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一、选择题
1.一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的一次项系数是(
A.3
B.－3
C.1
D.－1
1.一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的一次项系数是(
B
).A.3
B.－3
C.1
D.－1
答案
1.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要掌握一元二次方程的一般形式及各项系数的定义。解题思路为：先回忆一元二次方程的标准结构，再将题目给出的方程与标准结构对应，找到一次项后提取其系数即可，注意系数要包含该项前面的符号，不能忽略负号。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$\boldsymbol{ax^2+bx+c=0(a≠0)}$，其中：
$ax^2$是二次项，$a$为二次项系数；
$bx$是一次项，$b$为一次项系数；
$c$是常数项。
将题干中的方程$x^2 - 3x + 1 = 0$与一般形式对应，可得一次项为$-3x$，因此一次项系数为$-3$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的一般形式；一元二次方程的系数识别
【点评】
本题是基础考查题，主要考察对一元二次方程各项系数的识别能力，易错点是容易忽略一次项前面的负号，误选3作为答案，做题时需注意系数要连同项的符号一同判断。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要掌握一元二次方程的一般形式及各项系数的定义。解题思路为：先回忆一元二次方程的标准结构，再将题目给出的方程与标准结构对应，找到一次项后提取其系数即可，注意系数要包含该项前面的符号，不能忽略负号。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$\boldsymbol{ax^2+bx+c=0(a≠0)}$，其中：
$ax^2$是二次项，$a$为二次项系数；
$bx$是一次项，$b$为一次项系数；
$c$是常数项。
将题干中的方程$x^2 - 3x + 1 = 0$与一般形式对应，可得一次项为$-3x$，因此一次项系数为$-3$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的一般形式；一元二次方程的系数识别
【点评】
本题是基础考查题，主要考察对一元二次方程各项系数的识别能力，易错点是容易忽略一次项前面的负号，误选3作为答案，做题时需注意系数要连同项的符号一同判断。
【难度系数】
0.9
2.抛物线 $y=(x+1)^2 -4$ 的顶点坐标是(
A.$(1,4)$
B.$(1,-4)$
C.$(-1,4)$
D.$(-1,-4)$
D
).A.$(1,4)$
B.$(1,-4)$
C.$(-1,4)$
D.$(-1,-4)$
答案
2.D
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数顶点式的结构特征：二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其顶点坐标直接对应为$(h,k)$。拿到题目给出的解析式$y=(x+1)^2-4$，只需要把解析式变形为顶点式的标准形式，找到对应的$h$和$k$的值，就能确定顶点坐标，再匹配选项即可。解题时要重点注意$h$的符号，括号内是加法时，要转化为减去负数的形式，避免符号出错。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），该形式下抛物线的顶点坐标为$(h,k)$。
将题干中的抛物线解析式变形为标准顶点式：
$y=(x+1)^2-4=[x-(-1)]^2+(-4)$
对比顶点式可得：$h=-1$，$k=-4$，因此该抛物线的顶点坐标为$(-1,-4)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数顶点坐标求解
【点评】
本题是二次函数的基础考查题，核心是对顶点式结构的掌握，解题时只需对应顶点式的参数即可快速得到答案，易错点是容易混淆顶点横坐标的符号。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆二次函数顶点式的结构特征：二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其顶点坐标直接对应为$(h,k)$。拿到题目给出的解析式$y=(x+1)^2-4$，只需要把解析式变形为顶点式的标准形式，找到对应的$h$和$k$的值，就能确定顶点坐标，再匹配选项即可。解题时要重点注意$h$的符号，括号内是加法时，要转化为减去负数的形式，避免符号出错。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），该形式下抛物线的顶点坐标为$(h,k)$。
将题干中的抛物线解析式变形为标准顶点式：
$y=(x+1)^2-4=[x-(-1)]^2+(-4)$
