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8.(分类讨论思想)若二次函数$y=x^2+2x-b$的图象与坐标轴只有两个公共点，则$b$的值为.
答案
解：
二次函数$y=x^2+2x-b$与y轴必有一个交点$(0,-b)$，分两种情况讨论：
1. 当二次函数图象与x轴只有一个公共点时，一元二次方程$x^2+2x-b=0$的判别式$\Delta=0$：
$\Delta=2^2 - 4×1×(-b)=4+4b=0$
解得$b=-1$。
2. 当二次函数图象与y轴的交点落在x轴上，即图象过原点时，将$(0,0)$代入函数解析式：
$0=0^2 + 2×0 -b$
解得$b=0$。
综上，$b$的值为$\boldsymbol{0}$或$\boldsymbol{-1}$。
二次函数$y=x^2+2x-b$与y轴必有一个交点$(0,-b)$，分两种情况讨论：
1. 当二次函数图象与x轴只有一个公共点时，一元二次方程$x^2+2x-b=0$的判别式$\Delta=0$：
$\Delta=2^2 - 4×1×(-b)=4+4b=0$
解得$b=-1$。
2. 当二次函数图象与y轴的交点落在x轴上，即图象过原点时，将$(0,0)$代入函数解析式：
$0=0^2 + 2×0 -b$
解得$b=0$。
综上，$b$的值为$\boldsymbol{0}$或$\boldsymbol{-1}$。
解析
【分析】
要解决该问题，首先明确二次函数与坐标轴的交点特征：二次函数与y轴一定有且仅有1个交点，题目说明图象与坐标轴只有两个公共点，因此需分两类讨论：①二次函数与x轴只有1个交点，此时与y轴的交点和x轴交点不重合，总公共点共2个；②二次函数与y轴的交点恰好落在x轴上（即过原点），此时与x轴有2个交点，其中1个和y轴交点重合，总公共点共2个。分别根据两类情况的条件列方程求解即可。
【解析】
解：二次函数$y=x^2+2x-b$与y轴必有一个交点$(0,-b)$，分两种情况讨论：
1. 当二次函数图象与x轴只有一个公共点时，对应的一元二次方程$x^2+2x-b=0$有两个相等的实数根，判别式$\Delta=0$：
$\Delta=2^2 - 4×1×(-b)=4+4b=0$
解得$b=-1$。
2. 当二次函数图象与y轴的交点落在x轴上，即图象过原点$(0,0)$时，将点代入函数解析式：
$0=0^2+2×0 - b$
解得$b=0$。
综上，$b$的值为$0$或$-1$。
【答案】
$0$或$-1$
【知识点】
二次函数与坐标轴的交点；一元二次方程根的判别式；分类讨论思想
【点评】
本题考查二次函数与坐标轴交点的相关计算，解题关键是结合图象特征不重不漏地分类讨论所有可能情况，易错点是容易忽略函数过原点的情况导致漏解。
【难度系数】
0.6
要解决该问题，首先明确二次函数与坐标轴的交点特征：二次函数与y轴一定有且仅有1个交点，题目说明图象与坐标轴只有两个公共点，因此需分两类讨论：①二次函数与x轴只有1个交点，此时与y轴的交点和x轴交点不重合，总公共点共2个；②二次函数与y轴的交点恰好落在x轴上（即过原点），此时与x轴有2个交点，其中1个和y轴交点重合，总公共点共2个。分别根据两类情况的条件列方程求解即可。
【解析】
解：二次函数$y=x^2+2x-b$与y轴必有一个交点$(0,-b)$，分两种情况讨论：
1. 当二次函数图象与x轴只有一个公共点时，对应的一元二次方程$x^2+2x-b=0$有两个相等的实数根，判别式$\Delta=0$：
$\Delta=2^2 - 4×1×(-b)=4+4b=0$
解得$b=-1$。
2. 当二次函数图象与y轴的交点落在x轴上，即图象过原点$(0,0)$时，将点代入函数解析式：
$0=0^2+2×0 - b$
解得$b=0$。
综上，$b$的值为$0$或$-1$。
【答案】
$0$或$-1$
【知识点】
二次函数与坐标轴的交点；一元二次方程根的判别式；分类讨论思想
【点评】
本题考查二次函数与坐标轴交点的相关计算，解题关键是结合图象特征不重不漏地分类讨论所有可能情况，易错点是容易忽略函数过原点的情况导致漏解。
【难度系数】
0.6
9.将抛物线$y=x^2 -6x +12$向下平移$k$个单位长度，若平移后得到的抛物线与$x$轴有公共点，则$k$的取值范围是。
答案
$\boldsymbol{k\ge 3}$
解析
【分析】
要解决这道题可按以下思路思考：第一步，根据二次函数图象“上加下减”的平移规律，写出向下平移k个单位后的抛物线解析式；第二步，抛物线与x轴有公共点，说明当y=0时对应的一元二次方程有实数根，即根的判别式Δ≥0；第三步，代入系数计算判别式，解关于k的不等式即可得到k的取值范围。
