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1.某商场销售一批货物，销售量$y$(件)与每件货物的利润$x$(元)之间的关系式为$y=-2x+500$，则总利润$P$与$x$之间的函数关系式为。
答案
解：
由总利润的计算规则可知，总利润等于每件货物的利润乘以销售量，因此：
$P = x · y$
将$y=-2x+500$代入上式，得：
$\begin{aligned}P&=x(-2x+500)\\&=-2x^2 + 500x\end{aligned}$
结合实际意义，$x＞0$且销售量$y=-2x+500＞0$，得自变量取值范围为$0＜x＜250$。
答：总利润$P$与$x$之间的函数关系式为$\boldsymbol{P=-2x^2+500x\ (0＜x＜250)}$。
由总利润的计算规则可知，总利润等于每件货物的利润乘以销售量，因此：
$P = x · y$
将$y=-2x+500$代入上式，得：
$\begin{aligned}P&=x(-2x+500)\\&=-2x^2 + 500x\end{aligned}$
结合实际意义，$x＞0$且销售量$y=-2x+500＞0$，得自变量取值范围为$0＜x＜250$。
答：总利润$P$与$x$之间的函数关系式为$\boldsymbol{P=-2x^2+500x\ (0＜x＜250)}$。
解析
【分析】
解题时首先明确销售问题中总利润的基本计算逻辑：总利润=每件货物的利润×销售量。题目已经给出销售量y与每件利润x的函数关系式，我们只需将y的表达式代入总利润公式，化简得到P关于x的表达式，再结合实际意义确定x的取值范围即可，注意自变量x需要同时满足每件利润为正、销售量为正两个条件。
【解析】
根据总利润的计算规则可得：
$P = x · y$
将$y=-2x+500$代入上式，展开化简：
$\begin{aligned}P&=x(-2x+500)\\&=-2x^2 + 500x\end{aligned}$
结合实际意义，每件利润$x＞0$，且销售量$y=-2x+500＞0$，解不等式$-2x+500＞0$得$x＜250$，因此自变量x的取值范围为$0＜x＜250$。
【答案】
$P=-2x^2+500x\ (0＜x＜250)$
【知识点】
销售利润计算；二次函数实际应用；自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数在销售场景下的基础应用题，核心是掌握销售问题的利润计算公式，代入已知条件化简即可，需要额外注意实际问题中函数自变量的取值要符合现实逻辑，不能仅考虑代数表达式有意义。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确销售问题中总利润的基本计算逻辑：总利润=每件货物的利润×销售量。题目已经给出销售量y与每件利润x的函数关系式，我们只需将y的表达式代入总利润公式，化简得到P关于x的表达式，再结合实际意义确定x的取值范围即可，注意自变量x需要同时满足每件利润为正、销售量为正两个条件。
【解析】
根据总利润的计算规则可得：
$P = x · y$
将$y=-2x+500$代入上式，展开化简：
$\begin{aligned}P&=x(-2x+500)\\&=-2x^2 + 500x\end{aligned}$
结合实际意义，每件利润$x＞0$，且销售量$y=-2x+500＞0$，解不等式$-2x+500＞0$得$x＜250$，因此自变量x的取值范围为$0＜x＜250$。
【答案】
$P=-2x^2+500x\ (0＜x＜250)$
【知识点】
销售利润计算；二次函数实际应用；自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数在销售场景下的基础应用题，核心是掌握销售问题的利润计算公式，代入已知条件化简即可，需要额外注意实际问题中函数自变量的取值要符合现实逻辑，不能仅考虑代数表达式有意义。
【难度系数】
0.8
2.(模型观念)某商场购进一种单价为40元的商品，如果以单价60元售出，那么每天可卖出300个，根据销售经验，每降价1元，每天可多卖出20个.设每个商品降价x元，每天获得利润y元，则y与x之间的函数关系式是.