对比顶点式可得：$h=-1$，$k=-4$，因此该抛物线的顶点坐标为$(-1,-4)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数顶点坐标求解
【点评】
本题是二次函数的基础考查题，核心是对顶点式结构的掌握，解题时只需对应顶点式的参数即可快速得到答案，易错点是容易混淆顶点横坐标的符号。
【难度系数】
0.9
3.反比例函数 $y=\frac{6}{x}$ 的图象分别位于（
A.第一、第三象限
B.第一、第四象限
C.第二、第三象限
D.第二、第四象限
A
）.A.第一、第三象限
B.第一、第四象限
C.第二、第三象限
D.第二、第四象限
答案
3.A
解析
【分析】
要解决这道题，需围绕反比例函数图象象限的判断逻辑思考：首先回忆反比例函数图象位置的决定因素是比例系数$k$的符号，解题时分三步进行：第一步确定题目中反比例函数的$k$值，第二步判断$k$的正负，第三步根据$k$的符号对应匹配图象所在的象限即可。
【解析】
反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k\ne0$），其图象分布规律为：
1. 当$k＞0$时，函数图象分别位于第一、第三象限；
2. 当$k＜0$时，函数图象分别位于第二、第四象限。
本题给出的反比例函数为$y=\frac{6}{x}$，其中比例系数$k=6＞0$，因此该函数的图象分别位于第一、第三象限，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是反比例函数模块的基础题型，仅考查性质的直接应用，只要熟练掌握比例系数$k$的符号和图象所在象限的对应关系，就能快速解题，属于该部分的高频基础考点。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，需围绕反比例函数图象象限的判断逻辑思考：首先回忆反比例函数图象位置的决定因素是比例系数$k$的符号，解题时分三步进行：第一步确定题目中反比例函数的$k$值，第二步判断$k$的正负，第三步根据$k$的符号对应匹配图象所在的象限即可。
【解析】
反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k\ne0$），其图象分布规律为：
1. 当$k＞0$时，函数图象分别位于第一、第三象限；
2. 当$k＜0$时，函数图象分别位于第二、第四象限。
本题给出的反比例函数为$y=\frac{6}{x}$，其中比例系数$k=6＞0$，因此该函数的图象分别位于第一、第三象限，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是反比例函数模块的基础题型，仅考查性质的直接应用，只要熟练掌握比例系数$k$的符号和图象所在象限的对应关系，就能快速解题，属于该部分的高频基础考点。
【难度系数】
0.9
4.电灯两端的电压$U$(单位:V),通过电灯的电流强度$I$(单位:A)和电灯电阻$R$(单位:Ω)之间有$I=\frac{U}{R}$的关系.已知电灯两端的电压$U$为220 V,为保证安全,通过电灯的电流强度$I$不得超过0.11 A.设选用灯泡的电阻为$R$,下列说法正确的是(
A.$R$至少为2 000 Ω
B.$R$至多为2 000 Ω
C.$R$至少为24.2 Ω
D.$R$至多为24.2 Ω
A
).A.$R$至少为2 000 Ω
B.$R$至多为2 000 Ω
C.$R$至少为24.2 Ω
D.$R$至多为24.2 Ω
答案
4.A
解析
【分析】
解题时首先明确已知条件：电压U为定值220V，电流I不得超过0.11A即$I ≤ 0.11\mathrm{A}$。结合给出的公式$I=\frac{U}{R}$，将已知量代入不等关系，由于电阻R是正数，解不等式时不等号方向不变，求出R的取值范围后，再判断“至少”“至多”的表述即可得到正确选项。
【解析】
由题意可知，通过电灯的电流强度满足$I ≤ 0.11\mathrm{A}$，
将$I=\frac{U}{R}$、$U=220\mathrm{V}$代入上述不等式，可得：
$\frac{220}{R} ≤ 0.11$
因为灯泡电阻$R＞0$，不等式两边同时乘$R$，不等号方向不变，得：
$220 ≤ 0.11R$
不等式两边同时除以0.11，解得：
$R ≥ 2000$
即$R$至少为2000Ω，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
不等式的应用，反比例关系，实际问题取值判断
【点评】
本题结合生活实际和物理相关公式考查不等式的应用，解题的关键是根据电流的限制条件列出正确的不等式，要注意实际问题中电阻为正数的隐含条件，避免解不等式时弄错不等号方向，同时要准确理解“至少”“至多”和不等号的对应关系。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确已知条件：电压U为定值220V，电流I不得超过0.11A即$I ≤ 0.11\mathrm{A}$。结合给出的公式$I=\frac{U}{R}$，将已知量代入不等关系，由于电阻R是正数，解不等式时不等号方向不变，求出R的取值范围后，再判断“至少”“至多”的表述即可得到正确选项。
【解析】
由题意可知，通过电灯的电流强度满足$I ≤ 0.11\mathrm{A}$，
