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9.若点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$都在函数$y=\frac{6}{x}$的图象上，且$x_1＜x_2＜0＜x_3$，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是
$y_2＜y_1＜y_3$
（用“＜”连接）。答案
9.$y_2＜y_1＜y_3$
解析
【分析】
要比较三个函数值的大小，需先明确反比例函数的图象性质：首先看比例系数k的正负，判断函数图象所在象限及增减性；再根据三个点横坐标的正负，确定各点所在的象限，不同象限的点先比较函数值的正负，同象限内的点再结合增减性比较函数值大小。
【解析】
解：对于反比例函数$y=\frac{6}{x}$，其中$k=6＞0$，
∴该函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
∵$x_1＜x_2＜0$，
∴点$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$位于第三象限，
∴$y_1＜0$，$y_2＜0$，
又
∵在第三象限内$y$随$x$的增大而减小，且$x_1＜x_2$，
∴$y_2＜y_1＜0$。
∵$x_3＞0$，
∴点$C(x_3,y_3)$位于第一象限，
∴$y_3＞0$。
综上可得大小关系为$y_2＜y_1＜y_3$。
【答案】
$y_2＜y_1＜y_3$
【知识点】
1. 反比例函数的性质
2. 反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查反比例函数性质的应用，解题关键是明确反比例函数的增减性只适用于同一象限内的点，跨象限比较函数值大小时可先通过正负性判断，避免直接套用增减性出错。
【难度系数】
0.8
要比较三个函数值的大小，需先明确反比例函数的图象性质：首先看比例系数k的正负，判断函数图象所在象限及增减性；再根据三个点横坐标的正负，确定各点所在的象限，不同象限的点先比较函数值的正负，同象限内的点再结合增减性比较函数值大小。
【解析】
解：对于反比例函数$y=\frac{6}{x}$，其中$k=6＞0$，
∴该函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
∵$x_1＜x_2＜0$，
∴点$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$位于第三象限，
∴$y_1＜0$，$y_2＜0$，
又
∵在第三象限内$y$随$x$的增大而减小，且$x_1＜x_2$，
∴$y_2＜y_1＜0$。
∵$x_3＞0$，
∴点$C(x_3,y_3)$位于第一象限，
∴$y_3＞0$。
综上可得大小关系为$y_2＜y_1＜y_3$。
【答案】
$y_2＜y_1＜y_3$
【知识点】
1. 反比例函数的性质
2. 反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查反比例函数性质的应用，解题关键是明确反比例函数的增减性只适用于同一象限内的点，跨象限比较函数值大小时可先通过正负性判断，避免直接套用增减性出错。
【难度系数】
0.8
10.如图,在x轴上截取$OA_1=A_1A_2=A_2A_3=A_3A_4=A_4A_5$,过点$A_1,A_2,A_3,A_4,A_5$分别作x轴的垂线,与反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象分别相交于点$P_1,P_2,P_3,P_4,P_5$,连接$OP_1,A_1P_2,A_2P_3,A_3P_4,A_4P_5$,设$△ OP_1A_1,△ A_1P_2A_2,△ A_2P_3A_3,△ A_3P_4A_4,△ A_4P_5A_5$的面积分别为$S_1,S_2,S_3,S_4,S_5$.
