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22.某宾馆有50个房间供游客居住.当房间的定价(指每个房间一天的单价)为180元时，房间会全部住满；房间的定价每增加10元，就会多一个房间空闲.
(1)若房间涨价$ m $元($ m $为10的正整数倍)，直接写出该宾馆居住的房间数.
(2)若有游客居住房间，则宾馆需对已居住的每个房间每天支出20元的各种费用.不考虑其他费用，房间的价格变化为10的正整数倍.
①若该宾馆一天的利润为8 640元，求当天的定价.
②房价定为多少时宾馆的利润最大？
(1)若房间涨价$ m $元($ m $为10的正整数倍)，直接写出该宾馆居住的房间数.
(2)若有游客居住房间，则宾馆需对已居住的每个房间每天支出20元的各种费用.不考虑其他费用，房间的价格变化为10的正整数倍.
①若该宾馆一天的利润为8 640元，求当天的定价.
②房价定为多少时宾馆的利润最大？
答案
22.(1)$50-\frac{1}{10}m$.
(2)设房间的定价增加$x$元,宾馆一天的利润为$w$元，
则$w=(50-\frac{1}{10}x)(180+x-20)=-\frac{1}{10}x^2+34x+8\ 000$.
①令$w=8\ 640$,则$-\frac{1}{10}x^2+34x+8\ 000=8\ 640$,解得$x_1=20,x_2=320$.
$180+20=200$(元),$180+320=500$(元)，
$\therefore$当天的定价为200元或500元时,宾馆一天的利润为8 640元.
②$\because -\frac{1}{10}＜0,\therefore$此抛物线开口向下,当$x=-\frac{34}{2×(-\frac{1}{10})}=170$时,$w$有最大值.
$180+170=350$(元)，
$\therefore$房价定为350元时,宾馆一天利润最大.
(2)设房间的定价增加$x$元,宾馆一天的利润为$w$元，
则$w=(50-\frac{1}{10}x)(180+x-20)=-\frac{1}{10}x^2+34x+8\ 000$.
①令$w=8\ 640$,则$-\frac{1}{10}x^2+34x+8\ 000=8\ 640$,解得$x_1=20,x_2=320$.
$180+20=200$(元),$180+320=500$(元)，
$\therefore$当天的定价为200元或500元时,宾馆一天的利润为8 640元.
②$\because -\frac{1}{10}＜0,\therefore$此抛物线开口向下,当$x=-\frac{34}{2×(-\frac{1}{10})}=170$时,$w$有最大值.
$180+170=350$(元)，
$\therefore$房价定为350元时,宾馆一天利润最大.
解析
【分析】
(1) 解题思路：已知定价每增加10元就多1个空闲房间，涨价m元时，空闲房间数为$\frac{m}{10}$个，总房间数为50，用总房间数减去空闲房间数即可得到居住的房间数。
(2) ① 解题思路：利润的计算逻辑为“利润=（单个房间实际收入 - 单个房间支出费用）× 居住房间数”，先根据该等量关系列出利润关于涨价金额的函数表达式，再令利润等于8640，解一元二次方程得到涨价金额，加上原价180元即可得到当天定价。
② 解题思路：所得利润表达式是开口向下的二次函数，根据二次函数性质，顶点处函数值最大，用顶点横坐标公式求出对应涨价金额，再计算最终定价即可。
【解析】
(1) 空闲房间数为$\frac{m}{10}$个，因此居住的房间数为$50-\frac{1}{10}m$。
(2) 设房间的定价增加$x$元，宾馆一天的利润为$w$元，
则单个房间利润为$(180+x-20)$元，居住房间数为$(50-\frac{1}{10}x)$个，
因此利润表达式为：
$w=(50-\frac{1}{10}x)(180+x-20)=-\frac{1}{10}x^2+34x+8000$
① 令$w=8640$，代入得：
$-\frac{1}{10}x^2+34x+8000=8640$
整理得$x^2-340x+6400=0$
解得$x_1=20$，$x_2=320$
对应定价为$180+20=200$元，$180+320=500$元。
② 二次函数$w=-\frac{1}{10}x^2+34x+8000$中，$a=-\frac{1}{10}＜0$，抛物线开口向下，函数在顶点处取最大值。
