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15.已知二次函数 $ y = x^2 + 2(a+1)x + 3a^2 - 2a + 3 $，a为常数.
(1)若该二次函数的图象与直线 $ y = 2a^2 $ 有两个交点,求a的取值范围;
(2)若该二次函数的图象与x轴有交点,求a的值;
(3)求证:该二次函数的图象不经过原点.
(1)若该二次函数的图象与直线 $ y = 2a^2 $ 有两个交点,求a的取值范围;
(2)若该二次函数的图象与x轴有交点,求a的值;
(3)求证:该二次函数的图象不经过原点.
答案
解：(1) 将$y=2a^2$代入二次函数解析式，得：
$x^2 + 2(a+1)x + 3a^2 - 2a + 3 = 2a^2$
整理得：$x^2 + 2(a+1)x + a^2 - 2a + 3 = 0$
因为函数图象与直线有两个交点，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式$\Delta＞0$：
$\Delta = [2(a+1)]^2 - 4×1×(a^2 - 2a + 3)$
$=4a^2 + 8a + 4 - 4a^2 + 8a - 12$
$=16a - 8$
由$16a - 8 ＞ 0$，解得$a ＞ \frac{1}{2}$。
(2) 二次函数图象与$x$轴有交点，即方程$x^2 + 2(a+1)x + 3a^2 - 2a + 3 = 0$有实数根，判别式$\Delta≥0$：
$\Delta = [2(a+1)]^2 - 4×1×(3a^2 - 2a + 3)$
$=4a^2 + 8a + 4 - 12a^2 + 8a - 12$
$=-8a^2 + 16a - 8$
$=-8(a-1)^2$
因为$-8(a-1)^2≥0$，且$(a-1)^2≥0$，所以$(a-1)^2=0$，解得$a=1$。
(3) 证明：假设该二次函数的图象经过原点，将$x=0,y=0$代入解析式得：
$0 = 3a^2 - 2a + 3$
该方程的判别式$\Delta' = (-2)^2 - 4×3×3 = 4 - 36 = -32 ＜ 0$，不存在实数$a$使等式成立，因此该二次函数的图象不经过原点。
$x^2 + 2(a+1)x + 3a^2 - 2a + 3 = 2a^2$
整理得：$x^2 + 2(a+1)x + a^2 - 2a + 3 = 0$
因为函数图象与直线有两个交点，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式$\Delta＞0$：
$\Delta = [2(a+1)]^2 - 4×1×(a^2 - 2a + 3)$
$=4a^2 + 8a + 4 - 4a^2 + 8a - 12$
$=16a - 8$
由$16a - 8 ＞ 0$，解得$a ＞ \frac{1}{2}$。
(2) 二次函数图象与$x$轴有交点，即方程$x^2 + 2(a+1)x + 3a^2 - 2a + 3 = 0$有实数根，判别式$\Delta≥0$：
$\Delta = [2(a+1)]^2 - 4×1×(3a^2 - 2a + 3)$
$=4a^2 + 8a + 4 - 12a^2 + 8a - 12$
$=-8a^2 + 16a - 8$
$=-8(a-1)^2$
因为$-8(a-1)^2≥0$，且$(a-1)^2≥0$，所以$(a-1)^2=0$，解得$a=1$。
(3) 证明：假设该二次函数的图象经过原点，将$x=0,y=0$代入解析式得：
$0 = 3a^2 - 2a + 3$
该方程的判别式$\Delta' = (-2)^2 - 4×3×3 = 4 - 36 = -32 ＜ 0$，不存在实数$a$使等式成立，因此该二次函数的图象不经过原点。
解析
【分析】
(1) 二次函数图象与直线的交点个数可转化为联立解析式后一元二次方程的根的个数问题：有两个交点等价于方程有两个不相等的实数根，只需计算判别式Δ＞0，解不等式即可得到a的取值范围。
(2) 二次函数图象与x轴有交点，等价于y=0时对应的一元二次方程有实数根，即判别式Δ≥0，结合完全平方的非负性即可求解a的值。
