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9.我国古代数学家研究过用几何法解一元二次方程.以解方程 $x(x+6)=72$ 为例说明一种方法:如图,四个长为 $x+6$、宽为 $x$ 的矩形拼成一个边长为 $x+6+x$ 的大正方形,大正方形的面积等于四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和,即 $4×72+6^2=324=18^2$,据此易得 $x+6+x=18,x=6$(正根).小熙用此方法解关于 $x$ 的方程 $x(7x-a)=20$,其中 $7x-a＞x$,构造出同样的图形,已知小正方形的面积为64,则 $a$ 的值是(
A.6
B.4
C.2
D.1
B
).A.6
B.4
C.2
D.1
答案
9.B
解析
【分析】
解决本题首先要读懂题中给出的几何解一元二次方程的逻辑：构造的四个矩形的长、宽对应方程中相乘的两个因式，中间小正方形的边长等于矩形长与宽的差，大正方形的边长等于矩形长与宽的和。先由小正方形面积求出长减宽的关系式，再由大正方形面积的构成求出长加宽的关系式，最后联立两个关系式即可求出a的值。
【解析】
1. 推导小正方形边长对应的关系式：
已知方程为$x(7x-a)=20$，且$7x-a＞x$，因此矩形的长为$7x-a$，宽为$x$。
小正方形的边长 = 矩形长 - 矩形宽 = $(7x-a)-x=6x-a$。
由小正方形面积为64，得小正方形边长为$\sqrt{64}=8$，因此有：
$6x - a = 8$ ①
2. 推导大正方形边长对应的关系式：
大正方形面积 = 4个矩形面积 + 小正方形面积，代入数值得：
大正方形面积$=4×20 + 64=144$，因此大正方形边长为$\sqrt{144}=12$。
又大正方形边长 = 矩形长 + 矩形宽 = $(7x-a)+x=8x-a$，因此有：
$8x - a =12$ ②
3. 联立方程求解：
用②-①得：$2x=4$，解得$x=2$。
将$x=2$代入①式，得$6×2 -a=8$，解得$a=4$。
【答案】
B
【知识点】
几何法解方程，正方形面积计算，二元一次方程组求解
【点评】
本题结合我国古代数学家的几何解方程方法，考查阅读理解能力和代数运算能力，解题关键是找准图形的边长与方程中因式的对应关系。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要读懂题中给出的几何解一元二次方程的逻辑：构造的四个矩形的长、宽对应方程中相乘的两个因式，中间小正方形的边长等于矩形长与宽的差，大正方形的边长等于矩形长与宽的和。先由小正方形面积求出长减宽的关系式，再由大正方形面积的构成求出长加宽的关系式，最后联立两个关系式即可求出a的值。
【解析】
1. 推导小正方形边长对应的关系式：
已知方程为$x(7x-a)=20$，且$7x-a＞x$，因此矩形的长为$7x-a$，宽为$x$。
小正方形的边长 = 矩形长 - 矩形宽 = $(7x-a)-x=6x-a$。
由小正方形面积为64，得小正方形边长为$\sqrt{64}=8$，因此有：
$6x - a = 8$ ①
2. 推导大正方形边长对应的关系式：
大正方形面积 = 4个矩形面积 + 小正方形面积，代入数值得：
大正方形面积$=4×20 + 64=144$，因此大正方形边长为$\sqrt{144}=12$。
又大正方形边长 = 矩形长 + 矩形宽 = $(7x-a)+x=8x-a$，因此有：
$8x - a =12$ ②
3. 联立方程求解：
用②-①得：$2x=4$，解得$x=2$。
将$x=2$代入①式，得$6×2 -a=8$，解得$a=4$。
【答案】
B
【知识点】
几何法解方程，正方形面积计算，二元一次方程组求解
【点评】
本题结合我国古代数学家的几何解方程方法，考查阅读理解能力和代数运算能力，解题关键是找准图形的边长与方程中因式的对应关系。
【难度系数】
0.6
10.小明同学利用计算机软件绘制函数$y=\frac{ax}{(x+b)^2}$（$a,b$为常数）的图象如图所示，由学习函数的经验，可以推断常数$a,b$的值满足（
A.$a＞0,b＞0$
B.$a＞0,b＜0$
C.$a＜0,b＞0$
D.$a＜0,b＜0$
C
）.A.$a＞0,b＞0$
B.$a＞0,b＜0$
C.$a＜0,b＞0$
D.$a＜0,b＜0$
答案
10.C
解析
【分析】
