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三、解答题
17.已知关于x的一元二次方程$x^2 + x + m = 0$.若该方程有一个根为$x=2$,求m和方程的另一个根.
17.已知关于x的一元二次方程$x^2 + x + m = 0$.若该方程有一个根为$x=2$,求m和方程的另一个根.
答案
17.$\because x_1+x_2=-1,x_1x_2=m,x_1=2,\therefore x_1=-3,m=-6.$
$m=-6$,方程的另一个根是$-3$.
$m=-6$,方程的另一个根是$-3$.
解析
【分析】
本题是已知一元二次方程的一个根，求参数值和另一根的基础题型，有两种解题思路：①根的定义法：将已知根x=2代入原方程，先求出m的值，再解一元二次方程得到另一根；②根与系数关系法（更简便）：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根$x_1,x_2$满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$、$x_1x_2=\frac{c}{a}$，本题可先代入系数求出两根之和、两根之积的表达式，再结合已知根直接计算另一根和m的值。
【解析】
设方程的两根分别为$x_1,x_2$，已知其中一个根$x_1=2$。
对于方程$x^2 + x + m = 0$，对应$a=1,b=1,c=m$，根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -1$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = m$
将$x_1=2$代入$x_1 + x_2 = -1$，得：
$2 + x_2 = -1$，解得$x_2 = -3$
再将$x_1=2,x_2=-3$代入$x_1x_2 = m$，得：
$m = 2 × (-3) = -6$
【答案】
$m=-6$，方程的另一个根是$-3$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于一元二次方程的常规基础题，两种解法都可解题，熟练掌握根与系数的关系可简化计算，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
本题是已知一元二次方程的一个根，求参数值和另一根的基础题型，有两种解题思路：①根的定义法：将已知根x=2代入原方程，先求出m的值，再解一元二次方程得到另一根；②根与系数关系法（更简便）：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根$x_1,x_2$满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$、$x_1x_2=\frac{c}{a}$，本题可先代入系数求出两根之和、两根之积的表达式，再结合已知根直接计算另一根和m的值。
【解析】
设方程的两根分别为$x_1,x_2$，已知其中一个根$x_1=2$。
对于方程$x^2 + x + m = 0$，对应$a=1,b=1,c=m$，根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -1$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = m$
将$x_1=2$代入$x_1 + x_2 = -1$，得：
$2 + x_2 = -1$，解得$x_2 = -3$
再将$x_1=2,x_2=-3$代入$x_1x_2 = m$，得：
$m = 2 × (-3) = -6$
【答案】
$m=-6$，方程的另一个根是$-3$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于一元二次方程的常规基础题，两种解法都可解题，熟练掌握根与系数的关系可简化计算，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
18.如图,某小区有一块长 16 m、宽 10 m 的矩形场地,准备沿平行于两边的方向横、纵各修建一条同样宽的小路,其余部分种草,如果草坪部分的总面积为 135 m²,求小路的宽.
答案
18.设小路的宽为$x$ m，
根据题意,列方程$(16-x)(10-x)=135$,解得$x_1=1,x_2=25$(不合题意,舍去).
小路的宽为1 m.
根据题意,列方程$(16-x)(10-x)=135$,解得$x_1=1,x_2=25$(不合题意,舍去).
小路的宽为1 m.
解析
【分析】
解决这类道路修建的面积问题，可采用平移法简化计算：将分散的草坪部分平移拼接，会得到一个新的矩形。已知原矩形场地长16m、宽10m，设小路宽为x m，那么拼接后草坪矩形的长为(16-x)m，宽为(10-x)m，结合给出的草坪总面积即可列出一元二次方程求解，最后需要根据实际意义检验根的合理性，舍去不符合题意的根。
【解析】
解：设小路的宽为$x$ m。
将草坪平移拼接后，草坪为长$(16-x)$ m、宽$(10-x)$ m的矩形。
根据草坪总面积为$135\ \mathrm{m}^2$，列方程：
$(16-x)(10-x)=135$
整理方程得：
$x^2-26x+25=0$
因式分解得：
$(x-1)(x-25)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=25$。
由于小路宽度不可能超过场地的宽10m，因此$x=25$不符合实际，舍去，故$x=1$。
【答案】
小路的宽为$\boldsymbol{1\ \mathrm{m}}$
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算、实际问题根的取舍
【点评】
本题是典型的面积类实际应用题，平移法是简化这类问题计算的常用技巧，解题时要注意结合实际场景对求出的方程根进行筛选，避免得到不符合现实逻辑的结果。
【难度系数】
0.7
解决这类道路修建的面积问题，可采用平移法简化计算：将分散的草坪部分平移拼接，会得到一个新的矩形。已知原矩形场地长16m、宽10m，设小路宽为x m，那么拼接后草坪矩形的长为(16-x)m，宽为(10-x)m，结合给出的草坪总面积即可列出一元二次方程求解，最后需要根据实际意义检验根的合理性，舍去不符合题意的根。
【解析】
解：设小路的宽为$x$ m。
将草坪平移拼接后，草坪为长$(16-x)$ m、宽$(10-x)$ m的矩形。
根据草坪总面积为$135\ \mathrm{m}^2$，列方程：
$(16-x)(10-x)=135$
整理方程得：
$x^2-26x+25=0$
因式分解得：
$(x-1)(x-25)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=25$。
由于小路宽度不可能超过场地的宽10m，因此$x=25$不符合实际，舍去，故$x=1$。
【答案】
小路的宽为$\boldsymbol{1\ \mathrm{m}}$
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算、实际问题根的取舍
【点评】
本题是典型的面积类实际应用题，平移法是简化这类问题计算的常用技巧，解题时要注意结合实际场景对求出的方程根进行筛选，避免得到不符合现实逻辑的结果。
【难度系数】
0.7
19.已知关于$x$的一元二次方程$x^2 -6x +2a +5=0$有两个不相等的实数根$x_1,x_2$.