(3) 证明图象不经过原点可采用反证法：假设图象过原点，将(0,0)代入解析式得到关于a的一元二次方程，通过判断该方程无实根即可推翻假设，证明结论成立。
【解析】
(1) 将$y=2a^2$代入二次函数解析式，得：
$x^2 + 2(a+1)x + 3a^2 - 2a + 3 = 2a^2$
整理得：$x^2 + 2(a+1)x + a^2 - 2a + 3 = 0$
∵函数图象与直线有两个交点，
∴该一元二次方程有两个不相等的实数根，即判别式$\Delta＞0$：
$\Delta = [2(a+1)]^2 - 4×1×(a^2 - 2a + 3)$
$=4a^2 + 8a + 4 - 4a^2 + 8a - 12$
$=16a - 8$
由$16a - 8 ＞ 0$，解得$a ＞ \frac{1}{2}$。
(2) 二次函数图象与$x$轴有交点，即方程$x^2 + 2(a+1)x + 3a^2 - 2a + 3 = 0$有实数根，即判别式$\Delta≥0$：
$\Delta = [2(a+1)]^2 - 4×1×(3a^2 - 2a + 3)$
$=4a^2 + 8a + 4 - 12a^2 + 8a - 12$
$=-8a^2 + 16a - 8$
$=-8(a-1)^2$
∵$-8(a-1)^2≥0$，且$(a-1)^2≥0$，
∴$(a-1)^2=0$，解得$a=1$。
(3) 证明：假设该二次函数的图象经过原点，将$x=0,y=0$代入解析式得：
$0 = 3a^2 - 2a + 3$
该方程的判别式$\Delta' = (-2)^2 - 4×3×3 = 4 - 36 = -32 ＜ 0$，不存在实数$a$使等式成立，因此该二次函数的图象不经过原点。
【答案】
(1) $a ＞ \frac{1}{2}$；
(2) $a=1$；
(3) 该二次函数的图象不经过原点，证明成立。
【知识点】
二次函数与方程的关系，根的判别式，反证法
【点评】
本题围绕二次函数交点问题展开，核心是将函数交点问题转化为一元二次方程根的个数问题，考查判别式的灵活应用，第三小问借助反证法简化证明逻辑，是巩固二次函数与一元二次方程关联知识点的典型习题。
【难度系数】
0.7
(1) 二次函数图象与直线的交点个数可转化为联立解析式后一元二次方程的根的个数问题：有两个交点等价于方程有两个不相等的实数根，只需计算判别式Δ＞0，解不等式即可得到a的取值范围。
(2) 二次函数图象与x轴有交点，等价于y=0时对应的一元二次方程有实数根，即判别式Δ≥0，结合完全平方的非负性即可求解a的值。
(3) 证明图象不经过原点可采用反证法：假设图象过原点，将(0,0)代入解析式得到关于a的一元二次方程，通过判断该方程无实根即可推翻假设，证明结论成立。
【解析】
(1) 将$y=2a^2$代入二次函数解析式，得：
$x^2 + 2(a+1)x + 3a^2 - 2a + 3 = 2a^2$
整理得：$x^2 + 2(a+1)x + a^2 - 2a + 3 = 0$
∵函数图象与直线有两个交点，
∴该一元二次方程有两个不相等的实数根，即判别式$\Delta＞0$：
$\Delta = [2(a+1)]^2 - 4×1×(a^2 - 2a + 3)$
$=4a^2 + 8a + 4 - 4a^2 + 8a - 12$
$=16a - 8$
由$16a - 8 ＞ 0$，解得$a ＞ \frac{1}{2}$。
(2) 二次函数图象与$x$轴有交点，即方程$x^2 + 2(a+1)x + 3a^2 - 2a + 3 = 0$有实数根，即判别式$\Delta≥0$：
$\Delta = [2(a+1)]^2 - 4×1×(3a^2 - 2a + 3)$
$=4a^2 + 8a + 4 - 12a^2 + 8a - 12$
$=-8a^2 + 16a - 8$
$=-8(a-1)^2$
∵$-8(a-1)^2≥0$，且$(a-1)^2≥0$，
∴$(a-1)^2=0$，解得$a=1$。
(3) 证明：假设该二次函数的图象经过原点，将$x=0,y=0$代入解析式得：
$0 = 3a^2 - 2a + 3$
该方程的判别式$\Delta' = (-2)^2 - 4×3×3 = 4 - 36 = -32 ＜ 0$，不存在实数$a$使等式成立，因此该二次函数的图象不经过原点。
【答案】
(1) $a ＞ \frac{1}{2}$；
