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24.如图,一次函数$y=kx - k - 1$的图象与抛物线$y=x^2 - 2x - 3$交于A,B两点,点A在点B右侧.
(1)直线AB经过一个定点D,直接写出点D的坐标.
(2)如图②,当$k＜0$时,直线AB交y轴于点G,点E为抛物线的顶点,射线AE交y轴于点F,若$AG=AF$,求点A的横坐标.
(3)如图③,过点B作x轴的平行线,交抛物线于另一点C,求直线AC经过的定点的坐标.
(1)直线AB经过一个定点D,直接写出点D的坐标.
(2)如图②,当$k＜0$时,直线AB交y轴于点G,点E为抛物线的顶点,射线AE交y轴于点F,若$AG=AF$,求点A的横坐标.
(3)如图③,过点B作x轴的平行线,交抛物线于另一点C,求直线AC经过的定点的坐标.
答案
24.(1)$D(1,-1)$.
(2)点$E$的坐标为$(1,-4)$,则$DE// y$轴，
过点$A$作$AH⊥ DE$于$H$.
$\because DE// y$轴,$\therefore ∠ ADE=∠ AGF,∠ AED=∠ AFG$，
$\because AG=AF,\therefore ∠ AGF=∠ AFG$，
$\therefore ∠ ADE=∠ AED,\therefore AD=AE$，
$\therefore$点$H$的坐标为$(1,-\frac{5}{2}),\therefore$点$A$的纵坐标为$-\frac{5}{2}$.
令$x^2-2x-3=-\frac{5}{2}$,解得$x=\frac{2\pm\sqrt{6}}{2}$，
$\because k＜0$,点$A$在第四象限，
$\therefore$点$A$的横坐标为$\frac{2+\sqrt{6}}{2}$.
(3)设$A(a,a^2-2a-3),B(b,b^2-2b-3)$，
令$x^2-2x-3=kx-k-1$,整理得$x^2-(k+2)x+k-2=0,\therefore a+b=k+2,ab=k-2$，
$\therefore a+b-ab=4$.
$\because$抛物线的对称轴为直线$x=1,BC// x$轴,$\therefore C(2-b,b^2-2b-3)$，
$\therefore l_{AC}:y=(a-b)x+ab-2a-3=(a-b)x+b-a-7$,当$x=1$时,$y=-7$，
$\therefore$直线$AC$过定点$(1,-7)$.
(2)点$E$的坐标为$(1,-4)$,则$DE// y$轴，
过点$A$作$AH⊥ DE$于$H$.
$\because DE// y$轴,$\therefore ∠ ADE=∠ AGF,∠ AED=∠ AFG$，
$\because AG=AF,\therefore ∠ AGF=∠ AFG$，
$\therefore ∠ ADE=∠ AED,\therefore AD=AE$，
$\therefore$点$H$的坐标为$(1,-\frac{5}{2}),\therefore$点$A$的纵坐标为$-\frac{5}{2}$.
令$x^2-2x-3=-\frac{5}{2}$,解得$x=\frac{2\pm\sqrt{6}}{2}$，
$\because k＜0$,点$A$在第四象限，
$\therefore$点$A$的横坐标为$\frac{2+\sqrt{6}}{2}$.
(3)设$A(a,a^2-2a-3),B(b,b^2-2b-3)$，
令$x^2-2x-3=kx-k-1$,整理得$x^2-(k+2)x+k-2=0,\therefore a+b=k+2,ab=k-2$，
$\therefore a+b-ab=4$.
$\because$抛物线的对称轴为直线$x=1,BC// x$轴,$\therefore C(2-b,b^2-2b-3)$，
$\therefore l_{AC}:y=(a-b)x+ab-2a-3=(a-b)x+b-a-7$,当$x=1$时,$y=-7$，
$\therefore$直线$AC$过定点$(1,-7)$.
解析
【分析】
(1) 求一次函数过定点，只需将函数解析式中含参数k的项整理合并，令k的系数为0，即可求出与k取值无关的定点坐标。
(2) 先求出抛物线顶点E的坐标，结合AG=AF可得△AGF为等腰三角形，底角∠AGF=∠AFG，再结合直线DE平行y轴的性质，推导得出AD=AE，即点A在DE的垂直平分线上，由此求出A点纵坐标，代入抛物线解析式求解横坐标，最后结合k＜0的条件筛选符合要求的根。
(3) 联立一次函数与抛物线解析式，利用韦达定理得到A、B两点横坐标的关系；根据BC平行x轴，结合抛物线对称轴可得C点坐标，再推导直线AC的解析式，整理后消去参数即可得到直线AC经过的定点。
【解析】
(1) 对一次函数$y=kx - k - 1$变形得：$y=k(x-1)-1$，当$x=1$时，$y=-1$，与k的取值无关，故定点D的坐标为$(1,-1)$。
(2) 抛物线$y=x^2-2x-3$配方得$y=(x-1)^2-4$，故顶点E的坐标为$(1,-4)$。由(1)知直线AB过定点$D(1,-1)$，故DE为垂直于x轴的直线，即$DE// y$轴。
过点A作$AH⊥ DE$于H，$\because DE// y$轴，$\therefore ∠ ADE=∠ AGF$，$∠ AED=∠ AFG$。
$\because AG=AF$，$\therefore ∠ AGF=∠ AFG$，$\therefore ∠ ADE=∠ AED$，$\therefore AD=AE$，即△ADE为等腰三角形，AH为DE的中线。
DE中点H的纵坐标为$\frac{-1+(-4)}{2}=-\frac{5}{2}$，故点A的纵坐标为$-\frac{5}{2}$。
