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13.某水产公司有一种海产品共2 104 kg，为寻求合适的销售价格，进行了8天试销，试销情况如下表所示.观察表中数据，发现可以用反比例函数描述这种海产品每天的销售量y(单位:kg)与售价x(单位:元/kg)之间的关系.现假定在这批海产品的销售中，每天的销售量y与售价x之间都满足这一关系.
(1)写出这个反比例函数的解析式，并补全表格.
(2)在试销8天后，公司决定将这种海产品的售价定为150元/kg，若接下来每天都按这个价格销售，那么余下的海产品预计再用多少天可以全部售出？
(3)在按(2)中定价继续销售15天后，公司发现剩余的这些海产品必须在2天内全部售出.此时需要重新确定一个销售价格，若后面两天都按新的价格销售，那么新确定的价格不超过多少才能完成销售任务？
(1)写出这个反比例函数的解析式，并补全表格.
(2)在试销8天后，公司决定将这种海产品的售价定为150元/kg，若接下来每天都按这个价格销售，那么余下的海产品预计再用多少天可以全部售出？
(3)在按(2)中定价继续销售15天后，公司发现剩余的这些海产品必须在2天内全部售出.此时需要重新确定一个销售价格，若后面两天都按新的价格销售，那么新确定的价格不超过多少才能完成销售任务？
答案
13.(1)函数解析式为$y=\frac{12000}{x}$.
填表:第2天$x=300$,第4天$y=50$.
(2)销售8天后剩下的海产品的质量：
$2104-(30+40+48+50+60+80+96+100)=1600(\mathrm{kg})$，
当$x=150$时，$y=80$，售出天数：$\frac{1600}{80}=20(\mathrm{天})$.
∴余下的海产品预计再用20天可以全部售出.
(3)剩余的海产品的质量：$1600-80×15=400(\mathrm{kg})$，
所需销售速度：$400÷2=200(\mathrm{kg/天})$，
即如果正好用2天售完，那么每天需要售出200 kg.
当$y=200$时，$x=\frac{12000}{200}=60$.
∴新确定的价格不超过60元/kg才能完成销售任务.
填表:第2天$x=300$,第4天$y=50$.
(2)销售8天后剩下的海产品的质量：
$2104-(30+40+48+50+60+80+96+100)=1600(\mathrm{kg})$，
当$x=150$时，$y=80$，售出天数：$\frac{1600}{80}=20(\mathrm{天})$.
∴余下的海产品预计再用20天可以全部售出.
(3)剩余的海产品的质量：$1600-80×15=400(\mathrm{kg})$，
所需销售速度：$400÷2=200(\mathrm{kg/天})$，
即如果正好用2天售完，那么每天需要售出200 kg.
当$y=200$时，$x=\frac{12000}{200}=60$.
∴新确定的价格不超过60元/kg才能完成销售任务.
解析
【分析】
(1) 题目明确销售量y与售价x满足反比例函数关系，首先设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，选取表格中一组已知的x、y值代入即可求出k，得到函数解析式；再将第2天的y值、第4天的x值分别代入解析式，就能求出表格中缺失的数值。
(2) 先计算8天试销的总销售量，用海产品总重量减去8天总销量得到剩余重量；再将x=150代入反比例函数解析式，求出对应的日销售量，用剩余重量除以日销售量即可得到还需销售的天数。
(3) 先计算按150元/kg销售15天的销售量，用之前的剩余重量减去这15天的销量得到最终剩余重量；要2天售完，先求出每天至少需要销售的重量，再将这个销售量代入反比例函数解析式，求出对应的x值，即为最高售价。
【解析】
(1) 设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，将$x=400,y=30$代入得：
$30=\frac{k}{400}$，解得$k=400×30=12000$，
因此反比例函数解析式为$y=\frac{12000}{x}(x＞0)$。
补全表格：
第2天，将$y=40$代入解析式得$40=\frac{12000}{x}$，解得$x=300$；
第4天，将$x=240$代入解析式得$y=\frac{12000}{240}=50$。
(2) 8天试销总销售量为：$30+40+48+50+60+80+96+100=504\ \mathrm{kg}$，
剩余海产品重量：$2104-504=1600\ \mathrm{kg}$，
当$x=150$时，$y=\frac{12000}{150}=80\ \mathrm{kg/天}$，
还需销售天数：$1600÷80=20\ \mathrm{天}$。
(3) 按150元/kg销售15天的总销量：$80×15=1200\ \mathrm{kg}$，
剩余海产品重量：$1600-1200=400\ \mathrm{kg}$，
要2天售完，每天至少需要销售：$400÷2=200\ \mathrm{kg}$，
将$y=200$代入解析式得$200=\frac{12000}{x}$，解得$x=60\ \mathrm{元/kg}$。
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{12000}{x}(x＞0)}$；表格第2天售价填300，第4天销售量填50。
(2) 余下的海产品预计再用$\boldsymbol{20}$天可以全部售出。