(2) $a=1$；
(3) 该二次函数的图象不经过原点，证明成立。
【知识点】
二次函数与方程的关系，根的判别式，反证法
【点评】
本题围绕二次函数交点问题展开，核心是将函数交点问题转化为一元二次方程根的个数问题，考查判别式的灵活应用，第三小问借助反证法简化证明逻辑，是巩固二次函数与一元二次方程关联知识点的典型习题。
【难度系数】
0.7
16. 如图,一小球从斜坡的点O处以一定的方向弹出,球的飞行路线可以用二次函数$y=ax^2+bx(a＜0)$刻画,斜坡可以用一次函数$y=\frac{1}{4}x$刻画,小球飞行的水平距离x(m)与小球飞行的高度y(m)的变化规律如表:
(1)①$m=$,$n=$;
②设小球的落点是A,求点A的坐标.
(2)若小球飞行的高度y(m)与飞行时间t(s)满足关系:$y=-5t^2+vt$.
①小球飞行的最大高度为m;
②求v的值.
(1)①$m=$,$n=$;
②设小球的落点是A,求点A的坐标.
(2)若小球飞行的高度y(m)与飞行时间t(s)满足关系:$y=-5t^2+vt$.
①小球飞行的最大高度为m;
②求v的值.
答案
解：
(1)① 将点$(1,\frac{7}{2})$和(2,6)代入$y=ax^2+bx$，得
$\begin{cases}a + b = \dfrac{7}{2} \\4a + 2b = 6 \end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{2} \\b=4 \end{cases}$因此二次函数解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2 +4x$。令$y=\dfrac{15}{2}$，则$-\dfrac{1}{2}x^2 +4x=\dfrac{15}{2}$，整理得$x^2-8x+15=0$，解得$x_1=3$，$x_2=5$，结合表格得m=3。当x=6时，$n=-\dfrac{1}{2}×6^2 +4×6=6$。所以$m=\boldsymbol{3}$，$n=\boldsymbol{6}$。② 联立二次函数与斜坡的解析式：$\begin{cases}y=-\dfrac{1}{2}x^2 +4x \\y=\dfrac{1}{4}x \end{cases}$消去y，得$-\dfrac{1}{2}x^2 +4x=\dfrac{1}{4}x$，整理得$x(-\dfrac{1}{2}x +\dfrac{15}{4})=0$，解得$x_1=0（$对应点O，舍去），$x_2=\dfrac{15}{2}$。将$x=\dfrac{15}{2}$代入$y=\dfrac{1}{4}x$，得$y=\dfrac{15}{8}$。所以点A的坐标为$\boldsymbol{(\dfrac{15}{2},\dfrac{15}{8})}$。(2)① 二次函数$y=-\dfrac{1}{2}x^2 +4x$的顶点纵坐标为最大高度，代入顶点横坐标$x=-\dfrac{b}{2a}=4$，得$y_{max}=-\dfrac{1}{2}×4^2 +4×4=8$，所以小球飞行的最大高度为$\boldsymbol{8} m$。② 对于二次函数$y=-5t^2 +vt$，其最大值为$\dfrac{4ac-b^2}{4a}=\dfrac{v^2}{20}$，由最大高度为8，得$\dfrac{v^2}{20}=8$，解得$v^2=160$。因为v＞0，所以$v=4\sqrt{10}$。
(1)① 将点$(1,\frac{7}{2})$和(2,6)代入$y=ax^2+bx$，得
$\begin{cases}a + b = \dfrac{7}{2} \\4a + 2b = 6 \end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{2} \\b=4 \end{cases}$因此二次函数解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2 +4x$。令$y=\dfrac{15}{2}$，则$-\dfrac{1}{2}x^2 +4x=\dfrac{15}{2}$，整理得$x^2-8x+15=0$，解得$x_1=3$，$x_2=5$，结合表格得m=3。