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7.如图,点C为$\overset{\frown}{AB}$的中点,过点C作$CD⊥ AB$,垂足为D,$AD=4$,$CD=2$,则$\overset{\frown}{AB}$所在圆的半径的长是
5
.答案
5
解析
【分析】
要求$\overset{\frown}{AB}$所在圆的半径，可结合垂径定理的推论分析：弧AB的中点C向弦AB作的垂线CD必过圆心，因此设半径为$r$，即可将直角三角形OAD的三边用含$r$的代数式表示，再利用勾股定理列方程求解。
【解析】
设$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为$O$，半径为$r$。
∵点$C$是$\overset{\frown}{AB}$的中点，$CD⊥ AB$，
根据垂径定理的推论可知，直线$CD$经过圆心$O$，
∴$OA=OC=r$，
∵$CD=2$，
∴$OD=OC-CD=r-2$，
在$Rt△ OAD$中，$AD=4$，由勾股定理得：
$OA^2=AD^2+OD^2$，
代入得：$r^2=4^2+(r-2)^2$，
展开计算：$r^2=16+r^2-4r+4$，
整理得：$4r=20$，
解得：$r=5$。
【答案】
5
【知识点】
垂径定理；勾股定理；列方程求线段长
【点评】
本题是圆的性质的典型应用题型，解题关键是熟练掌握垂径定理的推论，确定圆心的位置，再结合勾股定理构造方程求解，掌握该方法可解决同类求圆半径的问题。
【难度系数】
0.7
要求$\overset{\frown}{AB}$所在圆的半径，可结合垂径定理的推论分析：弧AB的中点C向弦AB作的垂线CD必过圆心，因此设半径为$r$，即可将直角三角形OAD的三边用含$r$的代数式表示，再利用勾股定理列方程求解。
【解析】
设$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为$O$，半径为$r$。
∵点$C$是$\overset{\frown}{AB}$的中点，$CD⊥ AB$，
根据垂径定理的推论可知，直线$CD$经过圆心$O$，
∴$OA=OC=r$，
∵$CD=2$，
∴$OD=OC-CD=r-2$，
在$Rt△ OAD$中，$AD=4$，由勾股定理得：
$OA^2=AD^2+OD^2$，
代入得：$r^2=4^2+(r-2)^2$，
展开计算：$r^2=16+r^2-4r+4$，
整理得：$4r=20$，
解得：$r=5$。
【答案】
5
【知识点】
垂径定理；勾股定理；列方程求线段长
【点评】
本题是圆的性质的典型应用题型，解题关键是熟练掌握垂径定理的推论，确定圆心的位置，再结合勾股定理构造方程求解，掌握该方法可解决同类求圆半径的问题。
【难度系数】
0.7
8.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标是(20,0),点B的坐标是(16,0),点C,D在以OA为直径的半圆M上,且四边形OCDB是平行四边形,则点C的坐标为
(2,6)
.答案
(2,6)
解析
【分析】
首先根据OA是直径确定半圆的圆心M的坐标和半径长度，再利用平行四边形对边平行且相等的性质得到CD的长度与位置关系，随后通过作垂线构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理即可求出点C的坐标。
【解析】
1. 确定圆心与半径：已知点A(20,0)，OA为半圆M的直径，因此M是OA的中点，坐标为(10,0)，半圆半径$MC=OA÷2=10$。
2. 利用平行四边形性质：因为四边形OCDB是平行四边形，点O(0,0)、B(16,0)，所以$CD=OB=16$，且$CD// OB$（即CD平行于x轴）。
3. 结合垂径定理计算：过点M作$MN⊥ CD$于点N，根据垂径定理，N是CD的中点，因此$CN=\frac{1}{2}CD=8$。
由于CD平行于x轴，MN垂直于CD，故MN垂直于x轴，点N的横坐标与M相同为10，因此点C的横坐标为$10 - CN=10-8=2$。
4. 用勾股定理求纵坐标：在Rt△MCN中，$MC=10$，$CN=8$，由勾股定理得：
$MN=\sqrt{MC^2 - CN^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{36}=6$，即点C的纵坐标为6。
因此点C的坐标为(2,6)。
【答案】
(2,6)
【知识点】
平行四边形的性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是坐标系与几何结合的基础综合题，解题的关键是灵活运用平行四边形性质得到线段的长度与位置关系，再通过垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理计算得到点的坐标。
