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1. 抛物线 $y=x^2 + x -6$ 与x轴的交点坐标分别是.
答案
解：
令$y=0$，得一元二次方程
$x^2 + x - 6 = 0$
因式分解得：
$(x+3)(x-2)=0$
解得$x_1=-3$，$x_2=2$
因此抛物线$y=x^2+x-6$与x轴的交点坐标分别是$(-3,0)$、$(2,0)$。
令$y=0$，得一元二次方程
$x^2 + x - 6 = 0$
因式分解得：
$(x+3)(x-2)=0$
解得$x_1=-3$，$x_2=2$
因此抛物线$y=x^2+x-6$与x轴的交点坐标分别是$(-3,0)$、$(2,0)$。
解析
【分析】
要求抛物线与x轴的交点坐标，首先明确x轴上所有点的纵坐标均为0，因此只需令函数解析式中的y=0，将二次函数转化为对应的一元二次方程，方程的解就是交点的横坐标，再搭配纵坐标0即可得到交点坐标。本题得到的一元二次方程适合用因式分解法求解，计算更简便。
【解析】
令$y=0$，得到一元二次方程：
$x^2 + x - 6 = 0$
对等式左边因式分解可得：
$(x+3)(x-2)=0$
因此$x+3=0$或$x-2=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=2$
由于交点在x轴上，纵坐标为0，因此抛物线与x轴的交点坐标分别是$(-3,0)$、$(2,0)$。
【答案】
$(-3,0)$、$(2,0)$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系，因式分解法解一元二次方程，x轴上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数相关的基础题，解题的关键是掌握二次函数图象与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根，理解x轴上点的坐标特征即可快速解题，计算量小。
【难度系数】
0.85
要求抛物线与x轴的交点坐标，首先明确x轴上所有点的纵坐标均为0，因此只需令函数解析式中的y=0，将二次函数转化为对应的一元二次方程，方程的解就是交点的横坐标，再搭配纵坐标0即可得到交点坐标。本题得到的一元二次方程适合用因式分解法求解，计算更简便。
【解析】
令$y=0$，得到一元二次方程：
$x^2 + x - 6 = 0$
对等式左边因式分解可得：
$(x+3)(x-2)=0$
因此$x+3=0$或$x-2=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=2$
由于交点在x轴上，纵坐标为0，因此抛物线与x轴的交点坐标分别是$(-3,0)$、$(2,0)$。
【答案】
$(-3,0)$、$(2,0)$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系，因式分解法解一元二次方程，x轴上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数相关的基础题，解题的关键是掌握二次函数图象与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的根，理解x轴上点的坐标特征即可快速解题，计算量小。
【难度系数】
0.85
2.二次函数$y=\frac{1}{2}(x-1)(x+2)$的图象与x轴有个交点，交点的坐标分别为。
答案
解：
令$y=0$，则$\frac{1}{2}(x-1)(x+2)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=-2$。
所以二次函数$y=\frac{1}{2}(x-1)(x+2)$的图象与$x$轴有$\boldsymbol{2}$个交点，交点的坐标分别为$\boldsymbol{(1,0)}$、$\boldsymbol{(-2,0)}$。
令$y=0$，则$\frac{1}{2}(x-1)(x+2)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=-2$。
所以二次函数$y=\frac{1}{2}(x-1)(x+2)$的图象与$x$轴有$\boldsymbol{2}$个交点，交点的坐标分别为$\boldsymbol{(1,0)}$、$\boldsymbol{(-2,0)}$。
解析
【分析】
要确定二次函数图象与x轴的交点个数及坐标，需明确x轴上所有点的纵坐标都为0，因此只需令函数的y值为0，得到对应的一元二次方程：方程有几个不同的实数根，图象就和x轴有几个交点，每个实数根就是对应交点的横坐标，交点纵坐标固定为0。本题给出的二次函数是交点式形式，直接令y=0解方程即可快速得到结果。
【解析】
解：令$y=0$，则$\frac{1}{2}(x-1)(x+2)=0$，
由于$\frac{1}{2}≠0$，因此可得$x-1=0$或$x+2=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=-2$。
所以二次函数$y=\frac{1}{2}(x-1)(x+2)$的图象与x轴有2个交点，交点的坐标分别为$(1,0)$、$(-2,0)$。