答案
解：
降价后每个商品的单件利润为$(60 - 40 - x)=(20 - x)$元，
降价后每天的销售量为$(300 + 20x)$个，
由总利润=单件利润×销售量，可得：
$\begin{aligned}y&=(20 - x)(300 + 20x)\\&=-20x^2 + 100x + 6000 \quad (0≤ x≤20)\end{aligned}$
最终函数关系式为$\boldsymbol{y=-20x^2 + 100x + 6000\ (0≤ x≤20)}$。
降价后每个商品的单件利润为$(60 - 40 - x)=(20 - x)$元，
降价后每天的销售量为$(300 + 20x)$个，
由总利润=单件利润×销售量，可得：
$\begin{aligned}y&=(20 - x)(300 + 20x)\\&=-20x^2 + 100x + 6000 \quad (0≤ x≤20)\end{aligned}$
最终函数关系式为$\boldsymbol{y=-20x^2 + 100x + 6000\ (0≤ x≤20)}$。
解析
【分析】
解决这类销售利润问题的核心是牢记等量关系“总利润=单件利润×销售量”，解题分三步思考：第一步先求降价后的单件利润：原本单件利润为售价减进价即$60-40=20$元，每降价$x$元，单件利润就减少$x$元，因此降价后单件利润为$(20-x)$元；第二步求降价后的销售量：原本每天卖300个，每降价1元多卖20个，降价$x$元就多卖$20x$个，因此降价后销量为$(300+20x)$个；第三步将两者相乘得到总利润表达式，最后结合实际情况（单件利润不能为负）确定自变量$x$的取值范围，整理为一般式即可。
【解析】
1. 计算降价后单件商品的利润：
原单件利润为$60-40=20$元，降价$x$元后，单件利润为$(20 - x)$元；
2. 计算降价后的日销售量：
每降价1元多卖20个，降价$x$元后多卖$20x$个，因此日销售量为$(300 + 20x)$个；
3. 代入总利润公式列式化简：
根据总利润=单件利润×销售量，可得：
$\begin{aligned}y&=(20 - x)(300 + 20x)\\&=6000 + 400x - 300x - 20x^2\\&=-20x^2 + 100x + 6000\end{aligned}$
4. 确定自变量取值范围：
结合实际意义，单件利润不能为负，即$20-x≥0$，且降价金额不能为负即$x≥0$，因此$0≤ x≤20$。
【答案】
$\boldsymbol{y=-20x^2 + 100x + 6000\ (0≤ x≤20)}$
【知识点】
销售利润计算、二次函数实际应用、自变量取值范围
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，重点考察销售类问题的基本等量关系，解题时需注意结合实际场景限定自变量的取值范围，是后续求解销售最大利润问题的核心基础。
【难度系数】
0.8
解决这类销售利润问题的核心是牢记等量关系“总利润=单件利润×销售量”，解题分三步思考：第一步先求降价后的单件利润：原本单件利润为售价减进价即$60-40=20$元，每降价$x$元，单件利润就减少$x$元，因此降价后单件利润为$(20-x)$元；第二步求降价后的销售量：原本每天卖300个，每降价1元多卖20个，降价$x$元就多卖$20x$个，因此降价后销量为$(300+20x)$个；第三步将两者相乘得到总利润表达式，最后结合实际情况（单件利润不能为负）确定自变量$x$的取值范围，整理为一般式即可。
【解析】
1. 计算降价后单件商品的利润：
原单件利润为$60-40=20$元，降价$x$元后，单件利润为$(20 - x)$元；
2. 计算降价后的日销售量：
每降价1元多卖20个，降价$x$元后多卖$20x$个，因此日销售量为$(300 + 20x)$个；
3. 代入总利润公式列式化简：
根据总利润=单件利润×销售量，可得：
$\begin{aligned}y&=(20 - x)(300 + 20x)\\&=6000 + 400x - 300x - 20x^2\\&=-20x^2 + 100x + 6000\end{aligned}$
4. 确定自变量取值范围：
结合实际意义，单件利润不能为负，即$20-x≥0$，且降价金额不能为负即$x≥0$，因此$0≤ x≤20$。
【答案】
$\boldsymbol{y=-20x^2 + 100x + 6000\ (0≤ x≤20)}$
【知识点】
销售利润计算、二次函数实际应用、自变量取值范围
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，重点考察销售类问题的基本等量关系，解题时需注意结合实际场景限定自变量的取值范围，是后续求解销售最大利润问题的核心基础。
【难度系数】
0.8
3.某商品原利润为60元/件，降价x元后利润为元/件，原来每月可卖出100件，若每降价2元，每月就多出售10件，降价x元后每月出售该商品的总利润y(元)与x之间的函数关系式为。
答案
解：
