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9.我国古代数学家研究过用几何法解一元二次方程.以解方程 $x(x+6)=72$ 为例说明一种方法:如图,四个长为 $x+6$、宽为 $x$ 的矩形拼成一个边长为 $x+6+x$ 的大正方形,大正方形的面积等于四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和,即 $4×72+6^2=324=18^2$,据此易得 $x+6+x=18,x=6$(正根).小熙用此方法解关于 $x$ 的方程 $x(7x-a)=20$,其中 $7x-a＞x$,构造出同样的图形,已知小正方形的面积为64,则 $a$ 的值是(
A.6
B.4
C.2
D.1
B
).A.6
B.4
C.2
D.1
答案
9.B
解析
【分析】
解题时先结合题目给出的古代几何解一元二次方程的逻辑梳理关系：1. 由方程$x(7x-a)=20$可得矩形的长为$7x-a$、宽为$x$；2. 中间小正方形边长=矩形长-矩形宽，大正方形边长=矩形长+矩形宽；3. 先根据小正方形面积得到边长的等式，再由大正方形面积=4个矩形面积+小正方形面积得到大正方形边长的等式，联立两个等式即可求解$a$的值。
【解析】
1. 由方程$x(7x-a)=20$，可知构造所用矩形的长为$7x-a$，宽为$x$。
2. 求小正方形边长：已知$7x-a＞x$，因此中间小正方形的边长为$(7x-a)-x=6x-a$，结合小正方形面积为64，且边长为正，可得：
$6x-a=\sqrt{64}=8$ ①
3. 求大正方形边长：大正方形面积=4个矩形面积+小正方形面积，代入数值得：
$S_{大正方形}=4×20+64=144$
因此大正方形边长为$\sqrt{144}=12$，又因为大正方形边长=矩形长+矩形宽，即$(7x-a)+x=8x-a$，可得：
$8x-a=12$ ②
4. 联立①②求解：用②式减①式得$(8x-a)-(6x-a)=12-8$，化简得$2x=4$，解得$x=2$。
将$x=2$代入①式，得$6×2-a=8$，解得$a=4$。
【答案】
B
【知识点】
几何法解一元二次方程，正方形面积计算，二元一次方程组解法
【点评】
本题结合传统数学文化考查知识迁移应用能力，需要学生准确理解题目给出的解法逻辑，结合面积关系建立方程求解，兼顾了对阅读理解能力和方程应用能力的考查。
【难度系数】
0.6
解题时先结合题目给出的古代几何解一元二次方程的逻辑梳理关系：1. 由方程$x(7x-a)=20$可得矩形的长为$7x-a$、宽为$x$；2. 中间小正方形边长=矩形长-矩形宽，大正方形边长=矩形长+矩形宽；3. 先根据小正方形面积得到边长的等式，再由大正方形面积=4个矩形面积+小正方形面积得到大正方形边长的等式，联立两个等式即可求解$a$的值。
【解析】
1. 由方程$x(7x-a)=20$，可知构造所用矩形的长为$7x-a$，宽为$x$。
2. 求小正方形边长：已知$7x-a＞x$，因此中间小正方形的边长为$(7x-a)-x=6x-a$，结合小正方形面积为64，且边长为正，可得：
$6x-a=\sqrt{64}=8$ ①
3. 求大正方形边长：大正方形面积=4个矩形面积+小正方形面积，代入数值得：
$S_{大正方形}=4×20+64=144$
因此大正方形边长为$\sqrt{144}=12$，又因为大正方形边长=矩形长+矩形宽，即$(7x-a)+x=8x-a$，可得：
$8x-a=12$ ②
4. 联立①②求解：用②式减①式得$(8x-a)-(6x-a)=12-8$，化简得$2x=4$，解得$x=2$。
将$x=2$代入①式，得$6×2-a=8$，解得$a=4$。
【答案】
B
【知识点】
几何法解一元二次方程，正方形面积计算，二元一次方程组解法
【点评】
本题结合传统数学文化考查知识迁移应用能力，需要学生准确理解题目给出的解法逻辑，结合面积关系建立方程求解，兼顾了对阅读理解能力和方程应用能力的考查。
【难度系数】
0.6
10.小明同学利用计算机软件绘制函数$y=\frac{ax}{(x+b)^2}$（$a,b$为常数）的图象如图所示，由学习函数的经验，可以推断常数$a,b$的值满足（
A.$a＞0,b＞0$
B.$a＞0,b＜0$
C.$a＜0,b＞0$
D.$a＜0,b＜0$
C
）.A.$a＞0,b＞0$