【难度系数】
0.6
首先根据OA是直径确定半圆的圆心M的坐标和半径长度，再利用平行四边形对边平行且相等的性质得到CD的长度与位置关系，随后通过作垂线构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理即可求出点C的坐标。
【解析】
1. 确定圆心与半径：已知点A(20,0)，OA为半圆M的直径，因此M是OA的中点，坐标为(10,0)，半圆半径$MC=OA÷2=10$。
2. 利用平行四边形性质：因为四边形OCDB是平行四边形，点O(0,0)、B(16,0)，所以$CD=OB=16$，且$CD// OB$（即CD平行于x轴）。
3. 结合垂径定理计算：过点M作$MN⊥ CD$于点N，根据垂径定理，N是CD的中点，因此$CN=\frac{1}{2}CD=8$。
由于CD平行于x轴，MN垂直于CD，故MN垂直于x轴，点N的横坐标与M相同为10，因此点C的横坐标为$10 - CN=10-8=2$。
4. 用勾股定理求纵坐标：在Rt△MCN中，$MC=10$，$CN=8$，由勾股定理得：
$MN=\sqrt{MC^2 - CN^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{36}=6$，即点C的纵坐标为6。
因此点C的坐标为(2,6)。
【答案】
(2,6)
【知识点】
平行四边形的性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是坐标系与几何结合的基础综合题，解题的关键是灵活运用平行四边形性质得到线段的长度与位置关系，再通过垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理计算得到点的坐标。
【难度系数】
0.6
9.⊙O的半径为10 cm，AB，CD为弦，AB//CD，AB=16 cm，CD=12 cm，则AB，CD间的距离是
2或14
cm.答案
2或14
解析
【分析】
本题需要分类讨论平行弦与圆心的位置关系：①两条弦在圆心的同侧；②两条弦在圆心的异侧。解题时先过圆心作两条平行弦的垂线，结合垂径定理求出半弦长，再在直角三角形中利用勾股定理分别求出两条弦的弦心距，最后根据两条弦的位置关系计算二者的距离即可。
【解析】
解：过点O作OE⊥AB于点E，延长EO交CD于点F，
∵AB//CD，
∴OF⊥CD。
根据垂径定理可得：
$AE = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} × 16 = 8\ \mathrm{cm}$，
$CF = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} × 12 = 6\ \mathrm{cm}$，
在Rt△AOE中，OA=10 cm，由勾股定理得：
$OE = \sqrt{OA^2 - AE^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6\ \mathrm{cm}$，
在Rt△COF中，OC=10 cm，由勾股定理得：
$OF = \sqrt{OC^2 - CF^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8\ \mathrm{cm}$，
分两种情况讨论：
①当AB、CD在圆心O的同侧时，AB与CD的距离为 $OF - OE = 8 - 6 = 2\ \mathrm{cm}$；
②当AB、CD在圆心O的异侧时，AB与CD的距离为 $OF + OE = 8 + 6 = 14\ \mathrm{cm}$。
综上，AB、CD间的距离是2 cm或14 cm。
【答案】
2或14
【知识点】
1. 垂径定理
2. 勾股定理
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论，仅考虑两条弦在圆心同侧或异侧中的一种情况，导致漏解。解题时需结合图形分析平行弦的位置，灵活运用垂径定理和勾股定理计算即可。
【难度系数】
0.6
本题需要分类讨论平行弦与圆心的位置关系：①两条弦在圆心的同侧；②两条弦在圆心的异侧。解题时先过圆心作两条平行弦的垂线，结合垂径定理求出半弦长，再在直角三角形中利用勾股定理分别求出两条弦的弦心距，最后根据两条弦的位置关系计算二者的距离即可。
【解析】
解：过点O作OE⊥AB于点E，延长EO交CD于点F，
∵AB//CD，
∴OF⊥CD。
根据垂径定理可得：