解题时可先从函数解析式的结构入手分析：分母为平方形式，只要自变量取值使分母不为0，分母恒为正，因此函数值的符号与分子$ax$的符号一致，可先结合x正半轴的函数值符号判断a的正负；再根据函数无定义的位置（即分母为0的x值，对应图像的竖直渐近线）的位置，判断b的正负即可。
【解析】
对于函数$y=\frac{ax}{(x+b)^2}$：
1. 分母分析：由平方的非负性可知，当$x≠ -b$时，$(x+b)^2＞0$，因此$y$的符号与分子$ax$的符号一致。
观察图像，当$x＞0$时，函数值$y＜0$，因此分子$ax＜0$，结合$x＞0$可得$a＜0$。
2. 渐近线分析：函数在$x=-b$时分母为0，无定义，对应图像的竖直渐近线为$x=-b$。由图可知渐近线位于x轴负半轴，即$-b＜0$，解得$b＞0$。
综上可得$a＜0,b＞0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
函数图像与性质，分式有意义的条件，函数值符号判断
【点评】
本题考查结合函数图像判断解析式中参数的符号，解题的核心是抓住分母恒正的特点简化判断，再结合图像特征推导参数范围，是函数性质的典型应用。
【难度系数】
0.7
解题时可先从函数解析式的结构入手分析：分母为平方形式，只要自变量取值使分母不为0，分母恒为正，因此函数值的符号与分子$ax$的符号一致，可先结合x正半轴的函数值符号判断a的正负；再根据函数无定义的位置（即分母为0的x值，对应图像的竖直渐近线）的位置，判断b的正负即可。
【解析】
对于函数$y=\frac{ax}{(x+b)^2}$：
1. 分母分析：由平方的非负性可知，当$x≠ -b$时，$(x+b)^2＞0$，因此$y$的符号与分子$ax$的符号一致。
观察图像，当$x＞0$时，函数值$y＜0$，因此分子$ax＜0$，结合$x＞0$可得$a＜0$。
2. 渐近线分析：函数在$x=-b$时分母为0，无定义，对应图像的竖直渐近线为$x=-b$。由图可知渐近线位于x轴负半轴，即$-b＜0$，解得$b＞0$。
综上可得$a＜0,b＞0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
函数图像与性质，分式有意义的条件，函数值符号判断
【点评】
本题考查结合函数图像判断解析式中参数的符号，解题的核心是抓住分母恒正的特点简化判断，再结合图像特征推导参数范围，是函数性质的典型应用。
【难度系数】
0.7
二、填空题
11.一元二次方程$x^2 - 3x + 2 = 0$的两根分别为$a$，$b$，则$a + b + ab =$
11.一元二次方程$x^2 - 3x + 2 = 0$的两根分别为$a$，$b$，则$a + b + ab =$
5
.答案
11.5
解析
【分析】
首先审题明确已知条件：一元二次方程$x^2 - 3x + 2 = 0$的两根为$a$、$b$，要求$a + b + ab$的值。解题时有两种思路：思路一，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），不需要解方程，直接求出两根之和$a+b$、两根之积$ab$，再代入所求代数式计算即可，该方法更简便；思路二，先通过因式分解等方法解出一元二次方程的两个根，再将根代入代数式计算结果。
【解析】
方法一（韦达定理法）：
对于一元二次方程$x^2 - 3x + 2 = 0$，二次项系数为1，一次项系数为-3，常数项为2。
根据根与系数的关系，若方程两根为$a$、$b$，则：
$a + b = -\frac{-3}{1} = 3$，$ab = \frac{2}{1} = 2$，
代入代数式得：$a + b + ab = 3 + 2 = 5$。
方法二（直接求解法）：
解方程$x^2 - 3x + 2 = 0$，因式分解得$(x-1)(x-2)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=2$，即方程两根为1和2，
代入代数式得：$a + b + ab = 1 + 2 + 1×2 = 5$。
【答案】
5
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 代数式求值
【点评】
本题属于基础计算题，两种解题方法都符合要求，熟练掌握韦达定理可以减少计算量，提高解题效率。
【难度系数】
0.9
首先审题明确已知条件：一元二次方程$x^2 - 3x + 2 = 0$的两根为$a$、$b$，要求$a + b + ab$的值。解题时有两种思路：思路一，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），不需要解方程，直接求出两根之和$a+b$、两根之积$ab$，再代入所求代数式计算即可，该方法更简便；思路二，先通过因式分解等方法解出一元二次方程的两个根，再将根代入代数式计算结果。
