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13.某水产公司有一种海产品共2 104 kg，为寻求合适的销售价格，进行了8天试销，试销情况如下表所示.观察表中数据，发现可以用反比例函数描述这种海产品每天的销售量y(单位:kg)与售价x(单位:元/kg)之间的关系.现假定在这批海产品的销售中，每天的销售量y与售价x之间都满足这一关系.
(1)写出这个反比例函数的解析式，并补全表格.
(2)在试销8天后，公司决定将这种海产品的售价定为150元/kg，若接下来每天都按这个价格销售，那么余下的海产品预计再用多少天可以全部售出？
(3)在按(2)中定价继续销售15天后，公司发现剩余的这些海产品必须在2天内全部售出.此时需要重新确定一个销售价格，若后面两天都按新的价格销售，那么新确定的价格不超过多少才能完成销售任务？
(1)写出这个反比例函数的解析式，并补全表格.
(2)在试销8天后，公司决定将这种海产品的售价定为150元/kg，若接下来每天都按这个价格销售，那么余下的海产品预计再用多少天可以全部售出？
(3)在按(2)中定价继续销售15天后，公司发现剩余的这些海产品必须在2天内全部售出.此时需要重新确定一个销售价格，若后面两天都按新的价格销售，那么新确定的价格不超过多少才能完成销售任务？
答案
13.(1)函数解析式为$y=\frac{12000}{x}$.
填表:第2天$x=300$,第4天$y=50$.
(2)销售8天后剩下的海产品的质量：
$2104-(30+40+48+50+60+80+96+100)=1600(\mathrm{kg})$，
当$x=150$时，$y=80$，售出天数：$\frac{1600}{80}=20(\mathrm{天})$.
∴余下的海产品预计再用20天可以全部售出.
(3)剩余的海产品的质量：$1600-80×15=400(\mathrm{kg})$，
所需销售速度：$400÷2=200(\mathrm{kg/天})$，
即如果正好用2天售完，那么每天需要售出200 kg.
当$y=200$时，$x=\frac{12000}{200}=60$.
∴新确定的价格不超过60元/kg才能完成销售任务.
填表:第2天$x=300$,第4天$y=50$.
(2)销售8天后剩下的海产品的质量：
$2104-(30+40+48+50+60+80+96+100)=1600(\mathrm{kg})$，
当$x=150$时，$y=80$，售出天数：$\frac{1600}{80}=20(\mathrm{天})$.
∴余下的海产品预计再用20天可以全部售出.
(3)剩余的海产品的质量：$1600-80×15=400(\mathrm{kg})$，
所需销售速度：$400÷2=200(\mathrm{kg/天})$，
即如果正好用2天售完，那么每天需要售出200 kg.
当$y=200$时，$x=\frac{12000}{200}=60$.
∴新确定的价格不超过60元/kg才能完成销售任务.
解析
【分析】
(1) 题目明确说明y是x的反比例函数，因此可设解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，选取表格中一组已知的x、y值代入求出k，即可得到函数解析式；再将第2天的y值、第4天的x值分别代入解析式，就能求出对应缺失的x、y值，补全表格。
(2) 先计算8天试销的总销售量，用海产品总质量减去试销总质量得到剩余质量；再将售价x=150代入反比例函数，求出每天的销售量，用剩余质量除以每天销售量即可得到还需销售的天数。
(3) 先计算按150元/kg销售15天的售出量，用第二步得到的剩余质量减去这部分售出量，得到最后需要2天售完的海产品质量，计算出每天至少需要售出的质量，将该销售量代入反比例函数求出对应的售价，即为最高定价。
【解析】
(1) 设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$，
将$x=400,y=30$代入得：$k=xy=400×30=12000$，
∴反比例函数解析式为$y=\frac{12000}{x}$。
补全表格：
第2天，当$y=40$时，代入解析式得$x=\frac{12000}{40}=300$；
第4天，当$x=240$时，代入解析式得$y=\frac{12000}{240}=50$。
(2) 8天试销的总销售量为：
$30+40+48+50+60+80+96+100=504(\mathrm{kg})$，
剩余海产品质量为：$2104-504=1600(\mathrm{kg})$，
当$x=150$时，$y=\frac{12000}{150}=80(\mathrm{kg/天})$，
所需销售天数：$1600÷80=20(\mathrm{天})$。
(3) 按150元/kg销售15天的售出量为：$80×15=1200(\mathrm{kg})$，
剩余海产品质量为：$1600-1200=400(\mathrm{kg})$，
要在2天内售完，每天至少需要售出：$400÷2=200(\mathrm{kg})$，
当$y=200$时，$x=\frac{12000}{200}=60(\mathrm{元/kg})$，即售价最高为60元/kg。
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{12000}{x}}$；表格第2天$x=300$，第4天$y=50$。