$AE = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} × 16 = 8\ \mathrm{cm}$，
$CF = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} × 12 = 6\ \mathrm{cm}$，
在Rt△AOE中，OA=10 cm，由勾股定理得：
$OE = \sqrt{OA^2 - AE^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6\ \mathrm{cm}$，
在Rt△COF中，OC=10 cm，由勾股定理得：
$OF = \sqrt{OC^2 - CF^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8\ \mathrm{cm}$，
分两种情况讨论：
①当AB、CD在圆心O的同侧时，AB与CD的距离为 $OF - OE = 8 - 6 = 2\ \mathrm{cm}$；
②当AB、CD在圆心O的异侧时，AB与CD的距离为 $OF + OE = 8 + 6 = 14\ \mathrm{cm}$。
综上，AB、CD间的距离是2 cm或14 cm。
【答案】
2或14
【知识点】
1. 垂径定理
2. 勾股定理
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论，仅考虑两条弦在圆心同侧或异侧中的一种情况，导致漏解。解题时需结合图形分析平行弦的位置，灵活运用垂径定理和勾股定理计算即可。
【难度系数】
0.6
10.如图，AB是$\odot O$的直径，半径OC与弦BD平行，$CE ⊥ AB$于点E.求证：$OE=\dfrac{1}{2}BD$.
答案
证明:过点 $O$ 作 $OG ⊥ BD$ 于点 $G$,则 $BG=\dfrac{1}{2}BD$,
$\because CE ⊥ AB,\therefore ∠ OGB=∠ OEC=90°$,
$\because OC // BD,\therefore ∠ COE=∠ B$,
$\because OB=OC,\therefore △ OEC ≌ △ BGO(\mathrm{AAS}),\therefore OE=BG$,
$\therefore OE=\dfrac{1}{2}BD$.
$\because CE ⊥ AB,\therefore ∠ OGB=∠ OEC=90°$,
$\because OC // BD,\therefore ∠ COE=∠ B$,
$\because OB=OC,\therefore △ OEC ≌ △ BGO(\mathrm{AAS}),\therefore OE=BG$,
$\therefore OE=\dfrac{1}{2}BD$.
解析
【分析】
要证明$OE=\dfrac{1}{2}BD$，可先将长线段$BD$平分，再证明$OE$与$BD$的一半相等。结合圆的性质，可通过垂径定理实现线段平分：过点$O$作$BD$的垂线，即可得到$BG=\dfrac{1}{2}BD$，接下来只需证明$OE=BG$。观察图形可知$OE$在$\mathrm{Rt}△ OEC$中，$BG$在$\mathrm{Rt}△ BGO$中，结合已知$OC// BD$可得同位角$∠ COE=∠ B$，又$OC$、$OB$均为圆的半径长度相等，两个三角形均为直角三角形，可通过AAS证明两三角形全等，得到对应边相等即可完成推导。
【解析】
证明：过点 $O$ 作 $OG ⊥ BD$ 于点 $G$，根据垂径定理可得 $BG=\dfrac{1}{2}BD$。
$\because CE ⊥ AB$，$\therefore ∠ OGB=∠ OEC=90°$，
$\because OC // BD$，$\therefore ∠ COE=∠ B$（两直线平行，同位角相等），
$\because OB=OC$（都是$\odot O$的半径），
$\therefore △ OEC ≌ △ BGO(\mathrm{AAS})$，
$\therefore OE=BG$（全等三角形对应边相等），
$\therefore OE=\dfrac{1}{2}BD$（等量代换）。
【答案】
证明:过点 $O$ 作 $OG ⊥ BD$ 于点 $G$,则 $BG=\dfrac{1}{2}BD$,
$\because CE ⊥ AB,\therefore ∠ OGB=∠ OEC=90°$,
$\because OC // BD,\therefore ∠ COE=∠ B$,
$\because OB=OC,\therefore △ OEC ≌ △ BGO(\mathrm{AAS}),\therefore OE=BG$,
$\therefore OE=\dfrac{1}{2}BD$.