当x=6时，$n=-\dfrac{1}{2}×6^2 +4×6=6$。所以$m=\boldsymbol{3}$，$n=\boldsymbol{6}$。② 联立二次函数与斜坡的解析式：$\begin{cases}y=-\dfrac{1}{2}x^2 +4x \\y=\dfrac{1}{4}x \end{cases}$消去y，得$-\dfrac{1}{2}x^2 +4x=\dfrac{1}{4}x$，整理得$x(-\dfrac{1}{2}x +\dfrac{15}{4})=0$，解得$x_1=0（$对应点O，舍去），$x_2=\dfrac{15}{2}$。将$x=\dfrac{15}{2}$代入$y=\dfrac{1}{4}x$，得$y=\dfrac{15}{8}$。所以点A的坐标为$\boldsymbol{(\dfrac{15}{2},\dfrac{15}{8})}$。(2)① 二次函数$y=-\dfrac{1}{2}x^2 +4x$的顶点纵坐标为最大高度，代入顶点横坐标$x=-\dfrac{b}{2a}=4$，得$y_{max}=-\dfrac{1}{2}×4^2 +4×4=8$，所以小球飞行的最大高度为$\boldsymbol{8} m$。② 对于二次函数$y=-5t^2 +vt$，其最大值为$\dfrac{4ac-b^2}{4a}=\dfrac{v^2}{20}$，由最大高度为8，得$\dfrac{v^2}{20}=8$，解得$v^2=160$。因为v＞0，所以$v=4\sqrt{10}$。
解析
【分析】
(1)① 首先利用表格中两组x、y的对应值，通过待定系数法求出小球飞行路线对应的二次函数解析式，再将$y=\frac{15}{2}$代入解析式求解x，结合表格数据确定m的值；最后将x=6代入解析式即可算出n的值。
② 小球的落点A是二次函数图象与斜坡一次函数图象的交点，联立两个函数的解析式得到方程组，求解后舍去原点O对应的解，即可得到点A的坐标。
(2)① 小球飞行的最大高度是二次函数图象顶点的纵坐标，利用二次函数顶点坐标公式计算即可。
② 已知y关于t的二次函数的最大值等于求出的最大高度，代入二次函数最值公式列方程，结合v的实际意义（v＞0）求解即可得到v的值。
【解析】
(1)① 将点$(1,\frac{7}{2})$和$(2,6)$代入$y=ax^2+bx$，得：
$\begin{cases}a + b = \dfrac{7}{2} \\4a + 2b = 6 \end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{2} \\b=4 \end{cases}$
因此二次函数解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2 +4x$。
令$y=\dfrac{15}{2}$，则$-\dfrac{1}{2}x^2 +4x=\dfrac{15}{2}$，整理得$x^2-8x+15=0$，解得$x_1=3$，$x_2=5$，结合表格数据得$m=3$。
当$x=6$时，$n=-\dfrac{1}{2}×6^2 +4×6=6$。
② 联立二次函数与斜坡的解析式：
$\begin{cases}y=-\dfrac{1}{2}x^2 +4x \\y=\dfrac{1}{4}x \end{cases}$
消去y，得$-\dfrac{1}{2}x^2 +4x=\dfrac{1}{4}x$，整理得$x(-\dfrac{1}{2}x +\dfrac{15}{4})=0$，解得$x_1=0$（对应出发点O，舍去），$x_2=\dfrac{15}{2}$。
将$x=\dfrac{15}{2}$代入$y=\dfrac{1}{4}x$，得$y=\dfrac{15}{8}$。
(2)① 二次函数$y=-\dfrac{1}{2}x^2 +4x$的顶点横坐标为$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{4}{2×(-\dfrac{1}{2})}=4$，将x=4代入解析式得最大高度：
$y_{max}=-\dfrac{1}{2}×4^2 +4×4=8$（m）
② 对于二次函数$y=-5t^2 +vt$，其最大值为$\dfrac{4ac-b^2}{4a}=\dfrac{0 - v^2}{4×(-5)}=\dfrac{v^2}{20}$，由最大高度为8m，得：
