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20.如图,已知一次函数 $y_1=kx+b$ 的图象与函数 $y_2=\frac{m}{x}(x＞0)$ 的图象交于 $A(6,-\frac{1}{2})$,$B(\frac{1}{2},n)$两点,与 $y$ 轴交于点 $C$.将直线 $AB$ 沿 $y$ 轴向上平移 $t$ 个单位长度得到直线 $DE$,$DE$与 $y$ 轴交于点 $F$.
(1)求 $y_1$ 与 $y_2$ 的解析式.
(2)观察图象,直接写出 $y_1＜y_2$ 时 $x$ 的取值范围.
(3)连接 $AD$,$CD$,若 $△ ACD$ 的面积为 $6$,求 $t$ 的值.
(1)求 $y_1$ 与 $y_2$ 的解析式.
(2)观察图象,直接写出 $y_1＜y_2$ 时 $x$ 的取值范围.
(3)连接 $AD$,$CD$,若 $△ ACD$ 的面积为 $6$,求 $t$ 的值.
答案
20.(1)将点$A,B$的坐标代入解析式得$\begin{cases}-\frac{1}{2}=6k+b, \\-\frac{1}{2}=\frac{m}{6}, \\n=\frac{1}{2}k+b, \\n=\frac{m}{\frac{1}{2}},\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=1, \\b=-\frac{13}{2}, \\m=-3, \\n=-6,\end{cases}$$\therefore y_1=x-\frac{13}{2},y_2=-\frac{3}{x}.$
(2)$\frac{1}{2}＜x＜6$时,$y_1＜y_2$.
(3)过点$D$作$y$轴的平行线,与$AB$交于点$G$.
由平移可得$DG=t$，
$S_{△ ACD}=S_{△ ADG}+S_{△ CDG}=\frac{1}{2}DG(x_D-x_C)+\frac{1}{2}DG(x_A-x_D)=\frac{1}{2}DG(x_A-x_C)$，
$\therefore \frac{1}{2}t(6-0)=6$,解得$t=2$.
解得$\begin{cases}k=1, \\b=-\frac{13}{2}, \\m=-3, \\n=-6,\end{cases}$$\therefore y_1=x-\frac{13}{2},y_2=-\frac{3}{x}.$
(2)$\frac{1}{2}＜x＜6$时,$y_1＜y_2$.
(3)过点$D$作$y$轴的平行线,与$AB$交于点$G$.
由平移可得$DG=t$，
$S_{△ ACD}=S_{△ ADG}+S_{△ CDG}=\frac{1}{2}DG(x_D-x_C)+\frac{1}{2}DG(x_A-x_D)=\frac{1}{2}DG(x_A-x_C)$，
$\therefore \frac{1}{2}t(6-0)=6$,解得$t=2$.
解析
【分析】
(1) 求函数解析式采用待定系数法：先将点A坐标代入反比例函数求出m，得到反比例函数解析式；再将点B的横坐标代入反比例解析式求出n，得到点B的完整坐标，最后把A、B两点坐标代入一次函数，解二元一次方程组即可求出一次函数的k和b。
(2) $y_1＜y_2$对应图象上一次函数位于反比例函数下方的部分，结合两个交点的横坐标以及x＞0的限定，直接读取对应x的取值范围即可。
(3) 直线平移后与原直线平行，过点D作y轴平行线交AB于G，可得DG长度等于平移距离t；将△ACD拆分为两个同底DG的三角形，两个三角形的高之和为点A的横坐标（点C在y轴上，横坐标为0），代入面积公式列方程即可求解t。
【解析】
(1) 把$A(6,-\frac{1}{2})$代入$y_2=\frac{m}{x}$，得：
$-\frac{1}{2}=\frac{m}{6}$，解得$m=-3$，$\therefore y_2=-\frac{3}{x}(x＞0)$。
把$B(\frac{1}{2},n)$代入$y_2=-\frac{3}{x}$，得：
$n=\frac{-3}{\frac{1}{2}}=-6$，即$B(\frac{1}{2},-6)$。
将$A(6,-\frac{1}{2})$、$B(\frac{1}{2},-6)$代入$y_1=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases}6k+b=-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}k+b=-6\end{cases}$
两式相减得$\frac{11}{2}k=\frac{11}{2}$，解得$k=1$，代入得$b=-\frac{13}{2}$，$\therefore y_1=x-\frac{13}{2}$。
(2) 观察图象可得，一次函数图象在反比例函数图象下方时，x的取值在两个交点横坐标之间，即$\frac{1}{2}＜x＜6$。
