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15.(新中考·新定义)我们定义一种新函数:形如$y=|ax^2+bx+c|(a≠0$且$b^2-4ac＞0)$的函数叫作“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数$y=|x^2-2x-3|$的图象(
),并写出下列五个结论:
①图象与坐标轴的交点为$(-1,0),(3,0)$和$(0,3)$;
②图象具有对称性,对称轴是直线$x=1$;
③当$-1≤x≤1$或$x≥3$时,函数值$y$随$x$的增大而增大;
④当$x=-1$或$x=3$时,函数取得最小值,最小值为0;
⑤当$x=1$时,函数取得最大值,最大值为4.
其中正确结论的个数是.
),并写出下列五个结论:①图象与坐标轴的交点为$(-1,0),(3,0)$和$(0,3)$;
②图象具有对称性,对称轴是直线$x=1$;
③当$-1≤x≤1$或$x≥3$时,函数值$y$随$x$的增大而增大;
④当$x=-1$或$x=3$时,函数取得最小值,最小值为0;
⑤当$x=1$时,函数取得最大值,最大值为4.
其中正确结论的个数是.
答案
解：
① 令$x=0$，得$y=|0-0-3|=3$，函数过点$(0,3)$；
令$y=0$，即$|x^2-2x-3|=0$，解得$x^2-2x-3=0$，$x_1=-1$，$x_2=3$，函数过点$(-1,0)$、$(3,0)$，故①正确。
② 原二次函数$y=x^2-2x-3$的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=\frac{2}{2}=1$，函数$y=|x^2-2x-3|$的图象关于直线$x=1$对称，故②正确。
③ 分两段分析单调性：
当$x≤-1$或$x≥3$时，$y=x^2-2x-3$，开口向上，对称轴为$x=1$，因此$x≥3$时$y$随$x$的增大而增大，$x≤-1$时$y$随$x$的增大而减小；
当$-1＜x＜3$时，$y=-x^2+2x+3$，开口向下，对称轴为$x=1$，因此$-1≤ x≤1$时$y$随$x$的增大而增大，$1＜x＜3$时$y$随$x$的增大而减小；
综上，当$-1≤ x≤1$或$x≥3$时，$y$随$x$的增大而增大，故③正确。
④ 函数$y=|x^2-2x-3|≥0$，当$x=-1$或$x=3$时$y=0$，取得最小值0，故④正确。
⑤ 当$x=1$时，$y=|1-2-3|=4$，但当$x\rightarrow+∞$或$x\rightarrow-∞$时，$y\rightarrow+∞$，函数不存在最大值，故⑤错误。
综上，正确结论的个数是$\boldsymbol{4}$。
① 令$x=0$，得$y=|0-0-3|=3$，函数过点$(0,3)$；
令$y=0$，即$|x^2-2x-3|=0$，解得$x^2-2x-3=0$，$x_1=-1$，$x_2=3$，函数过点$(-1,0)$、$(3,0)$，故①正确。
② 原二次函数$y=x^2-2x-3$的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=\frac{2}{2}=1$，函数$y=|x^2-2x-3|$的图象关于直线$x=1$对称，故②正确。
③ 分两段分析单调性：
当$x≤-1$或$x≥3$时，$y=x^2-2x-3$，开口向上，对称轴为$x=1$，因此$x≥3$时$y$随$x$的增大而增大，$x≤-1$时$y$随$x$的增大而减小；
当$-1＜x＜3$时，$y=-x^2+2x+3$，开口向下，对称轴为$x=1$，因此$-1≤ x≤1$时$y$随$x$的增大而增大，$1＜x＜3$时$y$随$x$的增大而减小；
综上，当$-1≤ x≤1$或$x≥3$时，$y$随$x$的增大而增大，故③正确。
④ 函数$y=|x^2-2x-3|≥0$，当$x=-1$或$x=3$时$y=0$，取得最小值0，故④正确。
⑤ 当$x=1$时，$y=|1-2-3|=4$，但当$x\rightarrow+∞$或$x\rightarrow-∞$时，$y\rightarrow+∞$，函数不存在最大值，故⑤错误。
综上，正确结论的个数是$\boldsymbol{4}$。
解析
【分析】
