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10.已知二次函数$y=-x^2+bx+c$的图象经过点$(c,0)$，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是（写出一个即可）。
答案
$\boldsymbol{y=-x^2+x+2}$（答案不唯一）
解析
【分析】
解题时可按以下思路思考：① 函数图象经过某点，说明该点坐标满足函数解析式，因此先将点$(c,0)$代入二次函数表达式，得到关于$b$、$c$的方程；② 图象不经过原点，说明原点$(0,0)$不满足解析式，代入可推出$c≠0$；③ 结合$c≠0$的条件化简第一步得到的方程，就能得到$b$和$c$的关系，任取一个不为0的$c$值，即可算出对应的$b$，写出符合要求的解析式。
【解析】
第一步：将点$(c,0)$代入二次函数$y=-x^2+bx+c$，得：
$0 = -c^2 + bc + c$
第二步：因为二次函数图象不经过原点$(0,0)$，将$x=0$代入解析式得$y=c$，因此$c≠0$；
第三步：由于$c≠0$，将第一步得到的等式两边同时除以$c$，可得：
$0 = -c + b + 1$，整理得$b = c - 1$
第四步：取任意不为0的$c$值即可得到对应解析式，例如取$c=2$，则$b=2-1=1$，代入得解析式$y=-x^2+x+2$，满足要求。
【答案】
$\boldsymbol{y=-x^2+x+2}$（答案不唯一）
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题为开放性试题，核心考查二次函数图象与解析式的对应关系，解题时需注意“不经过原点”这一限制条件，避免出现$c=0$的错误，只要满足$b=c-1$且$c≠0$的解析式均符合要求。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路思考：① 函数图象经过某点，说明该点坐标满足函数解析式，因此先将点$(c,0)$代入二次函数表达式，得到关于$b$、$c$的方程；② 图象不经过原点，说明原点$(0,0)$不满足解析式，代入可推出$c≠0$；③ 结合$c≠0$的条件化简第一步得到的方程，就能得到$b$和$c$的关系，任取一个不为0的$c$值，即可算出对应的$b$，写出符合要求的解析式。
【解析】
第一步：将点$(c,0)$代入二次函数$y=-x^2+bx+c$，得：
$0 = -c^2 + bc + c$
第二步：因为二次函数图象不经过原点$(0,0)$，将$x=0$代入解析式得$y=c$，因此$c≠0$；
第三步：由于$c≠0$，将第一步得到的等式两边同时除以$c$，可得：
$0 = -c + b + 1$，整理得$b = c - 1$
第四步：取任意不为0的$c$值即可得到对应解析式，例如取$c=2$，则$b=2-1=1$，代入得解析式$y=-x^2+x+2$，满足要求。
【答案】
$\boldsymbol{y=-x^2+x+2}$（答案不唯一）
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题为开放性试题，核心考查二次函数图象与解析式的对应关系，解题时需注意“不经过原点”这一限制条件，避免出现$c=0$的错误，只要满足$b=c-1$且$c≠0$的解析式均符合要求。
【难度系数】
0.7
11.抛物线$y=ax^2+bx+c$的顶点为$(-1,-2)$，抛物线与$y$轴的交点位于$x$轴上方，以下结论正确的是 （）
A.$a＜0$
B.$c＜0$
C.$a-b+c=-2$
D.$b^2-4ac=0$
A.$a＜0$
B.$c＜0$
C.$a-b+c=-2$
D.$b^2-4ac=0$
答案
C
解析
【分析】
解题时先梳理题目给出的已知条件：抛物线顶点为(-1,-2)、与y轴交点在x轴上方，再结合二次函数的性质逐一判断选项：首先根据顶点和y轴交点的位置判断开口方向确定a的符号，再根据y轴交点的意义判断c的符号，接着代入x=-1验证a-b+c的值，最后根据抛物线与x轴的交点个数判断判别式的符号，最终选出正确选项。
【解析】
解：由题意得已知条件：①抛物线顶点为(-1,-2)，即x=-1时，抛物线上对应点的纵坐标为-2；②抛物线与y轴交点在x轴上方，即x=0时，y=c＞0。
选项A：顶点纵坐标为-2，x=0时y=c＞0＞-2，说明抛物线开口向上，即a＞0，A错误；
选项B：抛物线与y轴交点的纵坐标为c，交点在x轴上方可得c＞0，B错误；