【解析】
1. 写出平移后的抛物线解析式
原抛物线向下平移k个单位，根据平移规律，所得抛物线解析式为：
$y = x^2 - 6x + 12 - k$
2. 转化为一元二次方程根的问题
抛物线与x轴有公共点，即当$y=0$时，一元二次方程$x^2 - 6x + 12 - k = 0$有实数根，因此根的判别式$\Delta ≥ 0$。
3. 代入系数列不等式求解
在方程$x^2 - 6x + 12 - k = 0$中，$a=1$，$b=-6$，$c=12 - k$，代入判别式公式得：
$\Delta = (-6)^2 - 4 × 1 × (12 - k) ≥ 0$
化简计算：
$36 - 48 + 4k ≥ 0$
$4k ≥ 12$
解得$k ≥ 3$
【答案】
$k\ge 3$
【知识点】
二次函数平移规律；二次函数与x轴交点判定；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是二次函数基础综合题，解题核心是掌握抛物线与x轴交点和对应一元二次方程根的对应关系，结合平移规律和判别式即可求解，是二次函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
要解决这道题可按以下思路思考：第一步，根据二次函数图象“上加下减”的平移规律，写出向下平移k个单位后的抛物线解析式；第二步，抛物线与x轴有公共点，说明当y=0时对应的一元二次方程有实数根，即根的判别式Δ≥0；第三步，代入系数计算判别式，解关于k的不等式即可得到k的取值范围。
【解析】
1. 写出平移后的抛物线解析式
原抛物线向下平移k个单位，根据平移规律，所得抛物线解析式为：
$y = x^2 - 6x + 12 - k$
2. 转化为一元二次方程根的问题
抛物线与x轴有公共点，即当$y=0$时，一元二次方程$x^2 - 6x + 12 - k = 0$有实数根，因此根的判别式$\Delta ≥ 0$。
3. 代入系数列不等式求解
在方程$x^2 - 6x + 12 - k = 0$中，$a=1$，$b=-6$，$c=12 - k$，代入判别式公式得：
$\Delta = (-6)^2 - 4 × 1 × (12 - k) ≥ 0$
化简计算：
$36 - 48 + 4k ≥ 0$
$4k ≥ 12$
解得$k ≥ 3$
【答案】
$k\ge 3$
【知识点】
二次函数平移规律；二次函数与x轴交点判定；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是二次函数基础综合题，解题核心是掌握抛物线与x轴交点和对应一元二次方程根的对应关系，结合平移规律和判别式即可求解，是二次函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
10.如图，抛物线$y=ax^2$与直线$y=mx+n$交于A，B两点，则关于x的一元二次方程$ax^2=mx+n$的解是。
答案
解：一元二次方程$ax^2 = mx + n$的几何意义是抛物线$y=ax^2$与直线$y=mx+n$交点的横坐标。
由题图可得，两交点A、B的横坐标分别为$-1$和$2$，
因此方程$ax^2=mx+n$的解是$x_1=-1$，$x_2=2$。
由题图可得，两交点A、B的横坐标分别为$-1$和$2$，
因此方程$ax^2=mx+n$的解是$x_1=-1$，$x_2=2$。
解析
【分析】
解决这道题我们可以采用数形结合的思路：方程$ax^2=mx+n$的本质是二次函数$y=ax^2$和一次函数$y=mx+n$的函数值相等时自变量$x$的取值，对应到函数图像上，就是两个函数图像交点的横坐标，因此我们只需要从图中读取两个交点的横坐标，就能得到方程的解。
【解析】
一元二次方程$ax^2 = mx + n$的解对应抛物线$y=ax^2$与直线$y=mx+n$交点的横坐标。由题图可得，两交点A、B的横坐标分别为$-1$和$2$，因此方程$ax^2=mx+n$的解是$x_1=-1$，$x_2=2$。
【答案】
$x_1=-1$，$x_2=2$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 函数图像交点的含义
【点评】
本题侧重考查数形结合思想的应用，解题核心是明确方程的解与对应函数图像交点横坐标的对应关系，解题时直接读图即可得到结果。
【难度系数】
0.8