顶点横坐标$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{34}{2×(-\frac{1}{10})}=170$
对应定价为$180+170=350$元。
【答案】
(1) $50-\frac{1}{10}m$
(2) ① 当天的定价为200元或500元；② 房价定为350元时宾馆的利润最大。
【知识点】
一元二次方程的应用；二次函数的实际应用；二次函数的最值
【点评】
本题结合实际经营场景考察代数知识的应用，解题核心是理清单价、入住数量、成本和利润之间的数量关系，需要熟练掌握一元二次方程的解法和二次函数最值的计算方法，是代数应用类的常见题型。
【难度系数】
0.65
(1) 解题思路：已知定价每增加10元就多1个空闲房间，涨价m元时，空闲房间数为$\frac{m}{10}$个，总房间数为50，用总房间数减去空闲房间数即可得到居住的房间数。
(2) ① 解题思路：利润的计算逻辑为“利润=（单个房间实际收入 - 单个房间支出费用）× 居住房间数”，先根据该等量关系列出利润关于涨价金额的函数表达式，再令利润等于8640，解一元二次方程得到涨价金额，加上原价180元即可得到当天定价。
② 解题思路：所得利润表达式是开口向下的二次函数，根据二次函数性质，顶点处函数值最大，用顶点横坐标公式求出对应涨价金额，再计算最终定价即可。
【解析】
(1) 空闲房间数为$\frac{m}{10}$个，因此居住的房间数为$50-\frac{1}{10}m$。
(2) 设房间的定价增加$x$元，宾馆一天的利润为$w$元，
则单个房间利润为$(180+x-20)$元，居住房间数为$(50-\frac{1}{10}x)$个，
因此利润表达式为：
$w=(50-\frac{1}{10}x)(180+x-20)=-\frac{1}{10}x^2+34x+8000$
① 令$w=8640$，代入得：
$-\frac{1}{10}x^2+34x+8000=8640$
整理得$x^2-340x+6400=0$
解得$x_1=20$，$x_2=320$
对应定价为$180+20=200$元，$180+320=500$元。
② 二次函数$w=-\frac{1}{10}x^2+34x+8000$中，$a=-\frac{1}{10}＜0$，抛物线开口向下，函数在顶点处取最大值。
顶点横坐标$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{34}{2×(-\frac{1}{10})}=170$
对应定价为$180+170=350$元。
【答案】
(1) $50-\frac{1}{10}m$
(2) ① 当天的定价为200元或500元；② 房价定为350元时宾馆的利润最大。
【知识点】
一元二次方程的应用；二次函数的实际应用；二次函数的最值
【点评】
本题结合实际经营场景考察代数知识的应用，解题核心是理清单价、入住数量、成本和利润之间的数量关系，需要熟练掌握一元二次方程的解法和二次函数最值的计算方法，是代数应用类的常见题型。
【难度系数】
0.65
23.如图,直线 $y=2x+4$ 与反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象相交于 $A(-3,a)$ 和 $B$ 两点.
(1)求 $k$ 的值.
(2)直线 $y=m(m＞0)$ 与直线 $AB$ 相交于点 $M$,与反比例函数的图象相交于点 $N$.若 $MN=4$,求 $m$ 的值.
(3)直接写出不等式 $\frac{6}{x-5}＞x$ 的解集.
(1)求 $k$ 的值.
(2)直线 $y=m(m＞0)$ 与直线 $AB$ 相交于点 $M$,与反比例函数的图象相交于点 $N$.若 $MN=4$,求 $m$ 的值.
(3)直接写出不等式 $\frac{6}{x-5}＞x$ 的解集.
答案
23.(1)将点$A$代入直线$y=2x+4$得$a=2×(-3)+4,\therefore a=-2$.
$\because$点$A(-3,-2)$在$y=\frac{k}{x}$的图象上，
$\therefore k=6$.
(2)$\because$点$M$在直线$AB$上,$\therefore M(\frac{m-4}{2},m)$.
$\because$点$N$在反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象上,$\therefore N(\frac{6}{m},m)$.