选项C：将x=-1代入抛物线解析式得y=a·(-1)² + b·(-1) + c = a - b + c，因点(-1,-2)在抛物线上，故此时y=-2，即a-b+c=-2，C正确；
选项D：抛物线开口向上，顶点纵坐标为-2＜0，说明抛物线与x轴有2个交点，故判别式Δ=b²-4ac＞0，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数系数与图象的关系；二次函数的判别式
【点评】
本题侧重考查二次函数基础性质的应用，需要结合顶点坐标、特殊点函数值、开口方向等条件综合分析，熟练掌握二次函数的相关基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理题目给出的已知条件：抛物线顶点为(-1,-2)、与y轴交点在x轴上方，再结合二次函数的性质逐一判断选项：首先根据顶点和y轴交点的位置判断开口方向确定a的符号，再根据y轴交点的意义判断c的符号，接着代入x=-1验证a-b+c的值，最后根据抛物线与x轴的交点个数判断判别式的符号，最终选出正确选项。
【解析】
解：由题意得已知条件：①抛物线顶点为(-1,-2)，即x=-1时，抛物线上对应点的纵坐标为-2；②抛物线与y轴交点在x轴上方，即x=0时，y=c＞0。
选项A：顶点纵坐标为-2，x=0时y=c＞0＞-2，说明抛物线开口向上，即a＞0，A错误；
选项B：抛物线与y轴交点的纵坐标为c，交点在x轴上方可得c＞0，B错误；
选项C：将x=-1代入抛物线解析式得y=a·(-1)² + b·(-1) + c = a - b + c，因点(-1,-2)在抛物线上，故此时y=-2，即a-b+c=-2，C正确；
选项D：抛物线开口向上，顶点纵坐标为-2＜0，说明抛物线与x轴有2个交点，故判别式Δ=b²-4ac＞0，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数系数与图象的关系；二次函数的判别式
【点评】
本题侧重考查二次函数基础性质的应用，需要结合顶点坐标、特殊点函数值、开口方向等条件综合分析，熟练掌握二次函数的相关基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.7
12.(新课标·推理能力)如图,已知抛物线$y=ax^2+bx+c$的对称轴是直线$x=1$,且过点$(-1,0)$,顶点在第一象限,其部分图象如图所示,给出以下结论:①$ab＜0$;②$4a+2b+c＞0$;③$3a +c＞0$;④若$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$(其中$x_1＜x_2$)是抛物线上的两点,且$x_1+x_2＞2$,则$y_1＞y_2$.其中正确的选项是 ()
A.①②③
B.①③④
C.②③④
D.①②④
A.①②③
B.①③④
C.②③④
D.①②④
答案
D
解析
【分析】
解题时需结合二次函数的图象性质，逐个判断4个结论：首先根据对称轴公式得到a与b的关系，结合开口方向判断结论①；再利用二次函数的对称性，判断x=2时的函数值正负得到结论②；将已知交点(-1,0)代入解析式，结合a、b的关系推导3a+c的值判断结论③；最后根据抛物线的增减性，结合两点横坐标的和的条件判断结论④。
【解析】
已知抛物线对称轴为直线$x=1$，由对称轴公式得$-\frac{b}{2a}=1$，即$b=-2a$。
1. 判断①：由图象可知抛物线开口向下，故$a＜0$，则$b=-2a＞0$，因此$ab＜0$，①正确。
2. 判断②：当$x=2$时，函数值$y=4a+2b+c$。由于x=2和x=0关于对称轴x=1对称，二者函数值相等，从图象可见x=0时抛物线与y轴交于正半轴，即$y=c＞0$，因此$4a+2b+c＞0$，②正确。
3. 判断③：抛物线过点$(-1,0)$，代入解析式得$a-b+c=0$，将$b=-2a$代入得$a-(-2a)+c=3a+c=0$，故$3a+c＞0$不成立，③错误。
4. 判断④：抛物线开口向下，对称轴为x=1，离对称轴越远的点函数值越小。已知$x_1＜x_2$且$x_1+x_2＞2$，则$\frac{x_1+x_2}{2}＞1$，即两点中点在对称轴右侧，说明$x_2$到对称轴的距离大于$x_1$到对称轴的距离，因此$y_1＞y_2$，④正确。
综上，①②④正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数的增减性
【点评】
