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24.如图,一次函数$y=kx - k - 1$的图象与抛物线$y=x^2 - 2x - 3$交于A,B两点,点A在点B右侧.
(1)直线AB经过一个定点D,直接写出点D的坐标.
(2)如图②,当$k＜0$时,直线AB交y轴于点G,点E为抛物线的顶点,射线AE交y轴于点F,若$AG=AF$,求点A的横坐标.
(3)如图③,过点B作x轴的平行线,交抛物线于另一点C,求直线AC经过的定点的坐标.
(1)直线AB经过一个定点D,直接写出点D的坐标.
(2)如图②,当$k＜0$时,直线AB交y轴于点G,点E为抛物线的顶点,射线AE交y轴于点F,若$AG=AF$,求点A的横坐标.
(3)如图③,过点B作x轴的平行线,交抛物线于另一点C,求直线AC经过的定点的坐标.
答案
24.(1)$D(1,-1)$.
(2)点$E$的坐标为$(1,-4)$,则$DE// y$轴，
过点$A$作$AH⊥ DE$于$H$.
$\because DE// y$轴,$\therefore ∠ ADE=∠ AGF,∠ AED=∠ AFG$，
$\because AG=AF,\therefore ∠ AGF=∠ AFG$，
$\therefore ∠ ADE=∠ AED,\therefore AD=AE$，
$\therefore$点$H$的坐标为$(1,-\frac{5}{2}),\therefore$点$A$的纵坐标为$-\frac{5}{2}$.
令$x^2-2x-3=-\frac{5}{2}$,解得$x=\frac{2\pm\sqrt{6}}{2}$，
$\because k＜0$,点$A$在第四象限，
$\therefore$点$A$的横坐标为$\frac{2+\sqrt{6}}{2}$.
(3)设$A(a,a^2-2a-3),B(b,b^2-2b-3)$，
令$x^2-2x-3=kx-k-1$,整理得$x^2-(k+2)x+k-2=0,\therefore a+b=k+2,ab=k-2$，
$\therefore a+b-ab=4$.
$\because$抛物线的对称轴为直线$x=1,BC// x$轴,$\therefore C(2-b,b^2-2b-3)$，
$\therefore l_{AC}:y=(a-b)x+ab-2a-3=(a-b)x+b-a-7$,当$x=1$时,$y=-7$，
$\therefore$直线$AC$过定点$(1,-7)$.
(2)点$E$的坐标为$(1,-4)$,则$DE// y$轴，
过点$A$作$AH⊥ DE$于$H$.
$\because DE// y$轴,$\therefore ∠ ADE=∠ AGF,∠ AED=∠ AFG$，
$\because AG=AF,\therefore ∠ AGF=∠ AFG$，
$\therefore ∠ ADE=∠ AED,\therefore AD=AE$，
$\therefore$点$H$的坐标为$(1,-\frac{5}{2}),\therefore$点$A$的纵坐标为$-\frac{5}{2}$.
令$x^2-2x-3=-\frac{5}{2}$,解得$x=\frac{2\pm\sqrt{6}}{2}$，
$\because k＜0$,点$A$在第四象限，
$\therefore$点$A$的横坐标为$\frac{2+\sqrt{6}}{2}$.
(3)设$A(a,a^2-2a-3),B(b,b^2-2b-3)$，
令$x^2-2x-3=kx-k-1$,整理得$x^2-(k+2)x+k-2=0,\therefore a+b=k+2,ab=k-2$，
$\therefore a+b-ab=4$.
$\because$抛物线的对称轴为直线$x=1,BC// x$轴,$\therefore C(2-b,b^2-2b-3)$，
$\therefore l_{AC}:y=(a-b)x+ab-2a-3=(a-b)x+b-a-7$,当$x=1$时,$y=-7$，
$\therefore$直线$AC$过定点$(1,-7)$.
