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20.如图,已知一次函数 $y_1=kx+b$ 的图象与函数 $y_2=\frac{m}{x}(x＞0)$ 的图象交于 $A(6,-\frac{1}{2})$,$B(\frac{1}{2},n)$两点,与 $y$ 轴交于点 $C$.将直线 $AB$ 沿 $y$ 轴向上平移 $t$ 个单位长度得到直线 $DE$,$DE$与 $y$ 轴交于点 $F$.
(1)求 $y_1$ 与 $y_2$ 的解析式.
(2)观察图象,直接写出 $y_1＜y_2$ 时 $x$ 的取值范围.
(3)连接 $AD$,$CD$,若 $△ ACD$ 的面积为 $6$,求 $t$ 的值.
(1)求 $y_1$ 与 $y_2$ 的解析式.
(2)观察图象,直接写出 $y_1＜y_2$ 时 $x$ 的取值范围.
(3)连接 $AD$,$CD$,若 $△ ACD$ 的面积为 $6$,求 $t$ 的值.
答案
20.(1)将点$A,B$的坐标代入解析式得$\begin{cases}-\frac{1}{2}=6k+b, \\-\frac{1}{2}=\frac{m}{6}, \\n=\frac{1}{2}k+b, \\n=\frac{m}{\frac{1}{2}},\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=1, \\b=-\frac{13}{2}, \\m=-3, \\n=-6,\end{cases}$$\therefore y_1=x-\frac{13}{2},y_2=-\frac{3}{x}.$
(2)$\frac{1}{2}＜x＜6$时,$y_1＜y_2$.
(3)过点$D$作$y$轴的平行线,与$AB$交于点$G$.
由平移可得$DG=t$，
$S_{△ ACD}=S_{△ ADG}+S_{△ CDG}=\frac{1}{2}DG(x_D-x_C)+\frac{1}{2}DG(x_A-x_D)=\frac{1}{2}DG(x_A-x_C)$，
$\therefore \frac{1}{2}t(6-0)=6$,解得$t=2$.
解得$\begin{cases}k=1, \\b=-\frac{13}{2}, \\m=-3, \\n=-6,\end{cases}$$\therefore y_1=x-\frac{13}{2},y_2=-\frac{3}{x}.$
(2)$\frac{1}{2}＜x＜6$时,$y_1＜y_2$.
(3)过点$D$作$y$轴的平行线,与$AB$交于点$G$.
由平移可得$DG=t$，
$S_{△ ACD}=S_{△ ADG}+S_{△ CDG}=\frac{1}{2}DG(x_D-x_C)+\frac{1}{2}DG(x_A-x_D)=\frac{1}{2}DG(x_A-x_C)$，
$\therefore \frac{1}{2}t(6-0)=6$,解得$t=2$.
解析
【分析】
(1) 求函数解析式用待定系数法：先将点A坐标代入反比例函数求出m的值，得到反比例函数解析式；再将点B坐标代入反比例解析式求出n的值，得到B点完整坐标，最后将A、B两点坐标代入一次函数，解二元一次方程组即可求出k、b的值，得到一次函数解析式。
(2) $y_1＜y_2$对应图象中一次函数图象位于反比例函数图象下方的部分，结合两个交点的横坐标以及$x＞0$的取值范围，直接读出x的范围即可。
(3) 直线AB向上平移t个单位得到DE，两条直线平行，竖直方向的距离为t。求$△ ACD$的面积时，可通过割补法拆分为以公共底DG的两个小三角形，两个小三角形的高之和等于点A与点C的横坐标之差，结合面积为6的条件列方程即可求出t的值。
【解析】
(1) 把$A(6,-\frac{1}{2})$代入$y_2=\frac{m}{x}$，得$-\frac{1}{2}=\frac{m}{6}$，解得$m=-3$，$\therefore y_2=-\frac{3}{x}$。
把$B(\frac{1}{2},n)$代入$y_2=-\frac{3}{x}$，得$n=\frac{-3}{\frac{1}{2}}=-6$，即$B(\frac{1}{2},-6)$。
把$A(6,-\frac{1}{2})$、$B(\frac{1}{2},-6)$代入$y_1=kx+b$，得$\begin{cases}6k+b=-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}k+b=-6\end{cases}$，
解方程组得$\begin{cases}k=1\\b=-\frac{13}{2}\end{cases}$，$\therefore y_1=x-\frac{13}{2}$。
(2) 观察图象，一次函数图象在反比例函数图象下方的部分对应的x范围是$\frac{1}{2}＜x＜6$。
(3) 过点D作y轴的平行线，交AB于点G。
由平移的性质可知，直线AB与DE平行，竖直方向的距离为t，即$DG=t$。
$S_{△ ACD}=S_{△ ADG}+S_{△ CDG}=\frac{1}{2}· DG· (x_A - x_D) + \frac{1}{2}· DG· (x_D - x_C)=\frac{1}{2}· DG· (x_A - x_C)$