解决这道题我们可以采用数形结合的思路：方程$ax^2=mx+n$的本质是二次函数$y=ax^2$和一次函数$y=mx+n$的函数值相等时自变量$x$的取值，对应到函数图像上，就是两个函数图像交点的横坐标，因此我们只需要从图中读取两个交点的横坐标，就能得到方程的解。
【解析】
一元二次方程$ax^2 = mx + n$的解对应抛物线$y=ax^2$与直线$y=mx+n$交点的横坐标。由题图可得，两交点A、B的横坐标分别为$-1$和$2$，因此方程$ax^2=mx+n$的解是$x_1=-1$，$x_2=2$。
【答案】
$x_1=-1$，$x_2=2$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 函数图像交点的含义
【点评】
本题侧重考查数形结合思想的应用，解题核心是明确方程的解与对应函数图像交点横坐标的对应关系，解题时直接读图即可得到结果。
【难度系数】
0.8
11.抛物线$y=ax^2+bx+c$经过$A(2,0),B(-3,0)$两点，则关于$x$的一元二次方程$a(x-1)^2 + c = b - bx$的解是。
答案
解：
将方程 $a(x-1)^2 + c = b - bx$ 整理变形：
移项得 $a(x-1)^2 + bx - b + c = 0$，
即 $a(x-1)^2 + b(x-1) + c = 0$。
已知抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 经过 $A(2,0)$、$B(-3,0)$，
因此一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的两个实数根为 $x_1=2$，$x_2=-3$。
令 $t = x-1$，则方程 $at^2 + bt + c = 0$ 的根为 $t_1=2$，$t_2=-3$，
可得：
$x-1=2$，解得 $x=3$；
$x-1=-3$，解得 $x=-2$。
所以该一元二次方程的解是 $\boldsymbol{x_1=3,\ x_2=-2}$。
将方程 $a(x-1)^2 + c = b - bx$ 整理变形：
移项得 $a(x-1)^2 + bx - b + c = 0$，
即 $a(x-1)^2 + b(x-1) + c = 0$。
已知抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 经过 $A(2,0)$、$B(-3,0)$，
因此一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的两个实数根为 $x_1=2$，$x_2=-3$。
令 $t = x-1$，则方程 $at^2 + bt + c = 0$ 的根为 $t_1=2$，$t_2=-3$，
可得：
$x-1=2$，解得 $x=3$；
$x-1=-3$，解得 $x=-2$。
所以该一元二次方程的解是 $\boldsymbol{x_1=3,\ x_2=-2}$。
解析
【分析】
解题时先对所给的一元二次方程进行整理变形，观察变形后方程的结构，可发现其与抛物线对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$形式高度相似；接下来利用换元思想，将变形后方程中的$(x-1)$看作整体，结合已知抛物线经过的两点可直接得到$ax^2+bx+c=0$的两个根，代入换元后的式子即可求出原方程的解，无需计算参数$a、b、c$的具体值。
【解析】
首先对目标方程 $a(x-1)^2 + c = b - bx$ 进行整理变形：
移项得：$a(x-1)^2 + bx - b + c = 0$，
提取公因式得：$a(x-1)^2 + b(x-1) + c = 0$。
已知抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 经过 $A(2,0)$、$B(-3,0)$两点，因此一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的两个实数根为 $x_1=2$，$x_2=-3$。
令 $t = x-1$，则变形后的方程可转化为 $at^2 + bt + c = 0$，可得该方程的根为 $t_1=2$，$t_2=-3$。
分别求解$x$：
当$t=2$时，$x-1=2$，解得 $x=3$；
当$t=-3$时，$x-1=-3$，解得 $x=-2$。
【答案】
$x_1=3,\ x_2=-2$
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的关系
2.换元法解方程
3.等式的变形
