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22.某宾馆有50个房间供游客居住.当房间的定价(指每个房间一天的单价)为180元时，房间会全部住满；房间的定价每增加10元，就会多一个房间空闲.
(1)若房间涨价$ m $元($ m $为10的正整数倍)，直接写出该宾馆居住的房间数.
(2)若有游客居住房间，则宾馆需对已居住的每个房间每天支出20元的各种费用.不考虑其他费用，房间的价格变化为10的正整数倍.
①若该宾馆一天的利润为8 640元，求当天的定价.
②房价定为多少时宾馆的利润最大？
(1)若房间涨价$ m $元($ m $为10的正整数倍)，直接写出该宾馆居住的房间数.
(2)若有游客居住房间，则宾馆需对已居住的每个房间每天支出20元的各种费用.不考虑其他费用，房间的价格变化为10的正整数倍.
①若该宾馆一天的利润为8 640元，求当天的定价.
②房价定为多少时宾馆的利润最大？
答案
22.(1)$50-\frac{1}{10}m$.
(2)设房间的定价增加$x$元,宾馆一天的利润为$w$元，
则$w=(50-\frac{1}{10}x)(180+x-20)=-\frac{1}{10}x^2+34x+8\ 000$.
①令$w=8\ 640$,则$-\frac{1}{10}x^2+34x+8\ 000=8\ 640$,解得$x_1=20,x_2=320$.
$180+20=200$(元),$180+320=500$(元)，
$\therefore$当天的定价为200元或500元时,宾馆一天的利润为8 640元.
②$\because -\frac{1}{10}＜0,\therefore$此抛物线开口向下,当$x=-\frac{34}{2×(-\frac{1}{10})}=170$时,$w$有最大值.
$180+170=350$(元)，
$\therefore$房价定为350元时,宾馆一天利润最大.
(2)设房间的定价增加$x$元,宾馆一天的利润为$w$元，
则$w=(50-\frac{1}{10}x)(180+x-20)=-\frac{1}{10}x^2+34x+8\ 000$.
①令$w=8\ 640$,则$-\frac{1}{10}x^2+34x+8\ 000=8\ 640$,解得$x_1=20,x_2=320$.
$180+20=200$(元),$180+320=500$(元)，
$\therefore$当天的定价为200元或500元时,宾馆一天的利润为8 640元.
②$\because -\frac{1}{10}＜0,\therefore$此抛物线开口向下,当$x=-\frac{34}{2×(-\frac{1}{10})}=170$时,$w$有最大值.
$180+170=350$(元)，
$\therefore$房价定为350元时,宾馆一天利润最大.
解析
【分析】
(1) 已知宾馆总共有50个房间，定价每增加10元就会多1个房间空闲。当涨价m元时，空闲的房间数为$\frac{m}{10}$个，因此居住的房间数等于总房间数减去空闲房间数，代入即可得到表达式。
(2) 利润的核心等量关系为：总利润=单个房间的净利润×居住的房间数。①首先设定价增加x元，先推导单个房间的净利润为$(180+x-20)$元，居住房间数为$(50-\frac{x}{10})$个，据此列出利润关于x的函数表达式，再令利润等于8640，解一元二次方程得到x的取值，最后计算对应定价即可。②所得的利润表达式是开口向下的二次函数，根据二次函数的性质，顶点处取得最大值，利用顶点横坐标公式求出对应x的值，即可计算出利润最大时的房价。
【解析】
(1) 空闲房间数为$\frac{m}{10}$，因此居住的房间数为$50-\frac{m}{10}$。
(2) 设房间的定价增加$x$元（$x$为10的正整数倍），宾馆一天的利润为$w$元。
单个房间的净利润为：$180+x-20$元，
居住的房间数为：$50-\frac{x}{10}$个，
因此总利润：
$w=(50-\frac{1}{10}x)(180+x-20)=-\frac{1}{10}x^2+34x+8000$。
① 令$w=8640$，可得方程：
$-\frac{1}{10}x^2+34x+8000=8640$
整理得：$x^2-340x+6400=0$
解得：$x_1=20$，$x_2=320$。
对应定价分别为：$180+20=200$（元），$180+320=500$（元）。
② 二次函数$w=-\frac{1}{10}x^2+34x+8000$中，二次项系数$a=-\frac{1}{10}＜0$，因此抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值。