(2) 余下的海产品预计再用$\boldsymbol{20}$天可以全部售出。
(3) 新确定的价格不超过$\boldsymbol{60}$元/kg才能完成销售任务。
【知识点】
反比例函数解析式确定；反比例函数的实际应用；实际最值求解
【点评】
本题结合生活中的销售场景考查反比例函数的应用，解题核心是先根据已知条件确定反比例函数的解析式，再结合总量、销量、时间的数量关系逐步计算，需要注意理解售价和销售量的反比例变化关系，结合实际意义求解对应的最值。
【难度系数】
0.7
(1) 题目明确说明y是x的反比例函数，因此可设解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，选取表格中一组已知的x、y值代入求出k，即可得到函数解析式；再将第2天的y值、第4天的x值分别代入解析式，就能求出对应缺失的x、y值，补全表格。
(2) 先计算8天试销的总销售量，用海产品总质量减去试销总质量得到剩余质量；再将售价x=150代入反比例函数，求出每天的销售量，用剩余质量除以每天销售量即可得到还需销售的天数。
(3) 先计算按150元/kg销售15天的售出量，用第二步得到的剩余质量减去这部分售出量，得到最后需要2天售完的海产品质量，计算出每天至少需要售出的质量，将该销售量代入反比例函数求出对应的售价，即为最高定价。
【解析】
(1) 设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$，
将$x=400,y=30$代入得：$k=xy=400×30=12000$，
∴反比例函数解析式为$y=\frac{12000}{x}$。
补全表格：
第2天，当$y=40$时，代入解析式得$x=\frac{12000}{40}=300$；
第4天，当$x=240$时，代入解析式得$y=\frac{12000}{240}=50$。
(2) 8天试销的总销售量为：
$30+40+48+50+60+80+96+100=504(\mathrm{kg})$，
剩余海产品质量为：$2104-504=1600(\mathrm{kg})$，
当$x=150$时，$y=\frac{12000}{150}=80(\mathrm{kg/天})$，
所需销售天数：$1600÷80=20(\mathrm{天})$。
(3) 按150元/kg销售15天的售出量为：$80×15=1200(\mathrm{kg})$，
剩余海产品质量为：$1600-1200=400(\mathrm{kg})$，
要在2天内售完，每天至少需要售出：$400÷2=200(\mathrm{kg})$，
当$y=200$时，$x=\frac{12000}{200}=60(\mathrm{元/kg})$，即售价最高为60元/kg。
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{12000}{x}}$；表格第2天$x=300$，第4天$y=50$。
(2) 余下的海产品预计再用$\boldsymbol{20}$天可以全部售出。
(3) 新确定的价格不超过$\boldsymbol{60}$元/kg才能完成销售任务。
【知识点】
反比例函数解析式确定；反比例函数的实际应用；实际最值求解
【点评】
本题结合生活中的销售场景考查反比例函数的应用，解题核心是先根据已知条件确定反比例函数的解析式，再结合总量、销量、时间的数量关系逐步计算，需要注意理解售价和销售量的反比例变化关系，结合实际意义求解对应的最值。
【难度系数】
0.7
14.现规定:若$a$,$b$为实数且$a ＜ b$,则将满足不等式$a ≤ x ≤ b$的实数$x$的所有取值的全体叫作闭区间,表示为$[a,b]$;对于一个函数,如果它的自变量$x$的所有取值的全体与函数值$y$的所有取值的全体都为$[m,n]$,我们就称此函数是闭区间$[m,n]$上的“闭函数”.
(1)反比例函数$y=\frac{2026}{x}$是闭区间$[1,2026]$上的“闭函数”吗?请判断并说明理由.
(2)若一次函数$y=kx+b(k＞0)$是闭区间$[m,n]$上的“闭函数”,求此函数的解析式.
(1)反比例函数$y=\frac{2026}{x}$是闭区间$[1,2026]$上的“闭函数”吗?请判断并说明理由.
(2)若一次函数$y=kx+b(k＞0)$是闭区间$[m,n]$上的“闭函数”,求此函数的解析式.
答案
14.(1)反比例函数$y=\frac{2026}{x}$是闭区间$[1,2026]$上的“闭函数”.理由如下：
反比例函数$y=\frac{2026}{x}$在第一象限内随x的增大而减小.
当$x=1$时，$y=2026$；当$x=2026$时，$y=1$.
所以，当$1≤x≤2026$时，有$1≤y≤2026$，符合“闭函数”的定义.
(2)一次函数$y=kx+b(k＞0)$随x的增大而增大，
∵$y=kx+b$是$[m,n]$上的“闭函数”，
∴$\begin{cases}km+b=m,\\kn+b=n,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=1,\\b=0.\end{cases}$
∴此函数的解析式是$y=x$.
反比例函数$y=\frac{2026}{x}$在第一象限内随x的增大而减小.
当$x=1$时，$y=2026$；当$x=2026$时，$y=1$.
所以，当$1≤x≤2026$时，有$1≤y≤2026$，符合“闭函数”的定义.