(3) 新确定的价格不超过$\boldsymbol{60}$元/kg才能完成销售任务。
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合实际销售场景考查反比例函数的应用，解题核心是先根据已知条件确定反比例函数解析式，再结合题意逐步推导计算，既考查了函数知识的运用，也锻炼了分析解决实际问题的能力，计算难度较低，逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
(1) 题目明确销售量y与售价x满足反比例函数关系，首先设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，选取表格中一组已知的x、y值代入即可求出k，得到函数解析式；再将第2天的y值、第4天的x值分别代入解析式，就能求出表格中缺失的数值。
(2) 先计算8天试销的总销售量，用海产品总重量减去8天总销量得到剩余重量；再将x=150代入反比例函数解析式，求出对应的日销售量，用剩余重量除以日销售量即可得到还需销售的天数。
(3) 先计算按150元/kg销售15天的销售量，用之前的剩余重量减去这15天的销量得到最终剩余重量；要2天售完，先求出每天至少需要销售的重量，再将这个销售量代入反比例函数解析式，求出对应的x值，即为最高售价。
【解析】
(1) 设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，将$x=400,y=30$代入得：
$30=\frac{k}{400}$，解得$k=400×30=12000$，
因此反比例函数解析式为$y=\frac{12000}{x}(x＞0)$。
补全表格：
第2天，将$y=40$代入解析式得$40=\frac{12000}{x}$，解得$x=300$；
第4天，将$x=240$代入解析式得$y=\frac{12000}{240}=50$。
(2) 8天试销总销售量为：$30+40+48+50+60+80+96+100=504\ \mathrm{kg}$，
剩余海产品重量：$2104-504=1600\ \mathrm{kg}$，
当$x=150$时，$y=\frac{12000}{150}=80\ \mathrm{kg/天}$，
还需销售天数：$1600÷80=20\ \mathrm{天}$。
(3) 按150元/kg销售15天的总销量：$80×15=1200\ \mathrm{kg}$，
剩余海产品重量：$1600-1200=400\ \mathrm{kg}$，
要2天售完，每天至少需要销售：$400÷2=200\ \mathrm{kg}$，
将$y=200$代入解析式得$200=\frac{12000}{x}$，解得$x=60\ \mathrm{元/kg}$。
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{12000}{x}(x＞0)}$；表格第2天售价填300，第4天销售量填50。
(2) 余下的海产品预计再用$\boldsymbol{20}$天可以全部售出。
(3) 新确定的价格不超过$\boldsymbol{60}$元/kg才能完成销售任务。
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合实际销售场景考查反比例函数的应用，解题核心是先根据已知条件确定反比例函数解析式，再结合题意逐步推导计算，既考查了函数知识的运用，也锻炼了分析解决实际问题的能力，计算难度较低，逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
14.现规定:若$a$,$b$为实数且$a ＜ b$,则将满足不等式$a ≤ x ≤ b$的实数$x$的所有取值的全体叫作闭区间,表示为$[a,b]$;对于一个函数,如果它的自变量$x$的所有取值的全体与函数值$y$的所有取值的全体都为$[m,n]$,我们就称此函数是闭区间$[m,n]$上的“闭函数”.
(1)反比例函数$y=\frac{2026}{x}$是闭区间$[1,2026]$上的“闭函数”吗?请判断并说明理由.
(2)若一次函数$y=kx+b(k＞0)$是闭区间$[m,n]$上的“闭函数”,求此函数的解析式.
(1)反比例函数$y=\frac{2026}{x}$是闭区间$[1,2026]$上的“闭函数”吗?请判断并说明理由.
(2)若一次函数$y=kx+b(k＞0)$是闭区间$[m,n]$上的“闭函数”,求此函数的解析式.
答案
14.(1)反比例函数$y=\frac{2026}{x}$是闭区间$[1,2026]$上的“闭函数”.理由如下：
反比例函数$y=\frac{2026}{x}$在第一象限内随x的增大而减小.
当$x=1$时，$y=2026$；当$x=2026$时，$y=1$.
所以，当$1≤x≤2026$时，有$1≤y≤2026$，符合“闭函数”的定义.
(2)一次函数$y=kx+b(k＞0)$随x的增大而增大，
∵$y=kx+b$是$[m,n]$上的“闭函数”，
∴$\begin{cases}km+b=m,\\kn+b=n,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=1,\\b=0.\end{cases}$
∴此函数的解析式是$y=x$.
反比例函数$y=\frac{2026}{x}$在第一象限内随x的增大而减小.
当$x=1$时，$y=2026$；当$x=2026$时，$y=1$.