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的常考题型，解题核心是通过变形将待求方程转化为已知根的方程形式，利用整体换元思想简化计算，避开了求解未知参数的繁琐步骤，侧重对转化思想的考查。
【难度系数】
0.7
解题时先对所给的一元二次方程进行整理变形，观察变形后方程的结构，可发现其与抛物线对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$形式高度相似；接下来利用换元思想，将变形后方程中的$(x-1)$看作整体，结合已知抛物线经过的两点可直接得到$ax^2+bx+c=0$的两个根，代入换元后的式子即可求出原方程的解，无需计算参数$a、b、c$的具体值。
【解析】
首先对目标方程 $a(x-1)^2 + c = b - bx$ 进行整理变形：
移项得：$a(x-1)^2 + bx - b + c = 0$，
提取公因式得：$a(x-1)^2 + b(x-1) + c = 0$。
已知抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 经过 $A(2,0)$、$B(-3,0)$两点，因此一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的两个实数根为 $x_1=2$，$x_2=-3$。
令 $t = x-1$，则变形后的方程可转化为 $at^2 + bt + c = 0$，可得该方程的根为 $t_1=2$，$t_2=-3$。
分别求解$x$：
当$t=2$时，$x-1=2$，解得 $x=3$；
当$t=-3$时，$x-1=-3$，解得 $x=-2$。
【答案】
$x_1=3,\ x_2=-2$
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的关系
2.换元法解方程
3.等式的变形
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的常考题型，解题核心是通过变形将待求方程转化为已知根的方程形式，利用整体换元思想简化计算，避开了求解未知参数的繁琐步骤，侧重对转化思想的考查。
【难度系数】
0.7
12.已知点$A(-2,3)$和点$B(3,3)$，若抛物线$y=x^2 -2bx +b^2 -1$与线段$AB$有两个交点，则$b$的取值范围是。
答案
$\boldsymbol{0 ≤ b ≤ 1}$
解析
【分析】
首先观察线段AB的特征，点A、B纵坐标均为3，因此线段AB对应表达式为$y=3$，自变量$x$的取值范围是$-2≤x≤3$。要求抛物线与线段AB有两个交点，可先联立抛物线与$y=3$的方程，求解得到交点的横坐标表达式，再根据横坐标需落在线段AB的$x$取值范围内，列不等式组求解即可。
【解析】
1. 确定线段AB的解析式：
∵ 点$A(-2,3)$、$B(3,3)$纵坐标相同，
∴ 线段AB所在直线为$y=3$，且$x$的取值范围是$-2≤x≤3$。
2. 联立方程求交点横坐标：
将$y=3$代入抛物线$y=x^2 -2bx +b^2 -1$，得：
$x^2 - 2bx + b^2 -1 = 3$
整理得$(x-b)^2=4$，开方解得两个交点的横坐标为$x_1=b+2$，$x_2=b-2$。
3. 列不等式组求解：
∵ 抛物线与线段AB有两个交点，即两个横坐标都需满足$-2≤x≤3$，
∴ 列不等式组：
$\begin{cases}b-2 ≥ -2 \\b+2 ≤ 3\end{cases}$
解第一个不等式得$b≥0$，解第二个不等式得$b≤1$。
【答案】
$\boldsymbol{0 ≤ b ≤ 1}$
【知识点】
二次函数与线段交点，二次函数与一元二次方程，解一元一次不等式组
【点评】
本题解题的核心是先明确线段的表达式及自变量范围，通过联立方程得到交点横坐标的具体形式，再结合横坐标的取值范围列不等式求解，需注意区分交点落在线段和落在直线上的不同要求。
【难度系数】
0.65
首先观察线段AB的特征，点A、B纵坐标均为3，因此线段AB对应表达式为$y=3$，自变量$x$的取值范围是$-2≤x≤3$。要求抛物线与线段AB有两个交点，可先联立抛物线与$y=3$的方程，求解得到交点的横坐标表达式，再根据横坐标需落在线段AB的$x$取值范围内，列不等式组求解即可。
【解析】
1. 确定线段AB的解析式：
∵ 点$A(-2,3)$、$B(3,3)$纵坐标相同，
∴ 线段AB所在直线为$y=3$，且$x$的取值范围是$-2≤x≤3$。