【解析】
方法一（韦达定理法）：
对于一元二次方程$x^2 - 3x + 2 = 0$，二次项系数为1，一次项系数为-3，常数项为2。
根据根与系数的关系，若方程两根为$a$、$b$，则：
$a + b = -\frac{-3}{1} = 3$，$ab = \frac{2}{1} = 2$，
代入代数式得：$a + b + ab = 3 + 2 = 5$。
方法二（直接求解法）：
解方程$x^2 - 3x + 2 = 0$，因式分解得$(x-1)(x-2)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=2$，即方程两根为1和2，
代入代数式得：$a + b + ab = 1 + 2 + 1×2 = 5$。
【答案】
5
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 代数式求值
【点评】
本题属于基础计算题，两种解题方法都符合要求，熟练掌握韦达定理可以减少计算量，提高解题效率。
【难度系数】
0.9
12.为改善环境，艺术小区决定加大绿化投入.若3月份绿化投入20万元，5月份绿化投入64万元，设平均每月绿化投入的增长率为x，根据题意，可列得方程为
$20(1+x)^2=64$
.答案
12.$20(1+x)^2=64$
解析
【分析】
本题属于平均增长率类的方程应用题，解题思路如下：首先明确初始量为3月份的绿化投入20万元，平均增长率为x，最终量为5月份的绿化投入64万元；其次理清增长次数：3月到4月是第1次增长，4月到5月是第2次增长，共计增长2次；最后根据平均增长率的等量关系：初始量×(1+增长率)^增长次数=最终量，即可列出对应方程。
【解析】
已知3月份绿化投入为20万元，平均每月增长率为x：
1. 4月份的绿化投入为3月份投入乘(1+增长率)，即$20(1+x)$万元；
2. 5月份的绿化投入为4月份投入乘(1+增长率)，即$20(1+x) × (1+x) = 20(1+x)^2$万元；
结合已知5月份绿化投入为64万元，因此可列方程为$20(1+x)^2 = 64$。
【答案】
$20(1+x)^2=64$
【知识点】
增长率问题；一元二次方程的应用
【点评】
本题是增长率类应用题的基础常考题型，解题的核心是准确判断增长的次数，牢记平均增长率的计算公式，理清不同时间点的数量关系即可正确列方程。
【难度系数】
0.8
本题属于平均增长率类的方程应用题，解题思路如下：首先明确初始量为3月份的绿化投入20万元，平均增长率为x，最终量为5月份的绿化投入64万元；其次理清增长次数：3月到4月是第1次增长，4月到5月是第2次增长，共计增长2次；最后根据平均增长率的等量关系：初始量×(1+增长率)^增长次数=最终量，即可列出对应方程。
【解析】
已知3月份绿化投入为20万元，平均每月增长率为x：
1. 4月份的绿化投入为3月份投入乘(1+增长率)，即$20(1+x)$万元；
2. 5月份的绿化投入为4月份投入乘(1+增长率)，即$20(1+x) × (1+x) = 20(1+x)^2$万元；
结合已知5月份绿化投入为64万元，因此可列方程为$20(1+x)^2 = 64$。
【答案】
$20(1+x)^2=64$
【知识点】
增长率问题；一元二次方程的应用
【点评】
本题是增长率类应用题的基础常考题型，解题的核心是准确判断增长的次数，牢记平均增长率的计算公式，理清不同时间点的数量关系即可正确列方程。
【难度系数】
0.8
13.若点$A(x_1,2)$，$B(x_2,-1)$，$C(x_3,4)$都在反比例函数$y=\frac{8}{x}$的图象上，则$x_1,x_2,x_3$的大小关系是
$x_2＜x_3＜x_1$
。答案
13.$x_2＜x_3＜x_1$
解析
【分析】
解题有两种常用思路：思路一：代入法，因为三个点都在反比例函数图象上，点的坐标满足函数解析式，分别将各点的纵坐标代入$y=\frac{8}{x}$，求出对应的$x_1、x_2、x_3$的值，再直接比较大小即可。思路二：性质法，先根据反比例函数的$k$值判断图象所在象限和增减性，再由各点纵坐标的正负判断点所在的象限：第三象限内点的横坐标为负，第一象限内点的横坐标为正，可得$x_2$是负数，$x_1、x_3$是正数，再结合第一象限内$y$随$x$增大而减小的性质，比较同象限内两点对应的横坐标大小，最后综合排序即可。