【答案】
2；$\boldsymbol{(1,0)}$、$\boldsymbol{(-2,0)}$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是基础题型，核心考查二次函数图象与x轴交点的求解逻辑，掌握“求x轴交点即令y=0解一元二次方程”的规律即可顺利解题。
【难度系数】
0.9
要确定二次函数图象与x轴的交点个数及坐标，需明确x轴上所有点的纵坐标都为0，因此只需令函数的y值为0，得到对应的一元二次方程：方程有几个不同的实数根，图象就和x轴有几个交点，每个实数根就是对应交点的横坐标，交点纵坐标固定为0。本题给出的二次函数是交点式形式，直接令y=0解方程即可快速得到结果。
【解析】
解：令$y=0$，则$\frac{1}{2}(x-1)(x+2)=0$，
由于$\frac{1}{2}≠0$，因此可得$x-1=0$或$x+2=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=-2$。
所以二次函数$y=\frac{1}{2}(x-1)(x+2)$的图象与x轴有2个交点，交点的坐标分别为$(1,0)$、$(-2,0)$。
【答案】
2；$\boldsymbol{(1,0)}$、$\boldsymbol{(-2,0)}$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是基础题型，核心考查二次函数图象与x轴交点的求解逻辑，掌握“求x轴交点即令y=0解一元二次方程”的规律即可顺利解题。
【难度系数】
0.9
3. 二次函数$y=ax^2+bx+c$的部分图象如图所示，若关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个解是$x_1=3$，则另一个解是$x_2=$.
答案
$\boldsymbol{-1}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解对应二次函数$y=ax^2+bx+c$图象与x轴交点的横坐标，且二次函数的图象关于对称轴对称，因此两个交点也关于对称轴对称，二者到对称轴的水平距离相等。首先从图象中确定对称轴为直线$x=1$，已知一个根为$x_1=3$，先计算它到对称轴的距离，再根据对称性求出另一个交点的横坐标即可。
【解析】
解：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标，二次函数图象关于其对称轴对称，因此两个交点的横坐标关于对称轴对称。
由图象可知，该二次函数的对称轴为直线$x=1$。
设方程的另一个解为$x_2$，根据轴对称的性质，两个交点横坐标的平均数等于对称轴的横坐标，即：
$\frac{x_1 + x_2}{2} = 1$
将$x_1=3$代入上式：
$\frac{3 + x_2}{2} = 1$
解得$x_2 = -1$
【答案】
$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的对称性
【点评】
本题属于基础题，结合二次函数图象考查其对称性与方程根的对应关系，解题的关键是理解二次函数与对应一元二次方程的联系，灵活运用对称性进行计算。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解对应二次函数$y=ax^2+bx+c$图象与x轴交点的横坐标，且二次函数的图象关于对称轴对称，因此两个交点也关于对称轴对称，二者到对称轴的水平距离相等。首先从图象中确定对称轴为直线$x=1$，已知一个根为$x_1=3$，先计算它到对称轴的距离，再根据对称性求出另一个交点的横坐标即可。
【解析】
解：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标，二次函数图象关于其对称轴对称，因此两个交点的横坐标关于对称轴对称。
由图象可知，该二次函数的对称轴为直线$x=1$。
设方程的另一个解为$x_2$，根据轴对称的性质，两个交点横坐标的平均数等于对称轴的横坐标，即：
$\frac{x_1 + x_2}{2} = 1$
将$x_1=3$代入上式：
$\frac{3 + x_2}{2} = 1$
解得$x_2 = -1$
【答案】
$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的对称性
【点评】
本题属于基础题，结合二次函数图象考查其对称性与方程根的对应关系，解题的关键是理解二次函数与对应一元二次方程的联系，灵活运用对称性进行计算。
【难度系数】
0.8
4.已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，若关于$x$的方程$ax^2+bx+c=k$有实数根，则$k$的取值范围是（）
A.$k＞2$
B.$k≤2$
C.$0≤k≤2$
D.$k≥0$
A.$k＞2$
B.$k≤2$
C.$0≤k≤2$
D.$k≥0$
答案
B
解析
【分析】