2. 联立方程求交点横坐标：
将$y=3$代入抛物线$y=x^2 -2bx +b^2 -1$，得：
$x^2 - 2bx + b^2 -1 = 3$
整理得$(x-b)^2=4$，开方解得两个交点的横坐标为$x_1=b+2$，$x_2=b-2$。
3. 列不等式组求解：
∵ 抛物线与线段AB有两个交点，即两个横坐标都需满足$-2≤x≤3$，
∴ 列不等式组：
$\begin{cases}b-2 ≥ -2 \\b+2 ≤ 3\end{cases}$
解第一个不等式得$b≥0$，解第二个不等式得$b≤1$。
【答案】
$\boldsymbol{0 ≤ b ≤ 1}$
【知识点】
二次函数与线段交点，二次函数与一元二次方程，解一元一次不等式组
【点评】
本题解题的核心是先明确线段的表达式及自变量范围，通过联立方程得到交点横坐标的具体形式，再结合横坐标的取值范围列不等式求解，需注意区分交点落在线段和落在直线上的不同要求。
【难度系数】
0.65
13.(推理能力)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的对称轴为直线$x=1$,与$x$轴的一个交点位于$(2,0),(3,0)$两点之间.有下列结论:①$2a+b＞0$;②$bc＜0$;③$a＜-\frac{1}{3}c$;④若$x_1,x_2$为方程$ax^2+bx+c=0$的两个根,则$-3＜x_1·x_2＜0$.其中正确的个数为（）
A.1
B.2
C.3
D.4
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
B
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先由抛物线开口方向、与y轴交点位置确定a、c的符号，再结合对称轴为直线x=1推导b与a的关系，得到b的符号；之后逐一分析4个结论：①直接用对称轴推导的b=-2a判断；②根据b、c的符号判断乘积正负；③利用抛物线的对称性确定x=-1时的函数值符号，代入b=-2a推导不等式；④结合两根的分布范围，根据有理数乘法法则确定两根乘积的范围，最后统计正确结论的个数即可。
【解析】
已知抛物线对称轴为直线$x=1$，根据对称轴公式可得：
$-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$。
1. 分析结论①：
将$b=-2a$代入$2a+b$，得$2a+b=2a-2a=0$，故①错误。
2. 分析结论②：
由抛物线开口向下，得$a＜0$，则$b=-2a＞0$；抛物线与y轴交于正半轴，得$c＞0$，因此$bc＞0$，故②错误。
3. 分析结论③：
抛物线与x轴的一个交点在$(2,0)$、$(3,0)$之间，对称轴为$x=1$，由对称性可知另一个交点在$(-1,0)$、$(0,0)$之间。因此当$x=-1$时，函数值$y＜0$，代入解析式得：
$a×(-1)^2 + b×(-1) + c = a - b + c ＜ 0$
将$b=-2a$代入上式：$a - (-2a) + c = 3a + c ＜ 0$，移项得$3a ＜ -c$，两边同除以3得$a ＜ -\frac{1}{3}c$，故③正确。
4. 分析结论④：
若$x_1,x_2$为方程$ax^2+bx+c=0$的两个根，由根的分布可知一个根在$(2,3)$（正数），另一个根在$(-1,0)$（负数），因此两根乘积为负；且$|x_1|＜1$，$|x_2|＜3$，因此$|x_1x_2|＜3$，即$-3 ＜ x_1·x_2 ＜ 0$，故④正确。
综上，正确的结论是③④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象与性质，二次函数与一元二次方程，根与系数关系
【点评】
本题结合二次函数图象考查系数与图象特征的对应关系，需要灵活运用对称性、特殊点函数值、根的分布等知识推导结论，侧重对逻辑推理能力的考查。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知条件入手：首先由抛物线开口方向、与y轴交点位置确定a、c的符号，再结合对称轴为直线x=1推导b与a的关系，得到b的符号；之后逐一分析4个结论：①直接用对称轴推导的b=-2a判断；②根据b、c的符号判断乘积正负；③利用抛物线的对称性确定x=-1时的函数值符号，代入b=-2a推导不等式；④结合两根的分布范围，根据有理数乘法法则确定两根乘积的范围，最后统计正确结论的个数即可。
【解析】
已知抛物线对称轴为直线$x=1$，根据对称轴公式可得：
