于2倍半径，任意非直径的弦长度都小于直径，因此②正确；
3. 命题③：平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。该结论要求被平分的弦不能是直径，若弦本身是直径，两条直径互相平分但不一定垂直，命题未加这个限定，因此③错误；
4. 命题④：等弧对等弦。等弧的定义是能够完全重合的弧，其必然存在于同圆或等圆中，因此等弧对应的弦一定相等，因此④正确。
综上，正确的命题是②④，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
圆的基本性质，圆心角弧弦关系，垂径定理
【点评】
本题侧重考查圆相关性质定理的辨析，易错点是容易忽略定理成立的限定条件导致误判，只要牢记各定理的完整内容和适用前提就能轻松解答。
【难度系数】
0.7
2.如图,在$\odot O$中,$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$.有下列结论:①$AB=CD$.②$AC=BD$.③$∠ AOC=∠ BOD$.④$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$.其中正确的有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
).A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
D
解析
【分析】
解题时需结合同圆中弧、弦、圆心角三者的对应关系逐一判断结论：首先已知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，先根据等弧对等弦判断①是否正确；再将两个相等的弧同时减去公共弧$\overset{\frown}{BC}$，得到剩余弧的关系，判断④是否正确；接着根据等弧对等圆心角判断③是否正确；最后再根据等弧对等弦判断②是否正确，最后统计正确结论的个数即可。
【解析】
在同圆中，相等的弧所对的弦相等、所对的圆心角相等：
1. 因为$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，由等弧对等弦可得$AB=CD$，故①正确；
2. 由$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，两边同时减去公共弧$\overset{\frown}{BC}$，可得$\overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{BC}$，即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，故④正确；
3. 因为$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，由等弧对等圆心角可得$∠AOC=∠BOD$，故③正确；
4. 因为$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，由等弧对等弦可得$AC=BD$，故②正确。
综上，①②③④共4个结论都正确。
【答案】
D
【知识点】
弧弦圆心角的关系，等弧的性质
【点评】
本题考查圆的基本性质的应用，核心是掌握同圆中弧、弦、圆心角三者之间的等量对应关系，解题时注意公共弧的加减运算，整体难度较低，属于对基础性质的直接考查。
【难度系数】
0.8
解题时需结合同圆中弧、弦、圆心角三者的对应关系逐一判断结论：首先已知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，先根据等弧对等弦判断①是否正确；再将两个相等的弧同时减去公共弧$\overset{\frown}{BC}$，得到剩余弧的关系，判断④是否正确；接着根据等弧对等圆心角判断③是否正确；最后再根据等弧对等弦判断②是否正确，最后统计正确结论的个数即可。
【解析】
在同圆中，相等的弧所对的弦相等、所对的圆心角相等：
1. 因为$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，由等弧对等弦可得$AB=CD$，故①正确；
2. 由$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，两边同时减去公共弧$\overset{\frown}{BC}$，可得$\overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{BC}$，即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，故④正确；
3. 因为$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，由等弧对等圆心角可得$∠AOC=∠BOD$，故③正确；
4. 因为$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，由等弧对等弦可得$AC=BD$，故②正确。
综上，①②③④共4个结论都正确。
【答案】
D
【知识点】
弧弦圆心角的关系，等弧的性质
【点评】
本题考查圆的基本性质的应用，核心是掌握同圆中弧、弦、圆心角三者之间的等量对应关系，解题时注意公共弧的加减运算，整体难度较低，属于对基础性质的直接考查。
【难度系数】
0.8
3.如图，A，B，C，D是$\odot O$上的四点，且$AD=BC$，则AB与CD的大小关系为（
A.$AB＞CD$
B.$AB=CD$
C.$AB＜CD$
D.不能确定
B
）.A.$AB＞CD$
B.$AB=CD$
C.$AB＜CD$
D.不能确定
答案
B
解析
【分析】
要判断同圆中弦AB和CD的大小关系，可借助弦与对应弧的对等关系推导：首先根据已知条件AD=BC，由同圆中相等的弦所对的劣弧相等，可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$；再观察两条待判断的弦对应的劣弧，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{AC}$，$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AC}$，结合已得的弧相等关系，可推出$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$；最后根据同圆中相等的弧所对的弦相等，即可得到AB和CD的大小关系。
【解析】
∵ 在$\odot O$中，$AD=BC$，