(1)求$a$的取值范围.
(2)若$x_1^2 +x_2^2 -x_1x_2 ≤30$,且$a$为整数,求$a$的值.
(1)求$a$的取值范围.
(2)若$x_1^2 +x_2^2 -x_1x_2 ≤30$,且$a$为整数,求$a$的值.
答案
19.(1)$\because$关于$x$的一元二次方程$x^2-6x+2a+5=0$有两个不相等的实数根$x_1,x_2$，
$\therefore \Delta＞0$,即$(-6)^2-4(2a+5)＞0$,解得$a＜2$.
(2)由根与系数的关系知$x_1+x_2=6,x_1x_2=2a+5$，
$\because x_1^2+x_2^2-x_1x_2≤30,\therefore (x_1+x_2)^2-3x_1x_2≤30$，
$\therefore 36-3(2a+5)≤30$,解得$a≥-\frac{3}{2}$，
$\because a$为整数,$a＜2$，
$\therefore a$的值为$-1,0,1$.
$\therefore \Delta＞0$,即$(-6)^2-4(2a+5)＞0$,解得$a＜2$.
(2)由根与系数的关系知$x_1+x_2=6,x_1x_2=2a+5$，
$\because x_1^2+x_2^2-x_1x_2≤30,\therefore (x_1+x_2)^2-3x_1x_2≤30$，
$\therefore 36-3(2a+5)≤30$,解得$a≥-\frac{3}{2}$，
$\because a$为整数,$a＜2$，
$\therefore a$的值为$-1,0,1$.
解析
【分析】
(1) 一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式Δ＞0，我们先确定方程各项系数，代入判别式公式列不等式，解不等式即可得到a的取值范围。
(2) 已知含两根的代数式的不等式，首先利用根与系数的关系求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的表达式，再将$x_1^2+x_2^2-x_1x_2$变形为含$x_1+x_2$、$x_1x_2$的形式，代入后解不等式得到a的另一取值范围，结合第一问的结论和a为整数的限制，即可确定a的所有可能值。
【解析】
(1)
∵ 关于$x$的一元二次方程$x^2 -6x +2a +5=0$有两个不相等的实数根$x_1,x_2$，
∴ 判别式$\Delta＞0$，即$(-6)^2-4(2a+5)＞0$，
计算得$36-8a-20＞0$，整理得$16-8a＞0$，
解得$a＜2$。
(2) 由根与系数的关系可得：$x_1+x_2=6$，$x_1x_2=2a+5$，
∵ $x_1^2 +x_2^2 -x_1x_2 ≤30$，
将$x_1^2+x_2^2$变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，代入不等式得：
$(x_1+x_2)^2-3x_1x_2≤30$，
代入$x_1+x_2=6$、$x_1x_2=2a+5$得：
$36-3(2a+5)≤30$，
计算得$36-6a-15≤30$，整理得$21-6a≤30$，
移项解得$a≥-\frac{3}{2}$，
结合(1)的结论$a＜2$，且a为整数，
∴ a的取值为$-1,0,1$。
【答案】
(1) $a＜2$；
(2) $a$的值为$-1,0,1$。
【知识点】
根的判别式；根与系数的关系；不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程的常规综合题，考查了判别式的应用、韦达定理的变形使用，以及结合参数限制条件求参数值，解题时要注意两个小问的条件关联，不要遗漏参数的取值限制。
【难度系数】
0.7
(1) 一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式Δ＞0，我们先确定方程各项系数，代入判别式公式列不等式，解不等式即可得到a的取值范围。
(2) 已知含两根的代数式的不等式，首先利用根与系数的关系求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的表达式，再将$x_1^2+x_2^2-x_1x_2$变形为含$x_1+x_2$、$x_1x_2$的形式，代入后解不等式得到a的另一取值范围，结合第一问的结论和a为整数的限制，即可确定a的所有可能值。
【解析】
(1)
∵ 关于$x$的一元二次方程$x^2 -6x +2a +5=0$有两个不相等的实数根$x_1,x_2$，
∴ 判别式$\Delta＞0$，即$(-6)^2-4(2a+5)＞0$，
计算得$36-8a-20＞0$，整理得$16-8a＞0$，
解得$a＜2$。
(2) 由根与系数的关系可得：$x_1+x_2=6$，$x_1x_2=2a+5$，
∵ $x_1^2 +x_2^2 -x_1x_2 ≤30$，
将$x_1^2+x_2^2$变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，代入不等式得：
$(x_1+x_2)^2-3x_1x_2≤30$，
代入$x_1+x_2=6$、$x_1x_2=2a+5$得：
$36-3(2a+5)≤30$，
计算得$36-6a-15≤30$，整理得$21-6a≤30$，
移项解得$a≥-\frac{3}{2}$，
结合(1)的结论$a＜2$，且a为整数，
∴ a的取值为$-1,0,1$。
【答案】
(1) $a＜2$；
(2) $a$的值为$-1,0,1$。
【知识点】
根的判别式；根与系数的关系；不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程的常规综合题，考查了判别式的应用、韦达定理的变形使用，以及结合参数限制条件求参数值，解题时要注意两个小问的条件关联，不要遗漏参数的取值限制。
【难度系数】
0.7