解析
【分析】
(1) 求一次函数过的定点，只需将解析式中含参数k的项合并，令k的系数为0消去参数，即可求出定点坐标。
(2) 先求抛物线顶点E的坐标，结合定点D坐标可得DE平行于y轴；利用AG=AF推导角相等，进而得到AD=AE，可知A的纵坐标等于DE中点的纵坐标，代入抛物线解析式求解横坐标，再结合k＜0时A的位置选取符合要求的根。
(3) 设A、B的横坐标，联立一次函数和抛物线解析式，用韦达定理得到两点横坐标的和与积的关系；根据抛物线对称性得到C点坐标，推导直线AC的解析式，找到与参数无关的点即为所求定点。
【解析】
(1) 将一次函数y=kx - k - 1变形为y=k(x-1)-1，当x=1时，无论k取何值，y=-1，因此定点D坐标为(1,-1)。
(2) 抛物线$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$，因此顶点E的坐标为(1,-4)，结合D(1,-1)，可知直线DE为x=1，即DE// y轴。
过点A作AH⊥ DE于H：
$\because DE// y$轴，$\therefore ∠ ADE=∠ AGF$，∠ AED=∠ AFG
$\because AG=AF$，$\therefore ∠ AGF=∠ AFG$
$\therefore ∠ ADE=∠ AED$，$\therefore AD=AE$，即△ ADE为等腰三角形，AH为中线，H是DE中点。
DE中点纵坐标为$\frac{-1+(-4)}{2}=-\frac{5}{2}$，即点A的纵坐标为$-\frac{5}{2}$。
令$x^2-2x-3=-\frac{5}{2}$，整理得$2x^2-4x-1=0$，解得$x=\frac{2\pm\sqrt{6}}{2}$。
$\because k＜0$，直线AB过定点(1,-1)，此时点A在第四象限，横坐标大于1，因此点A的横坐标为$\frac{2+\sqrt{6}}{2}$。
(3) 设$A(a,a^2-2a-3)$，$B(b,b^2-2b-3)$，联立一次函数与抛物线解析式：
$\begin{cases}y=kx-k-1\\y=x^2-2x-3\end{cases}$，整理得$x^2-(k+2)x+k-2=0$，
由韦达定理得：a+b=k+2，ab=k-2，两式相减得a+b-ab=4。
抛物线对称轴为直线x=1，$\because BC// x$轴，$\therefore$点B、C关于对称轴x=1对称，C点坐标为$(2-b,b^2-2b-3)$。
推导直线AC解析式：y=(a-b)x+ab-2a-3=(a-b)x+b-a-7，当x=1时，y=a-b+b-a-7=-7，与a、b取值无关，因此直线AC过定点(1,-7)。【答案$】(1) \boxed{(1,-1)}(2) \boxed{\frac{2+\sqrt{6}}{2}}(3) \boxed{(1,-7)}$
【知识点】
一次函数定点求法；二次函数的性质；根与系数的关系
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合题型，考查了定点求解、等腰三角形性质、二次函数对称性、韦达定理应用等内容，解题需结合数形结合思想，对综合运用知识解决问题的能力要求较高。
【难度系数】
0.3
(1) 求一次函数过的定点，只需将解析式中含参数k的项合并，令k的系数为0消去参数，即可求出定点坐标。
(2) 先求抛物线顶点E的坐标，结合定点D坐标可得DE平行于y轴；利用AG=AF推导角相等，进而得到AD=AE，可知A的纵坐标等于DE中点的纵坐标，代入抛物线解析式求解横坐标，再结合k＜0时A的位置选取符合要求的根。
(3) 设A、B的横坐标，联立一次函数和抛物线解析式，用韦达定理得到两点横坐标的和与积的关系；根据抛物线对称性得到C点坐标，推导直线AC的解析式，找到与参数无关的点即为所求定点。
【解析】
(1) 将一次函数y=kx - k - 1变形为y=k(x-1)-1，当x=1时，无论k取何值，y=-1，因此定点D坐标为(1,-1)。
(2) 抛物线$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$，因此顶点E的坐标为(1,-4)，结合D(1,-1)，可知直线DE为x=1，即DE// y轴。
过点A作AH⊥ DE于H：
$\because DE// y$轴，$\therefore ∠ ADE=∠ AGF$，∠ AED=∠ AFG
$\because AG=AF$，$\therefore ∠ AGF=∠ AFG$
$\therefore ∠ ADE=∠ AED$，$\therefore AD=AE$，即△ ADE为等腰三角形，AH为中线，H是DE中点。
DE中点纵坐标为$\frac{-1+(-4)}{2}=-\frac{5}{2}$，即点A的纵坐标为$-\frac{5}{2}$。
令$x^2-2x-3=-\frac{5}{2}$，整理得$2x^2-4x-1=0$，解得$x=\frac{2\pm\sqrt{6}}{2}$。
$\because k＜0$，直线AB过定点(1,-1)，此时点A在第四象限，横坐标大于1，因此点A的横坐标为$\frac{2+\sqrt{6}}{2}$。
(3) 设$A(a,a^2-2a-3)$，$B(b,b^2-2b-3)$，联立一次函数与抛物线解析式：
$\begin{cases}y=kx-k-1\\y=x^2-2x-3\end{cases}$，整理得$x^2-(k+2)x+k-2=0$，
由韦达定理得：a+b=k+2，ab=k-2，两式相减得a+b-ab=4。
抛物线对称轴为直线x=1，$\because BC// x$轴，$\therefore$点B、C关于对称轴x=1对称，C点坐标为$(2-b,b^2-2b-3)$。
推导直线AC解析式：y=(a-b)x+ab-2a-3=(a-b)x+b-a-7，当x=1时，y=a-b+b-a-7=-7，与a、b取值无关，因此直线AC过定点(1,-7)。【答案$】(1) \boxed{(1,-1)}(2) \boxed{\frac{2+\sqrt{6}}{2}}(3) \boxed{(1,-7)}$
【知识点】
一次函数定点求法；二次函数的性质；根与系数的关系
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合题型，考查了定点求解、等腰三角形性质、二次函数对称性、韦达定理应用等内容，解题需结合数形结合思想，对综合运用知识解决问题的能力要求较高。
【难度系数】
0.3