B.$a＞0,b＜0$
C.$a＜0,b＞0$
D.$a＜0,b＜0$
答案
10.C
解析
【分析】
解题时先从函数表达式的定义域入手：分母不为0可得$x≠-b$，对应图像的垂直渐近线（函数值趋向无穷大的x位置）可判断b的符号；再选取x＞0的区间，结合该区间内函数值的符号，就能推导a的符号，最终确定选项。
【解析】
1. 确定b的符号：
函数$y=\frac{ax}{(x+b)^2}$的分母不能为0，即$(x+b)^2≠0$，得$x≠-b$。
观察图像，函数在x轴负半轴存在垂直渐近线（x趋近于该值时y趋向无穷大），说明$-b＜0$，解得$b＞0$。
2. 确定a的符号：
当$x＞0$时，$(x+b)^2$是平方数，恒大于0；此时观察图像，x＞0时函数图像位于x轴下方，即$y＜0$。
代入函数式得：$\frac{ax}{(x+b)^2}＜0$，分母为正，因此分子$ax＜0$，又$x＞0$，故$a＜0$。
综上可得$a＜0,b＞0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
函数的定义域；函数图像与解析式的关系；符号判断
【点评】
本题是典型的数形结合类题目，不需要计算参数的具体值，只需抓住函数的定义域特征和不同区间内函数值的符号即可解题，重点考查对函数图像性质的理解和应用。
【难度系数】
0.7
解题时先从函数表达式的定义域入手：分母不为0可得$x≠-b$，对应图像的垂直渐近线（函数值趋向无穷大的x位置）可判断b的符号；再选取x＞0的区间，结合该区间内函数值的符号，就能推导a的符号，最终确定选项。
【解析】
1. 确定b的符号：
函数$y=\frac{ax}{(x+b)^2}$的分母不能为0，即$(x+b)^2≠0$，得$x≠-b$。
观察图像，函数在x轴负半轴存在垂直渐近线（x趋近于该值时y趋向无穷大），说明$-b＜0$，解得$b＞0$。
2. 确定a的符号：
当$x＞0$时，$(x+b)^2$是平方数，恒大于0；此时观察图像，x＞0时函数图像位于x轴下方，即$y＜0$。
代入函数式得：$\frac{ax}{(x+b)^2}＜0$，分母为正，因此分子$ax＜0$，又$x＞0$，故$a＜0$。
综上可得$a＜0,b＞0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
函数的定义域；函数图像与解析式的关系；符号判断
【点评】
本题是典型的数形结合类题目，不需要计算参数的具体值，只需抓住函数的定义域特征和不同区间内函数值的符号即可解题，重点考查对函数图像性质的理解和应用。
【难度系数】
0.7
二、填空题
11.一元二次方程$x^2 - 3x + 2 = 0$的两根分别为$a$，$b$，则$a + b + ab =$
11.一元二次方程$x^2 - 3x + 2 = 0$的两根分别为$a$，$b$，则$a + b + ab =$
5
.答案
11.5
解析
【分析】
本题要求一元二次方程两根的和与两根积的和，有两种解题思路：思路一：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），不需要求解方程，直接得到两根之和、两根之积的值，代入代数式即可算出结果，该方法更简便；思路二：先通过因式分解法解出一元二次方程的两个根，再将根代入所求代数式计算即可。
【解析】
方法一（利用根与系数的关系）：
对于一元二次方程的标准形式$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），若两根为$x_1$、$x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{B}{A}$，$x_1x_2=\frac{C}{A}$。
在方程$x^2 - 3x + 2 = 0$中，$A=1$，$B=-3$，$C=2$，已知两根为$a$、$b$，因此：
$a+b=-\frac{-3}{1}=3$，$ab=\frac{2}{1}=2$，
所以$a+b+ab=3+2=5$。
方法二（解方程后代入计算）：
对$x^2 - 3x + 2 = 0$因式分解得：$(x-1)(x-2)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=2$，即两根$a$、$b$分别为1和2，
代入得$a+b+ab=1+2+1×2=5$。