【解析】
方法一（代入求值法）：
∵点$A(x_1,2)$、$B(x_2,-1)$、$C(x_3,4)$都在反比例函数$y=\frac{8}{x}$的图象上，
∴将各点纵坐标代入解析式，得：
当$y=2$时，$2=\frac{8}{x_1}$，解得$x_1=4$；
当$y=-1$时，$-1=\frac{8}{x_2}$，解得$x_2=-8$；
当$y=4$时，$4=\frac{8}{x_3}$，解得$x_3=2$；
∵$-8＜2＜4$，
∴$x_2＜x_3＜x_1$。
方法二（性质法）：
在反比例函数$y=\frac{8}{x}$中，$k=8＞0$，
∴该函数图象分布在第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
∵点$B$的纵坐标为$-1＜0$，
∴点$B$在第三象限，对应横坐标$x_2＜0$；
∵点$A$纵坐标$2＞0$，点$C$纵坐标$4＞0$，
∴$A、C$两点均在第一象限，对应横坐标$x_1＞0$，$x_3＞0$；
又
∵在第一象限内$y$随$x$增大而减小，且$4＞2$，
∴$x_3＜x_1$；
综上，负数小于正数，可得$x_2＜x_3＜x_1$。
【答案】
$x_2＜x_3＜x_1$
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 反比例函数图象上点的坐标特征
3. 实数大小比较
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，两种解题方法都可使用：代入法直观易理解，性质法能提升解题速度。解题时要注意，反比例函数的增减性只在同一象限内成立，不能直接跨象限用增减性比较横坐标大小，避免判断错误。
【难度系数】
0.8
解题有两种常用思路：思路一：代入法，因为三个点都在反比例函数图象上，点的坐标满足函数解析式，分别将各点的纵坐标代入$y=\frac{8}{x}$，求出对应的$x_1、x_2、x_3$的值，再直接比较大小即可。思路二：性质法，先根据反比例函数的$k$值判断图象所在象限和增减性，再由各点纵坐标的正负判断点所在的象限：第三象限内点的横坐标为负，第一象限内点的横坐标为正，可得$x_2$是负数，$x_1、x_3$是正数，再结合第一象限内$y$随$x$增大而减小的性质，比较同象限内两点对应的横坐标大小，最后综合排序即可。
【解析】
方法一（代入求值法）：
∵点$A(x_1,2)$、$B(x_2,-1)$、$C(x_3,4)$都在反比例函数$y=\frac{8}{x}$的图象上，
∴将各点纵坐标代入解析式，得：
当$y=2$时，$2=\frac{8}{x_1}$，解得$x_1=4$；
当$y=-1$时，$-1=\frac{8}{x_2}$，解得$x_2=-8$；
当$y=4$时，$4=\frac{8}{x_3}$，解得$x_3=2$；
∵$-8＜2＜4$，
∴$x_2＜x_3＜x_1$。
方法二（性质法）：
在反比例函数$y=\frac{8}{x}$中，$k=8＞0$，
∴该函数图象分布在第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
∵点$B$的纵坐标为$-1＜0$，
∴点$B$在第三象限，对应横坐标$x_2＜0$；
∵点$A$纵坐标$2＞0$，点$C$纵坐标$4＞0$，
∴$A、C$两点均在第一象限，对应横坐标$x_1＞0$，$x_3＞0$；
又
∵在第一象限内$y$随$x$增大而减小，且$4＞2$，
∴$x_3＜x_1$；
综上，负数小于正数，可得$x_2＜x_3＜x_1$。
【答案】
$x_2＜x_3＜x_1$
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 反比例函数图象上点的坐标特征
3. 实数大小比较
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，两种解题方法都可使用：代入法直观易理解，性质法能提升解题速度。解题时要注意，反比例函数的增减性只在同一象限内成立，不能直接跨象限用增减性比较横坐标大小，避免判断错误。
【难度系数】
0.8
14.如图，抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=mx+n$交于A，B两点，它们的横坐标分别为－2，4，则关于x的方程$ax^2+bx+c=mx+n$的解是
$x_1=-2,x_2=4$
。答案
14.$x_1=-2,x_2=4$