则$S_1+S_2+S_3+S_4+S_5=$
则$S_1+S_2+S_3+S_4+S_5=$
$\frac{137}{60}$
.答案
10.$\frac{137}{60}$
解析
【分析】
解题时先回忆反比例函数中k的几何意义：过反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上任意一点作x轴的垂线，该点、垂足与原点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。本题中我们先设每段相等的线段长为$a$，再分别表示出各点$P_n$的横坐标，代入反比例函数解析式得到对应纵坐标，利用三角形面积公式分别计算$S_1$到$S_5$，最后相加求和即可，计算过程中参数$a$会被约去，无需单独求解。
【解析】
设$OA_1=A_1A_2=A_2A_3=A_3A_4=A_4A_5=a(a＞0)$：
1. 求$S_1$：点$P_1$横坐标为$a$，代入$y=\frac{2}{x}$得纵坐标$y_1=\frac{2}{a}$，
$S_1=\frac{1}{2}× OA_1× y_1=\frac{1}{2}× a×\frac{2}{a}=1$；
2. 求$S_2$：点$P_2$横坐标为$2a$，代入得纵坐标$y_2=\frac{2}{2a}=\frac{1}{a}$，
$S_2=\frac{1}{2}× A_1A_2× y_2=\frac{1}{2}× a×\frac{1}{a}=\frac{1}{2}$；
3. 求$S_3$：点$P_3$横坐标为$3a$，代入得纵坐标$y_3=\frac{2}{3a}$，
$S_3=\frac{1}{2}× A_2A_3× y_3=\frac{1}{2}× a×\frac{2}{3a}=\frac{1}{3}$；
4. 求$S_4$：点$P_4$横坐标为$4a$，代入得纵坐标$y_4=\frac{2}{4a}=\frac{1}{2a}$，
$S_4=\frac{1}{2}× A_3A_4× y_4=\frac{1}{2}× a×\frac{2}{4a}=\frac{1}{4}$；
5. 求$S_5$：点$P_5$横坐标为$5a$，代入得纵坐标$y_5=\frac{2}{5a}$，
$S_5=\frac{1}{2}× A_4A_5× y_5=\frac{1}{2}× a×\frac{2}{5a}=\frac{1}{5}$；
求和得：
$S_1+S_2+S_3+S_4+S_5=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}=\frac{60}{60}+\frac{30}{60}+\frac{20}{60}+\frac{15}{60}+\frac{12}{60}=\frac{137}{60}$。
【答案】
$\frac{137}{60}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，三角形面积计算，分数通分运算
【点评】
本题结合反比例函数性质考查图形面积的规律计算，解题核心是利用反比例函数解析式表示出各交点的纵坐标，计算时公共参数可直接消去，能有效锻炼学生的规律探索能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
解题时先回忆反比例函数中k的几何意义：过反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上任意一点作x轴的垂线，该点、垂足与原点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。本题中我们先设每段相等的线段长为$a$，再分别表示出各点$P_n$的横坐标，代入反比例函数解析式得到对应纵坐标，利用三角形面积公式分别计算$S_1$到$S_5$，最后相加求和即可，计算过程中参数$a$会被约去，无需单独求解。
【解析】
设$OA_1=A_1A_2=A_2A_3=A_3A_4=A_4A_5=a(a＞0)$：
1. 求$S_1$：点$P_1$横坐标为$a$，代入$y=\frac{2}{x}$得纵坐标$y_1=\frac{2}{a}$，
$S_1=\frac{1}{2}× OA_1× y_1=\frac{1}{2}× a×\frac{2}{a}=1$；
2. 求$S_2$：点$P_2$横坐标为$2a$，代入得纵坐标$y_2=\frac{2}{2a}=\frac{1}{a}$，
$S_2=\frac{1}{2}× A_1A_2× y_2=\frac{1}{2}× a×\frac{1}{a}=\frac{1}{2}$；
3. 求$S_3$：点$P_3$横坐标为$3a$，代入得纵坐标$y_3=\frac{2}{3a}$，
$S_3=\frac{1}{2}× A_2A_3× y_3=\frac{1}{2}× a×\frac{2}{3a}=\frac{1}{3}$；
4. 求$S_4$：点$P_4$横坐标为$4a$，代入得纵坐标$y_4=\frac{2}{4a}=\frac{1}{2a}$，
$S_4=\frac{1}{2}× A_3A_4× y_4=\frac{1}{2}× a×\frac{2}{4a}=\frac{1}{4}$；
5. 求$S_5$：点$P_5$横坐标为$5a$，代入得纵坐标$y_5=\frac{2}{5a}$，
$S_5=\frac{1}{2}× A_4A_5× y_5=\frac{1}{2}× a×\frac{2}{5a}=\frac{1}{5}$；
求和得：
$S_1+S_2+S_3+S_4+S_5=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}=\frac{60}{60}+\frac{30}{60}+\frac{20}{60}+\frac{15}{60}+\frac{12}{60}=\frac{137}{60}$。
【答案】
$\frac{137}{60}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，三角形面积计算，分数通分运算
【点评】
本题结合反比例函数性质考查图形面积的规律计算，解题核心是利用反比例函数解析式表示出各交点的纵坐标，计算时公共参数可直接消去，能有效锻炼学生的规律探索能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
三、解答题
11.已知反比例函数 $y=\frac{m-5}{x}$（$m$ 为常数，且 $m≠5$）.