将$I=\frac{U}{R}$、$U=220\mathrm{V}$代入上述不等式，可得：
$\frac{220}{R} ≤ 0.11$
因为灯泡电阻$R＞0$，不等式两边同时乘$R$，不等号方向不变，得：
$220 ≤ 0.11R$
不等式两边同时除以0.11，解得：
$R ≥ 2000$
即$R$至少为2000Ω，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
不等式的应用，反比例关系，实际问题取值判断
【点评】
本题结合生活实际和物理相关公式考查不等式的应用，解题的关键是根据电流的限制条件列出正确的不等式，要注意实际问题中电阻为正数的隐含条件，避免解不等式时弄错不等号方向，同时要准确理解“至少”“至多”和不等号的对应关系。
【难度系数】
0.7
5.平移二次函数$y=2(x-5)^2 -1$的图象，得到二次函数$y=2x^2$的图象.下列移动路径正确的是(
A.先向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度
B.先向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度
C.先向右平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度
D.先向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度
B
).A.先向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度
B.先向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度
C.先向右平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度
D.先向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度
答案
5.B
解析
【分析】
解决二次函数平移问题，可利用二次函数平移不改变形状和开口方向、仅改变顶点位置的特点，通过对比两个函数的顶点移动路径判断平移方式，也可直接运用“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移口诀推导。首先写出两个二次函数的顶点坐标，再根据点的平移规则确定移动方向和距离即可。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，其顶点坐标为$(h,k)$：
1. 确定两个函数的顶点：
$y=2(x-5)^2-1$的顶点坐标为$(5,-1)$，$y=2x^2$的顶点坐标为$(0,0)$。
2. 分析顶点的平移路径：
横坐标从5变为0，需向左平移$5-0=5$个单位长度；
纵坐标从$-1$变为0，需向上平移$0-(-1)=1$个单位长度。
也可通过平移口诀验证：将$y=2(x-5)^2-1$的自变量$x$替换为$x+5$（即向左平移5个单位），可得$y=2(x+5-5)^2-1=2x^2-1$，再将解析式整体加1（即向上平移1个单位），可得$y=2x^2$，与目标函数一致。
因此移动路径为先向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象平移；二次函数顶点式；点的平移规律
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心考查平移规律的应用，既可以通过顶点坐标的移动直观判断，也可以通过平移口诀推导，熟练掌握相关规律就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解决二次函数平移问题，可利用二次函数平移不改变形状和开口方向、仅改变顶点位置的特点，通过对比两个函数的顶点移动路径判断平移方式，也可直接运用“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移口诀推导。首先写出两个二次函数的顶点坐标，再根据点的平移规则确定移动方向和距离即可。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，其顶点坐标为$(h,k)$：
1. 确定两个函数的顶点：
$y=2(x-5)^2-1$的顶点坐标为$(5,-1)$，$y=2x^2$的顶点坐标为$(0,0)$。
2. 分析顶点的平移路径：
横坐标从5变为0，需向左平移$5-0=5$个单位长度；
纵坐标从$-1$变为0，需向上平移$0-(-1)=1$个单位长度。
也可通过平移口诀验证：将$y=2(x-5)^2-1$的自变量$x$替换为$x+5$（即向左平移5个单位），可得$y=2(x+5-5)^2-1=2x^2-1$，再将解析式整体加1（即向上平移1个单位），可得$y=2x^2$，与目标函数一致。
因此移动路径为先向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象平移；二次函数顶点式；点的平移规律
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心考查平移规律的应用，既可以通过顶点坐标的移动直观判断，也可以通过平移口诀推导，熟练掌握相关规律就能快速解题。