(3) 过点D作平行于y轴的直线，交AB于点G。
∵直线AB沿y轴向上平移t个单位得到DE，
∴$DG=t$。
$S_{△ ACD}=S_{△ ADG}+S_{△ CDG}=\frac{1}{2} · DG · (x_D-x_C) + \frac{1}{2} · DG · (x_A-x_D)=\frac{1}{2} · t · x_A$
代入$S_{△ ACD}=6$、$x_A=6$，得：
$\frac{1}{2} × t × 6 = 6$，解得$t=2$。
【答案】
(1) $y_1=x-\frac{13}{2}$，$y_2=-\frac{3}{x}(x＞0)$
(2) $\frac{1}{2}＜x＜6$
(3) $t=2$
【知识点】
待定系数法求解析式，函数平移性质，割补法求面积
【点评】
本题为一次函数与反比例函数的综合题型，既考查了函数基础性质的应用，也考查了面积转化的解题技巧，熟练掌握函数相关性质、灵活拆分图形是解题的关键。
【难度系数】
0.65
(1) 求函数解析式采用待定系数法：先将点A坐标代入反比例函数求出m，得到反比例函数解析式；再将点B的横坐标代入反比例解析式求出n，得到点B的完整坐标，最后把A、B两点坐标代入一次函数，解二元一次方程组即可求出一次函数的k和b。
(2) $y_1＜y_2$对应图象上一次函数位于反比例函数下方的部分，结合两个交点的横坐标以及x＞0的限定，直接读取对应x的取值范围即可。
(3) 直线平移后与原直线平行，过点D作y轴平行线交AB于G，可得DG长度等于平移距离t；将△ACD拆分为两个同底DG的三角形，两个三角形的高之和为点A的横坐标（点C在y轴上，横坐标为0），代入面积公式列方程即可求解t。
【解析】
(1) 把$A(6,-\frac{1}{2})$代入$y_2=\frac{m}{x}$，得：
$-\frac{1}{2}=\frac{m}{6}$，解得$m=-3$，$\therefore y_2=-\frac{3}{x}(x＞0)$。
把$B(\frac{1}{2},n)$代入$y_2=-\frac{3}{x}$，得：
$n=\frac{-3}{\frac{1}{2}}=-6$，即$B(\frac{1}{2},-6)$。
将$A(6,-\frac{1}{2})$、$B(\frac{1}{2},-6)$代入$y_1=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases}6k+b=-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}k+b=-6\end{cases}$
两式相减得$\frac{11}{2}k=\frac{11}{2}$，解得$k=1$，代入得$b=-\frac{13}{2}$，$\therefore y_1=x-\frac{13}{2}$。
(2) 观察图象可得，一次函数图象在反比例函数图象下方时，x的取值在两个交点横坐标之间，即$\frac{1}{2}＜x＜6$。
(3) 过点D作平行于y轴的直线，交AB于点G。
∵直线AB沿y轴向上平移t个单位得到DE，
∴$DG=t$。
$S_{△ ACD}=S_{△ ADG}+S_{△ CDG}=\frac{1}{2} · DG · (x_D-x_C) + \frac{1}{2} · DG · (x_A-x_D)=\frac{1}{2} · t · x_A$
代入$S_{△ ACD}=6$、$x_A=6$，得：
$\frac{1}{2} × t × 6 = 6$，解得$t=2$。
【答案】
(1) $y_1=x-\frac{13}{2}$，$y_2=-\frac{3}{x}(x＞0)$
(2) $\frac{1}{2}＜x＜6$
(3) $t=2$
【知识点】
待定系数法求解析式，函数平移性质，割补法求面积
【点评】
本题为一次函数与反比例函数的综合题型，既考查了函数基础性质的应用，也考查了面积转化的解题技巧，熟练掌握函数相关性质、灵活拆分图形是解题的关键。
【难度系数】
0.65
21.某班数学小组对函数$y=ax^2+b|x|$的图象和性质进行了探究.
【探究过程】
根据自变量$x$的取值范围是全体实数,列表写出$x$与$y$的部分对应值.
根据上表数据,在平面直角坐标系中描点,连线,画函数图象.
【探究应用】
根据探究过程,解决下列问题.
(1)请在平面直角坐标系中画出该函数的图象.
(2)直接写出$a,b$的值.
(3)该函数的对称轴是________;当$x＜-2$时,
$y$随$x$的增大而________(填“增大”或“减小”).
(4)若关于$x$的方程$ax^2+b|x|-m=0$有四个
不相等的实数根,直接写出$m$的取值范围.
【探究过程】
根据自变量$x$的取值范围是全体实数,列表写出$x$与$y$的部分对应值.
根据上表数据,在平面直角坐标系中描点,连线,画函数图象.
【探究应用】
根据探究过程,解决下列问题.