【答案】
5
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系
2.因式分解法解一元二次方程
3.代数式求值
【点评】
本题是基础常考题，两种解题方法都可得到结果，优先使用韦达定理可减少计算量，提高解题效率。
【难度系数】
0.9
本题要求一元二次方程两根的和与两根积的和，有两种解题思路：思路一：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），不需要求解方程，直接得到两根之和、两根之积的值，代入代数式即可算出结果，该方法更简便；思路二：先通过因式分解法解出一元二次方程的两个根，再将根代入所求代数式计算即可。
【解析】
方法一（利用根与系数的关系）：
对于一元二次方程的标准形式$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），若两根为$x_1$、$x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{B}{A}$，$x_1x_2=\frac{C}{A}$。
在方程$x^2 - 3x + 2 = 0$中，$A=1$，$B=-3$，$C=2$，已知两根为$a$、$b$，因此：
$a+b=-\frac{-3}{1}=3$，$ab=\frac{2}{1}=2$，
所以$a+b+ab=3+2=5$。
方法二（解方程后代入计算）：
对$x^2 - 3x + 2 = 0$因式分解得：$(x-1)(x-2)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=2$，即两根$a$、$b$分别为1和2，
代入得$a+b+ab=1+2+1×2=5$。
【答案】
5
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系
2.因式分解法解一元二次方程
3.代数式求值
【点评】
本题是基础常考题，两种解题方法都可得到结果，优先使用韦达定理可减少计算量，提高解题效率。
【难度系数】
0.9
12.为改善环境，艺术小区决定加大绿化投入.若3月份绿化投入20万元，5月份绿化投入64万元，设平均每月绿化投入的增长率为x，根据题意，可列得方程为
$20(1+x)^2=64$
.答案
12.$20(1+x)^2=64$
解析
【分析】
这是一道平均增长率类的应用题，解题时首先回忆增长率问题的基本公式：若初始量为a，平均增长率为x，增长n次后的总量为$a(1+x)^n$。接下来对应题干找已知量：3月份投入的20万元是初始量，从3月到5月共经过2次增长（3月到4月是第1次，4月到5月是第2次），5月份投入的64万元是增长2次后的总量，将对应数值代入公式即可列出方程。
【解析】
第一步：明确初始量与增长率：3月份绿化投入为20万元，平均每月增长率为$x$。
第二步：计算4月份的绿化投入：4月份是3月份增长1次后的量，为$20(1+x)$万元。
第三步：计算5月份的绿化投入：5月份是在4月份的基础上再增长1次，因此投入为$20(1+x) × (1+x) = 20(1+x)^2$万元。
第四步：结合5月份投入为64万元的已知条件，列得方程：$20(1+x)^2=64$。
【答案】
$20(1+x)^2=64$
【知识点】
增长率问题；列一元二次方程
【点评】
本题是增长率类应用题的基础题型，解题关键是准确判断增长的次数，牢记增长率的计算逻辑，避免搞错指数大小，掌握方法后可快速得分。
【难度系数】
0.8
这是一道平均增长率类的应用题，解题时首先回忆增长率问题的基本公式：若初始量为a，平均增长率为x，增长n次后的总量为$a(1+x)^n$。接下来对应题干找已知量：3月份投入的20万元是初始量，从3月到5月共经过2次增长（3月到4月是第1次，4月到5月是第2次），5月份投入的64万元是增长2次后的总量，将对应数值代入公式即可列出方程。
【解析】
第一步：明确初始量与增长率：3月份绿化投入为20万元，平均每月增长率为$x$。
第二步：计算4月份的绿化投入：4月份是3月份增长1次后的量，为$20(1+x)$万元。
第三步：计算5月份的绿化投入：5月份是在4月份的基础上再增长1次，因此投入为$20(1+x) × (1+x) = 20(1+x)^2$万元。