令$x^2-2x-3=-\frac{5}{2}$，整理得$2x^2-4x-1=0$，解得$x=\frac{4\pm\sqrt{16+8}}{4}=\frac{2\pm\sqrt{6}}{2}$。
$\because k＜0$，点A在第四象限，横坐标为正，故点A的横坐标为$\frac{2+\sqrt{6}}{2}$。
(3) 设$A(a,a^2-2a-3)$，$B(b,b^2-2b-3)$，联立一次函数与抛物线解析式：
$\begin{cases}y=kx - k - 1\\y=x^2-2x-3\end{cases}$，消去y得$x^2-(k+2)x+k-2=0$，由韦达定理得$a+b=k+2$，$ab=k-2$，两式相减得$a+b-ab=4$。
抛物线$y=x^2-2x-3$的对称轴为直线$x=1$，$\because BC// x$轴，$\therefore$点C与点B关于对称轴$x=1$对称，故C点横坐标为$2-b$，纵坐标与B相同，即$C(2-b,b^2-2b-3)$。
将A、C坐标代入直线解析式整理，结合$a+b-ab=4$变形可得直线AC解析式为$y=(a-b)x + b - a -7$。
当$x=1$时，$y=(a-b)+b-a-7=-7$，与a、b的取值无关，故直线AC经过定点$(1,-7)$。
【答案】
(1) $\boxed{(1,-1)}$
(2) $\boxed{\frac{2+\sqrt{6}}{2}}$
(3) $\boxed{(1,-7)}$
【知识点】
一次函数定点求解；二次函数图象与性质；韦达定理应用
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合题，考查了定点求解、等腰三角形性质、抛物线对称性、韦达定理的应用等内容。解题的关键是熟练掌握函数基本性质，灵活运用代数变形消去参数得到定点坐标，对运算能力和逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
(1) 求一次函数过定点，只需将函数解析式中含参数k的项整理合并，令k的系数为0，即可求出与k取值无关的定点坐标。
(2) 先求出抛物线顶点E的坐标，结合AG=AF可得△AGF为等腰三角形，底角∠AGF=∠AFG，再结合直线DE平行y轴的性质，推导得出AD=AE，即点A在DE的垂直平分线上，由此求出A点纵坐标，代入抛物线解析式求解横坐标，最后结合k＜0的条件筛选符合要求的根。
(3) 联立一次函数与抛物线解析式，利用韦达定理得到A、B两点横坐标的关系；根据BC平行x轴，结合抛物线对称轴可得C点坐标，再推导直线AC的解析式，整理后消去参数即可得到直线AC经过的定点。
【解析】
(1) 对一次函数$y=kx - k - 1$变形得：$y=k(x-1)-1$，当$x=1$时，$y=-1$，与k的取值无关，故定点D的坐标为$(1,-1)$。
(2) 抛物线$y=x^2-2x-3$配方得$y=(x-1)^2-4$，故顶点E的坐标为$(1,-4)$。由(1)知直线AB过定点$D(1,-1)$，故DE为垂直于x轴的直线，即$DE// y$轴。
过点A作$AH⊥ DE$于H，$\because DE// y$轴，$\therefore ∠ ADE=∠ AGF$，$∠ AED=∠ AFG$。
$\because AG=AF$，$\therefore ∠ AGF=∠ AFG$，$\therefore ∠ ADE=∠ AED$，$\therefore AD=AE$，即△ADE为等腰三角形，AH为DE的中线。
DE中点H的纵坐标为$\frac{-1+(-4)}{2}=-\frac{5}{2}$，故点A的纵坐标为$-\frac{5}{2}$。
令$x^2-2x-3=-\frac{5}{2}$，整理得$2x^2-4x-1=0$，解得$x=\frac{4\pm\sqrt{16+8}}{4}=\frac{2\pm\sqrt{6}}{2}$。
$\because k＜0$，点A在第四象限，横坐标为正，故点A的横坐标为$\frac{2+\sqrt{6}}{2}$。
(3) 设$A(a,a^2-2a-3)$，$B(b,b^2-2b-3)$，联立一次函数与抛物线解析式：
$\begin{cases}y=kx - k - 1\\y=x^2-2x-3\end{cases}$，消去y得$x^2-(k+2)x+k-2=0$，由韦达定理得$a+b=k+2$，$ab=k-2$，两式相减得$a+b-ab=4$。
抛物线$y=x^2-2x-3$的对称轴为直线$x=1$，$\because BC// x$轴，$\therefore$点C与点B关于对称轴$x=1$对称，故C点横坐标为$2-b$，纵坐标与B相同，即$C(2-b,b^2-2b-3)$。
将A、C坐标代入直线解析式整理，结合$a+b-ab=4$变形可得直线AC解析式为$y=(a-b)x + b - a -7$。
当$x=1$时，$y=(a-b)+b-a-7=-7$，与a、b的取值无关，故直线AC经过定点$(1,-7)$。
【答案】
(1) $\boxed{(1,-1)}$
(2) $\boxed{\frac{2+\sqrt{6}}{2}}$
(3) $\boxed{(1,-7)}$
【知识点】
一次函数定点求解；二次函数图象与性质；韦达定理应用
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合题，考查了定点求解、等腰三角形性质、抛物线对称性、韦达定理的应用等内容。解题的关键是熟练掌握函数基本性质，灵活运用代数变形消去参数得到定点坐标，对运算能力和逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