顶点横坐标为：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{34}{2×(-\frac{1}{10})}=170$，
对应定价为：$180+170=350$（元）。
【答案】
(1) $\boxed{50-\frac{1}{10}m}$
(2) ① 当天的定价为$\boxed{200元或500元}$；② 房价定为$\boxed{350元}$时宾馆的利润最大。
【知识点】
一元二次方程的应用；二次函数的应用；二次函数的最值
【点评】
本题是典型的实际利润类应用题，解题的关键是找准总利润的等量关系，正确列出函数表达式，同时要注意题目中“定价变化为10的正整数倍”的限制条件，考察了学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.65
(1) 已知宾馆总共有50个房间，定价每增加10元就会多1个房间空闲。当涨价m元时，空闲的房间数为$\frac{m}{10}$个，因此居住的房间数等于总房间数减去空闲房间数，代入即可得到表达式。
(2) 利润的核心等量关系为：总利润=单个房间的净利润×居住的房间数。①首先设定价增加x元，先推导单个房间的净利润为$(180+x-20)$元，居住房间数为$(50-\frac{x}{10})$个，据此列出利润关于x的函数表达式，再令利润等于8640，解一元二次方程得到x的取值，最后计算对应定价即可。②所得的利润表达式是开口向下的二次函数，根据二次函数的性质，顶点处取得最大值，利用顶点横坐标公式求出对应x的值，即可计算出利润最大时的房价。
【解析】
(1) 空闲房间数为$\frac{m}{10}$，因此居住的房间数为$50-\frac{m}{10}$。
(2) 设房间的定价增加$x$元（$x$为10的正整数倍），宾馆一天的利润为$w$元。
单个房间的净利润为：$180+x-20$元，
居住的房间数为：$50-\frac{x}{10}$个，
因此总利润：
$w=(50-\frac{1}{10}x)(180+x-20)=-\frac{1}{10}x^2+34x+8000$。
① 令$w=8640$，可得方程：
$-\frac{1}{10}x^2+34x+8000=8640$
整理得：$x^2-340x+6400=0$
解得：$x_1=20$，$x_2=320$。
对应定价分别为：$180+20=200$（元），$180+320=500$（元）。
② 二次函数$w=-\frac{1}{10}x^2+34x+8000$中，二次项系数$a=-\frac{1}{10}＜0$，因此抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值。
顶点横坐标为：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{34}{2×(-\frac{1}{10})}=170$，
对应定价为：$180+170=350$（元）。
【答案】
(1) $\boxed{50-\frac{1}{10}m}$
(2) ① 当天的定价为$\boxed{200元或500元}$；② 房价定为$\boxed{350元}$时宾馆的利润最大。
【知识点】
一元二次方程的应用；二次函数的应用；二次函数的最值
【点评】
本题是典型的实际利润类应用题，解题的关键是找准总利润的等量关系，正确列出函数表达式，同时要注意题目中“定价变化为10的正整数倍”的限制条件，考察了学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.65
23.如图,直线 $y=2x+4$ 与反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象相交于 $A(-3,a)$ 和 $B$ 两点.
(1)求 $k$ 的值.
(2)直线 $y=m(m＞0)$ 与直线 $AB$ 相交于点 $M$,与反比例函数的图象相交于点 $N$.若 $MN=4$,求 $m$ 的值.
(3)直接写出不等式 $\frac{6}{x-5}＞x$ 的解集.
(1)求 $k$ 的值.
(2)直线 $y=m(m＞0)$ 与直线 $AB$ 相交于点 $M$,与反比例函数的图象相交于点 $N$.若 $MN=4$,求 $m$ 的值.
(3)直接写出不等式 $\frac{6}{x-5}＞x$ 的解集.
答案
23.(1)将点$A$代入直线$y=2x+4$得$a=2×(-3)+4,\therefore a=-2$.
$\because$点$A(-3,-2)$在$y=\frac{k}{x}$的图象上，
$\therefore k=6$.
(2)$\because$点$M$在直线$AB$上,$\therefore M(\frac{m-4}{2},m)$.