∴ 同圆中相等的弦所对的劣弧相等，即$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ $\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{AC}$，即$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AB}$，
又
∵ 同圆中相等的弧所对的弦相等，
∴ $AB=CD$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
弦与弧的关系；弧的和差运算
【点评】
本题是圆的有关性质的基础应用题，解题核心是熟练掌握同圆中弦和对应劣弧的对等转换关系，通过弧的和差运算搭建已知条件和待求结论的联系，解题思路清晰直接，只要掌握相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.9
要判断同圆中弦AB和CD的大小关系，可借助弦与对应弧的对等关系推导：首先根据已知条件AD=BC，由同圆中相等的弦所对的劣弧相等，可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$；再观察两条待判断的弦对应的劣弧，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{AC}$，$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AC}$，结合已得的弧相等关系，可推出$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$；最后根据同圆中相等的弧所对的弦相等，即可得到AB和CD的大小关系。
【解析】
∵ 在$\odot O$中，$AD=BC$，
∴ 同圆中相等的弦所对的劣弧相等，即$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ $\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{AC}$，即$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AB}$，
又
∵ 同圆中相等的弧所对的弦相等，
∴ $AB=CD$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
弦与弧的关系；弧的和差运算
【点评】
本题是圆的有关性质的基础应用题，解题核心是熟练掌握同圆中弦和对应劣弧的对等转换关系，通过弧的和差运算搭建已知条件和待求结论的联系，解题思路清晰直接，只要掌握相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.9
4.如图，AB是$\odot O$的直径，若$∠ AOC=70°$，且$AD// OC$，则$∠ AOD$的度数为（
A.$70°$
B.$60°$
C.$50°$
D.$40°$
D
）.A.$70°$
B.$60°$
C.$50°$
D.$40°$
答案
D
解析
【分析】
解题时先结合已知的平行条件，利用平行线的内错角相等求出∠OAD的度数；再根据圆的半径相等得到OA=OD，推出△OAD为等腰三角形，得到两个底角相等；最后利用三角形内角和定理即可计算出∠AOD的度数。
【解析】
解：
∵AD//OC，∠AOC=70°，
∴∠OAD=∠AOC=70°（两直线平行，内错角相等），
∵OA、OD都是⊙O的半径，
∴OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD=70°，
在△AOD中，根据三角形内角和为180°可得：
∠AOD=180°-∠OAD-∠ODA=180°-70°-70°=40°。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，综合考查了平行线、等腰三角形和圆的基础性质，解题的关键是熟练掌握各基础知识点的应用，将不同知识点的性质结合起来推导角度关系，是圆相关角度计算的常见题型。
【难度系数】
0.8
解题时先结合已知的平行条件，利用平行线的内错角相等求出∠OAD的度数；再根据圆的半径相等得到OA=OD，推出△OAD为等腰三角形，得到两个底角相等；最后利用三角形内角和定理即可计算出∠AOD的度数。
【解析】
解：
∵AD//OC，∠AOC=70°，
∴∠OAD=∠AOC=70°（两直线平行，内错角相等），
∵OA、OD都是⊙O的半径，
∴OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD=70°，
在△AOD中，根据三角形内角和为180°可得：
∠AOD=180°-∠OAD-∠ODA=180°-70°-70°=40°。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，综合考查了平行线、等腰三角形和圆的基础性质，解题的关键是熟练掌握各基础知识点的应用，将不同知识点的性质结合起来推导角度关系，是圆相关角度计算的常见题型。
【难度系数】
0.8
5.如图，A，B，C，D是$\odot O$上的点，$∠ 1=∠ 2$.求证：$AC=BD$. 
答案
证明:$\because ∠ 1=∠ 2,\therefore ∠ 1+∠ BOC=∠ 2+∠ BOC$,
$\therefore ∠ AOC=∠ BOD,\therefore AC=BD$.
$\therefore ∠ AOC=∠ BOD,\therefore AC=BD$.
解析
【分析】
要证明弦$AC=BD$，根据同圆的性质：同圆内相等的圆心角所对的弦相等，因此只需证明$AC$、$BD$所对应的圆心角$∠ AOC$和$∠ BOD$相等即可。已知$∠ 1=∠ 2$，观察角的组成可得，$∠ AOC$由$∠ 1$和$∠ BOC$组成，$∠ BOD$由$∠ 2$和$∠ BOC$组成，利用等式的性质，给两个相等的角同时加上公共角$∠ BOC$，即可证得$∠ AOC=∠ BOD$，进而推出两条弦相等。
【解析】
已知$∠ 1=∠ 2$，根据等式的性质，在等式两边同时加上$∠ BOC$，可得：
$∠ 1+∠ BOC=∠ 2+∠ BOC$，即$∠ AOC=∠ BOD$。
又因为$A、B、C、D$均在$\odot O$上，根据同圆中相等的圆心角所对的弦相等的性质，可得$AC=BD$。
【答案】
证明:$\because ∠ 1=∠ 2,\therefore ∠ 1+∠ BOC=∠ 2+∠ BOC$,$\therefore ∠ AOC=∠ BOD,\therefore AC=BD$.