（1）若在其图象的每个分支上，$y$ 随 $x$ 的增大而增大，求 $m$ 的取值范围.
（2）若其图象与一次函数 $y=-x+1$ 的图象的一个交点的纵坐标是 3，求 $m$ 的值.
11.已知反比例函数 $y=\frac{m-5}{x}$（$m$ 为常数，且 $m≠5$）.
（1）若在其图象的每个分支上，$y$ 随 $x$ 的增大而增大，求 $m$ 的取值范围.
（2）若其图象与一次函数 $y=-x+1$ 的图象的一个交点的纵坐标是 3，求 $m$ 的值.
答案
11.(1)
∵在$y=\frac{m-5}{x}$的图象的每个分支上，y随x的增大而增大，
∴$m-5＜0$，解得$m＜5$.
(2)将$y=3$代入$y=-x+1$，得$x=-2$，
将$(-2,3)$代入$y=\frac{m-5}{x}$，得$3=\frac{m-5}{-2}$，解得$m=-1$.
∵在$y=\frac{m-5}{x}$的图象的每个分支上，y随x的增大而增大，
∴$m-5＜0$，解得$m＜5$.
(2)将$y=3$代入$y=-x+1$，得$x=-2$，
将$(-2,3)$代入$y=\frac{m-5}{x}$，得$3=\frac{m-5}{-2}$，解得$m=-1$.
解析
【分析】
（1）反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$）的增减性由比例系数$k$的符号决定：当$k＜0$时，图象的每个分支上$y$随$x$的增大而增大。本题中反比例函数的比例系数为$m-5$，结合题目给出的增减性要求，列出关于$m$的不等式即可求解。
（2）两个函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式。已知交点纵坐标为3，先将$y=3$代入一次函数解析式求出对应横坐标，得到完整的交点坐标，再代入反比例函数解析式，即可求出$m$的值。
【解析】
（1）
∵在$y=\frac{m-5}{x}$的图象的每个分支上，$y$随$x$的增大而增大，
∴$m-5＜0$，
解得$m＜5$。
（2）将$y=3$代入$y=-x+1$，得：
$3=-x+1$，解得$x=-2$，
即交点坐标为$(-2,3)$。
将$(-2,3)$代入$y=\frac{m-5}{x}$，得：
$3=\frac{m-5}{-2}$，解得$m=-1$。
【答案】
（1）$m＜5$；（2）$m=-1$
【知识点】
反比例函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，核心考查反比例函数增减性与比例系数的对应关系，以及函数交点坐标的应用，解题时只要牢记函数的基本性质，明确交点坐标满足所有经过该点的函数解析式即可顺利求解。
【难度系数】
0.85
（1）反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$）的增减性由比例系数$k$的符号决定：当$k＜0$时，图象的每个分支上$y$随$x$的增大而增大。本题中反比例函数的比例系数为$m-5$，结合题目给出的增减性要求，列出关于$m$的不等式即可求解。
（2）两个函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式。已知交点纵坐标为3，先将$y=3$代入一次函数解析式求出对应横坐标，得到完整的交点坐标，再代入反比例函数解析式，即可求出$m$的值。
【解析】
（1）
∵在$y=\frac{m-5}{x}$的图象的每个分支上，$y$随$x$的增大而增大，
∴$m-5＜0$，
解得$m＜5$。
（2）将$y=3$代入$y=-x+1$，得：
$3=-x+1$，解得$x=-2$，
即交点坐标为$(-2,3)$。
将$(-2,3)$代入$y=\frac{m-5}{x}$，得：
$3=\frac{m-5}{-2}$，解得$m=-1$。
【答案】
（1）$m＜5$；（2）$m=-1$
【知识点】
反比例函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，核心考查反比例函数增减性与比例系数的对应关系，以及函数交点坐标的应用，解题时只要牢记函数的基本性质，明确交点坐标满足所有经过该点的函数解析式即可顺利求解。
【难度系数】
0.85
12.如图,函数$y_1=k_1x+b$的图象与函数$y_2=\frac{k_2}{x}(x＞0)$的图象交于点$A(2,1)$和点$B$,与$y$轴交于点$C(0,3)$.