本题考查新定义下的绝对值型二次函数的性质，解题思路如下：首先明确“鹊桥”函数$y=|ax^2+bx+c|$的图象是将原二次函数$y=ax^2+bx+c$x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方得到，再依次对5个结论逐一验证：①求与坐标轴交点时，分别令x=0求y、令y=0求x即可；②翻折不改变原二次函数的对称轴，可通过对称轴公式直接计算；③分析单调性需分绝对值内式子正负的两个区间，分别对应两个开口方向不同的二次函数，结合各自对称轴判断增减性；④根据绝对值非负性可判断函数最小值；⑤判断最大值时，需注意x趋向正负无穷时函数值的变化，不要仅关注中间区间的极值。
【解析】
① 求图象与坐标轴交点：令$x=0$，得$y=|0-0-3|=3$，即图象过点$(0,3)$；令$y=0$，得$|x^2-2x-3|=0$，即$x^2-2x-3=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$，即图象过点$(-1,0)$、$(3,0)$，故①正确。
② 原二次函数$y=x^2-2x-3$的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=\frac{2}{2}=1$，翻折后函数图象的对称轴不变，仍为直线$x=1$，故②正确。
③ 分区间分析单调性：
当$x≤-1$或$x≥3$时，$x^2-2x-3≥0$，此时$y=x^2-2x-3$，该函数开口向上，对称轴为$x=1$，因此$x≥3$时$y$随$x$的增大而增大，$x≤-1$时$y$随$x$的增大而减小；
当$-1＜x＜3$时，$x^2-2x-3＜0$，此时$y=-x^2+2x+3$，该函数开口向下，对称轴为$x=1$，因此$-1≤x≤1$时$y$随$x$的增大而增大，$1＜x＜3$时$y$随$x$的增大而减小；
综上，当$-1≤x≤1$或$x≥3$时，函数值$y$随$x$的增大而增大，故③正确。
④ 由绝对值的非负性可得$y=|x^2-2x-3|≥0$，当$x=-1$或$x=3$时，$y=0$，为函数的最小值，故④正确。
⑤ 当$x=1$时，$y=|1-2-3|=4$，这是图象中间段的最大值，但当$x\rightarrow+∞$或$x\rightarrow-∞$时，$x^2-2x-3$的值趋向正无穷，因此$y=|x^2-2x-3|$的值也趋向正无穷，函数不存在最大值，故⑤错误。
综上，正确的结论为①②③④，共4个。
【答案】
4
【知识点】
二次函数的性质，绝对值的性质，新定义函数运算
【点评】
本题结合新定义考查二次函数的核心知识点，解题的关键是理解绝对值对二次函数图象的翻折作用，分区间讨论函数的增减性与最值，易错点是容易忽略x趋向无穷时函数值的变化，误判函数存在最大值。
【难度系数】
0.6
本题考查新定义下的绝对值型二次函数的性质，解题思路如下：首先明确“鹊桥”函数$y=|ax^2+bx+c|$的图象是将原二次函数$y=ax^2+bx+c$x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方得到，再依次对5个结论逐一验证：①求与坐标轴交点时，分别令x=0求y、令y=0求x即可；②翻折不改变原二次函数的对称轴，可通过对称轴公式直接计算；③分析单调性需分绝对值内式子正负的两个区间，分别对应两个开口方向不同的二次函数，结合各自对称轴判断增减性；④根据绝对值非负性可判断函数最小值；⑤判断最大值时，需注意x趋向正负无穷时函数值的变化，不要仅关注中间区间的极值。
【解析】
① 求图象与坐标轴交点：令$x=0$，得$y=|0-0-3|=3$，即图象过点$(0,3)$；令$y=0$，得$|x^2-2x-3|=0$，即$x^2-2x-3=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$，即图象过点$(-1,0)$、$(3,0)$，故①正确。
② 原二次函数$y=x^2-2x-3$的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=\frac{2}{2}=1$，翻折后函数图象的对称轴不变，仍为直线$x=1$，故②正确。
③ 分区间分析单调性：
当$x≤-1$或$x≥3$时，$x^2-2x-3≥0$，此时$y=x^2-2x-3$，该函数开口向上，对称轴为$x=1$，因此$x≥3$时$y$随$x$的增大而增大，$x≤-1$时$y$随$x$的增大而减小；