$-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$。
1. 分析结论①：
将$b=-2a$代入$2a+b$，得$2a+b=2a-2a=0$，故①错误。
2. 分析结论②：
由抛物线开口向下，得$a＜0$，则$b=-2a＞0$；抛物线与y轴交于正半轴，得$c＞0$，因此$bc＞0$，故②错误。
3. 分析结论③：
抛物线与x轴的一个交点在$(2,0)$、$(3,0)$之间，对称轴为$x=1$，由对称性可知另一个交点在$(-1,0)$、$(0,0)$之间。因此当$x=-1$时，函数值$y＜0$，代入解析式得：
$a×(-1)^2 + b×(-1) + c = a - b + c ＜ 0$
将$b=-2a$代入上式：$a - (-2a) + c = 3a + c ＜ 0$，移项得$3a ＜ -c$，两边同除以3得$a ＜ -\frac{1}{3}c$，故③正确。
4. 分析结论④：
若$x_1,x_2$为方程$ax^2+bx+c=0$的两个根，由根的分布可知一个根在$(2,3)$（正数），另一个根在$(-1,0)$（负数），因此两根乘积为负；且$|x_1|＜1$，$|x_2|＜3$，因此$|x_1x_2|＜3$，即$-3 ＜ x_1·x_2 ＜ 0$，故④正确。
综上，正确的结论是③④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象与性质，二次函数与一元二次方程，根与系数关系
【点评】
本题结合二次函数图象考查系数与图象特征的对应关系，需要灵活运用对称性、特殊点函数值、根的分布等知识推导结论，侧重对逻辑推理能力的考查。
【难度系数】
0.6
14.已知抛物线$y=-x^2 -2x +3$.
(1)求抛物线与$x$轴两个交点的坐标；
(2)若抛物线与直线$y=m$有公共点,直接写出$m$的取值范围:________；
(3)若抛物线与直线$y=x+m$有唯一公共点,求$m$的值.
(1)求抛物线与$x$轴两个交点的坐标；
(2)若抛物线与直线$y=m$有公共点,直接写出$m$的取值范围:________；
(3)若抛物线与直线$y=x+m$有唯一公共点,求$m$的值.
答案
解：
(1) 令$y=0$，则$-x^2 -2x +3 = 0$，
整理得$x^2 + 2x - 3 = 0$，
因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，
解得$x_1=-3$，$x_2=1$，
所以抛物线与$x$轴两个交点的坐标为$(-3, 0)$，$(1, 0)$。
(2) $m ≤ 4$
(3) 联立抛物线与直线的方程：
$\begin{cases} y = -x^2 -2x +3 \\ y = x + m \end{cases}$
消去$y$，得$-x^2 -2x +3 = x + m$，
整理为一元二次方程的一般形式：$x^2 + 3x + m - 3 = 0$。
因为抛物线与直线有唯一公共点，所以该一元二次方程有两个相等的实数根，
即判别式$\Delta = 3^2 - 4×1×(m-3) = 0$，
计算得$9 - 4m + 12 = 0$，
即$21 - 4m = 0$，
解得$m = \frac{21}{4}$。
(1) 令$y=0$，则$-x^2 -2x +3 = 0$，
整理得$x^2 + 2x - 3 = 0$，
因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，
解得$x_1=-3$，$x_2=1$，
所以抛物线与$x$轴两个交点的坐标为$(-3, 0)$，$(1, 0)$。
(2) $m ≤ 4$
(3) 联立抛物线与直线的方程：
$\begin{cases} y = -x^2 -2x +3 \\ y = x + m \end{cases}$
消去$y$，得$-x^2 -2x +3 = x + m$，
整理为一元二次方程的一般形式：$x^2 + 3x + m - 3 = 0$。
因为抛物线与直线有唯一公共点，所以该一元二次方程有两个相等的实数根，
即判别式$\Delta = 3^2 - 4×1×(m-3) = 0$，
计算得$9 - 4m + 12 = 0$，
即$21 - 4m = 0$，
解得$m = \frac{21}{4}$。
解析
【分析】
(1) 求抛物线与x轴的交点坐标，利用x轴上点的纵坐标为0的性质，令抛物线解析式中y=0，解所得的一元二次方程，方程的解即为交点横坐标，搭配纵坐标0即可得到交点坐标。