(1)求函数$y_1$的解析式和点$B$的坐标.
(2)观察图象,当$x＞0$时,比较$y_1$与$y_2$的大小.
(1)求函数$y_1$的解析式和点$B$的坐标.
(2)观察图象,当$x＞0$时,比较$y_1$与$y_2$的大小.
答案
12.(1)将$A(2,1),C(0,3)$代入函数$y_1=k_1x+b$得$\begin{cases}1=2k_1+b,\\3=b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_1=-1,\\b=3,\end{cases}$
将$A(2,1)$代入函数$y_2=\frac{k_2}{x}(x＞0)$得$1=\frac{k_2}{2}$，解得$k_2=2$.
∴函数$y_1$的解析式为$y_1=-x+3$.
设点B的坐标为$(m,n)$，代入函数的解析式得$\begin{cases}n=-m+3,\\n=\frac{2}{m},\end{cases}$解得$\begin{cases}m_1=1,\\n_1=2,\end{cases}\begin{cases}m_2=2,\\n_2=1.\end{cases}$
∴点B的坐标为$(1,2)$.
(2)当$0＜x＜1$或$x＞2$时，$y_1＜y_2$；当$1＜x＜2$时，$y_1＞y_2$；当$x=1$或$x=2$时$y_1=y_2$.
将$A(2,1)$代入函数$y_2=\frac{k_2}{x}(x＞0)$得$1=\frac{k_2}{2}$，解得$k_2=2$.
∴函数$y_1$的解析式为$y_1=-x+3$.
设点B的坐标为$(m,n)$，代入函数的解析式得$\begin{cases}n=-m+3,\\n=\frac{2}{m},\end{cases}$解得$\begin{cases}m_1=1,\\n_1=2,\end{cases}\begin{cases}m_2=2,\\n_2=1.\end{cases}$
∴点B的坐标为$(1,2)$.
(2)当$0＜x＜1$或$x＞2$时，$y_1＜y_2$；当$1＜x＜2$时，$y_1＞y_2$；当$x=1$或$x=2$时$y_1=y_2$.