当$-1＜x＜3$时，$x^2-2x-3＜0$，此时$y=-x^2+2x+3$，该函数开口向下，对称轴为$x=1$，因此$-1≤x≤1$时$y$随$x$的增大而增大，$1＜x＜3$时$y$随$x$的增大而减小；
综上，当$-1≤x≤1$或$x≥3$时，函数值$y$随$x$的增大而增大，故③正确。
④ 由绝对值的非负性可得$y=|x^2-2x-3|≥0$，当$x=-1$或$x=3$时，$y=0$，为函数的最小值，故④正确。
⑤ 当$x=1$时，$y=|1-2-3|=4$，这是图象中间段的最大值，但当$x\rightarrow+∞$或$x\rightarrow-∞$时，$x^2-2x-3$的值趋向正无穷，因此$y=|x^2-2x-3|$的值也趋向正无穷，函数不存在最大值，故⑤错误。
综上，正确的结论为①②③④，共4个。
【答案】
4
【知识点】
二次函数的性质，绝对值的性质，新定义函数运算
【点评】
本题结合新定义考查二次函数的核心知识点，解题的关键是理解绝对值对二次函数图象的翻折作用，分区间讨论函数的增减性与最值，易错点是容易忽略x趋向无穷时函数值的变化，误判函数存在最大值。
【难度系数】
0.6
16.(运算能力)如图，抛物线$y=ax^2+2ax+3$与$x$轴交于$A$，$B$两点(点$A$在点$B$左侧)，与$y$轴交于点$C$，$P(-2,1)$为直线$AC$上一点.
(1)求$a$的值；
(2)若$Q$是第二象限内抛物线上一点，过点$Q$作$QM// y$轴交$AC$于点$M$.
①当点$Q$是抛物线的顶点时，求$QM$的长；
②依次连接$BC$，$CQ$，$QP$，$PB$，求四边形$BCQP$面积的最大值.
(1)求$a$的值；
(2)若$Q$是第二象限内抛物线上一点，过点$Q$作$QM// y$轴交$AC$于点$M$.
①当点$Q$是抛物线的顶点时，求$QM$的长；
②依次连接$BC$，$CQ$，$QP$，$PB$，求四边形$BCQP$面积的最大值.
答案
解：
(1) 对于抛物线$y=ax^2+2ax+3$，令$x=0$，得$y=3$，
$\therefore C(0,3)$。
设直线$AC$的解析式为$y=kx+b$，将$C(0,3)$、$P(-2,1)$代入得：
$\begin{cases} b=3 \\ -2k + b =1 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=1 \\ b=3 \end{cases}$
$\therefore$ 直线$AC$的解析式为$y=x+3$。
令$y=0$，得$x+3=0$，解得$x=-3$，$\therefore A(-3,0)$。
将$A(-3,0)$代入抛物线解析式得：
$0 = a· (-3)^2 + 2a· (-3) + 3$，即$3a +3=0$，
解得$a=-1$。
(2) ① 由(1)得抛物线解析式为$y=-x^2-2x+3$，
配方得$y=-(x+1)^2+4$，
$\therefore$ 抛物线顶点$Q$的坐标为$(-1,4)$。
$\because QM// y$轴，点$M$在$AC$上，
$\therefore M$的横坐标为$-1$，将$x=-1$代入$y=x+3$，得$y=2$，即$M(-1,2)$，
$\therefore QM=4-2=2$。
② 令抛物线$y=-x^2-2x+3$中$y=0$，即$-x^2-2x+3=0$，
解得$x=-3$或$x=1$，$\therefore B(1,0)$。
$\because A(-3,0), B(1,0), C(0,3)$，$\therefore AB=4$，
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · AB · OC = \frac{1}{2} × 4 × 3 =6$，
$S_{△ ABP} = \frac{1}{2} · AB · y_P = \frac{1}{2} ×4 ×1 =2$，
$\therefore S_{△ BCP} = S_{△ ABC} - S_{△ ABP} =6-2=4$。
设点$Q$的横坐标为$t$（$-3＜t＜0$），则$Q(t, -t^2-2t+3)$，
$\because QM// y$轴交$AC$于$M$，$\therefore M(t, t+3)$，
$\therefore QM = (-t^2-2t+3)-(t+3) = -t^2-3t$。
将$△ CQP$以$QM$为底分割为两部分，两个三角形的水平高之和为$0 - (-2)=2$，