已知C点在y轴上，$x_C=0$，$x_A=6$，$S_{△ ACD}=6$，代入得：
$\frac{1}{2}× t× (6-0)=6$，
解得$t=2$。
【答案】
(1) $y_1=x-\frac{13}{2}$，$y_2=-\frac{3}{x}$
(2) $\frac{1}{2}＜x＜6$
(3) $t=2$
【知识点】
待定系数法求解析式，函数图象交点问题，平移的性质
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，考查了函数基本性质、数形结合思想的应用，以及结合平移性质和面积公式求解参数的能力，解题时结合图象分析可简化计算过程。
【难度系数】
0.65
(1) 求函数解析式用待定系数法：先将点A坐标代入反比例函数求出m的值，得到反比例函数解析式；再将点B坐标代入反比例解析式求出n的值，得到B点完整坐标，最后将A、B两点坐标代入一次函数，解二元一次方程组即可求出k、b的值，得到一次函数解析式。
(2) $y_1＜y_2$对应图象中一次函数图象位于反比例函数图象下方的部分，结合两个交点的横坐标以及$x＞0$的取值范围，直接读出x的范围即可。
(3) 直线AB向上平移t个单位得到DE，两条直线平行，竖直方向的距离为t。求$△ ACD$的面积时，可通过割补法拆分为以公共底DG的两个小三角形，两个小三角形的高之和等于点A与点C的横坐标之差，结合面积为6的条件列方程即可求出t的值。
【解析】
(1) 把$A(6,-\frac{1}{2})$代入$y_2=\frac{m}{x}$，得$-\frac{1}{2}=\frac{m}{6}$，解得$m=-3$，$\therefore y_2=-\frac{3}{x}$。
把$B(\frac{1}{2},n)$代入$y_2=-\frac{3}{x}$，得$n=\frac{-3}{\frac{1}{2}}=-6$，即$B(\frac{1}{2},-6)$。
把$A(6,-\frac{1}{2})$、$B(\frac{1}{2},-6)$代入$y_1=kx+b$，得$\begin{cases}6k+b=-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}k+b=-6\end{cases}$，
解方程组得$\begin{cases}k=1\\b=-\frac{13}{2}\end{cases}$，$\therefore y_1=x-\frac{13}{2}$。
(2) 观察图象，一次函数图象在反比例函数图象下方的部分对应的x范围是$\frac{1}{2}＜x＜6$。
(3) 过点D作y轴的平行线，交AB于点G。
由平移的性质可知，直线AB与DE平行，竖直方向的距离为t，即$DG=t$。
$S_{△ ACD}=S_{△ ADG}+S_{△ CDG}=\frac{1}{2}· DG· (x_A - x_D) + \frac{1}{2}· DG· (x_D - x_C)=\frac{1}{2}· DG· (x_A - x_C)$
已知C点在y轴上，$x_C=0$，$x_A=6$，$S_{△ ACD}=6$，代入得：
$\frac{1}{2}× t× (6-0)=6$，
解得$t=2$。
【答案】
(1) $y_1=x-\frac{13}{2}$，$y_2=-\frac{3}{x}$
(2) $\frac{1}{2}＜x＜6$
(3) $t=2$
【知识点】
待定系数法求解析式，函数图象交点问题，平移的性质
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，考查了函数基本性质、数形结合思想的应用，以及结合平移性质和面积公式求解参数的能力，解题时结合图象分析可简化计算过程。
【难度系数】
0.65
21.某班数学小组对函数$y=ax^2+b|x|$的图象和性质进行了探究.
【探究过程】
根据自变量$x$的取值范围是全体实数,列表写出$x$与$y$的部分对应值.
根据上表数据,在平面直角坐标系中描点,连线,画函数图象.
【探究应用】
根据探究过程,解决下列问题.
(1)请在平面直角坐标系中画出该函数的图象.
(2)直接写出$a,b$的值.
(3)该函数的对称轴是________;当$x＜-2$时,
$y$随$x$的增大而________(填“增大”或“减小”).
(4)若关于$x$的方程$ax^2+b|x|-m=0$有四个
不相等的实数根,直接写出$m$的取值范围.
【探究过程】
根据自变量$x$的取值范围是全体实数,列表写出$x$与$y$的部分对应值.
根据上表数据,在平面直角坐标系中描点,连线,画函数图象.
【探究应用】
根据探究过程,解决下列问题.
(1)请在平面直角坐标系中画出该函数的图象.
(2)直接写出$a,b$的值.
(3)该函数的对称轴是________;当$x＜-2$时,
$y$随$x$的增大而________(填“增大”或“减小”).
(4)若关于$x$的方程$ax^2+b|x|-m=0$有四个
不相等的实数根,直接写出$m$的取值范围.
答案
21.(1)画图如图所示.
(2)$a=1,b=-4$.
(3)直线$x=0$ 减小
(4)$-4＜m＜0$.