要解决本题，首先需要将方程有实数根的问题转化为函数图象的交点问题：关于$x$的方程$ax^2+bx+c=k$有实数根，本质是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与直线$y=k$有公共交点。接下来观察二次函数图象明确函数最值：图象开口向下，顶点纵坐标为2，说明二次函数的最大值为2，即函数值$y$最大为2，由此即可推断$k$的取值范围。
【解析】
解：$\because$ 方程$ax^2+bx+c=k$有实数根，
$\therefore$ 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与直线$y=k$有交点。
由图象可知，二次函数开口向下，顶点坐标为$(1,2)$，即函数的最大值为2，函数值满足$y≤2$，
$\therefore$ 当$k≤2$时，直线$y=k$与抛物线有交点，即方程有实数根。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质；二次函数与一元二次方程；数形结合思想
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的常规题型，核心是掌握“方程有实根等价于对应两个函数图象有交点”的转化思路，结合二次函数的最值即可求解，解题时要注意不要误认为$k$必须非负，避免错选C。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先需要将方程有实数根的问题转化为函数图象的交点问题：关于$x$的方程$ax^2+bx+c=k$有实数根，本质是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与直线$y=k$有公共交点。接下来观察二次函数图象明确函数最值：图象开口向下，顶点纵坐标为2，说明二次函数的最大值为2，即函数值$y$最大为2，由此即可推断$k$的取值范围。
【解析】
解：$\because$ 方程$ax^2+bx+c=k$有实数根，
$\therefore$ 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与直线$y=k$有交点。
由图象可知，二次函数开口向下，顶点坐标为$(1,2)$，即函数的最大值为2，函数值满足$y≤2$，
$\therefore$ 当$k≤2$时，直线$y=k$与抛物线有交点，即方程有实数根。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质；二次函数与一元二次方程；数形结合思想
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的常规题型，核心是掌握“方程有实根等价于对应两个函数图象有交点”的转化思路，结合二次函数的最值即可求解，解题时要注意不要误认为$k$必须非负，避免错选C。
【难度系数】
0.6
5. 下列抛物线中,与$x$轴没有公共点的是 （）
A.$y=-x^2+2x+1$
B.$y=x^2-4$
C.$y=x^2-2x+3$
D.$y=2x^2+4x+2$
A.$y=-x^2+2x+1$
B.$y=x^2-4$
C.$y=x^2-2x+3$
D.$y=2x^2+4x+2$
答案
C
解析
【分析】
要判断抛物线与x轴有没有公共点，本质是判断当y=0时对应的一元二次方程有没有实数根，可通过一元二次方程的根的判别式Δ=b²-4ac判断：若Δ＜0，方程无实数根，对应抛物线与x轴没有公共点。解题时只需分别计算四个选项中二次函数对应的判别式，选出Δ＜0的选项即可。
【解析】
对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），令y=0得到对应的一元二次方程ax²+bx+c=0，其判别式为Δ=b²-4ac：
当Δ＞0时，抛物线与x轴有2个公共点；
当Δ=0时，抛物线与x轴有1个公共点；
当Δ＜0时，抛物线与x轴没有公共点。
逐个计算各选项的判别式：
A. 对于y=-x²+2x+1，a=-1，b=2，c=1，Δ=2²-4×(-1)×1=4+4=8＞0，与x轴有2个公共点，不符合要求；
B. 对于y=x²-4，a=1，b=0，c=-4，Δ=0²-4×1×(-4)=0+16=16＞0，与x轴有2个公共点，不符合要求；
C. 对于y=x²-2x+3，a=1，b=-2，c=3，Δ=(-2)²-4×1×3=4-12=-8＜0，与x轴没有公共点，符合要求；
D. 对于y=2x²+4x+2，a=2，b=4，c=2，Δ=4²-4×2×2=16-16=0，与x轴有1个公共点，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与x轴交点判定；根的判别式；二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题是二次函数相关的基础考题，核心考查二次函数与x轴交点个数和对应一元二次方程根的判别式的对应关系，解题时只要牢记判别式的计算规则以及判别式和交点个数的对应规律，仔细代入系数计算即可，要注意系数的正负号，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