解析
【分析】
求解方程$ax^2+bx+c=mx+n$的本质是寻找使二次函数$y=ax^2+bx+c$和一次函数$y=mx+n$函数值相等的$x$的取值，对应到图象上就是两个函数图象交点的横坐标。题目已经明确给出两个交点A、B的横坐标分别为-2和4，因此直接就能得到方程的解。
【解析】
方程$ax^2+bx+c=mx+n$的解对应抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=mx+n$交点的横坐标，
已知两交点的横坐标分别为$-2$和$4$，
因此方程的解为$x_1=-2$，$x_2=4$。
【答案】
$x_1=-2,x_2=4$
【知识点】
函数与方程的关系，一次函数图象，二次函数图象
【点评】
本题考查函数图象与方程的关联，属于基础题型，理解函数交点横坐标和对应方程解的对应关系即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
求解方程$ax^2+bx+c=mx+n$的本质是寻找使二次函数$y=ax^2+bx+c$和一次函数$y=mx+n$函数值相等的$x$的取值，对应到图象上就是两个函数图象交点的横坐标。题目已经明确给出两个交点A、B的横坐标分别为-2和4，因此直接就能得到方程的解。
【解析】
方程$ax^2+bx+c=mx+n$的解对应抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=mx+n$交点的横坐标，
已知两交点的横坐标分别为$-2$和$4$，
因此方程的解为$x_1=-2$，$x_2=4$。
【答案】
$x_1=-2,x_2=4$
【知识点】
函数与方程的关系，一次函数图象，二次函数图象
【点评】
本题考查函数图象与方程的关联，属于基础题型，理解函数交点横坐标和对应方程解的对应关系即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
15.若某架飞机着陆后的滑行距离$s$(单位:m)关于滑行的时间$t$(单位:s)的函数解析式为$s=-2t^2+84t$,则这架飞机着陆后滑行
21
s才能停下来。答案
15.21
解析
【分析】
飞机着陆后滑行到停下来时，滑行距离达到最大值，之后不再滑行。已知滑行距离s是关于时间t的二次函数，且二次项系数为负，函数图象开口向下，存在最大值，只需求出该二次函数取最大值时对应的t值，即为所求的滑行时间。
【解析】
函数解析式$s=-2t^2+84t$是二次函数，其中二次项系数$a=-2$，一次项系数$b=84$。
因为$a=-2＜0$，所以函数图象开口向下，当$t=-\frac{b}{2a}$时，s取得最大值，此时飞机滑行距离最大，刚好停下来。
将$a=-2$，$b=84$代入公式得：
$t=-\frac{84}{2×(-2)}=\frac{84}{4}=21$
【答案】
21
【知识点】
二次函数的最值；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的相关知识，解题核心是准确理解“飞机停下来”的数学含义，即对应二次函数取得最大值的状态，再利用二次函数顶点坐标公式计算即可。
【难度系数】
0.8
飞机着陆后滑行到停下来时，滑行距离达到最大值，之后不再滑行。已知滑行距离s是关于时间t的二次函数，且二次项系数为负，函数图象开口向下，存在最大值，只需求出该二次函数取最大值时对应的t值，即为所求的滑行时间。
【解析】
函数解析式$s=-2t^2+84t$是二次函数，其中二次项系数$a=-2$，一次项系数$b=84$。
因为$a=-2＜0$，所以函数图象开口向下，当$t=-\frac{b}{2a}$时，s取得最大值，此时飞机滑行距离最大，刚好停下来。
将$a=-2$，$b=84$代入公式得：
$t=-\frac{84}{2×(-2)}=\frac{84}{4}=21$
【答案】
21
【知识点】
二次函数的最值；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的相关知识，解题核心是准确理解“飞机停下来”的数学含义，即对应二次函数取得最大值的状态，再利用二次函数顶点坐标公式计算即可。
【难度系数】
0.8
16.二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$是常数，且$a≠0$）的自变量$x$与函数值$y$的部分对应值如下表.且当$x=\frac{3}{2}$时，对应的函数值$y＜0$.