【知识点】
1. 圆心角与弦的关系
2. 等式的性质
3. 角的和差运算
【点评】
本题属于圆性质的基础应用题，解题关键是掌握同圆中圆心角和对应弦的等量关系，通过简单的角的和差转化即可得到结论，是圆章节的常规基础题。
【难度系数】
0.85
要证明弦$AC=BD$，根据同圆的性质：同圆内相等的圆心角所对的弦相等，因此只需证明$AC$、$BD$所对应的圆心角$∠ AOC$和$∠ BOD$相等即可。已知$∠ 1=∠ 2$，观察角的组成可得，$∠ AOC$由$∠ 1$和$∠ BOC$组成，$∠ BOD$由$∠ 2$和$∠ BOC$组成，利用等式的性质，给两个相等的角同时加上公共角$∠ BOC$，即可证得$∠ AOC=∠ BOD$，进而推出两条弦相等。
【解析】
已知$∠ 1=∠ 2$，根据等式的性质，在等式两边同时加上$∠ BOC$，可得：
$∠ 1+∠ BOC=∠ 2+∠ BOC$，即$∠ AOC=∠ BOD$。
又因为$A、B、C、D$均在$\odot O$上，根据同圆中相等的圆心角所对的弦相等的性质，可得$AC=BD$。
【答案】
证明:$\because ∠ 1=∠ 2,\therefore ∠ 1+∠ BOC=∠ 2+∠ BOC$,$\therefore ∠ AOC=∠ BOD,\therefore AC=BD$.
【知识点】
1. 圆心角与弦的关系
2. 等式的性质
3. 角的和差运算
【点评】
本题属于圆性质的基础应用题，解题关键是掌握同圆中圆心角和对应弦的等量关系，通过简单的角的和差转化即可得到结论，是圆章节的常规基础题。
【难度系数】
0.85
6.如图，在$\odot O$中，C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，$CD⊥ OA$于点D，$CE⊥ OB$于点E.求证：$OD=OE$.
答案
证明:连接 $OC$,$\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC},\therefore ∠ AOC=∠ BOC$,
$\because CD ⊥ OA,CE ⊥ OB,\therefore ∠ CDO=∠ CEO$,
$\because OC=OC,\therefore △ CDO ≌ △ CEO(\mathrm{AAS})$,
$\therefore OD=OE$.
$\because CD ⊥ OA,CE ⊥ OB,\therefore ∠ CDO=∠ CEO$,
$\because OC=OC,\therefore △ CDO ≌ △ CEO(\mathrm{AAS})$,
$\therefore OD=OE$.
解析
【分析】
要证明$OD=OE$，可通过证明两条线段所在的$△ CDO$和$△ CEO$全等来实现。首先连接辅助线$OC$，已知$C$是$\overset{\frown}{AB}$的中点，根据同圆中等弧所对的圆心角相等，可推出$∠ AOC=∠ BOC$；再结合$CD⊥ OA$、$CE⊥ OB$的条件可得两个直角相等，加上公共边$OC$，即可用AAS判定两个三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等就能得到$OD=OE$。
【解析】
证明：连接$OC$，
$\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
$\therefore ∠ AOC=∠ BOC$，
$\because CD ⊥ OA,CE ⊥ OB$，
$\therefore ∠ CDO=∠ CEO=90°$，
又$\because OC=OC$，
$\therefore △ CDO ≌ △ CEO(\mathrm{AAS})$，
$\therefore OD=OE$。
【答案】
证明:连接 $OC$,$\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC},\therefore ∠ AOC=∠ BOC$,
$\because CD ⊥ OA,CE ⊥ OB,\therefore ∠ CDO=∠ CEO$,
$\because OC=OC,\therefore △ CDO ≌ △ CEO(\mathrm{AAS})$,
$\therefore OD=OE$.
【知识点】
1. 弧与圆心角的关系
2. 全等三角形的判定与性质
3. 垂直的定义
【点评】
本题是圆的性质与全等三角形结合的基础常考题，解题核心是通过连接辅助线$OC$，利用等弧对等圆心角得到相等角，结合垂直条件构造全等三角形完成证明，解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
要证明$OD=OE$，可通过证明两条线段所在的$△ CDO$和$△ CEO$全等来实现。首先连接辅助线$OC$，已知$C$是$\overset{\frown}{AB}$的中点，根据同圆中等弧所对的圆心角相等，可推出$∠ AOC=∠ BOC$；再结合$CD⊥ OA$、$CE⊥ OB$的条件可得两个直角相等，加上公共边$OC$，即可用AAS判定两个三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等就能得到$OD=OE$。
【解析】
证明：连接$OC$，
$\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
$\therefore ∠ AOC=∠ BOC$，
$\because CD ⊥ OA,CE ⊥ OB$，
$\therefore ∠ CDO=∠ CEO=90°$，
又$\because OC=OC$，
$\therefore △ CDO ≌ △ CEO(\mathrm{AAS})$，
$\therefore OD=OE$。
【答案】
证明:连接 $OC$,$\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC},\therefore ∠ AOC=∠ BOC$,
$\because CD ⊥ OA,CE ⊥ OB,\therefore ∠ CDO=∠ CEO$,
$\because OC=OC,\therefore △ CDO ≌ △ CEO(\mathrm{AAS})$,
$\therefore OD=OE$.
【知识点】
1. 弧与圆心角的关系
2. 全等三角形的判定与性质
3. 垂直的定义
【点评】
本题是圆的性质与全等三角形结合的基础常考题，解题核心是通过连接辅助线$OC$，利用等弧对等圆心角得到相等角，结合垂直条件构造全等三角形完成证明，解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