(2) 抛物线与直线y=m有公共点，说明联立两个解析式得到的一元二次方程有实根；也可结合抛物线开口向下存在最大值的性质，m的取值不能超过抛物线的最大值，先求抛物线的顶点纵坐标（即最大值）即可得到m的取值范围。
(3) 抛物线与直线y=x+m有唯一公共点，说明联立两个解析式消去y后得到的一元二次方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式Δ=0列关于m的方程，求解即可得到m的值。
【解析】
(1) 令$y=0$，则$-x^2 -2x +3 = 0$，
整理得$x^2 + 2x - 3 = 0$，
因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，
解得$x_1=-3$，$x_2=1$，
所以抛物线与x轴两个交点的坐标为$(-3, 0)$，$(1, 0)$。
(2) 将抛物线解析式配方得$y=-x^2-2x+3=-(x+1)^2+4$，抛物线开口向下，最大值为4，因此当$m≤4$时，抛物线与直线$y=m$有公共点。
(3) 联立抛物线与直线的方程：
$\begin{cases} y = -x^2 -2x +3 \\ y = x + m \end{cases}$
消去$y$，得$-x^2 -2x +3 = x + m$，
整理为一元二次方程的一般形式：$x^2 + 3x + m - 3 = 0$。
因为抛物线与直线有唯一公共点，所以该一元二次方程有两个相等的实数根，
即判别式$\Delta = 3^2 - 4×1×(m-3) = 0$，
计算得$9 - 4m + 12 = 0$，
即$21 - 4m = 0$，
解得$m = \frac{21}{4}$。
【答案】
(1) $(-3,0)$，$(1,0)$；
(2) $m≤4$；
(3) $\frac{21}{4}$
【知识点】
二次函数与坐标轴交点，二次函数最值，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是二次函数与方程结合的基础典型题，核心解题思路是将函数交点问题转化为方程解的问题，熟练掌握判别式和交点个数的对应关系，能快速解决这类题型。
【难度系数】
0.7
(1) 求抛物线与x轴的交点坐标，利用x轴上点的纵坐标为0的性质，令抛物线解析式中y=0，解所得的一元二次方程，方程的解即为交点横坐标，搭配纵坐标0即可得到交点坐标。
(2) 抛物线与直线y=m有公共点，说明联立两个解析式得到的一元二次方程有实根；也可结合抛物线开口向下存在最大值的性质，m的取值不能超过抛物线的最大值，先求抛物线的顶点纵坐标（即最大值）即可得到m的取值范围。
(3) 抛物线与直线y=x+m有唯一公共点，说明联立两个解析式消去y后得到的一元二次方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式Δ=0列关于m的方程，求解即可得到m的值。
【解析】
(1) 令$y=0$，则$-x^2 -2x +3 = 0$，
整理得$x^2 + 2x - 3 = 0$，
因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，
解得$x_1=-3$，$x_2=1$，
所以抛物线与x轴两个交点的坐标为$(-3, 0)$，$(1, 0)$。
(2) 将抛物线解析式配方得$y=-x^2-2x+3=-(x+1)^2+4$，抛物线开口向下，最大值为4，因此当$m≤4$时，抛物线与直线$y=m$有公共点。
(3) 联立抛物线与直线的方程：
$\begin{cases} y = -x^2 -2x +3 \\ y = x + m \end{cases}$
消去$y$，得$-x^2 -2x +3 = x + m$，
整理为一元二次方程的一般形式：$x^2 + 3x + m - 3 = 0$。
因为抛物线与直线有唯一公共点，所以该一元二次方程有两个相等的实数根，
即判别式$\Delta = 3^2 - 4×1×(m-3) = 0$，
计算得$9 - 4m + 12 = 0$，
即$21 - 4m = 0$，
解得$m = \frac{21}{4}$。
【答案】
(1) $(-3,0)$，$(1,0)$；
(2) $m≤4$；
(3) $\frac{21}{4}$
【知识点】
二次函数与坐标轴交点，二次函数最值，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是二次函数与方程结合的基础典型题，核心解题思路是将函数交点问题转化为方程解的问题，熟练掌握判别式和交点个数的对应关系，能快速解决这类题型。
【难度系数】
0.7