解析
【分析】
(1) 求一次函数$y_1$的解析式可利用待定系数法，将已知的点$A(2,1)$和$C(0,3)$代入$y_1=k_1x+b$，得到关于$k_1$、$b$的方程组，解方程组即可得到解析式；再将点$A$代入反比例函数解析式求出$k_2$；求点$B$坐标时，联立一次函数和反比例函数的解析式，解方程组后排除点$A$的坐标即可得到点$B$的坐标。
(2) 比较$x＞0$时$y_1$和$y_2$的大小，结合图象以两个交点的横坐标为分界点分区间判断：图象在上方的函数对应的函数值更大，交点处两个函数值相等。
【解析】
(1) 将$A(2,1)$、$C(0,3)$代入$y_1=k_1x+b$，得：
$\begin{cases}1=2k_1+b\\3=b\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_1=-1\\b=3\end{cases}$，因此$y_1$的解析式为$y_1=-x+3$。
将$A(2,1)$代入$y_2=\frac{k_2}{x}(x＞0)$，得$1=\frac{k_2}{2}$，解得$k_2=2$，即$y_2=\frac{2}{x}(x＞0)$。
联立两个函数解析式$\begin{cases}n=-m+3\\n=\frac{2}{m}\end{cases}$，整理得$m^2-3m+2=0$，解得$\begin{cases}m_1=1\\n_1=2\end{cases}$，$\begin{cases}m_2=2\\n_2=1\end{cases}$，其中$(2,1)$为点$A$，因此点$B$坐标为$(1,2)$。
(2) 结合图象分情况讨论：
当$0＜x＜1$或$x＞2$时，一次函数图象在反比例函数图象下方，$y_1＜y_2$；
当$1＜x＜2$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，$y_1＞y_2$；
当$x=1$或$x=2$时，两个函数图象相交，$y_1=y_2$。
【答案】
(1) 函数$y_1$的解析式为$\boldsymbol{y_1=-x+3}$，点$B$的坐标为$\boldsymbol{(1,2)}$；
(2) 当$\boldsymbol{0＜x＜1}$或$\boldsymbol{x＞2}$时，$\boldsymbol{y_1＜y_2}$；当$\boldsymbol{1＜x＜2}$时，$\boldsymbol{y_1＞y_2}$；当$\boldsymbol{x=1}$或$\boldsymbol{x=2}$时，$\boldsymbol{y_1=y_2}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数综合，图像法比较函数值大小
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的常规综合题，侧重考查待定系数法的应用和数形结合思想，解题关键是准确求出函数解析式，结合交点坐标分区间判断函数值大小，是函数部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
(1) 求一次函数$y_1$的解析式可利用待定系数法，将已知的点$A(2,1)$和$C(0,3)$代入$y_1=k_1x+b$，得到关于$k_1$、$b$的方程组，解方程组即可得到解析式；再将点$A$代入反比例函数解析式求出$k_2$；求点$B$坐标时，联立一次函数和反比例函数的解析式，解方程组后排除点$A$的坐标即可得到点$B$的坐标。
(2) 比较$x＞0$时$y_1$和$y_2$的大小，结合图象以两个交点的横坐标为分界点分区间判断：图象在上方的函数对应的函数值更大，交点处两个函数值相等。
【解析】
(1) 将$A(2,1)$、$C(0,3)$代入$y_1=k_1x+b$，得：
$\begin{cases}1=2k_1+b\\3=b\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_1=-1\\b=3\end{cases}$，因此$y_1$的解析式为$y_1=-x+3$。
将$A(2,1)$代入$y_2=\frac{k_2}{x}(x＞0)$，得$1=\frac{k_2}{2}$，解得$k_2=2$，即$y_2=\frac{2}{x}(x＞0)$。
联立两个函数解析式$\begin{cases}n=-m+3\\n=\frac{2}{m}\end{cases}$，整理得$m^2-3m+2=0$，解得$\begin{cases}m_1=1\\n_1=2\end{cases}$，$\begin{cases}m_2=2\\n_2=1\end{cases}$，其中$(2,1)$为点$A$，因此点$B$坐标为$(1,2)$。
(2) 结合图象分情况讨论：
当$0＜x＜1$或$x＞2$时，一次函数图象在反比例函数图象下方，$y_1＜y_2$；
当$1＜x＜2$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，$y_1＞y_2$；
当$x=1$或$x=2$时，两个函数图象相交，$y_1=y_2$。
【答案】
(1) 函数$y_1$的解析式为$\boldsymbol{y_1=-x+3}$，点$B$的坐标为$\boldsymbol{(1,2)}$；
(2) 当$\boldsymbol{0＜x＜1}$或$\boldsymbol{x＞2}$时，$\boldsymbol{y_1＜y_2}$；当$\boldsymbol{1＜x＜2}$时，$\boldsymbol{y_1＞y_2}$；当$\boldsymbol{x=1}$或$\boldsymbol{x=2}$时，$\boldsymbol{y_1=y_2}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数综合，图像法比较函数值大小
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的常规综合题，侧重考查待定系数法的应用和数形结合思想，解题关键是准确求出函数解析式，结合交点坐标分区间判断函数值大小，是函数部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
