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三、解答题
17.已知关于x的一元二次方程$x^2 + x + m = 0$.若该方程有一个根为$x=2$,求m和方程的另一个根.
17.已知关于x的一元二次方程$x^2 + x + m = 0$.若该方程有一个根为$x=2$,求m和方程的另一个根.
答案
17.$\because x_1+x_2=-1,x_1x_2=m,x_1=2,\therefore x_1=-3,m=-6.$
$m=-6$,方程的另一个根是$-3$.
$m=-6$,方程的另一个根是$-3$.
解析
【分析】
本题已知一元二次方程的一个根，求参数m及另一根，有两种解题思路：思路1：利用方程的解的定义，将已知根x=2代入原方程，先求出m的值，再解该一元二次方程得到另一个根；思路2：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接通过两根之和的关系求出另一根，再通过两根之积求出m的值，第二种方法计算更简便。
【解析】
设方程的两根分别为$x_1$、$x_2$，且$x_1=2$。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根满足关系：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
本题中方程为$x^2 + x + m = 0$，对应$a=1$，$b=1$，$c=m$，因此可得：
$x_1+x_2=-\frac{1}{1}=-1$，$x_1x_2=m$。
将$x_1=2$代入$x_1+x_2=-1$，得$2+x_2=-1$，解得$x_2=-3$。
再将$x_1=2$、$x_2=-3$代入$x_1x_2=m$，得$m=2×(-3)=-6$。
【答案】
$m=-6$，方程的另一个根是$-3$。
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系
2.一元二次方程的解
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，核心考查对根的定义以及根与系数关系的应用，熟练掌握根与系数的关系可以简化计算过程，提升解题效率。
【难度系数】
0.85
本题已知一元二次方程的一个根，求参数m及另一根，有两种解题思路：思路1：利用方程的解的定义，将已知根x=2代入原方程，先求出m的值，再解该一元二次方程得到另一个根；思路2：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接通过两根之和的关系求出另一根，再通过两根之积求出m的值，第二种方法计算更简便。
【解析】
设方程的两根分别为$x_1$、$x_2$，且$x_1=2$。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根满足关系：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
本题中方程为$x^2 + x + m = 0$，对应$a=1$，$b=1$，$c=m$，因此可得：
$x_1+x_2=-\frac{1}{1}=-1$，$x_1x_2=m$。
将$x_1=2$代入$x_1+x_2=-1$，得$2+x_2=-1$，解得$x_2=-3$。
再将$x_1=2$、$x_2=-3$代入$x_1x_2=m$，得$m=2×(-3)=-6$。
【答案】
$m=-6$，方程的另一个根是$-3$。
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系
2.一元二次方程的解
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，核心考查对根的定义以及根与系数关系的应用，熟练掌握根与系数的关系可以简化计算过程，提升解题效率。
【难度系数】
0.85
18.如图,某小区有一块长 16 m、宽 10 m 的矩形场地,准备沿平行于两边的方向横、纵各修建一条同样宽的小路,其余部分种草,如果草坪部分的总面积为 135 m²,求小路的宽.
答案
18.设小路的宽为$x$ m，
根据题意,列方程$(16-x)(10-x)=135$,解得$x_1=1,x_2=25$(不合题意,舍去).
小路的宽为1 m.
根据题意,列方程$(16-x)(10-x)=135$,解得$x_1=1,x_2=25$(不合题意,舍去).
小路的宽为1 m.
解析
【分析】
这是一道一元二次方程的实际应用问题，解题核心是将分散的草坪面积转化为规则矩形面积计算。我们可以采用平移法：把横、纵两条小路分别向矩形场地的边缘平移，此时四块草坪可拼接成一个完整的矩形，该矩形的长等于原场地长减去小路的宽，宽等于原场地宽减去小路的宽，结合已知的草坪总面积即可列方程求解，最后要结合实际情况舍去不符合题意的解。
【解析】
解：设小路的宽为$x$ m，
将草坪平移后得到的新矩形长为$(16-x)$ m，宽为$(10-x)$ m，根据草坪总面积为$135\ \mathrm{m}^2$列方程：
$(16-x)(10-x)=135$
展开并整理得：
$x^2-26x+25=0$
因式分解得：
$(x-1)(x-25)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=25$。
因为小路的宽不可能超过场地的宽10 m，所以$x=25$不符合实际意义，舍去。
【答案】
小路的宽为1 m。
【知识点】
一元二次方程的应用，矩形面积计算，平移法转化面积
【点评】
本题属于典型的几何面积类应用题，通过平移法将不规则的组合面积转化为规则图形面积，可有效简化计算过程，解题时要注意结合实际场景验证解的合理性，避免保留不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
这是一道一元二次方程的实际应用问题，解题核心是将分散的草坪面积转化为规则矩形面积计算。我们可以采用平移法：把横、纵两条小路分别向矩形场地的边缘平移，此时四块草坪可拼接成一个完整的矩形，该矩形的长等于原场地长减去小路的宽，宽等于原场地宽减去小路的宽，结合已知的草坪总面积即可列方程求解，最后要结合实际情况舍去不符合题意的解。
【解析】
解：设小路的宽为$x$ m，
将草坪平移后得到的新矩形长为$(16-x)$ m，宽为$(10-x)$ m，根据草坪总面积为$135\ \mathrm{m}^2$列方程：
$(16-x)(10-x)=135$
展开并整理得：
$x^2-26x+25=0$
因式分解得：
$(x-1)(x-25)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=25$。
因为小路的宽不可能超过场地的宽10 m，所以$x=25$不符合实际意义，舍去。
【答案】
小路的宽为1 m。
【知识点】
一元二次方程的应用，矩形面积计算，平移法转化面积
【点评】
本题属于典型的几何面积类应用题，通过平移法将不规则的组合面积转化为规则图形面积，可有效简化计算过程，解题时要注意结合实际场景验证解的合理性，避免保留不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
19.已知关于$x$的一元二次方程$x^2 -6x +2a +5=0$有两个不相等的实数根$x_1,x_2$.