$\because$点$N$在反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象上,$\therefore N(\frac{6}{m},m)$.
当$\frac{6}{m}＞\frac{m-4}{2}$时,$MN=x_N-x_M=\frac{6}{m}-\frac{m-4}{2}=4$,解得$m_1=2,m_2=-6$(舍去)；
当$\frac{6}{m}＜\frac{m-4}{2}$时,$MN=x_M-x_N=\frac{m-4}{2}-\frac{6}{m}=4$,解得$m_1=6+4\sqrt{3},m_2=6-4\sqrt{3}$(舍去).
$\therefore m=2$或$6+4\sqrt{3}$.
(3)$x＜-1$或$5＜x＜6$.
$\because$点$A(-3,-2)$在$y=\frac{k}{x}$的图象上，
$\therefore k=6$.
(2)$\because$点$M$在直线$AB$上,$\therefore M(\frac{m-4}{2},m)$.
$\because$点$N$在反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象上,$\therefore N(\frac{6}{m},m)$.
当$\frac{6}{m}＞\frac{m-4}{2}$时,$MN=x_N-x_M=\frac{6}{m}-\frac{m-4}{2}=4$,解得$m_1=2,m_2=-6$(舍去)；
当$\frac{6}{m}＜\frac{m-4}{2}$时,$MN=x_M-x_N=\frac{m-4}{2}-\frac{6}{m}=4$,解得$m_1=6+4\sqrt{3},m_2=6-4\sqrt{3}$(舍去).
$\therefore m=2$或$6+4\sqrt{3}$.
(3)$x＜-1$或$5＜x＜6$.
解析
【分析】
(1) 要确定反比例函数中k的值，需先得到点A的完整坐标：已知点A在直线$y=2x+4$上，将x=-3代入直线解析式即可求出a，再把点A坐标代入反比例函数解析式就能求出k。
(2) 直线$y=m$上的点纵坐标均为m，分别将y=m代入直线AB和反比例函数解析式，求出点M、N的横坐标；MN为平行于x轴的线段，长度等于两点横坐标差的绝对值，因此分“N在M右侧”“N在M左侧”两种情况列方程求解，最后结合$m＞0$的条件舍去不符合题意的解。
(3) 解分式不等式$\frac{6}{x-5}＞x$，需先考虑分母不为0，再分$x-5＞0$和$x-5＜0$两种情况去分母，转化为整式不等式求解，最终结合分类的前提条件确定解集。
【解析】
(1) 把$A(-3,a)$代入$y=2x+4$，得：
$a=2×(-3)+4=-2$
∴点A的坐标为$(-3,-2)$
将$A(-3,-2)$代入$y=\frac{k}{x}$，得：
$-2=\frac{k}{-3}$，解得$k=6$
(2) 由(1)可知反比例函数解析式为$y=\frac{6}{x}$
点M在直线AB上，纵坐标为m，令$y=m$，则$m=2x+4$，解得$x=\frac{m-4}{2}$，即$M(\frac{m-4}{2},m)$
点N在反比例函数图象上，纵坐标为m，令$y=m$，则$m=\frac{6}{x}$，解得$x=\frac{6}{m}$，即$N(\frac{6}{m},m)$
两点纵坐标相同，MN的长度为横坐标差的绝对值，分两种情况讨论：
① 当$\frac{6}{m}＞\frac{m-4}{2}$时，$MN=\frac{6}{m}-\frac{m-4}{2}=4$
去分母整理得$m^2+4m-12=0$，解得$m_1=2,m_2=-6$
∵$m＞0$，
∴舍去$m=-6$，得$m=2$
② 当$\frac{6}{m}＜\frac{m-4}{2}$时，$MN=\frac{m-4}{2}-\frac{6}{m}=4$
去分母整理得$m^2-12m-12=0$，解得$m_1=6+4\sqrt{3},m_2=6-4\sqrt{3}$
∵$6-4\sqrt{3}＜0$不符合$m＞0$的条件，舍去，得$m=6+4\sqrt{3}$
综上，$m$的值为2或$6+4\sqrt{3}$
(3) 解$\frac{6}{x-5}＞x$，首先分母$x-5≠0$，即$x≠5$：
① 当$x＞5$时，去分母得$6＞x(x-5)$，即$x^2-5x-6＜0$，因式分解得$(x-6)(x+1)＜0$，结合$x＞5$解得$5＜x＜6$