有以下结论：①$abc＞0$；②$m+n＜-\frac{20}{3}$；③关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的负实数根在$-\frac{1}{2}$和0之间；④若$P_1(t-1,y_1)$和$P_2(t+1,y_2)$在该二次函数的图象上，则当实数$t＞\frac{1}{3}$时，$y_1＞y_2$.
其中正确的结论是
有以下结论：①$abc＞0$；②$m+n＜-\frac{20}{3}$；③关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的负实数根在$-\frac{1}{2}$和0之间；④若$P_1(t-1,y_1)$和$P_2(t+1,y_2)$在该二次函数的图象上，则当实数$t＞\frac{1}{3}$时，$y_1＞y_2$.
其中正确的结论是
②③
(填序号).答案
16.②③
解析
【分析】
解题首先从表格中x=0和x=1对应y值相等的条件入手，先求出二次函数的对称轴，再代入x=0的点得到c的值，结合对称轴公式推导a和b的关系，得到含参数a的函数解析式；再根据x=3/2时y＜0求出a的取值范围，最后利用二次函数的性质、对称性、与一元二次方程的关系等逐一判断4个结论的正误。
【解析】
1. 推导函数基本性质与系数关系
∵当x=0和x=1时，y值均为2，
∴二次函数的对称轴为直线$x=\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}$，且常数项$c=2$。
由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}$，化简得$b=-a$，因此二次函数解析式可写为$y=ax^2-ax+2$。
2. 求a的取值范围
已知当$x=\frac{3}{2}$时，$y＜0$，代入解析式得：
$a·(\frac{3}{2})^2 - a·\frac{3}{2} +2 ＜0$
化简：$\frac{9a}{4}-\frac{3a}{2}+2＜0 \implies \frac{3a}{4}＜-2 \implies a＜-\frac{8}{3}＜0$
3. 逐一判断结论：
①判断$abc＞0$：
由$a＜0$，$b=-a＞0$，$c=2＞0$，得$abc=a· b· c＜0$，故①错误。
②判断$m+n＜-\frac{20}{3}$：
m是x=-1时的函数值，n是x=2时的函数值，代入解析式：
$m=a·(-1)^2 -a·(-1)+2=2a+2$，$n=a·2^2 -a·2 +2=2a+2$
则$m+n=2(2a+2)=4a+4$
∵$a＜-\frac{8}{3}$，
∴$4a＜-\frac{32}{3}$，$4a+4＜-\frac{32}{3}+\frac{12}{3}=-\frac{20}{3}$，故②正确。
③判断方程$ax^2+bx+c=0$的负实根范围：
由二次函数对称性，$x=\frac{3}{2}$和$x=\frac{1}{2}-(\frac{3}{2}-\frac{1}{2})=-\frac{1}{2}$的函数值相等，即$x=-\frac{1}{2}$时$y＜0$。
又
∵$x=0$时$y=2＞0$，抛物线开口向下，因此在区间$(-\frac{1}{2},0)$内函数值从负变正，即该区间内存在一个零点，也就是方程的负实数根在$-\frac{1}{2}$和0之间，故③正确。
④判断$t＞\frac{1}{3}$时$y_1＞y_2$：
抛物线开口向下，函数值随点到对称轴的距离增大而减小，$y_1＞y_2$等价于点$P_1$到对称轴的距离小于点$P_2$到对称轴的距离，即：
$|(t-1)-\frac{1}{2}|＜|(t+1)-\frac{1}{2}|$
化简为$|t-\frac{3}{2}|＜|t+\frac{1}{2}|$，两边平方得：
$(t-\frac{3}{2})^2＜(t+\frac{1}{2})^2 \implies t^2-3t+\frac{9}{4}＜t^2+t+\frac{1}{4} \implies -4t＜-2 \implies t＞\frac{1}{2}$
即仅当$t＞\frac{1}{2}$时$y_1＞y_2$，故④错误。