(1)求$a$的取值范围.
(2)若$x_1^2 +x_2^2 -x_1x_2 ≤30$,且$a$为整数,求$a$的值.
(1)求$a$的取值范围.
(2)若$x_1^2 +x_2^2 -x_1x_2 ≤30$,且$a$为整数,求$a$的值.
答案
19.(1)$\because$关于$x$的一元二次方程$x^2-6x+2a+5=0$有两个不相等的实数根$x_1,x_2$，
$\therefore \Delta＞0$,即$(-6)^2-4(2a+5)＞0$,解得$a＜2$.
(2)由根与系数的关系知$x_1+x_2=6,x_1x_2=2a+5$，
$\because x_1^2+x_2^2-x_1x_2≤30,\therefore (x_1+x_2)^2-3x_1x_2≤30$，
$\therefore 36-3(2a+5)≤30$,解得$a≥-\frac{3}{2}$，
$\because a$为整数,$a＜2$，
$\therefore a$的值为$-1,0,1$.
$\therefore \Delta＞0$,即$(-6)^2-4(2a+5)＞0$,解得$a＜2$.
(2)由根与系数的关系知$x_1+x_2=6,x_1x_2=2a+5$，
$\because x_1^2+x_2^2-x_1x_2≤30,\therefore (x_1+x_2)^2-3x_1x_2≤30$，
$\therefore 36-3(2a+5)≤30$,解得$a≥-\frac{3}{2}$，
$\because a$为整数,$a＜2$，
$\therefore a$的值为$-1,0,1$.
解析
【分析】
(1) 已知一元二次方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式的性质，当$\Delta＞0$时方程有两个不等实根，因此代入方程系数计算$\Delta$，列不等式求解即可得到$a$的取值范围。
(2) 待求式包含两根的平方和与两根之积，可利用完全平方公式将代数式变形为用两根和、两根积表示的形式，再结合根与系数的关系代入含$a$的表达式，列不等式求解，最后结合第一问的$a$的范围和$a$为整数的限制，确定$a$的所有可能取值。
【解析】
(1) $\because$关于$x$的一元二次方程$x^2-6x+2a+5=0$有两个不相等的实数根，
$\therefore$判别式$\Delta＞0$，即$(-6)^2 - 4(2a+5) ＞ 0$，
计算得$36 - 8a - 20 ＞ 0$，
整理得$16 ＞ 8a$，
解得$a ＜ 2$。
(2) 根据一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1+x_2 = 6$，$x_1x_2 = 2a+5$，
$\because x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 ≤30$，
利用完全平方公式变形：$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$，
$\therefore$原式可化为$(x_1+x_2)^2 - 3x_1x_2 ≤30$，
代入得$6^2 - 3(2a+5) ≤30$，
计算得$36 - 6a -15 ≤30$，
整理得$21 - 6a ≤30$，
移项得$-6a ≤9$，
两边同时除以$-6$，不等号方向改变，解得$a ≥ -\frac{3}{2}$，
结合(1)中$a ＜ 2$，且$a$为整数，
$\therefore a$的取值为$-1,0,1$。
【答案】
(1) $a ＜ 2$；(2) $a$的值为$-1,0,1$
【知识点】
根的判别式；根与系数的关系；不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程的典型综合题，第一问侧重基础的判别式应用，第二问需要掌握代数式的变形技巧，结合韦达定理求解参数范围，解题时要注意题目给出的参数限制条件，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
(1) 已知一元二次方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式的性质，当$\Delta＞0$时方程有两个不等实根，因此代入方程系数计算$\Delta$，列不等式求解即可得到$a$的取值范围。
(2) 待求式包含两根的平方和与两根之积，可利用完全平方公式将代数式变形为用两根和、两根积表示的形式，再结合根与系数的关系代入含$a$的表达式，列不等式求解，最后结合第一问的$a$的范围和$a$为整数的限制，确定$a$的所有可能取值。
【解析】
(1) $\because$关于$x$的一元二次方程$x^2-6x+2a+5=0$有两个不相等的实数根，
$\therefore$判别式$\Delta＞0$，即$(-6)^2 - 4(2a+5) ＞ 0$，
计算得$36 - 8a - 20 ＞ 0$，
整理得$16 ＞ 8a$，
解得$a ＜ 2$。
(2) 根据一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1+x_2 = 6$，$x_1x_2 = 2a+5$，
$\because x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 ≤30$，
利用完全平方公式变形：$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$，
$\therefore$原式可化为$(x_1+x_2)^2 - 3x_1x_2 ≤30$，
代入得$6^2 - 3(2a+5) ≤30$，
计算得$36 - 6a -15 ≤30$，
整理得$21 - 6a ≤30$，
移项得$-6a ≤9$，
两边同时除以$-6$，不等号方向改变，解得$a ≥ -\frac{3}{2}$，
结合(1)中$a ＜ 2$，且$a$为整数，
$\therefore a$的取值为$-1,0,1$。
【答案】
(1) $a ＜ 2$；(2) $a$的值为$-1,0,1$
【知识点】
根的判别式；根与系数的关系；不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程的典型综合题，第一问侧重基础的判别式应用，第二问需要掌握代数式的变形技巧，结合韦达定理求解参数范围，解题时要注意题目给出的参数限制条件，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