【知识点】
垂径定理；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题是圆的基本性质与三角形全等结合的常规证明题，解题关键是合理构造辅助线，利用垂径定理转化线段的倍分关系，同时结合平行线的性质寻找全等的判定条件，能够帮助学生掌握几何证明中辅助线的构造思路。
【难度系数】
0.7
要证明$OE=\dfrac{1}{2}BD$，可先将长线段$BD$平分，再证明$OE$与$BD$的一半相等。结合圆的性质，可通过垂径定理实现线段平分：过点$O$作$BD$的垂线，即可得到$BG=\dfrac{1}{2}BD$，接下来只需证明$OE=BG$。观察图形可知$OE$在$\mathrm{Rt}△ OEC$中，$BG$在$\mathrm{Rt}△ BGO$中，结合已知$OC// BD$可得同位角$∠ COE=∠ B$，又$OC$、$OB$均为圆的半径长度相等，两个三角形均为直角三角形，可通过AAS证明两三角形全等，得到对应边相等即可完成推导。
【解析】
证明：过点 $O$ 作 $OG ⊥ BD$ 于点 $G$，根据垂径定理可得 $BG=\dfrac{1}{2}BD$。
$\because CE ⊥ AB$，$\therefore ∠ OGB=∠ OEC=90°$，
$\because OC // BD$，$\therefore ∠ COE=∠ B$（两直线平行，同位角相等），
$\because OB=OC$（都是$\odot O$的半径），
$\therefore △ OEC ≌ △ BGO(\mathrm{AAS})$，
$\therefore OE=BG$（全等三角形对应边相等），
$\therefore OE=\dfrac{1}{2}BD$（等量代换）。
【答案】
证明:过点 $O$ 作 $OG ⊥ BD$ 于点 $G$,则 $BG=\dfrac{1}{2}BD$,
$\because CE ⊥ AB,\therefore ∠ OGB=∠ OEC=90°$,
$\because OC // BD,\therefore ∠ COE=∠ B$,
$\because OB=OC,\therefore △ OEC ≌ △ BGO(\mathrm{AAS}),\therefore OE=BG$,
$\therefore OE=\dfrac{1}{2}BD$.
【知识点】
垂径定理；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题是圆的基本性质与三角形全等结合的常规证明题，解题关键是合理构造辅助线，利用垂径定理转化线段的倍分关系，同时结合平行线的性质寻找全等的判定条件，能够帮助学生掌握几何证明中辅助线的构造思路。
【难度系数】
0.7
11.只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条相互平行的两边与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽MN为7 cm，AB＝6 cm，CD＝8 cm.请你帮忙计算纸杯的直径.
答案
由题意得 $MN ⊥ AB,MN ⊥ CD,MN$ 过圆心 $O,MN=7\ \mathrm{cm}$,连接 $OD,OB$,
则 $DM=\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{1}{2} × 8=4\ \mathrm{cm},BN=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2} × 6=3\ \mathrm{cm}$.
设 $OM=x\ \mathrm{cm},\therefore ON=MN-OM=(7-x)\ \mathrm{cm}$,
$\because OM^2+MD^2=OD^2,ON^2+BN^2=OB^2,OD=OB$,
$\therefore OM^2+MD^2=ON^2+BN^2,\therefore x^2+4^2=(7-x)^2+3^2$,解得 $x=3$,
$\therefore OB=\sqrt{BN^2+(MN-OM)^2}=5\ \mathrm{cm},\therefore$ 纸杯的直径为 $5 × 2=10(\mathrm{cm})$.
则 $DM=\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{1}{2} × 8=4\ \mathrm{cm},BN=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2} × 6=3\ \mathrm{cm}$.
设 $OM=x\ \mathrm{cm},\therefore ON=MN-OM=(7-x)\ \mathrm{cm}$,
$\because OM^2+MD^2=OD^2,ON^2+BN^2=OB^2,OD=OB$,
$\therefore OM^2+MD^2=ON^2+BN^2,\therefore x^2+4^2=(7-x)^2+3^2$,解得 $x=3$,
$\therefore OB=\sqrt{BN^2+(MN-OM)^2}=5\ \mathrm{cm},\therefore$ 纸杯的直径为 $5 × 2=10(\mathrm{cm})$.