第四步：结合5月份投入为64万元的已知条件，列得方程：$20(1+x)^2=64$。
【答案】
$20(1+x)^2=64$
【知识点】
增长率问题；列一元二次方程
【点评】
本题是增长率类应用题的基础题型，解题关键是准确判断增长的次数，牢记增长率的计算逻辑，避免搞错指数大小，掌握方法后可快速得分。
【难度系数】
0.8
13.若点$A(x_1,2)$，$B(x_2,-1)$，$C(x_3,4)$都在反比例函数$y=\frac{8}{x}$的图象上，则$x_1,x_2,x_3$的大小关系是
$x_2＜x_3＜x_1$
。答案
13.$x_2＜x_3＜x_1$
解析
【分析】
要比较$x_1,x_2,x_3$的大小，有两种常用解题思路：思路1：三个点都在反比例函数图象上，坐标满足函数解析式，可将各点纵坐标代入$y=\frac{8}{x}$，分别求出对应的横坐标，再直接比较数值大小即可；思路2：根据反比例函数的性质，先判断各点所在象限，再结合增减性比较横坐标大小，注意反比例函数的增减性仅在同一象限内适用，不同象限的点可先通过坐标正负性判断大小。
【解析】
方法一：代入求值法
将点$A(x_1,2)$代入$y=\frac{8}{x}$，得$2=\frac{8}{x_1}$，解得$x_1=4$；
将点$B(x_2,-1)$代入$y=\frac{8}{x}$，得$-1=\frac{8}{x_2}$，解得$x_2=-8$；
将点$C(x_3,4)$代入$y=\frac{8}{x}$，得$4=\frac{8}{x_3}$，解得$x_3=2$；
$\because -8＜2＜4$，
$\therefore x_2＜x_3＜x_1$。
方法二：性质判断法
反比例函数$y=\frac{8}{x}$中$k=8＞0$，因此函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
点$A$、$C$的纵坐标为正，都在第一象限，对应横坐标均为正数，$\because 4＞2$，根据增减性可得$x_3＜x_1$；
点$B$的纵坐标为负，位于第三象限，对应横坐标$x_2$为负数，负数小于所有正数，因此$x_2＜x_3$；
综上可得$x_2＜x_3＜x_1$。
【答案】
$x_2＜x_3＜x_1$
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质
【点评】
本题是反比例函数基础题型，既可以代入计算直接求解，也可以结合函数性质快速判断，熟练掌握反比例函数的图象特点和增减性即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
要比较$x_1,x_2,x_3$的大小，有两种常用解题思路：思路1：三个点都在反比例函数图象上，坐标满足函数解析式，可将各点纵坐标代入$y=\frac{8}{x}$，分别求出对应的横坐标，再直接比较数值大小即可；思路2：根据反比例函数的性质，先判断各点所在象限，再结合增减性比较横坐标大小，注意反比例函数的增减性仅在同一象限内适用，不同象限的点可先通过坐标正负性判断大小。
【解析】
方法一：代入求值法
将点$A(x_1,2)$代入$y=\frac{8}{x}$，得$2=\frac{8}{x_1}$，解得$x_1=4$；
将点$B(x_2,-1)$代入$y=\frac{8}{x}$，得$-1=\frac{8}{x_2}$，解得$x_2=-8$；
将点$C(x_3,4)$代入$y=\frac{8}{x}$，得$4=\frac{8}{x_3}$，解得$x_3=2$；
$\because -8＜2＜4$，
$\therefore x_2＜x_3＜x_1$。
方法二：性质判断法
反比例函数$y=\frac{8}{x}$中$k=8＞0$，因此函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
点$A$、$C$的纵坐标为正，都在第一象限，对应横坐标均为正数，$\because 4＞2$，根据增减性可得$x_3＜x_1$；
点$B$的纵坐标为负，位于第三象限，对应横坐标$x_2$为负数，负数小于所有正数，因此$x_2＜x_3$；
综上可得$x_2＜x_3＜x_1$。
【答案】
$x_2＜x_3＜x_1$
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质
【点评】
