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15.点 A 在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象上，$AB⊥x$轴于点 B，$AC⊥y$轴于点 C，分别在射线 AC，BO 上取点 D，E，使得四边形 ABED 为正方形.如图①，当点 A 在第一象限内且$AC=4$时，$CD=3$.通过改变点 A 的位置，小李发现点 A 和点 D 的横坐标之间存在函数关系.设点 A 和点 D 的横坐标分别为$x,z$，将$z$关于$x$的函数称为“Z函数”.如图②，小李画出了$x＞0$时“Z函数”的图象.请帮助小李解决下列问题.
(1)求$k$的值.
(2)求这个“Z函数”的解析式.
(3)补画$x＜0$时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质(两条即可).
(4)过点$(3,2)$作一直线，与这个“Z函数”的图象有且仅有一个交点，求该交点的横坐标.
(1)求$k$的值.
(2)求这个“Z函数”的解析式.
(3)补画$x＜0$时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质(两条即可).
(4)过点$(3,2)$作一直线，与这个“Z函数”的图象有且仅有一个交点，求该交点的横坐标.
答案
15.(1)
∵四边形ABED是正方形，
∴$AB=AD=AC-CD=1$.
∵$AC⊥y$轴，$AB⊥x$轴，
∴$∠ACO=∠COB=∠OBA=90°$，
∴四边形ABOC是矩形.
∴$OB=AC=4$，
∴$A(4,1)$.
∴$k=4$.
(2)由题意得$A(x,x-z)$，
∴$x(x-z)=4$，
∴$z=x-\frac{4}{x}$.
(3)图象如图所示
.性质1:$x＞0$时，z随x的增大而增大.
性质2:函数的图象上的两点的横坐标互为相反数时，纵坐标也互为相反数.
(4)直线与x轴垂直时，直线$x=3$与“Z函数”的图象的交点的横坐标为3.
直线不与x轴垂直时，设直线的解析式为$z=mx+n$，
把$(3,2)$代入，得$2=3m+n$，
∴$n=2-3m$，
∴直线的解析式为$z=mx+2-3m$.
联立$\begin{cases}z=mx+2-3m,\\z=x-\frac{4}{x},\end{cases}$整理得$(m-1)x^2+(2-3m)x+4=0$.
当$m≠1$时，若$\Delta=0$，则有$(2-3m)^2-4(m-1)×4=0$，解得$m_1=\frac{10}{9},m_2=2$.
当$m=\frac{10}{9}$时，解得$x_1=x_2=6$；当$m=2$时，解得$x_1=x_2=2$.
当$m=1$时，方程的解为$x=4$.
综上所述，满足条件的交点的横坐标为2或3或4或6.
解析
【分析】
（1）要求k的值，需先得到反比例函数上点A的坐标：先根据正方形的性质得AB=AD，结合AC、CD的长度算出AB的长，再由矩形ABOC的性质得到OB的长，即可确定A点坐标，代入反比例函数解析式求出k。
（2）求“Z函数”解析式，先根据A、D的横坐标表示出正方形边长AD，从而得到A点的纵坐标，再将A点坐标代入反比例函数$y=\frac{4}{x}$，整理即可得到z与x的函数关系。
（3）补画x＜0的图象时，先判断函数的奇偶性，可知函数图象关于原点对称，将x＞0的图象关于原点对称即可画出x＜0的部分；函数性质可从增减性、对称性等角度总结。
（4）求直线与“Z函数”仅有一个交点的横坐标，需分类讨论：①直线垂直x轴时，直接得到交点横坐标；②直线不垂直x轴时，设出直线解析式，与“Z函数”联立得到整式方程，分方程为一次方程和二次方程两种情况，分别求解符合条件的x值即可。
【解析】
(1)
∵四边形ABED是正方形，
∴$AB=AD=AC-CD=4-3=1$.
∵$AC⊥y$轴，$AB⊥x$轴，
∴$∠ACO=∠COB=∠OBA=90°$，
∴四边形ABOC是矩形.
∴$OB=AC=4$，
∴点A的坐标为$(4,1)$.
将$A(4,1)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=4×1=4$.
(2)由题意，点A的横坐标为x，点D的横坐标为z，
∴正方形ABED的边长$AD=x-z$，即点A的纵坐标为$x-z$，
∴$A(x,x-z)$.
∵点A在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，
∴$x(x-z)=4$，
整理得$z=x-\frac{4}{x}(x≠0)$，即“Z函数”的解析式为$z=x-\frac{4}{x}(x≠0)$.
(3)补画的x＜0时“Z函数”的图象如图所示：
性质1：当$x＞0$时，z随x的增大而增大；
性质2：函数图象关于原点中心对称（答案合理即可）。
(4)分情况讨论：
①当直线与x轴垂直时，直线为$x=3$，代入$z=x-\frac{4}{x}$得交点坐标为$(3,\frac{5}{3})$，此时交点横坐标为3；
②当直线不与x轴垂直时，设直线的解析式为$z=mx+n$，
将点$(3,2)$代入得$2=3m+n$，即$n=2-3m$，
∴直线解析式为$z=mx+2-3m$.