【难度系数】
0.8
6.中秋节期间，某家庭群规定，群内的每个人都要给其他人单独发祝福语（向自己以外的每人发一条）.此次活动结束，群内所有人共收到56条祝福语，则该群内一共有（
A.6人
B.7人
C.8人
D.9人
C
）.A.6人
B.7人
C.8人
D.9人
答案
6.C
解析
【分析】
本题属于一元二次方程的实际应用类问题，解题思路如下：首先明确核心等量关系：群内总人数×每人发送祝福语的条数=所有人发送祝福语的总条数，而所有发送的祝福语都会被其他人收到，因此总发送条数等于总收到的56条；其次，每人不需要给自己发祝福，因此每人发送的条数为总人数减1；最后设未知数列方程求解，注意人数为正整数，要舍去不符合实际意义的解。
【解析】
设该群内一共有$ x $人。
由题意得，每个人需要给除自己外的$ (x-1) $人各发1条祝福语，因此所有人共发送$ x(x-1) $条祝福语，即总收到的祝福语数量为$ x(x-1) $，可列方程：
$ x(x-1)=56 $
整理得：$ x^2 -x -56=0 $
因式分解得：$ (x-8)(x+7)=0 $
解得：$ x_1=8 $，$ x_2=-7 $
∵人数不能为负数，
∴舍去$ x_2=-7 $，即$ x=8 $。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是典型的“互送物品”类应用题型，解题的关键是找准数量关系，列方程后注意结合实际情况对解进行取舍，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
本题属于一元二次方程的实际应用类问题，解题思路如下：首先明确核心等量关系：群内总人数×每人发送祝福语的条数=所有人发送祝福语的总条数，而所有发送的祝福语都会被其他人收到，因此总发送条数等于总收到的56条；其次，每人不需要给自己发祝福，因此每人发送的条数为总人数减1；最后设未知数列方程求解，注意人数为正整数，要舍去不符合实际意义的解。
【解析】
设该群内一共有$ x $人。
由题意得，每个人需要给除自己外的$ (x-1) $人各发1条祝福语，因此所有人共发送$ x(x-1) $条祝福语，即总收到的祝福语数量为$ x(x-1) $，可列方程：
$ x(x-1)=56 $
整理得：$ x^2 -x -56=0 $
因式分解得：$ (x-8)(x+7)=0 $
解得：$ x_1=8 $，$ x_2=-7 $
∵人数不能为负数，
∴舍去$ x_2=-7 $，即$ x=8 $。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是典型的“互送物品”类应用题型，解题的关键是找准数量关系，列方程后注意结合实际情况对解进行取舍，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
7.如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=ax^2+bx+c$的对称轴为直线$x=-1$,则下列数值范围内存在关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个解的是(
A.$-4＜x＜-3$
B.$-3＜x＜-2$
C.$-2＜x＜-1$
D.$-1＜x＜0$
B
).A.$-4＜x＜-3$
B.$-3＜x＜-2$
C.$-2＜x＜-1$
D.$-1＜x＜0$
答案
7.B
解析
【分析】
要判断一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解的范围，首先明确方程的解对应抛物线$y=ax^2+bx+c$与x轴交点的横坐标。已知抛物线对称轴为$x=-1$，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，我们可以先从图像中得到右侧交点的横坐标范围，再利用对称性推导左侧交点的横坐标范围，即可匹配正确选项。
【解析】
观察图像可知，抛物线与x轴的右侧交点横坐标$x_2$满足$0＜x_2＜1$。
设抛物线与x轴的左侧交点横坐标为$x_1$，因为抛物线的对称轴为直线$x=-1$，两个交点关于对称轴对称，因此对称轴是两个交点横坐标的中点，即：
$\frac{x_1+x_2}{2}=-1$
整理得$x_1=-2-x_2$。
因为$0＜x_2＜1$，对不等式两边同时乘$-1$得$-1＜-x_2＜0$，再同时减2得：
$-3＜-2-x_2＜-2$，即$-3＜x_1＜-2$。
因此一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个解在$-3＜x＜-2$范围内。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的对称性；二次函数的图像性质
【点评】
本题考查二次函数图像和一元二次方程的关联，解题的核心是理解方程的根对应抛物线与x轴交点的横坐标，结合抛物线的对称性质就能快速推导交点的取值范围，属于基础的二次函数图像应用题。
【难度系数】
0.7