解析
【分析】
要测量圆形杯口的直径，本质是求圆的直径，已知圆的两条平行弦AB、CD的长度，以及两条弦之间的距离MN=7cm。首先利用垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可得到两条弦长度的一半；再设圆心到弦CD的距离为x，则圆心到弦AB的距离为7-x，由于同圆的半径相等，可分别对两条弦用勾股定理表示半径，列出方程求解x，进而算出半径，乘2即可得到直径。
【解析】
由题意得 $MN ⊥ AB,MN ⊥ CD,MN$ 过圆心 $O,MN=7\ \mathrm{cm}$，连接 $OD,OB$。
根据垂径定理可得：
$DM=\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{1}{2} × 8=4\ \mathrm{cm},BN=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2} × 6=3\ \mathrm{cm}$。
设 $OM=x\ \mathrm{cm}$，则 $ON=MN-OM=(7-x)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OMD$中，由勾股定理得$OM^2+MD^2=OD^2$；
在$\mathrm{Rt}△ ONB$中，由勾股定理得$ON^2+BN^2=OB^2$。
$\because$ 同圆半径相等，即$OD=OB$，
$\therefore OM^2+MD^2=ON^2+BN^2$，代入得：
$x^2+4^2=(7-x)^2+3^2$
展开整理得：$x^2+16=x^2-14x+58$，解得 $x=3$。
$\therefore OB=\sqrt{BN^2+(MN-OM)^2}=\sqrt{3^2+(7-3)^2}=5\ \mathrm{cm}$，
$\therefore$ 纸杯的直径为 $5 × 2=10(\mathrm{cm})$。
【答案】
$10\ \mathrm{cm}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，同圆半径相等
【点评】
本题结合生活实际考查圆的相关计算，核心是将实际问题转化为圆中平行弦的几何问题，通过垂径定理和勾股定理结合，利用方程思想求解半径，能有效锻炼学生的知识迁移能力和实际应用能力。
【难度系数】
0.7
要测量圆形杯口的直径，本质是求圆的直径，已知圆的两条平行弦AB、CD的长度，以及两条弦之间的距离MN=7cm。首先利用垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可得到两条弦长度的一半；再设圆心到弦CD的距离为x，则圆心到弦AB的距离为7-x，由于同圆的半径相等，可分别对两条弦用勾股定理表示半径，列出方程求解x，进而算出半径，乘2即可得到直径。
【解析】
由题意得 $MN ⊥ AB,MN ⊥ CD,MN$ 过圆心 $O,MN=7\ \mathrm{cm}$，连接 $OD,OB$。
根据垂径定理可得：
$DM=\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{1}{2} × 8=4\ \mathrm{cm},BN=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2} × 6=3\ \mathrm{cm}$。
设 $OM=x\ \mathrm{cm}$，则 $ON=MN-OM=(7-x)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OMD$中，由勾股定理得$OM^2+MD^2=OD^2$；
在$\mathrm{Rt}△ ONB$中，由勾股定理得$ON^2+BN^2=OB^2$。
$\because$ 同圆半径相等，即$OD=OB$，
$\therefore OM^2+MD^2=ON^2+BN^2$，代入得：
$x^2+4^2=(7-x)^2+3^2$
展开整理得：$x^2+16=x^2-14x+58$，解得 $x=3$。
$\therefore OB=\sqrt{BN^2+(MN-OM)^2}=\sqrt{3^2+(7-3)^2}=5\ \mathrm{cm}$，
$\therefore$ 纸杯的直径为 $5 × 2=10(\mathrm{cm})$。
【答案】
$10\ \mathrm{cm}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，同圆半径相等
【点评】
本题结合生活实际考查圆的相关计算，核心是将实际问题转化为圆中平行弦的几何问题，通过垂径定理和勾股定理结合，利用方程思想求解半径，能有效锻炼学生的知识迁移能力和实际应用能力。
【难度系数】
0.7