本题是反比例函数基础题型，既可以代入计算直接求解，也可以结合函数性质快速判断，熟练掌握反比例函数的图象特点和增减性即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
14.如图，抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=mx+n$交于A，B两点，它们的横坐标分别为－2，4，则关于x的方程$ax^2+bx+c=mx+n$的解是
$x_1=-2,x_2=4$
。答案
14.$x_1=-2,x_2=4$
解析
【分析】
求解方程$ax^2+bx+c=mx+n$，本质是找当二次函数$y=ax^2+bx+c$和一次函数$y=mx+n$的函数值相等时对应的x值，而两个函数图象交点的横坐标恰好就是满足该条件的x的取值。题目已经给出两个交点A、B的横坐标分别为-2和4，由此可直接得到方程的解。
【解析】
方程$ax^2+bx+c=mx+n$的解对应抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=mx+n$交点的横坐标。
已知两图象交点A、B的横坐标分别为-2、4，因此方程$ax^2+bx+c=mx+n$的解为$x_1=-2$，$x_2=4$。
【答案】
$x_1=-2,x_2=4$
【知识点】
函数与方程的关系、二次函数图象性质
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查函数图象交点和对应方程解的关联，牢记“两函数值相等时x的取值就是两函数图象交点的横坐标”这一规律即可快速解题。
【难度系数】
0.85
求解方程$ax^2+bx+c=mx+n$，本质是找当二次函数$y=ax^2+bx+c$和一次函数$y=mx+n$的函数值相等时对应的x值，而两个函数图象交点的横坐标恰好就是满足该条件的x的取值。题目已经给出两个交点A、B的横坐标分别为-2和4，由此可直接得到方程的解。
【解析】
方程$ax^2+bx+c=mx+n$的解对应抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=mx+n$交点的横坐标。
已知两图象交点A、B的横坐标分别为-2、4，因此方程$ax^2+bx+c=mx+n$的解为$x_1=-2$，$x_2=4$。
【答案】
$x_1=-2,x_2=4$
【知识点】
函数与方程的关系、二次函数图象性质
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查函数图象交点和对应方程解的关联，牢记“两函数值相等时x的取值就是两函数图象交点的横坐标”这一规律即可快速解题。
【难度系数】
0.85
15.若某架飞机着陆后的滑行距离$s$(单位:m)关于滑行的时间$t$(单位:s)的函数解析式为$s=-2t^2+84t$,则这架飞机着陆后滑行
21
s才能停下来。答案
15.21
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确飞机着陆后滑行到停止的过程中，滑行距离s随时间t先增大，当飞机速度为0时，滑行距离s达到最大值，之后不再增加，因此问题可转化为求二次函数$s=-2t^2+84t$取最大值时对应的时间t。该二次函数开口向下，顶点处取得最大值，可通过二次函数顶点坐标公式或配方法求解t的值。
【解析】
方法一：顶点坐标公式法
对于二次函数$s=at^2+bt+c\ (a≠0)$，当$a＜0$时，函数在顶点处取得最大值，顶点对应的横坐标为$t=-\frac{b}{2a}$。
本题中$a=-2$，$b=84$，代入公式可得：
$t=-\frac{84}{2×(-2)}=\frac{84}{4}=21$
方法二：配方法
对函数解析式配方：
$\begin{aligned}s&=-2t^2+84t\\&=-2(t^2-42t)\\&=-2(t^2-42t+441-441)\\&=-2(t-21)^2+882\end{aligned}$
因为$-2(t-21)^2≤0$，所以当$t-21=0$即$t=21$时，s取得最大值，此时飞机停止滑行。
【答案】
21
【知识点】
二次函数的最值；二次函数的实际应用
【点评】