解析
【分析】
1. 求解a、b的值时，利用x＞0时|x|=x，函数可化为普通二次函数，选取图象上x＞0的两个已知点代入解析式，得到二元一次方程组，解方程组即可求出a、b；
2. 观察函数解析式特征，由于x以|x|和x²的形式存在，x取互为相反数的两个值时y值相等，因此图象关于y轴对称，可直接得到对称轴；再观察x＜-2区间内图象的升降趋势，判断y随x的变化情况；
3. 方程$ax^2+b|x|-m=0$有四个不相等的实数根，等价于函数$y=ax^2+b|x|$与直线$y=m$有4个不同的交点，结合图象的最低点、与x轴的交点位置即可确定m的取值范围。
【解析】
(1) 按照描点连线的规则，用平滑曲线顺次连接各点即可，图象见参考答案。
(2) 当x＞0时，|x|=x，函数解析式简化为$y=ax^2+bx$，选取图象上的点$(1,-3)$、$(2,-4)$代入解析式得：
$\begin{cases} a + b = -3 \\ 4a + 2b = -4 \end{cases}$
化简第二个方程得$2a + b = -2$，用该式减去第一个方程得$a=1$，将$a=1$代入$a + b = -3$，解得$b=-4$。
(3) 对任意实数x，代入-x得$y=a(-x)^2 + b|-x|=ax^2 + b|x|$，即x与-x对应的函数值相等，因此函数图象关于直线x=0（y轴）对称，即对称轴为直线x=0；观察x＜-2的区间，图象从左到右呈下降趋势，因此x增大时y随x的增大而减小。
(4) 方程$ax^2 + b|x| - m = 0$可变形为$ax^2 + b|x| = m$，即求函数$y=ax^2 + b|x|$与直线$y=m$有4个不同交点时m的取值范围。观察图象可知，函数最小值为-4，当y=0时函数与x轴交于$(-4,0)$、$(0,0)$、$(4,0)$三个点，因此当$-4 ＜ m ＜ 0$时，直线y=m与函数图象有4个不同交点，对应方程有4个不相等的实数根。
【答案】
(1) 画图如图所示.
(2) $a=1,b=-4$
(3) 直线$x=0$；减小
(4) $-4＜m＜0$
【知识点】
二次函数的性质，含绝对值的函数，函数与方程
【点评】
本题以含绝对值的二次函数为载体，考查了函数解析式的求解、图象性质的分析及函数与方程的转化，解题的核心是熟练运用数形结合思想，通过观察图象特征解决问题。
【难度系数】
0.7
1. 求解a、b的值时，利用x＞0时|x|=x，函数可化为普通二次函数，选取图象上x＞0的两个已知点代入解析式，得到二元一次方程组，解方程组即可求出a、b；
2. 观察函数解析式特征，由于x以|x|和x²的形式存在，x取互为相反数的两个值时y值相等，因此图象关于y轴对称，可直接得到对称轴；再观察x＜-2区间内图象的升降趋势，判断y随x的变化情况；
3. 方程$ax^2+b|x|-m=0$有四个不相等的实数根，等价于函数$y=ax^2+b|x|$与直线$y=m$有4个不同的交点，结合图象的最低点、与x轴的交点位置即可确定m的取值范围。
【解析】
(1) 按照描点连线的规则，用平滑曲线顺次连接各点即可，图象见参考答案。
(2) 当x＞0时，|x|=x，函数解析式简化为$y=ax^2+bx$，选取图象上的点$(1,-3)$、$(2,-4)$代入解析式得：
$\begin{cases} a + b = -3 \\ 4a + 2b = -4 \end{cases}$
化简第二个方程得$2a + b = -2$，用该式减去第一个方程得$a=1$，将$a=1$代入$a + b = -3$，解得$b=-4$。
(3) 对任意实数x，代入-x得$y=a(-x)^2 + b|-x|=ax^2 + b|x|$，即x与-x对应的函数值相等，因此函数图象关于直线x=0（y轴）对称，即对称轴为直线x=0；观察x＜-2的区间，图象从左到右呈下降趋势，因此x增大时y随x的增大而减小。
(4) 方程$ax^2 + b|x| - m = 0$可变形为$ax^2 + b|x| = m$，即求函数$y=ax^2 + b|x|$与直线$y=m$有4个不同交点时m的取值范围。观察图象可知，函数最小值为-4，当y=0时函数与x轴交于$(-4,0)$、$(0,0)$、$(4,0)$三个点，因此当$-4 ＜ m ＜ 0$时，直线y=m与函数图象有4个不同交点，对应方程有4个不相等的实数根。
【答案】
(1) 画图如图所示.
(2) $a=1,b=-4$
(3) 直线$x=0$；减小
(4) $-4＜m＜0$
【知识点】
二次函数的性质，含绝对值的函数，函数与方程
【点评】
本题以含绝对值的二次函数为载体，考查了函数解析式的求解、图象性质的分析及函数与方程的转化，解题的核心是熟练运用数形结合思想，通过观察图象特征解决问题。
【难度系数】
0.7