所以，当$1≤x≤2026$时，有$1≤y≤2026$，符合“闭函数”的定义.
(2)一次函数$y=kx+b(k＞0)$随x的增大而增大，
∵$y=kx+b$是$[m,n]$上的“闭函数”，
∴$\begin{cases}km+b=m,\\kn+b=n,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=1,\\b=0.\end{cases}$
∴此函数的解析式是$y=x$.
解析
【分析】
(1) 判断该反比例函数是否为闭函数，首先要明确“闭函数”的定义：自变量的取值范围和对应的函数值取值范围为同一个闭区间。先根据反比例函数的系数判断其在第一象限的增减性，再计算区间端点处的函数值，得到函数的值域，对比值域是否与自变量区间一致，即可完成判断。
(2) 已知一次函数$k＞0$，因此函数随$x$的增大而增大，结合闭函数的定义可知：$x$取区间最小值$m$时，$y$取最小值$m$；$x$取区间最大值$n$时，$y$取最大值$n$。将两组对应值代入一次函数解析式，得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，求解即可得到函数解析式。
【解析】
(1) 反比例函数$y=\frac{2026}{x}$是闭区间$[1,2026]$上的“闭函数”，理由如下：
反比例函数$y=\frac{2026}{x}$的系数$2026＞0$，因此在第一象限内$y$随$x$的增大而减小。
当$x=1$时，$y=\frac{2026}{1}=2026$；当$x=2026$时，$y=\frac{2026}{2026}=1$。
因此当$1≤x≤2026$时，对应的函数值范围为$1≤y≤2026$，符合“闭函数”的定义。
(2) 一次函数$y=kx+b(k＞0)$随$x$的增大而增大，
∵$y=kx+b$是闭区间$[m,n]$上的“闭函数”，
∴当$x=m$时$y=m$，$x=n$时$y=n$，代入解析式得：
$\begin{cases}km+b=m\\kn+b=n\end{cases}$
两式相减得$k(m-n)=m-n$，
∵$m＜n$，
∴$m-n≠0$，解得$k=1$，
将$k=1$代入$km+b=m$，得$m+b=m$，解得$b=0$。
【答案】
(1) 是，理由见解析；(2) $y=x$
【知识点】
1. 反比例函数的性质
2. 一次函数的性质
3. 二元一次方程组的解法
【点评】
本题以“闭函数”的新定义为背景，考查了反比例函数、一次函数的增减性应用，解题的核心是准确理解新定义的内涵，结合函数的增减性确定自变量与函数值的对应关系，侧重对概念理解能力和基础计算能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 判断该反比例函数是否为闭函数，首先要明确“闭函数”的定义：自变量的取值范围和对应的函数值取值范围为同一个闭区间。先根据反比例函数的系数判断其在第一象限的增减性，再计算区间端点处的函数值，得到函数的值域，对比值域是否与自变量区间一致，即可完成判断。
(2) 已知一次函数$k＞0$，因此函数随$x$的增大而增大，结合闭函数的定义可知：$x$取区间最小值$m$时，$y$取最小值$m$；$x$取区间最大值$n$时，$y$取最大值$n$。将两组对应值代入一次函数解析式，得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，求解即可得到函数解析式。
【解析】
(1) 反比例函数$y=\frac{2026}{x}$是闭区间$[1,2026]$上的“闭函数”，理由如下：
反比例函数$y=\frac{2026}{x}$的系数$2026＞0$，因此在第一象限内$y$随$x$的增大而减小。
当$x=1$时，$y=\frac{2026}{1}=2026$；当$x=2026$时，$y=\frac{2026}{2026}=1$。
因此当$1≤x≤2026$时，对应的函数值范围为$1≤y≤2026$，符合“闭函数”的定义。
(2) 一次函数$y=kx+b(k＞0)$随$x$的增大而增大，
∵$y=kx+b$是闭区间$[m,n]$上的“闭函数”，
∴当$x=m$时$y=m$，$x=n$时$y=n$，代入解析式得：
$\begin{cases}km+b=m\\kn+b=n\end{cases}$
两式相减得$k(m-n)=m-n$，
∵$m＜n$，
∴$m-n≠0$，解得$k=1$，
将$k=1$代入$km+b=m$，得$m+b=m$，解得$b=0$。
【答案】
(1) 是，理由见解析；(2) $y=x$
【知识点】
1. 反比例函数的性质
2. 一次函数的性质
3. 二元一次方程组的解法
【点评】
本题以“闭函数”的新定义为背景，考查了反比例函数、一次函数的增减性应用，解题的核心是准确理解新定义的内涵，结合函数的增减性确定自变量与函数值的对应关系，侧重对概念理解能力和基础计算能力的考查。
【难度系数】
0.7