当$\frac{6}{m}＞\frac{m-4}{2}$时,$MN=x_N-x_M=\frac{6}{m}-\frac{m-4}{2}=4$,解得$m_1=2,m_2=-6$(舍去)；
当$\frac{6}{m}＜\frac{m-4}{2}$时,$MN=x_M-x_N=\frac{m-4}{2}-\frac{6}{m}=4$,解得$m_1=6+4\sqrt{3},m_2=6-4\sqrt{3}$(舍去).
$\therefore m=2$或$6+4\sqrt{3}$.
(3)$x＜-1$或$5＜x＜6$.
$\because$点$A(-3,-2)$在$y=\frac{k}{x}$的图象上，
$\therefore k=6$.
(2)$\because$点$M$在直线$AB$上,$\therefore M(\frac{m-4}{2},m)$.
$\because$点$N$在反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象上,$\therefore N(\frac{6}{m},m)$.
当$\frac{6}{m}＞\frac{m-4}{2}$时,$MN=x_N-x_M=\frac{6}{m}-\frac{m-4}{2}=4$,解得$m_1=2,m_2=-6$(舍去)；
当$\frac{6}{m}＜\frac{m-4}{2}$时,$MN=x_M-x_N=\frac{m-4}{2}-\frac{6}{m}=4$,解得$m_1=6+4\sqrt{3},m_2=6-4\sqrt{3}$(舍去).
$\therefore m=2$或$6+4\sqrt{3}$.
(3)$x＜-1$或$5＜x＜6$.
解析
【分析】
(1) 要求k的值，需先求出点A的坐标：已知点A在直线AB上，将A的横坐标代入直线解析式可算出纵坐标a，再将A点坐标代入反比例函数解析式即可求得k；
(2) 直线y=m上所有点的纵坐标均为m，分别将y=m代入直线AB和反比例函数解析式，求出点M、N的横坐标；MN是两点的水平距离，等于两点横坐标差的绝对值，分两种情况列分式方程求解，结合m＞0的条件舍去不符合要求的解；
(3) 解分式不等式时，先确定分母不为0即x≠5，分x＞5和x＜5两种情况讨论：两边同乘分母时注意不等号方向随分母正负变化，将分式不等式转化为整式不等式求解后合并解集。
【解析】
(1) 将点$A(-3,a)$代入直线$y=2x+4$，得：
$a=2×(-3)+4=-2$，即点$A$坐标为$(-3,-2)$
$\because$点$A$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上
$\therefore$将$A(-3,-2)$代入得$-2=\frac{k}{-3}$，解得$k=6$
(2) $\because$点$M$在直线$y=2x+4$上，纵坐标为$m$
令$y=m$，则$m=2x+4$，解得$x=\frac{m-4}{2}$，即$M(\frac{m-4}{2},m)$
$\because$点$N$在反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象上，纵坐标为$m$
令$y=m$，则$m=\frac{6}{x}$，解得$x=\frac{6}{m}$，即$N(\frac{6}{m},m)$
$MN$为两点水平距离，即$\left|x_N-x_M\right|=4$，分两种情况讨论：
① 当$\frac{6}{m}＞\frac{m-4}{2}$时，$\frac{6}{m}-\frac{m-4}{2}=4$
两边同乘$2m$（$m＞0$，不等号方向不变）整理得$m^2+4m-12=0$
解得$m_1=2$，$m_2=-6$，$\because m＞0$，故舍去$m=-6$；
② 当$\frac{6}{m}＜\frac{m-4}{2}$时，$\frac{m-4}{2}-\frac{6}{m}=4$
两边同乘$2m$整理得$m^2-12m-12=0$
解得$m=6\pm4\sqrt{3}$，$\because m＞0$，$6-4\sqrt{3}＜0$，故舍去$6-4\sqrt{3}$
综上，$m=2$或$m=6+4\sqrt{3}$
(3) 解不等式$\frac{6}{x-5}＞x$：
① 当$x-5＞0$即$x＞5$时，不等号两边同乘$x-5$方向不变，得$6＞x(x-5)$，即$x^2-5x-6＜0$，因式分解得$(x-6)(x+1)＜0$，结合$x＞5$解得$5＜x＜6$；