综上，正确结论为②③。
【答案】
②③
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数与一元二次方程；二次函数的对称性
【点评】
本题综合考查二次函数的相关性质，需要熟练运用对称轴、对称性、函数值与自变量的关系等知识推导参数范围，再逐一验证结论，对二次函数的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
解题首先从表格中x=0和x=1对应y值相等的条件入手，先求出二次函数的对称轴，再代入x=0的点得到c的值，结合对称轴公式推导a和b的关系，得到含参数a的函数解析式；再根据x=3/2时y＜0求出a的取值范围，最后利用二次函数的性质、对称性、与一元二次方程的关系等逐一判断4个结论的正误。
【解析】
1. 推导函数基本性质与系数关系
∵当x=0和x=1时，y值均为2，
∴二次函数的对称轴为直线$x=\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}$，且常数项$c=2$。
由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}$，化简得$b=-a$，因此二次函数解析式可写为$y=ax^2-ax+2$。
2. 求a的取值范围
已知当$x=\frac{3}{2}$时，$y＜0$，代入解析式得：
$a·(\frac{3}{2})^2 - a·\frac{3}{2} +2 ＜0$
化简：$\frac{9a}{4}-\frac{3a}{2}+2＜0 \implies \frac{3a}{4}＜-2 \implies a＜-\frac{8}{3}＜0$
3. 逐一判断结论：
①判断$abc＞0$：
由$a＜0$，$b=-a＞0$，$c=2＞0$，得$abc=a· b· c＜0$，故①错误。
②判断$m+n＜-\frac{20}{3}$：
m是x=-1时的函数值，n是x=2时的函数值，代入解析式：
$m=a·(-1)^2 -a·(-1)+2=2a+2$，$n=a·2^2 -a·2 +2=2a+2$
则$m+n=2(2a+2)=4a+4$
∵$a＜-\frac{8}{3}$，
∴$4a＜-\frac{32}{3}$，$4a+4＜-\frac{32}{3}+\frac{12}{3}=-\frac{20}{3}$，故②正确。
③判断方程$ax^2+bx+c=0$的负实根范围：
由二次函数对称性，$x=\frac{3}{2}$和$x=\frac{1}{2}-(\frac{3}{2}-\frac{1}{2})=-\frac{1}{2}$的函数值相等，即$x=-\frac{1}{2}$时$y＜0$。
又
∵$x=0$时$y=2＞0$，抛物线开口向下，因此在区间$(-\frac{1}{2},0)$内函数值从负变正，即该区间内存在一个零点，也就是方程的负实数根在$-\frac{1}{2}$和0之间，故③正确。
④判断$t＞\frac{1}{3}$时$y_1＞y_2$：
抛物线开口向下，函数值随点到对称轴的距离增大而减小，$y_1＞y_2$等价于点$P_1$到对称轴的距离小于点$P_2$到对称轴的距离，即：
$|(t-1)-\frac{1}{2}|＜|(t+1)-\frac{1}{2}|$
化简为$|t-\frac{3}{2}|＜|t+\frac{1}{2}|$，两边平方得：
$(t-\frac{3}{2})^2＜(t+\frac{1}{2})^2 \implies t^2-3t+\frac{9}{4}＜t^2+t+\frac{1}{4} \implies -4t＜-2 \implies t＞\frac{1}{2}$
即仅当$t＞\frac{1}{2}$时$y_1＞y_2$，故④错误。
综上，正确结论为②③。
【答案】
②③
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数与一元二次方程；二次函数的对称性
【点评】
本题综合考查二次函数的相关性质，需要熟练运用对称轴、对称性、函数值与自变量的关系等知识推导参数范围，再逐一验证结论，对二次函数的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