联立$\begin{cases}z=mx+2-3m,\\z=x-\frac{4}{x},\end{cases}$
消去z并整理得：$(m-1)x^2+(2-3m)x+4=0$.
当$m=1$时，方程为一元一次方程$-x+4=0$，解得$x=4$，此时直线与“Z函数”图象仅有一个交点，横坐标为4；
当$m≠1$时，方程为一元二次方程，若直线与函数图象仅有一个交点，则$\Delta=0$，
即$(2-3m)^2-4×(m-1)×4=0$，
解得$m_1=\frac{10}{9},m_2=2$.
当$m=\frac{10}{9}$时，代入方程解得$x_1=x_2=6$；当$m=2$时，代入方程解得$x_1=x_2=2$.
综上所述，满足条件的交点的横坐标为2或3或4或6.
【答案】
(1)$k=4$；
(2)$z=x-\frac{4}{x}(x≠0)$；
(3)补画图象见，性质示例：①$x＞0$时，z随x的增大而增大；②函数图象关于原点对称（合理即可）；
(4)交点的横坐标为2或3或4或6.
【知识点】
反比例函数的性质；函数交点问题；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题结合新定义考查了反比例函数、一次函数与方程的综合应用，解题的关键是理解新定义的“Z函数”，将其转化为熟悉的函数关系，同时注意分类讨论思想的运用，避免漏解。
【难度系数】
0.3
（1）要求k的值，需先得到反比例函数上点A的坐标：先根据正方形的性质得AB=AD，结合AC、CD的长度算出AB的长，再由矩形ABOC的性质得到OB的长，即可确定A点坐标，代入反比例函数解析式求出k。
（2）求“Z函数”解析式，先根据A、D的横坐标表示出正方形边长AD，从而得到A点的纵坐标，再将A点坐标代入反比例函数$y=\frac{4}{x}$，整理即可得到z与x的函数关系。
（3）补画x＜0的图象时，先判断函数的奇偶性，可知函数图象关于原点对称，将x＞0的图象关于原点对称即可画出x＜0的部分；函数性质可从增减性、对称性等角度总结。
（4）求直线与“Z函数”仅有一个交点的横坐标，需分类讨论：①直线垂直x轴时，直接得到交点横坐标；②直线不垂直x轴时，设出直线解析式，与“Z函数”联立得到整式方程，分方程为一次方程和二次方程两种情况，分别求解符合条件的x值即可。
【解析】
(1)
∵四边形ABED是正方形，
∴$AB=AD=AC-CD=4-3=1$.
∵$AC⊥y$轴，$AB⊥x$轴，
∴$∠ACO=∠COB=∠OBA=90°$，
∴四边形ABOC是矩形.
∴$OB=AC=4$，
∴点A的坐标为$(4,1)$.
将$A(4,1)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=4×1=4$.
(2)由题意，点A的横坐标为x，点D的横坐标为z，
∴正方形ABED的边长$AD=x-z$，即点A的纵坐标为$x-z$，
∴$A(x,x-z)$.
∵点A在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，
∴$x(x-z)=4$，
整理得$z=x-\frac{4}{x}(x≠0)$，即“Z函数”的解析式为$z=x-\frac{4}{x}(x≠0)$.
(3)补画的x＜0时“Z函数”的图象如图所示：
性质1：当$x＞0$时，z随x的增大而增大；
性质2：函数图象关于原点中心对称（答案合理即可）。
(4)分情况讨论：
①当直线与x轴垂直时，直线为$x=3$，代入$z=x-\frac{4}{x}$得交点坐标为$(3,\frac{5}{3})$，此时交点横坐标为3；
②当直线不与x轴垂直时，设直线的解析式为$z=mx+n$，
将点$(3,2)$代入得$2=3m+n$，即$n=2-3m$，
∴直线解析式为$z=mx+2-3m$.
联立$\begin{cases}z=mx+2-3m,\\z=x-\frac{4}{x},\end{cases}$
消去z并整理得：$(m-1)x^2+(2-3m)x+4=0$.
当$m=1$时，方程为一元一次方程$-x+4=0$，解得$x=4$，此时直线与“Z函数”图象仅有一个交点，横坐标为4；
当$m≠1$时，方程为一元二次方程，若直线与函数图象仅有一个交点，则$\Delta=0$，
即$(2-3m)^2-4×(m-1)×4=0$，
解得$m_1=\frac{10}{9},m_2=2$.
当$m=\frac{10}{9}$时，代入方程解得$x_1=x_2=6$；当$m=2$时，代入方程解得$x_1=x_2=2$.
综上所述，满足条件的交点的横坐标为2或3或4或6.
【答案】
(1)$k=4$；
(2)$z=x-\frac{4}{x}(x≠0)$；
(3)补画图象见
，性质示例：①$x＞0$时，z随x的增大而增大；②函数图象关于原点对称（合理即可）；(4)交点的横坐标为2或3或4或6.
【知识点】
反比例函数的性质；函数交点问题；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题结合新定义考查了反比例函数、一次函数与方程的综合应用，解题的关键是理解新定义的“Z函数”，将其转化为熟悉的函数关系，同时注意分类讨论思想的运用，避免漏解。
【难度系数】
0.3