② 当$x-5＜0$即$x＜5$时，不等号两边同乘$x-5$方向改变，得$6＜x(x-5)$，即$x^2-5x-6＞0$，因式分解得$(x-6)(x+1)＞0$，结合$x＜5$解得$x＜-1$；
综上，不等式的解集为$x＜-1$或$5＜x＜6$
【答案】
(1) $k=6$
(2) $m=2$或$6+4\sqrt{3}$
(3) $x＜-1$或$5＜x＜6$
【知识点】
一次函数与反比例函数综合，分式方程求解，分式不等式求解
【点评】
本题为函数与不等式的综合题，考查了待定系数法求函数解析式、水平线段长度的计算以及分类讨论思想的应用，解题时要注意解分式方程需验根，解分式不等式时要结合分母的符号判断不等号方向是否改变，避免出现漏解、错解的问题。
【难度系数】
0.6
(1) 要求k的值，需先求出点A的坐标：已知点A在直线AB上，将A的横坐标代入直线解析式可算出纵坐标a，再将A点坐标代入反比例函数解析式即可求得k；
(2) 直线y=m上所有点的纵坐标均为m，分别将y=m代入直线AB和反比例函数解析式，求出点M、N的横坐标；MN是两点的水平距离，等于两点横坐标差的绝对值，分两种情况列分式方程求解，结合m＞0的条件舍去不符合要求的解；
(3) 解分式不等式时，先确定分母不为0即x≠5，分x＞5和x＜5两种情况讨论：两边同乘分母时注意不等号方向随分母正负变化，将分式不等式转化为整式不等式求解后合并解集。
【解析】
(1) 将点$A(-3,a)$代入直线$y=2x+4$，得：
$a=2×(-3)+4=-2$，即点$A$坐标为$(-3,-2)$
$\because$点$A$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上
$\therefore$将$A(-3,-2)$代入得$-2=\frac{k}{-3}$，解得$k=6$
(2) $\because$点$M$在直线$y=2x+4$上，纵坐标为$m$
令$y=m$，则$m=2x+4$，解得$x=\frac{m-4}{2}$，即$M(\frac{m-4}{2},m)$
$\because$点$N$在反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象上，纵坐标为$m$
令$y=m$，则$m=\frac{6}{x}$，解得$x=\frac{6}{m}$，即$N(\frac{6}{m},m)$
$MN$为两点水平距离，即$\left|x_N-x_M\right|=4$，分两种情况讨论：
① 当$\frac{6}{m}＞\frac{m-4}{2}$时，$\frac{6}{m}-\frac{m-4}{2}=4$
两边同乘$2m$（$m＞0$，不等号方向不变）整理得$m^2+4m-12=0$
解得$m_1=2$，$m_2=-6$，$\because m＞0$，故舍去$m=-6$；
② 当$\frac{6}{m}＜\frac{m-4}{2}$时，$\frac{m-4}{2}-\frac{6}{m}=4$
两边同乘$2m$整理得$m^2-12m-12=0$
解得$m=6\pm4\sqrt{3}$，$\because m＞0$，$6-4\sqrt{3}＜0$，故舍去$6-4\sqrt{3}$
综上，$m=2$或$m=6+4\sqrt{3}$
(3) 解不等式$\frac{6}{x-5}＞x$：
① 当$x-5＞0$即$x＞5$时，不等号两边同乘$x-5$方向不变，得$6＞x(x-5)$，即$x^2-5x-6＜0$，因式分解得$(x-6)(x+1)＜0$，结合$x＞5$解得$5＜x＜6$；
② 当$x-5＜0$即$x＜5$时，不等号两边同乘$x-5$方向改变，得$6＜x(x-5)$，即$x^2-5x-6＞0$，因式分解得$(x-6)(x+1)＞0$，结合$x＜5$解得$x＜-1$；
综上，不等式的解集为$x＜-1$或$5＜x＜6$
【答案】
(1) $k=6$
(2) $m=2$或$6+4\sqrt{3}$
(3) $x＜-1$或$5＜x＜6$
【知识点】
一次函数与反比例函数综合，分式方程求解，分式不等式求解
【点评】
本题为函数与不等式的综合题，考查了待定系数法求函数解析式、水平线段长度的计算以及分类讨论思想的应用，解题时要注意解分式方程需验根，解分式不等式时要结合分母的符号判断不等号方向是否改变，避免出现漏解、错解的问题。
【难度系数】
0.6