要判断抛物线与x轴有没有公共点，本质是判断当y=0时对应的一元二次方程有没有实数根，可通过一元二次方程的根的判别式Δ=b²-4ac判断：若Δ＜0，方程无实数根，对应抛物线与x轴没有公共点。解题时只需分别计算四个选项中二次函数对应的判别式，选出Δ＜0的选项即可。
【解析】
对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），令y=0得到对应的一元二次方程ax²+bx+c=0，其判别式为Δ=b²-4ac：
当Δ＞0时，抛物线与x轴有2个公共点；
当Δ=0时，抛物线与x轴有1个公共点；
当Δ＜0时，抛物线与x轴没有公共点。
逐个计算各选项的判别式：
A. 对于y=-x²+2x+1，a=-1，b=2，c=1，Δ=2²-4×(-1)×1=4+4=8＞0，与x轴有2个公共点，不符合要求；
B. 对于y=x²-4，a=1，b=0，c=-4，Δ=0²-4×1×(-4)=0+16=16＞0，与x轴有2个公共点，不符合要求；
C. 对于y=x²-2x+3，a=1，b=-2，c=3，Δ=(-2)²-4×1×3=4-12=-8＜0，与x轴没有公共点，符合要求；
D. 对于y=2x²+4x+2，a=2，b=4，c=2，Δ=4²-4×2×2=16-16=0，与x轴有1个公共点，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与x轴交点判定；根的判别式；二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题是二次函数相关的基础考题，核心考查二次函数与x轴交点个数和对应一元二次方程根的判别式的对应关系，解题时只要牢记判别式的计算规则以及判别式和交点个数的对应规律，仔细代入系数计算即可，要注意系数的正负号，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
6.(推理能力)如图是抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的部分图象，其顶点坐标为$(1,n)$，且与$x$轴的一个交点在点$(3,0)$和$(4,0)$之间，有下列结论：①$a-b+c=0$；②$3a+c＞0$；③$b^2=4a(c-n)$；④关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=n-2$没有实数根.其中正确的个数为（）
A.1
B.2
C.3
D.4
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
B
解析
【分析】
解题时先利用抛物线的对称性，由对称轴为直线$x=1$、右侧交点在$(3,0)$和$(4,0)$之间，推出左侧交点在$(-2,0)$和$(-1,0)$之间；再结合对称轴公式得到$b=-2a$，最后根据特殊点的函数值、顶点坐标公式、二次函数与一元二次方程的对应关系，逐个判断4个结论即可。
【解析】
已知抛物线对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,n)$，开口向下，与$x$轴一个交点在$(3,0)$和$(4,0)$之间，由对称性可得另一个交点在$(-2,0)$和$(-1,0)$之间。
① 当$x=-1$时，$y=a-b+c$，$x=-1$位于两个交点之间，开口向下时该区间内函数值为正，因此$a-b+c＞0$，结论①错误；
② 由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，得$b=-2a$，代入$x=-1$的函数值可得$y=a-b+c=a-(-2a)+c=3a+c＞0$，结论②正确；
③ 顶点纵坐标$n=\frac{4ac-b^2}{4a}$，整理得$4ac-b^2=4an$，移项可得$b^2=4a(c-n)$，结论③正确；
④ 方程$ax^2+bx+c=n-2$的根的个数等价于抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=n-2$的交点个数，抛物线最大值为$n$，$n-2＜n$，因此二者有2个交点，方程有两个不相等的实数根，结论④错误。
综上，正确的结论共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题重点考察二次函数图象与系数的关系，需要灵活运用抛物线的对称性、顶点坐标公式、二次函数和方程的联系解题，能较好地锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
解题时先利用抛物线的对称性，由对称轴为直线$x=1$、右侧交点在$(3,0)$和$(4,0)$之间，推出左侧交点在$(-2,0)$和$(-1,0)$之间；再结合对称轴公式得到$b=-2a$，最后根据特殊点的函数值、顶点坐标公式、二次函数与一元二次方程的对应关系，逐个判断4个结论即可。
【解析】
已知抛物线对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,n)$，开口向下，与$x$轴一个交点在$(3,0)$和$(4,0)$之间，由对称性可得另一个交点在$(-2,0)$和$(-1,0)$之间。