$\therefore S_{△ CQP} = \frac{1}{2} · QM · 2 = QM = -t^2-3t$。
$\therefore S_{四边形BCQP} = S_{△ BCP} + S_{△ CQP} = 4 - t^2 -3t$
$= -(t+\frac{3}{2})^2 + \frac{25}{4}$。
$\because -1＜0$，且$-3＜-\frac{3}{2}＜0$，
$\therefore$ 当$t=-\frac{3}{2}$时，四边形$BCQP$的面积取得最大值，最大值为$\frac{25}{4}$。
(1) 对于抛物线$y=ax^2+2ax+3$，令$x=0$，得$y=3$，
$\therefore C(0,3)$。
设直线$AC$的解析式为$y=kx+b$，将$C(0,3)$、$P(-2,1)$代入得：
$\begin{cases} b=3 \\ -2k + b =1 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=1 \\ b=3 \end{cases}$
$\therefore$ 直线$AC$的解析式为$y=x+3$。
令$y=0$，得$x+3=0$，解得$x=-3$，$\therefore A(-3,0)$。
将$A(-3,0)$代入抛物线解析式得：
$0 = a· (-3)^2 + 2a· (-3) + 3$，即$3a +3=0$，
解得$a=-1$。
(2) ① 由(1)得抛物线解析式为$y=-x^2-2x+3$，
配方得$y=-(x+1)^2+4$，
$\therefore$ 抛物线顶点$Q$的坐标为$(-1,4)$。
$\because QM// y$轴，点$M$在$AC$上，
$\therefore M$的横坐标为$-1$，将$x=-1$代入$y=x+3$，得$y=2$，即$M(-1,2)$，
$\therefore QM=4-2=2$。
② 令抛物线$y=-x^2-2x+3$中$y=0$，即$-x^2-2x+3=0$，
解得$x=-3$或$x=1$，$\therefore B(1,0)$。
$\because A(-3,0), B(1,0), C(0,3)$，$\therefore AB=4$，
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · AB · OC = \frac{1}{2} × 4 × 3 =6$，
$S_{△ ABP} = \frac{1}{2} · AB · y_P = \frac{1}{2} ×4 ×1 =2$，
$\therefore S_{△ BCP} = S_{△ ABC} - S_{△ ABP} =6-2=4$。
设点$Q$的横坐标为$t$（$-3＜t＜0$），则$Q(t, -t^2-2t+3)$，
$\because QM// y$轴交$AC$于$M$，$\therefore M(t, t+3)$，
$\therefore QM = (-t^2-2t+3)-(t+3) = -t^2-3t$。
将$△ CQP$以$QM$为底分割为两部分，两个三角形的水平高之和为$0 - (-2)=2$，
$\therefore S_{△ CQP} = \frac{1}{2} · QM · 2 = QM = -t^2-3t$。
$\therefore S_{四边形BCQP} = S_{△ BCP} + S_{△ CQP} = 4 - t^2 -3t$
$= -(t+\frac{3}{2})^2 + \frac{25}{4}$。
$\because -1＜0$，且$-3＜-\frac{3}{2}＜0$，
$\therefore$ 当$t=-\frac{3}{2}$时，四边形$BCQP$的面积取得最大值，最大值为$\frac{25}{4}$。
解析
【分析】
(1) 要求$a$的值，需先得到抛物线上已知点的坐标：首先根据抛物线解析式求出与$y$轴交点$C$的坐标，结合点$P$在$AC$上，用待定系数法求出直线$AC$的解析式，进而得到$A$点坐标，将$A$代入抛物线解析式即可求出$a$。
(2) ① 将(1)求出的$a$代入抛物线解析式，配方得到顶点$Q$的坐标；由$QM// y$轴可知$M$的横坐标与$Q$相同，代入直线$AC$解析式得到$M$的纵坐标，二者纵坐标作差即可得$QM$的长度。
