15.点 A 在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象上，$AB⊥x$轴于点 B，$AC⊥y$轴于点 C，分别在射线 AC，BO 上取点 D，E，使得四边形 ABED 为正方形.如图①，当点 A 在第一象限内且$AC=4$时，$CD=3$.通过改变点 A 的位置，小李发现点 A 和点 D 的横坐标之间存在函数关系.设点 A 和点 D 的横坐标分别为$x,z$，将$z$关于$x$的函数称为“Z函数”.如图②，小李画出了$x＞0$时“Z函数”的图象.请帮助小李解决下列问题.
(1)求$k$的值.
(2)求这个“Z函数”的解析式.
(3)补画$x＜0$时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质(两条即可).
(4)过点$(3,2)$作一直线，与这个“Z函数”的图象有且仅有一个交点，求该交点的横坐标.

15.(1)
∵四边形ABED是正方形，
∴$AB=AD=AC-CD=1$.
∵$AC⊥y$轴，$AB⊥x$轴，
∴$∠ACO=∠COB=∠OBA=90°$，
∴四边形ABOC是矩形.
∴$OB=AC=4$，
∴$A(4,1)$.
∴$k=4$.
(2)由题意得$A(x,x-z)$，
∴$x(x-z)=4$，
∴$z=x-\frac{4}{x}$.
(3)图象如图所示.
性质1:$x＞0$时，z随x的增大而增大.
性质2:函数的图象上的两点的横坐标互为相反数时，纵坐标也互为相反数.
(4)直线与x轴垂直时，直线$x=3$与“Z函数”的图象的交点的横坐标为3.
直线不与x轴垂直时，设直线的解析式为$z=mx+n$，
把$(3,2)$代入，得$2=3m+n$，
∴$n=2-3m$，
∴直线的解析式为$z=mx+2-3m$.
联立$\begin{cases}z=mx+2-3m,\\z=x-\frac{4}{x},\end{cases}$整理得$(m-1)x^2+(2-3m)x+4=0$.
当$m≠1$时，若$\Delta=0$，则有$(2-3m)^2-4(m-1)×4=0$，解得$m_1=\frac{10}{9},m_2=2$.
当$m=\frac{10}{9}$时，解得$x_1=x_2=6$；当$m=2$时，解得$x_1=x_2=2$.
当$m=1$时，方程的解为$x=4$.
综上所述，满足条件的交点的横坐标为2或3或4或6.

【分析】
(1) 求k需要先得到反比例函数上点A的坐标：先根据正方形的性质得到AB的长度，再结合矩形ABOC的性质得到A的横纵坐标，代入反比例函数解析式即可求出k。
(2) 求“Z函数”解析式：已知点A横坐标为x，点D横坐标为z，可得AD的长度为x-z，由正方形性质可知A点的纵坐标等于AD的长度，再结合A在反比例函数$y=\frac{4}{x}$上，横纵坐标乘积为4，整理即可得到z与x的函数关系。
(3) 补画x＜0的图象：可先判断函数$z=x-\frac{4}{x}$是奇函数，图象关于原点对称，据此补画即可；函数性质可从单调性、奇偶性、与坐标轴交点等角度总结。
(4) 求直线与“Z函数”仅有一个交点的横坐标：分两种情况讨论，①直线垂直于x轴时，直接得交点横坐标；②直线不垂直于x轴时，设出直线解析式，代入$(3,2)$化简后与Z函数联立，转化为一元二次方程，利用判别式$\Delta=0$以及一次项系数为0的特殊情况求解对应的x值，最后汇总所有符合条件的横坐标。
【解析】
(1)
∵四边形ABED是正方形，
∴$AB=AD=AC-CD=4-3=1$。
∵$AC⊥y$轴，$AB⊥x$轴，
∴$∠ACO=∠COB=∠OBA=90°$，
∴四边形ABOC是矩形。
∴$OB=AC=4$，
∴$A(4,1)$。
将$A(4,1)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=4×1=4$。
(2) 由题意得，点A横坐标为x，点D横坐标为z，
∴$AD=x-z$，
∵四边形ABED是正方形，
∴A点的纵坐标等于AB的长度，即纵坐标为$x-z$，
∵点A在反比例函数$y=\frac{4}{x}$上，
∴$x·(x-z)=4$，
整理得$z=x-\frac{4}{x}$。
(3) 补画x＜0时的“Z函数”图象如图所示。
性质可从以下角度选取：①$x＞0$时，z随x的增大而增大；②函数的图象关于原点中心对称；③$x＜0$时，z随x的增大而增大；④函数图象与x轴交于$(±2,0)$，合理即可。
(4) 分两种情况讨论：
① 当直线与x轴垂直时，直线$x=3$与“Z函数”的图象的交点的横坐标为3，符合题意；
② 当直线不与x轴垂直时，设直线的解析式为$z=mx+n$，
把$(3,2)$代入，得$2=3m+n$，
∴$n=2-3m$，
∴直线的解析式为$z=mx+2-3m$。
联立$\begin{cases}z=mx+2-3m,\\z=x-\frac{4}{x},\end{cases}$整理得$(m-1)x^2+(2-3m)x+4=0$。
当$m≠1$时，若$\Delta=0$，则有$(2-3m)^2-4(m-1)×4=0$，解得$m_1=\frac{10}{9},m_2=2$。
当$m=\frac{10}{9}$时，解得$x_1=x_2=6$；当$m=2$时，解得$x_1=x_2=2$。
当$m=1$时，方程变为一次方程$-x+4=0$，解为$x=4$，也满足仅有一个交点的要求。
综上所述，满足条件的交点的横坐标为2或3或4或6。
【答案】
(1) $k=4$
(2) $z=x-\frac{4}{x}(x≠0)$
(3) 图象如图所示；性质示例：①$x＞0$时，z随x的增大而增大；②函数图象关于原点中心对称（答案不唯一，合理即可）
(4) 交点的横坐标为2或3或4或6
【知识点】
反比例函数的性质，正方形的性质，函数交点求解
【点评】
本题以新定义“Z函数”为载体，综合考查了反比例函数、图形性质、函数图象与交点求解等内容，渗透了数形结合、分类讨论的数学思想，对学生的综合分析能力和运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.3