① 当$x=-1$时，$y=a-b+c$，$x=-1$位于两个交点之间，开口向下时该区间内函数值为正，因此$a-b+c＞0$，结论①错误；
② 由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，得$b=-2a$，代入$x=-1$的函数值可得$y=a-b+c=a-(-2a)+c=3a+c＞0$，结论②正确；
③ 顶点纵坐标$n=\frac{4ac-b^2}{4a}$，整理得$4ac-b^2=4an$，移项可得$b^2=4a(c-n)$，结论③正确；
④ 方程$ax^2+bx+c=n-2$的根的个数等价于抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=n-2$的交点个数，抛物线最大值为$n$，$n-2＜n$，因此二者有2个交点，方程有两个不相等的实数根，结论④错误。
综上，正确的结论共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题重点考察二次函数图象与系数的关系，需要灵活运用抛物线的对称性、顶点坐标公式、二次函数和方程的联系解题，能较好地锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
7.若抛物线$y=x^2 - 2x + m$与$x$轴有两个不同的公共点，则$m$的取值范围是。
答案
解：
∵ 抛物线$y=x^2 - 2x + m$与$x$轴有两个不同的公共点，
∴ 一元二次方程$x^2 - 2x + m = 0$有两个不相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta = (-2)^2 - 4×1× m ＞ 0$，
即$4 - 4m ＞ 0$，
解得$m ＜ 1$。
∵ 抛物线$y=x^2 - 2x + m$与$x$轴有两个不同的公共点，
∴ 一元二次方程$x^2 - 2x + m = 0$有两个不相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta = (-2)^2 - 4×1× m ＞ 0$，
即$4 - 4m ＞ 0$，
解得$m ＜ 1$。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确二次函数与x轴交点个数和对应一元二次方程根的个数的对应关系：抛物线与x轴有两个不同公共点，等价于对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，此时可利用一元二次方程根的判别式Δ＞0建立关于m的不等式，解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
∵ 抛物线$y=x^2 - 2x + m$与$x$轴有两个不同的公共点，
∴ 一元二次方程$x^2 - 2x + m = 0$有两个不相等的实数根，
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta = b^2-4ac$，本题中$a=1,b=-2,c=m$，
∴ $\Delta = (-2)^2 - 4×1× m ＞ 0$，
即$4 - 4m ＞ 0$，
解得$m ＜ 1$。
【答案】
$m＜1$
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的联系
2.一元二次方程根的判别式
3.解一元一次不等式
【点评】
本题是二次函数的基础常规题型，解题核心是掌握二次函数图像与x轴交点个数和对应一元二次方程根的判别式的对应关系，将函数交点问题转化为方程根的问题求解即可，这类转化思想在二次函数相关问题中应用十分广泛。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先要明确二次函数与x轴交点个数和对应一元二次方程根的个数的对应关系：抛物线与x轴有两个不同公共点，等价于对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，此时可利用一元二次方程根的判别式Δ＞0建立关于m的不等式，解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
∵ 抛物线$y=x^2 - 2x + m$与$x$轴有两个不同的公共点，
∴ 一元二次方程$x^2 - 2x + m = 0$有两个不相等的实数根，
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta = b^2-4ac$，本题中$a=1,b=-2,c=m$，
∴ $\Delta = (-2)^2 - 4×1× m ＞ 0$，
即$4 - 4m ＞ 0$，
解得$m ＜ 1$。
【答案】
$m＜1$
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的联系
2.一元二次方程根的判别式
3.解一元一次不等式
【点评】
本题是二次函数的基础常规题型，解题核心是掌握二次函数图像与x轴交点个数和对应一元二次方程根的判别式的对应关系，将函数交点问题转化为方程根的问题求解即可，这类转化思想在二次函数相关问题中应用十分广泛。
【难度系数】
0.8