② 先求出$B$点坐标，计算出固定的$△ BCP$的面积；设$Q$的横坐标为$t$，用$t$表示出$QM$的长度，将$△ CQP$拆分为两个同底的三角形，底为$QM$，水平高之和为2，即可用$t$表示$△ CQP$的面积，进而得到四边形$BCQP$的面积关于$t$的二次函数，利用配方法求最大值即可。
【解析】
(1) 对于抛物线$y=ax^2+2ax+3$，令$x=0$，得$y=3$，$\therefore C(0,3)$。
设直线$AC$的解析式为$y=kx+b$，将$C(0,3)$、$P(-2,1)$代入得：
$\begin{cases} b=3 \\ -2k + b =1 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=1 \\ b=3 \end{cases}$
$\therefore$ 直线$AC$的解析式为$y=x+3$。
令$y=0$，得$x+3=0$，解得$x=-3$，$\therefore A(-3,0)$。
将$A(-3,0)$代入抛物线解析式得：
$0 = a· (-3)^2 + 2a· (-3) + 3$，即$3a +3=0$，
解得$a=-1$。
(2) ① 由(1)得抛物线解析式为$y=-x^2-2x+3$，
配方得$y=-(x+1)^2+4$，
$\therefore$ 抛物线顶点$Q$的坐标为$(-1,4)$。
$\because QM// y$轴，点$M$在$AC$上，
$\therefore M$的横坐标为$-1$，将$x=-1$代入$y=x+3$，得$y=2$，即$M(-1,2)$，
$\therefore QM=4-2=2$。
② 令抛物线$y=-x^2-2x+3$中$y=0$，即$-x^2-2x+3=0$，
解得$x=-3$或$x=1$，$\therefore B(1,0)$。
$\because A(-3,0), B(1,0), C(0,3)$，$\therefore AB=4$，
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · AB · OC = \frac{1}{2} × 4 × 3 =6$，
$S_{△ ABP} = \frac{1}{2} · AB · y_P = \frac{1}{2} ×4 ×1 =2$，
$\therefore S_{△ BCP} = S_{△ ABC} - S_{△ ABP} =6-2=4$。
设点$Q$的横坐标为$t$（$-3＜t＜0$），则$Q(t, -t^2-2t+3)$，
$\because QM// y$轴交$AC$于$M$，$\therefore M(t, t+3)$，
$\therefore QM = (-t^2-2t+3)-(t+3) = -t^2-3t$。
将$△ CQP$以$QM$为底分割为两部分，两个三角形的水平高之和为$0 - (-2)=2$，
$\therefore S_{△ CQP} = \frac{1}{2} · QM · 2 = QM = -t^2-3t$。
$\therefore S_{四边形BCQP} = S_{△ BCP} + S_{△ CQP} = 4 - t^2 -3t$
$= -(t+\frac{3}{2})^2 + \frac{25}{4}$。
$\because -1＜0$，且$-3＜-\frac{3}{2}＜0$，
$\therefore$ 当$t=-\frac{3}{2}$时，四边形$BCQP$的面积取得最大值，最大值为$\frac{25}{4}$。
【答案】
(1) $a=-1$；(2) ① $QM$的长为$2$；② 四边形$BCQP$面积的最大值为$\frac{25}{4}$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的性质，割补法求面积
【点评】
本题是二次函数与一次函数结合的综合题，考查了函数解析式的求解、二次函数顶点坐标、配方法求最值以及不规则图形面积的计算，解题时通过割补法将不规则四边形拆分为固定面积和可变面积两部分，简化了计算，是二次函数应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
(1) 要求$a$的值，需先得到抛物线上已知点的坐标：首先根据抛物线解析式求出与$y$轴交点$C$的坐标，结合点$P$在$AC$上，用待定系数法求出直线$AC$的解析式，进而得到$A$点坐标，将$A$代入抛物线解析式即可求出$a$。