$\dfrac{v^2}{20}=8$
解得$v^2=160$，因为v为正，所以$v=4\sqrt{10}$。
【答案】
(1)① $3$，$6$；② $(\dfrac{15}{2},\dfrac{15}{8})$
(2)① $8$；② $4\sqrt{10}$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的性质，函数与方程的关系
【点评】
本题结合小球弹射的实际情境考查二次函数的综合应用，涵盖了解析式求解、最值计算、交点求解等核心考点，需要熟练掌握二次函数的基本性质，能灵活运用方程思想解决实际问题。
【难度系数】
0.6
(1)① 首先利用表格中两组x、y的对应值，通过待定系数法求出小球飞行路线对应的二次函数解析式，再将$y=\frac{15}{2}$代入解析式求解x，结合表格数据确定m的值；最后将x=6代入解析式即可算出n的值。
② 小球的落点A是二次函数图象与斜坡一次函数图象的交点，联立两个函数的解析式得到方程组，求解后舍去原点O对应的解，即可得到点A的坐标。
(2)① 小球飞行的最大高度是二次函数图象顶点的纵坐标，利用二次函数顶点坐标公式计算即可。
② 已知y关于t的二次函数的最大值等于求出的最大高度，代入二次函数最值公式列方程，结合v的实际意义（v＞0）求解即可得到v的值。
【解析】
(1)① 将点$(1,\frac{7}{2})$和$(2,6)$代入$y=ax^2+bx$，得：
$\begin{cases}a + b = \dfrac{7}{2} \\4a + 2b = 6 \end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{2} \\b=4 \end{cases}$
因此二次函数解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2 +4x$。
令$y=\dfrac{15}{2}$，则$-\dfrac{1}{2}x^2 +4x=\dfrac{15}{2}$，整理得$x^2-8x+15=0$，解得$x_1=3$，$x_2=5$，结合表格数据得$m=3$。
当$x=6$时，$n=-\dfrac{1}{2}×6^2 +4×6=6$。
② 联立二次函数与斜坡的解析式：
$\begin{cases}y=-\dfrac{1}{2}x^2 +4x \\y=\dfrac{1}{4}x \end{cases}$
消去y，得$-\dfrac{1}{2}x^2 +4x=\dfrac{1}{4}x$，整理得$x(-\dfrac{1}{2}x +\dfrac{15}{4})=0$，解得$x_1=0$（对应出发点O，舍去），$x_2=\dfrac{15}{2}$。
将$x=\dfrac{15}{2}$代入$y=\dfrac{1}{4}x$，得$y=\dfrac{15}{8}$。
(2)① 二次函数$y=-\dfrac{1}{2}x^2 +4x$的顶点横坐标为$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{4}{2×(-\dfrac{1}{2})}=4$，将x=4代入解析式得最大高度：
$y_{max}=-\dfrac{1}{2}×4^2 +4×4=8$（m）
② 对于二次函数$y=-5t^2 +vt$，其最大值为$\dfrac{4ac-b^2}{4a}=\dfrac{0 - v^2}{4×(-5)}=\dfrac{v^2}{20}$，由最大高度为8m，得：
$\dfrac{v^2}{20}=8$
解得$v^2=160$，因为v为正，所以$v=4\sqrt{10}$。
【答案】
(1)① $3$，$6$；② $(\dfrac{15}{2},\dfrac{15}{8})$
(2)① $8$；② $4\sqrt{10}$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的性质，函数与方程的关系
【点评】
本题结合小球弹射的实际情境考查二次函数的综合应用，涵盖了解析式求解、最值计算、交点求解等核心考点，需要熟练掌握二次函数的基本性质，能灵活运用方程思想解决实际问题。
【难度系数】
0.6