(2)一次函数$y=kx+b(k＞0)$随x的增大而增大，
∵$y=kx+b$是$[m,n]$上的“闭函数”，
∴$\begin{cases}km+b=m,\\kn+b=n,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=1,\\b=0.\end{cases}$
∴此函数的解析式是$y=x$.
解析
【分析】
(1) 要判断反比例函数是否为给定区间的“闭函数”，首先要明确“闭函数”的定义：自变量的取值范围和对应函数值的取值范围是同一个闭区间。首先根据反比例函数的系数判断其在区间内的增减性，再代入区间端点计算对应函数值，得到函数值的取值范围，对比是否和自变量范围一致即可判断。
(2) 一次函数$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，结合“闭函数”定义可知：$x$取区间最小值$m$时，$y$取最小值$m$；$x$取区间最大值$n$时，$y$取最大值$n$。将两组对应值代入一次函数解析式，联立得到二元一次方程组，求解即可得到函数参数，进而得到解析式。
【解析】
(1) 反比例函数$y=\frac{2026}{x}$是闭区间$[1,2026]$上的“闭函数”，理由如下：
反比例函数$y=\frac{2026}{x}$中$k=2026＞0$，因此在第一象限内$y$随$x$的增大而减小。
当$x=1$时，$y=\frac{2026}{1}=2026$；当$x=2026$时，$y=\frac{2026}{2026}=1$。
因此当$1≤x≤2026$时，函数值$y$的取值范围为$1≤y≤2026$，与自变量$x$的取值范围一致，符合“闭函数”的定义。
(2) 已知一次函数$y=kx+b$中$k＞0$，因此函数值$y$随$x$的增大而增大。
∵ 该函数是闭区间$[m,n]$上的“闭函数”，
∴ 当$x=m$时，$y=m$；当$x=n$时，$y=n$。
将两组对应值代入解析式，得方程组：
$\begin{cases}km+b=m\\kn+b=n\end{cases}$
两式相减得$k(m-n)=m-n$，由$m＜n$可知$m-n≠0$，两边同时除以$m-n$得$k=1$。
将$k=1$代入$km+b=m$，得$m+b=m$，解得$b=0$。
因此此函数的解析式为$y=x$。
【答案】
(1) 是闭区间$[1,2026]$上的“闭函数”，理由见解析；(2) $\boldsymbol{y=x}$
【知识点】
反比例函数的性质；一次函数的性质；新定义应用
【点评】
本题以“闭函数”的新定义为载体，考查了反比例函数、一次函数增减性的应用，解题关键是紧扣定义，结合函数增减性确定函数值的对应关系，侧重考查对新概念的理解能力和基础知识的运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断反比例函数是否为给定区间的“闭函数”，首先要明确“闭函数”的定义：自变量的取值范围和对应函数值的取值范围是同一个闭区间。首先根据反比例函数的系数判断其在区间内的增减性，再代入区间端点计算对应函数值，得到函数值的取值范围，对比是否和自变量范围一致即可判断。
(2) 一次函数$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，结合“闭函数”定义可知：$x$取区间最小值$m$时，$y$取最小值$m$；$x$取区间最大值$n$时，$y$取最大值$n$。将两组对应值代入一次函数解析式，联立得到二元一次方程组，求解即可得到函数参数，进而得到解析式。
【解析】
(1) 反比例函数$y=\frac{2026}{x}$是闭区间$[1,2026]$上的“闭函数”，理由如下：
反比例函数$y=\frac{2026}{x}$中$k=2026＞0$，因此在第一象限内$y$随$x$的增大而减小。
当$x=1$时，$y=\frac{2026}{1}=2026$；当$x=2026$时，$y=\frac{2026}{2026}=1$。
因此当$1≤x≤2026$时，函数值$y$的取值范围为$1≤y≤2026$，与自变量$x$的取值范围一致，符合“闭函数”的定义。
(2) 已知一次函数$y=kx+b$中$k＞0$，因此函数值$y$随$x$的增大而增大。
∵ 该函数是闭区间$[m,n]$上的“闭函数”，
∴ 当$x=m$时，$y=m$；当$x=n$时，$y=n$。
将两组对应值代入解析式，得方程组：
$\begin{cases}km+b=m\\kn+b=n\end{cases}$
两式相减得$k(m-n)=m-n$，由$m＜n$可知$m-n≠0$，两边同时除以$m-n$得$k=1$。
将$k=1$代入$km+b=m$，得$m+b=m$，解得$b=0$。
因此此函数的解析式为$y=x$。
【答案】
(1) 是闭区间$[1,2026]$上的“闭函数”，理由见解析；(2) $\boldsymbol{y=x}$
【知识点】
反比例函数的性质；一次函数的性质；新定义应用
【点评】
本题以“闭函数”的新定义为载体，考查了反比例函数、一次函数增减性的应用，解题关键是紧扣定义，结合函数增减性确定函数值的对应关系，侧重考查对新概念的理解能力和基础知识的运用能力。
【难度系数】
0.7