本题考查二次函数在实际场景中的应用，解题核心是将“飞机停止滑行”的实际条件转化为“二次函数取最大值”的数学条件，熟练掌握二次函数的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需明确飞机着陆后滑行到停止的过程中，滑行距离s随时间t先增大，当飞机速度为0时，滑行距离s达到最大值，之后不再增加，因此问题可转化为求二次函数$s=-2t^2+84t$取最大值时对应的时间t。该二次函数开口向下，顶点处取得最大值，可通过二次函数顶点坐标公式或配方法求解t的值。
【解析】
方法一：顶点坐标公式法
对于二次函数$s=at^2+bt+c\ (a≠0)$，当$a＜0$时，函数在顶点处取得最大值，顶点对应的横坐标为$t=-\frac{b}{2a}$。
本题中$a=-2$，$b=84$，代入公式可得：
$t=-\frac{84}{2×(-2)}=\frac{84}{4}=21$
方法二：配方法
对函数解析式配方：
$\begin{aligned}s&=-2t^2+84t\\&=-2(t^2-42t)\\&=-2(t^2-42t+441-441)\\&=-2(t-21)^2+882\end{aligned}$
因为$-2(t-21)^2≤0$，所以当$t-21=0$即$t=21$时，s取得最大值，此时飞机停止滑行。
【答案】
21
【知识点】
二次函数的最值；二次函数的实际应用
【点评】
本题考查二次函数在实际场景中的应用，解题核心是将“飞机停止滑行”的实际条件转化为“二次函数取最大值”的数学条件，熟练掌握二次函数的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
16.二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$是常数，且$a≠0$）的自变量$x$与函数值$y$的部分对应值如下表.且当$x=\frac{3}{2}$时，对应的函数值$y＜0$.
有以下结论：①$abc＞0$；②$m+n＜-\frac{20}{3}$；③关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的负实数根在$-\frac{1}{2}$和0之间；④若$P_1(t-1,y_1)$和$P_2(t+1,y_2)$在该二次函数的图象上，则当实数$t＞\frac{1}{3}$时，$y_1＞y_2$.
其中正确的结论是
有以下结论：①$abc＞0$；②$m+n＜-\frac{20}{3}$；③关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的负实数根在$-\frac{1}{2}$和0之间；④若$P_1(t-1,y_1)$和$P_2(t+1,y_2)$在该二次函数的图象上，则当实数$t＞\frac{1}{3}$时，$y_1＞y_2$.
其中正确的结论是
②③
(填序号).答案
16.②③
解析
【分析】
首先从表格中x=0和x=1时y值相等的信息，先确定二次函数的对称轴，求出常数c的值，推导得到a和b的关系，再结合x=$\frac{3}{2}$时y＜0的条件求出a的取值范围，最后逐一分析四个结论：①根据a、b、c的正负判断abc的符号；②写出m、n的表达式结合a的取值范围判断m+n的大小；③利用二次函数对称性和函数值的正负判断方程负根的区间；④根据开口向下时离对称轴越近函数值越大的性质，列不等式求解t的范围判断结论是否正确。
【解析】
1. 求函数参数关系：
由表格可知x=0和x=1时y值均为2，因此二次函数对称轴为直线$x=\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}$，且x=0时y=2，可得$c=2$。
将x=1代入解析式$y=ax^2+bx+c$得：$a+b+2=2$，化简得$a+b=0$，即$b=-a$，因此解析式可写为$y=ax^2-ax+2$。
将$x=\frac{3}{2}$代入解析式，结合$y＜0$得：$\frac{9}{4}a-\frac{3}{2}a+2＜0$，解得$a＜-\frac{8}{3}$。
2. 逐一判断结论：
① 符号判断：$a＜0$，$b=-a＞0$，$c=2＞0$，因此$abc＜0$，①错误。
② 计算$m+n$：m是x=-1的函数值，$m=a+a+2=2a+2$；n是x=2的函数值，$n=4a-2a+2=2a+2$，因此$m+n=4a+4$。