要判断一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解的范围，首先明确方程的解对应抛物线$y=ax^2+bx+c$与x轴交点的横坐标。已知抛物线对称轴为$x=-1$，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，我们可以先从图像中得到右侧交点的横坐标范围，再利用对称性推导左侧交点的横坐标范围，即可匹配正确选项。
【解析】
观察图像可知，抛物线与x轴的右侧交点横坐标$x_2$满足$0＜x_2＜1$。
设抛物线与x轴的左侧交点横坐标为$x_1$，因为抛物线的对称轴为直线$x=-1$，两个交点关于对称轴对称，因此对称轴是两个交点横坐标的中点，即：
$\frac{x_1+x_2}{2}=-1$
整理得$x_1=-2-x_2$。
因为$0＜x_2＜1$，对不等式两边同时乘$-1$得$-1＜-x_2＜0$，再同时减2得：
$-3＜-2-x_2＜-2$，即$-3＜x_1＜-2$。
因此一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个解在$-3＜x＜-2$范围内。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的对称性；二次函数的图像性质
【点评】
本题考查二次函数图像和一元二次方程的关联，解题的核心是理解方程的根对应抛物线与x轴交点的横坐标，结合抛物线的对称性质就能快速推导交点的取值范围，属于基础的二次函数图像应用题。
【难度系数】
0.7
8.在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC$，$BC$的长是方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的两根，则$AB$的长为（
A.2
B.3
C.$\sqrt{5}$
D.$\sqrt{7}$
D
）.A.2
B.3
C.$\sqrt{5}$
D.$\sqrt{7}$
答案
8.D
解析
【分析】
本题是直角三角形与一元二次方程结合的题型，解题思路如下：首先，在直角三角形中求斜边AB，可想到用勾股定理，即$AB^2=AC^2+BC^2$；其次，已知AC、BC是一元二次方程的两根，不需要直接求解方程得到AC、BC的具体值，可利用一元二次方程根与系数的关系，直接得到两根之和$AC+BC$与两根之积$AC·BC$；最后，利用完全平方公式将$AC^2+BC^2$变形为$(AC+BC)^2-2AC·BC$，代入数值计算即可得到AB的长度。
【解析】
解：
∵AC、BC是方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的两根，
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$AC+BC=3$，$AC·BC=1$，
∵在$△ABC$中，$∠C=90°$，
由勾股定理得：$AB^2=AC^2+BC^2$，
对$AC^2+BC^2$变形可得：
$AC^2+BC^2=(AC+BC)^2 - 2AC·BC$，
将$AC+BC=3$，$AC·BC=1$代入得：
$AB^2=3^2 - 2×1=9-2=7$，
∵AB为边长，取正值，
∴$AB=\sqrt{7}$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；一元二次方程根与系数的关系；完全平方公式
【点评】
本题属于代数与几何的综合基础题，解题的核心是灵活运用根与系数的关系，无需解出方程的根即可代入计算，有效简化运算步骤，考查了学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
本题是直角三角形与一元二次方程结合的题型，解题思路如下：首先，在直角三角形中求斜边AB，可想到用勾股定理，即$AB^2=AC^2+BC^2$；其次，已知AC、BC是一元二次方程的两根，不需要直接求解方程得到AC、BC的具体值，可利用一元二次方程根与系数的关系，直接得到两根之和$AC+BC$与两根之积$AC·BC$；最后，利用完全平方公式将$AC^2+BC^2$变形为$(AC+BC)^2-2AC·BC$，代入数值计算即可得到AB的长度。
【解析】
解：
∵AC、BC是方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的两根，
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$AC+BC=3$，$AC·BC=1$，
∵在$△ABC$中，$∠C=90°$，
由勾股定理得：$AB^2=AC^2+BC^2$，
对$AC^2+BC^2$变形可得：
$AC^2+BC^2=(AC+BC)^2 - 2AC·BC$，
将$AC+BC=3$，$AC·BC=1$代入得：
$AB^2=3^2 - 2×1=9-2=7$，
∵AB为边长，取正值，
∴$AB=\sqrt{7}$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；一元二次方程根与系数的关系；完全平方公式
【点评】
本题属于代数与几何的综合基础题，解题的核心是灵活运用根与系数的关系，无需解出方程的根即可代入计算，有效简化运算步骤，考查了学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