② 当$x＜5$时，去分母得$6＜x(x-5)$，即$x^2-5x-6＞0$，因式分解得$(x-6)(x+1)＞0$，结合$x＜5$解得$x＜-1$
综上，不等式解集为$x＜-1$或$5＜x＜6$
【答案】
(1) $k=6$
(2) $m=2$或$6+4\sqrt{3}$
(3) $x＜-1$或$5＜x＜6$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，函数图象上点的坐标特征，分式不等式求解
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，既考查了基础的函数解析式求解方法，也需要运用分类讨论思想处理线段长度、分式不等式问题，解题时要注意题目隐含的取值限制，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
(1) 要确定反比例函数中k的值，需先得到点A的完整坐标：已知点A在直线$y=2x+4$上，将x=-3代入直线解析式即可求出a，再把点A坐标代入反比例函数解析式就能求出k。
(2) 直线$y=m$上的点纵坐标均为m，分别将y=m代入直线AB和反比例函数解析式，求出点M、N的横坐标；MN为平行于x轴的线段，长度等于两点横坐标差的绝对值，因此分“N在M右侧”“N在M左侧”两种情况列方程求解，最后结合$m＞0$的条件舍去不符合题意的解。
(3) 解分式不等式$\frac{6}{x-5}＞x$，需先考虑分母不为0，再分$x-5＞0$和$x-5＜0$两种情况去分母，转化为整式不等式求解，最终结合分类的前提条件确定解集。
【解析】
(1) 把$A(-3,a)$代入$y=2x+4$，得：
$a=2×(-3)+4=-2$
∴点A的坐标为$(-3,-2)$
将$A(-3,-2)$代入$y=\frac{k}{x}$，得：
$-2=\frac{k}{-3}$，解得$k=6$
(2) 由(1)可知反比例函数解析式为$y=\frac{6}{x}$
点M在直线AB上，纵坐标为m，令$y=m$，则$m=2x+4$，解得$x=\frac{m-4}{2}$，即$M(\frac{m-4}{2},m)$
点N在反比例函数图象上，纵坐标为m，令$y=m$，则$m=\frac{6}{x}$，解得$x=\frac{6}{m}$，即$N(\frac{6}{m},m)$
两点纵坐标相同，MN的长度为横坐标差的绝对值，分两种情况讨论：
① 当$\frac{6}{m}＞\frac{m-4}{2}$时，$MN=\frac{6}{m}-\frac{m-4}{2}=4$
去分母整理得$m^2+4m-12=0$，解得$m_1=2,m_2=-6$
∵$m＞0$，
∴舍去$m=-6$，得$m=2$
② 当$\frac{6}{m}＜\frac{m-4}{2}$时，$MN=\frac{m-4}{2}-\frac{6}{m}=4$
去分母整理得$m^2-12m-12=0$，解得$m_1=6+4\sqrt{3},m_2=6-4\sqrt{3}$
∵$6-4\sqrt{3}＜0$不符合$m＞0$的条件，舍去，得$m=6+4\sqrt{3}$
综上，$m$的值为2或$6+4\sqrt{3}$
(3) 解$\frac{6}{x-5}＞x$，首先分母$x-5≠0$，即$x≠5$：
① 当$x＞5$时，去分母得$6＞x(x-5)$，即$x^2-5x-6＜0$，因式分解得$(x-6)(x+1)＜0$，结合$x＞5$解得$5＜x＜6$
② 当$x＜5$时，去分母得$6＜x(x-5)$，即$x^2-5x-6＞0$，因式分解得$(x-6)(x+1)＞0$，结合$x＜5$解得$x＜-1$
综上，不等式解集为$x＜-1$或$5＜x＜6$
【答案】
(1) $k=6$
(2) $m=2$或$6+4\sqrt{3}$
(3) $x＜-1$或$5＜x＜6$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，函数图象上点的坐标特征，分式不等式求解
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，既考查了基础的函数解析式求解方法，也需要运用分类讨论思想处理线段长度、分式不等式问题，解题时要注意题目隐含的取值限制，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