因为$a＜-\frac{8}{3}$，所以$4a+4＜4×(-\frac{8}{3})+4=-\frac{20}{3}$，②正确。
③ 判断方程负根范围：$x=-\frac{1}{2}$和$x=\frac{3}{2}$关于对称轴$x=\frac{1}{2}$对称，因此$x=-\frac{1}{2}$时y值与$x=\frac{3}{2}$时相等，即$y＜0$，又x=0时y=2＞0，因此函数在$(-\frac{1}{2},0)$区间内与x轴相交，即方程的负实数根在$-\frac{1}{2}$和0之间，③正确。
④ 比较$y_1,y_2$：抛物线开口向下，函数值越大对应点离对称轴越近，要$y_1＞y_2$，则$|(t-1)-\frac{1}{2}|＜|(t+1)-\frac{1}{2}|$，即$|t-\frac{3}{2}|＜|t+\frac{1}{2}|$。
两边平方化简得：$-4t＜-2$，解得$t＞\frac{1}{2}$，因此④错误。
综上，正确结论为②③。
【答案】
②③
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数与一元二次方程；二次函数的对称性
【点评】
本题综合考查二次函数的相关性质，需要结合表格信息推导参数关系，再利用对称轴、零点判定、函数值比较等知识点逐一验证结论，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
首先从表格中x=0和x=1时y值相等的信息，先确定二次函数的对称轴，求出常数c的值，推导得到a和b的关系，再结合x=$\frac{3}{2}$时y＜0的条件求出a的取值范围，最后逐一分析四个结论：①根据a、b、c的正负判断abc的符号；②写出m、n的表达式结合a的取值范围判断m+n的大小；③利用二次函数对称性和函数值的正负判断方程负根的区间；④根据开口向下时离对称轴越近函数值越大的性质，列不等式求解t的范围判断结论是否正确。
【解析】
1. 求函数参数关系：
由表格可知x=0和x=1时y值均为2，因此二次函数对称轴为直线$x=\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}$，且x=0时y=2，可得$c=2$。
将x=1代入解析式$y=ax^2+bx+c$得：$a+b+2=2$，化简得$a+b=0$，即$b=-a$，因此解析式可写为$y=ax^2-ax+2$。
将$x=\frac{3}{2}$代入解析式，结合$y＜0$得：$\frac{9}{4}a-\frac{3}{2}a+2＜0$，解得$a＜-\frac{8}{3}$。
2. 逐一判断结论：
① 符号判断：$a＜0$，$b=-a＞0$，$c=2＞0$，因此$abc＜0$，①错误。
② 计算$m+n$：m是x=-1的函数值，$m=a+a+2=2a+2$；n是x=2的函数值，$n=4a-2a+2=2a+2$，因此$m+n=4a+4$。
因为$a＜-\frac{8}{3}$，所以$4a+4＜4×(-\frac{8}{3})+4=-\frac{20}{3}$，②正确。
③ 判断方程负根范围：$x=-\frac{1}{2}$和$x=\frac{3}{2}$关于对称轴$x=\frac{1}{2}$对称，因此$x=-\frac{1}{2}$时y值与$x=\frac{3}{2}$时相等，即$y＜0$，又x=0时y=2＞0，因此函数在$(-\frac{1}{2},0)$区间内与x轴相交，即方程的负实数根在$-\frac{1}{2}$和0之间，③正确。
④ 比较$y_1,y_2$：抛物线开口向下，函数值越大对应点离对称轴越近，要$y_1＞y_2$，则$|(t-1)-\frac{1}{2}|＜|(t+1)-\frac{1}{2}|$，即$|t-\frac{3}{2}|＜|t+\frac{1}{2}|$。
两边平方化简得：$-4t＜-2$，解得$t＞\frac{1}{2}$，因此④错误。
综上，正确结论为②③。
【答案】
②③
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数与一元二次方程；二次函数的对称性
【点评】
本题综合考查二次函数的相关性质，需要结合表格信息推导参数关系，再利用对称轴、零点判定、函数值比较等知识点逐一验证结论，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