本题核心考查二次函数的图象与性质，需要结合图象信息、系数关系、对称性和增减性综合判断，熟练掌握基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时需结合二次函数的图象性质，逐个判断4个结论：首先根据对称轴公式得到a与b的关系，结合开口方向判断结论①；再利用二次函数的对称性，判断x=2时的函数值正负得到结论②；将已知交点(-1,0)代入解析式，结合a、b的关系推导3a+c的值判断结论③；最后根据抛物线的增减性，结合两点横坐标的和的条件判断结论④。
【解析】
已知抛物线对称轴为直线$x=1$，由对称轴公式得$-\frac{b}{2a}=1$，即$b=-2a$。
1. 判断①：由图象可知抛物线开口向下，故$a＜0$，则$b=-2a＞0$，因此$ab＜0$，①正确。
2. 判断②：当$x=2$时，函数值$y=4a+2b+c$。由于x=2和x=0关于对称轴x=1对称，二者函数值相等，从图象可见x=0时抛物线与y轴交于正半轴，即$y=c＞0$，因此$4a+2b+c＞0$，②正确。
3. 判断③：抛物线过点$(-1,0)$，代入解析式得$a-b+c=0$，将$b=-2a$代入得$a-(-2a)+c=3a+c=0$，故$3a+c＞0$不成立，③错误。
4. 判断④：抛物线开口向下，对称轴为x=1，离对称轴越远的点函数值越小。已知$x_1＜x_2$且$x_1+x_2＞2$，则$\frac{x_1+x_2}{2}＞1$，即两点中点在对称轴右侧，说明$x_2$到对称轴的距离大于$x_1$到对称轴的距离，因此$y_1＞y_2$，④正确。
综上，①②④正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数的增减性
【点评】
本题核心考查二次函数的图象与性质，需要结合图象信息、系数关系、对称性和增减性综合判断，熟练掌握基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
13.在平面直角坐标系中，二次函数$y=-x^2+mx+m^2+m$（$m$为常数）的图象经过点$(0,6)$，其对称轴在$y$轴右侧，则此二次函数有 （）
A.最小值7
B.最大值$\frac{33}{4}$
C.最大值7
D.最小值$\frac{33}{4}$
A.最小值7
B.最大值$\frac{33}{4}$
C.最大值7
D.最小值$\frac{33}{4}$
答案
C
解析
【分析】
解题时可按三步思考：第一步，函数图象过点$(0,6)$，将点坐标代入解析式即可得到关于$m$的方程，解出$m$的两个可能值；第二步，根据“对称轴在$y$轴右侧”的条件，结合对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$筛选出符合要求的$m$值；第三步，由二次项系数的符号判断函数有最大值还是最小值，再代入顶点纵坐标公式或配方法求出最值即可。
【解析】
1. 求参数$m$的可能值：
将点$(0,6)$代入二次函数$y=-x^2+mx+m^2+m$，得：
$m^2+m=6$
整理为$m^2+m-6=0$，因式分解得$(m+3)(m-2)=0$，解得$m_1=-3$，$m_2=2$。
2. 结合对称轴条件筛选$m$：
二次函数对称轴公式为$x=\frac{m}{2}$（代入$a=-1,b=m$计算所得），已知对称轴在$y$轴右侧，即$\frac{m}{2}＞0$，得$m＞0$，故舍去$m=-3$，取$m=2$。
3. 求函数最值：
将$m=2$代入原解析式得$y=-x^2+2x+6$，因二次项系数$a=-1＜0$，函数开口向下，有最大值。
对解析式配方：$y=-(x^2-2x)+6=-(x-1)^2+7$，可得函数最大值为7。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象与性质；待定系数法求参数；二次函数最值计算
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，核心考查利用已知条件确定函数参数，再结合图象性质求最值，需要熟练掌握二次函数对称轴、最值的计算方法，以及参数筛选的逻辑。
【难度系数】
0.7
解题时可按三步思考：第一步，函数图象过点$(0,6)$，将点坐标代入解析式即可得到关于$m$的方程，解出$m$的两个可能值；第二步，根据“对称轴在$y$轴右侧”的条件，结合对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$筛选出符合要求的$m$值；第三步，由二次项系数的符号判断函数有最大值还是最小值，再代入顶点纵坐标公式或配方法求出最值即可。