(1)请在平面直角坐标系中画出该函数的图象.
(2)直接写出$a,b$的值.
(3)该函数的对称轴是________;当$x＜-2$时,
$y$随$x$的增大而________(填“增大”或“减小”).
(4)若关于$x$的方程$ax^2+b|x|-m=0$有四个
不相等的实数根,直接写出$m$的取值范围.
答案
21.(1)画图如图所示.
(2)$a=1,b=-4$.
(3)直线$x=0$ 减小
(4)$-4＜m＜0$.
解析
【分析】
1. 第(2)问求a、b的值：函数$y=ax^2+b|x|$中，当$x＞0$时$|x|=x$，因此可选取x为正的两组对应点坐标代入解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出参数。
2. 第(3)问：由于函数中$|x|=|-x|$，因此函数图象关于y轴对称，可直接得到对称轴；观察$x＜-2$区间的图象走向，即可判断y随x的变化规律。
3. 第(4)问：方程$ax^2+b|x|-m=0$的根的个数等价于函数$y=ax^2+b|x|$与直线$y=m$的交点个数，结合图象即可得到m的取值范围。
【解析】
(1) 按照描点法依次连接各点，画图结果如参考答案所示。
(2) 选取$x＞0$的两组对应值：$x=1$时$y=-3$，$x=2$时$y=-4$，代入$y=ax^2+bx$（$x＞0$时$|x|=x$）得：
$\begin{cases}a + b = -3\\4a + 2b = -4\end{cases}$
化简第二个方程得$2a + b = -2$，两式相减得$a=1$，代入$a + b = -3$得$b=-4$。
(3) 对任意x都满足$ax^2+b|x|=a(-x)^2+b|-x|$，函数为偶函数，图象关于y轴对称，因此对称轴为直线$x=0$；观察图象可得，$x＜-2$时，x增大对应的y值逐渐变小，因此y随x的增大而减小。
(4) 将方程变形为$ax^2+b|x|=m$，即求函数$y=ax^2+b|x|$与直线$y=m$有4个交点时m的范围，结合图象可知当$-4＜m＜0$时，两图象有4个不同交点，对应方程有4个不相等的实数根。
【答案】
(1) 画图如图所示.
(2)$a=1,b=-4$
(3)直线$x=0$；减小
(4)$-4＜m＜0$
【知识点】
含绝对值的二次函数；二次函数的图象与性质；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题以探究形式考查二次函数的相关性质，需要学生掌握待定系数法求解析式，结合图象分析函数的对称性、增减性，同时要学会运用数形结合思想将方程根的个数转化为函数图象交点个数求解。
【难度系数】
0.7
1. 第(2)问求a、b的值：函数$y=ax^2+b|x|$中，当$x＞0$时$|x|=x$，因此可选取x为正的两组对应点坐标代入解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出参数。
2. 第(3)问：由于函数中$|x|=|-x|$，因此函数图象关于y轴对称，可直接得到对称轴；观察$x＜-2$区间的图象走向，即可判断y随x的变化规律。
3. 第(4)问：方程$ax^2+b|x|-m=0$的根的个数等价于函数$y=ax^2+b|x|$与直线$y=m$的交点个数，结合图象即可得到m的取值范围。
【解析】
(1) 按照描点法依次连接各点，画图结果如参考答案所示。
(2) 选取$x＞0$的两组对应值：$x=1$时$y=-3$，$x=2$时$y=-4$，代入$y=ax^2+bx$（$x＞0$时$|x|=x$）得：
$\begin{cases}a + b = -3\\4a + 2b = -4\end{cases}$
化简第二个方程得$2a + b = -2$，两式相减得$a=1$，代入$a + b = -3$得$b=-4$。
(3) 对任意x都满足$ax^2+b|x|=a(-x)^2+b|-x|$，函数为偶函数，图象关于y轴对称，因此对称轴为直线$x=0$；观察图象可得，$x＜-2$时，x增大对应的y值逐渐变小，因此y随x的增大而减小。
(4) 将方程变形为$ax^2+b|x|=m$，即求函数$y=ax^2+b|x|$与直线$y=m$有4个交点时m的范围，结合图象可知当$-4＜m＜0$时，两图象有4个不同交点，对应方程有4个不相等的实数根。
【答案】
(1) 画图如图所示.
(2)$a=1,b=-4$
(3)直线$x=0$；减小
(4)$-4＜m＜0$
【知识点】
含绝对值的二次函数；二次函数的图象与性质；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题以探究形式考查二次函数的相关性质，需要学生掌握待定系数法求解析式，结合图象分析函数的对称性、增减性，同时要学会运用数形结合思想将方程根的个数转化为函数图象交点个数求解。
【难度系数】
0.7