(2) ① 将(1)求出的$a$代入抛物线解析式，配方得到顶点$Q$的坐标；由$QM// y$轴可知$M$的横坐标与$Q$相同，代入直线$AC$解析式得到$M$的纵坐标，二者纵坐标作差即可得$QM$的长度。
② 先求出$B$点坐标，计算出固定的$△ BCP$的面积；设$Q$的横坐标为$t$，用$t$表示出$QM$的长度，将$△ CQP$拆分为两个同底的三角形，底为$QM$，水平高之和为2，即可用$t$表示$△ CQP$的面积，进而得到四边形$BCQP$的面积关于$t$的二次函数，利用配方法求最大值即可。
【解析】
(1) 对于抛物线$y=ax^2+2ax+3$，令$x=0$，得$y=3$，$\therefore C(0,3)$。
设直线$AC$的解析式为$y=kx+b$，将$C(0,3)$、$P(-2,1)$代入得：
$\begin{cases} b=3 \\ -2k + b =1 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=1 \\ b=3 \end{cases}$
$\therefore$ 直线$AC$的解析式为$y=x+3$。
令$y=0$，得$x+3=0$，解得$x=-3$，$\therefore A(-3,0)$。
将$A(-3,0)$代入抛物线解析式得：
$0 = a· (-3)^2 + 2a· (-3) + 3$，即$3a +3=0$，
解得$a=-1$。
(2) ① 由(1)得抛物线解析式为$y=-x^2-2x+3$，
配方得$y=-(x+1)^2+4$，
$\therefore$ 抛物线顶点$Q$的坐标为$(-1,4)$。
$\because QM// y$轴，点$M$在$AC$上，
$\therefore M$的横坐标为$-1$，将$x=-1$代入$y=x+3$，得$y=2$，即$M(-1,2)$，
$\therefore QM=4-2=2$。
② 令抛物线$y=-x^2-2x+3$中$y=0$，即$-x^2-2x+3=0$，
解得$x=-3$或$x=1$，$\therefore B(1,0)$。
$\because A(-3,0), B(1,0), C(0,3)$，$\therefore AB=4$，
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · AB · OC = \frac{1}{2} × 4 × 3 =6$，
$S_{△ ABP} = \frac{1}{2} · AB · y_P = \frac{1}{2} ×4 ×1 =2$，
$\therefore S_{△ BCP} = S_{△ ABC} - S_{△ ABP} =6-2=4$。
设点$Q$的横坐标为$t$（$-3＜t＜0$），则$Q(t, -t^2-2t+3)$，
$\because QM// y$轴交$AC$于$M$，$\therefore M(t, t+3)$，
$\therefore QM = (-t^2-2t+3)-(t+3) = -t^2-3t$。
将$△ CQP$以$QM$为底分割为两部分，两个三角形的水平高之和为$0 - (-2)=2$，
$\therefore S_{△ CQP} = \frac{1}{2} · QM · 2 = QM = -t^2-3t$。
$\therefore S_{四边形BCQP} = S_{△ BCP} + S_{△ CQP} = 4 - t^2 -3t$
$= -(t+\frac{3}{2})^2 + \frac{25}{4}$。
$\because -1＜0$，且$-3＜-\frac{3}{2}＜0$，
$\therefore$ 当$t=-\frac{3}{2}$时，四边形$BCQP$的面积取得最大值，最大值为$\frac{25}{4}$。
【答案】
(1) $a=-1$；(2) ① $QM$的长为$2$；② 四边形$BCQP$面积的最大值为$\frac{25}{4}$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的性质，割补法求面积
【点评】
本题是二次函数与一次函数结合的综合题，考查了函数解析式的求解、二次函数顶点坐标、配方法求最值以及不规则图形面积的计算，解题时通过割补法将不规则四边形拆分为固定面积和可变面积两部分，简化了计算，是二次函数应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