【解析】
1. 求参数$m$的可能值：
将点$(0,6)$代入二次函数$y=-x^2+mx+m^2+m$，得：
$m^2+m=6$
整理为$m^2+m-6=0$，因式分解得$(m+3)(m-2)=0$，解得$m_1=-3$，$m_2=2$。
2. 结合对称轴条件筛选$m$：
二次函数对称轴公式为$x=\frac{m}{2}$（代入$a=-1,b=m$计算所得），已知对称轴在$y$轴右侧，即$\frac{m}{2}＞0$，得$m＞0$，故舍去$m=-3$，取$m=2$。
3. 求函数最值：
将$m=2$代入原解析式得$y=-x^2+2x+6$，因二次项系数$a=-1＜0$，函数开口向下，有最大值。
对解析式配方：$y=-(x^2-2x)+6=-(x-1)^2+7$，可得函数最大值为7。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象与性质；待定系数法求参数；二次函数最值计算
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，核心考查利用已知条件确定函数参数，再结合图象性质求最值，需要熟练掌握二次函数对称轴、最值的计算方法，以及参数筛选的逻辑。
【难度系数】
0.7
14.(数形结合思想)已知二次函数$y=-x^2+2x+3$。
(1)求函数图象的顶点坐标，并画出这个函数的图象；
(2)根据图象，直接写出：
①当函数值$y$为正数时，自变量$x$的取值范围；
②当$-2＜x＜0$时，函数值$y$的取值范围；
③当$2≤x≤4$时，$y$的最大值为，最小值为。
(1)求函数图象的顶点坐标，并画出这个函数的图象；
(2)根据图象，直接写出：
①当函数值$y$为正数时，自变量$x$的取值范围；
②当$-2＜x＜0$时，函数值$y$的取值范围；
③当$2≤x≤4$时，$y$的最大值为，最小值为。
答案
解：
(1) 对二次函数配方得：
$y=-x^2+2x+3=-(x^2-2x)+3=-(x-1)^2+4$
∴ 函数图象的顶点坐标为$(1,4)$。
令$y=0$，则$-x^2+2x+3=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$，即抛物线与x轴交点为$(-1,0)$、$(3,0)$；
令$x=0$，得$y=3$，即抛物线与y轴交点为$(0,3)$，取对称点$(2,3)$，在坐标系中描出上述各点，用平滑曲线连接，即可得到开口向下的该函数图象。
(2) ① 当函数值$y$为正数时，自变量$x$的取值范围是$\boldsymbol{-1＜x＜3}$；
② 当$-2＜x＜0$时，函数值$y$的取值范围是$\boldsymbol{-5＜y＜3}$；
③ 当$2≤x≤4$时，$y$的最大值为$\boldsymbol{3}$，最小值为$\boldsymbol{-5}$。
(1) 对二次函数配方得：
$y=-x^2+2x+3=-(x^2-2x)+3=-(x-1)^2+4$
∴ 函数图象的顶点坐标为$(1,4)$。
令$y=0$，则$-x^2+2x+3=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$，即抛物线与x轴交点为$(-1,0)$、$(3,0)$；
令$x=0$，得$y=3$，即抛物线与y轴交点为$(0,3)$，取对称点$(2,3)$，在坐标系中描出上述各点，用平滑曲线连接，即可得到开口向下的该函数图象。
(2) ① 当函数值$y$为正数时，自变量$x$的取值范围是$\boldsymbol{-1＜x＜3}$；
② 当$-2＜x＜0$时，函数值$y$的取值范围是$\boldsymbol{-5＜y＜3}$；
③ 当$2≤x≤4$时，$y$的最大值为$\boldsymbol{3}$，最小值为$\boldsymbol{-5}$。
解析
【分析】
(1)求解二次函数顶点坐标可使用配方法，将函数的一般式转化为顶点式，即可直接得到顶点坐标；绘制函数图象时，先确定抛物线的顶点、与x轴的交点、与y轴的交点及其对称点这几个关键特征点，再用平滑曲线顺次连接各点即可得到函数图象。
(2)①函数值y为正数对应图象在x轴上方的部分，对应的自变量x的取值就是抛物线与x轴两个交点之间的区间；②首先判断区间$-2＜x＜0$在对称轴$x=1$的左侧，开口向下的抛物线在对称轴左侧y随x的增大而增大，计算区间两端点的函数值即可得到y的取值范围；③区间$2≤x≤4$在对称轴右侧，开口向下的抛物线在对称轴右侧y随x的增大而减小，因此最大值在区间左端点处取得，最小值在区间右端点处取得，代入计算即可得到结果。
【解析】
(1) 对二次函数配方：
$y=-x^2+2x+3=-(x^2-2x)+3=-(x-1)^2+4$
因此函数图象的顶点坐标为$(1,4)$。
令$y=0$，则$-x^2+2x+3=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$，即抛物线与x轴交点为$(-1,0)$、$(3,0)$；
令$x=0$，得$y=3$，即抛物线与y轴交点为$(0,3)$，其关于对称轴$x=1$的对称点为$(2,3)$；
在坐标系中描出上述各点，用平滑曲线连接，即可得到开口向下的该二次函数图象。
(2) ①观察图象可得，当图象在x轴上方时，$x$的取值范围是$-1＜x＜3$，即y为正数时，$-1＜x＜3$；
②当$x=-2$时，$y=-(-2)^2+2×(-2)+3=-5$；当$x=0$时，$y=3$，又因为$-2＜x＜0$在对称轴左侧，y随x增大而增大，因此函数值y的取值范围是$-5＜y＜3$；
③$2≤x≤4$在对称轴$x=1$的右侧，y随x的增大而减小，因此当$x=2$时，y取得最大值，最大值为$y=-2^2+2×2+3=3$；当$x=4$时，y取得最小值，最小值为$y=-4^2+2×4+3=-5$。
【答案】
(1) 顶点坐标为$(1,4)$，图象见解析；
(2) ①$\boldsymbol{-1＜x＜3}$；②$\boldsymbol{-5＜y＜3}$；③$\boldsymbol{3}$，$\boldsymbol{-5}$
【知识点】
配方法求二次函数顶点、二次函数的图象与性质、二次函数的最值
【点评】
本题考查二次函数的基础应用，渗透数形结合的思想，需要熟练掌握二次函数一般式向顶点式的转化方法，能结合图象分析函数值的取值范围和区间最值，是二次函数部分的常规题型。
【难度系数】
0.75
(1)求解二次函数顶点坐标可使用配方法，将函数的一般式转化为顶点式，即可直接得到顶点坐标；绘制函数图象时，先确定抛物线的顶点、与x轴的交点、与y轴的交点及其对称点这几个关键特征点，再用平滑曲线顺次连接各点即可得到函数图象。
(2)①函数值y为正数对应图象在x轴上方的部分，对应的自变量x的取值就是抛物线与x轴两个交点之间的区间；②首先判断区间$-2＜x＜0$在对称轴$x=1$的左侧，开口向下的抛物线在对称轴左侧y随x的增大而增大，计算区间两端点的函数值即可得到y的取值范围；③区间$2≤x≤4$在对称轴右侧，开口向下的抛物线在对称轴右侧y随x的增大而减小，因此最大值在区间左端点处取得，最小值在区间右端点处取得，代入计算即可得到结果。
【解析】
(1) 对二次函数配方：
$y=-x^2+2x+3=-(x^2-2x)+3=-(x-1)^2+4$
因此函数图象的顶点坐标为$(1,4)$。
令$y=0$，则$-x^2+2x+3=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$，即抛物线与x轴交点为$(-1,0)$、$(3,0)$；
令$x=0$，得$y=3$，即抛物线与y轴交点为$(0,3)$，其关于对称轴$x=1$的对称点为$(2,3)$；
在坐标系中描出上述各点，用平滑曲线连接，即可得到开口向下的该二次函数图象。
(2) ①观察图象可得，当图象在x轴上方时，$x$的取值范围是$-1＜x＜3$，即y为正数时，$-1＜x＜3$；
②当$x=-2$时，$y=-(-2)^2+2×(-2)+3=-5$；当$x=0$时，$y=3$，又因为$-2＜x＜0$在对称轴左侧，y随x增大而增大，因此函数值y的取值范围是$-5＜y＜3$；
③$2≤x≤4$在对称轴$x=1$的右侧，y随x的增大而减小，因此当$x=2$时，y取得最大值，最大值为$y=-2^2+2×2+3=3$；当$x=4$时，y取得最小值，最小值为$y=-4^2+2×4+3=-5$。
【答案】
(1) 顶点坐标为$(1,4)$，图象见解析；
(2) ①$\boldsymbol{-1＜x＜3}$；②$\boldsymbol{-5＜y＜3}$；③$\boldsymbol{3}$，$\boldsymbol{-5}$
【知识点】
配方法求二次函数顶点、二次函数的图象与性质、二次函数的最值
【点评】
本题考查二次函数的基础应用，渗透数形结合的思想，需要熟练掌握二次函数一般式向顶点式的转化方法，能结合图象分析函数值的取值范围和区间最值，是二次函数部分的常规题型。
【难度系数】
0.75