降价x元后，每件商品的利润为原单件利润减去降价金额，即$\boldsymbol{60 - x}$元/件。
由题意，每降价2元多售出10件，则降价x元后月销售量增加$\frac{x}{2} × 10 = 5x$件，此时月总销量为$(100 + 5x)$件。
根据总利润=单件利润×月销售量，可得：
$\begin{aligned}y&=(60 - x)(100 + 5x)\\&=-5x^2 + 200x + 6000 \quad (0≤ x≤ 60)\end{aligned}$
答：第一空填$60-x$，总利润y与x之间的函数关系式为$y=-5x^2 + 200x + 6000\ (0≤ x≤ 60)$。
降价x元后，每件商品的利润为原单件利润减去降价金额，即$\boldsymbol{60 - x}$元/件。
由题意，每降价2元多售出10件，则降价x元后月销售量增加$\frac{x}{2} × 10 = 5x$件，此时月总销量为$(100 + 5x)$件。
根据总利润=单件利润×月销售量，可得：
$\begin{aligned}y&=(60 - x)(100 + 5x)\\&=-5x^2 + 200x + 6000 \quad (0≤ x≤ 60)\end{aligned}$
答：第一空填$60-x$，总利润y与x之间的函数关系式为$y=-5x^2 + 200x + 6000\ (0≤ x≤ 60)$。
解析
【分析】
首先解决第一个空，单件商品的利润等于原利润减去降价金额，直接用原利润60元减去降价的x元即可得到结果。接着求总利润的函数关系式，总利润的计算公式为“总利润=单件利润×月销售量”，我们需要先推导降价x元后的月销售量：已知每降价2元多售出10件，先计算降价x元对应的多售件数，再加上原销量100件得到当前总销量，最后将单件利润和总销量代入公式，展开整理并结合实际意义确定自变量取值范围即可。
【解析】
1. 求降价后的单件利润：
原单件利润为60元，降价x元后，单件利润为$\boldsymbol{60 - x}$元/件。
2. 求降价后的月销售量：
每降价2元多售出10件，那么降价x元后多售出的件数为$\frac{x}{2} × 10 = 5x$件，因此降价后的月总销售量为$(100 + 5x)$件。
3. 列总利润函数关系式：
根据总利润=单件利润×月销售量，代入得：
$\begin{aligned}y&=(60 - x)(100 + 5x)\\&=-5x^2 + 200x + 6000\end{aligned}$
结合实际意义，单件利润不能为负，且降价金额不能为负，因此自变量取值范围为$0≤ x≤ 60$。
【答案】
$60-x$；$y=-5x^2 + 200x + 6000\ (0≤ x≤ 60)$
【知识点】
列代数式；销售利润计算；二次函数实际应用
【点评】
本题是销售类实际问题的基础题型，核心考查将实际数量关系转化为函数关系式的能力，解题关键是找准降价后的单件利润和销售量两个核心量，牢记总利润计算公式即可轻松求解，计算时注意整式展开的正确性。
【难度系数】
0.8
首先解决第一个空，单件商品的利润等于原利润减去降价金额，直接用原利润60元减去降价的x元即可得到结果。接着求总利润的函数关系式，总利润的计算公式为“总利润=单件利润×月销售量”，我们需要先推导降价x元后的月销售量：已知每降价2元多售出10件，先计算降价x元对应的多售件数，再加上原销量100件得到当前总销量，最后将单件利润和总销量代入公式，展开整理并结合实际意义确定自变量取值范围即可。
【解析】
1. 求降价后的单件利润：
原单件利润为60元，降价x元后，单件利润为$\boldsymbol{60 - x}$元/件。
2. 求降价后的月销售量：
每降价2元多售出10件，那么降价x元后多售出的件数为$\frac{x}{2} × 10 = 5x$件，因此降价后的月总销售量为$(100 + 5x)$件。
3. 列总利润函数关系式：
根据总利润=单件利润×月销售量，代入得：
$\begin{aligned}y&=(60 - x)(100 + 5x)\\&=-5x^2 + 200x + 6000\end{aligned}$
结合实际意义，单件利润不能为负，且降价金额不能为负，因此自变量取值范围为$0≤ x≤ 60$。
【答案】
$60-x$；$y=-5x^2 + 200x + 6000\ (0≤ x≤ 60)$
【知识点】
列代数式；销售利润计算；二次函数实际应用
【点评】
本题是销售类实际问题的基础题型，核心考查将实际数量关系转化为函数关系式的能力，解题关键是找准降价后的单件利润和销售量两个核心量，牢记总利润计算公式即可轻松求解，计算时注意整式展开的正确性。
【难度系数】
0.8
4.某商店销售一种进价为50元/件的商品，当此商品的售价为60元/件时，每星期可卖出200件。若售价每上涨1元，则每星期就会少卖出10件。设每件商品的售价为x元(x≥60)，每星期销售该商品的利润为y元，则y与x的函数关系式为。
答案
解：
每件商品的利润为$(x-50)$元，
每星期的销售量为$200-10(x-60)=800-10x$件，
根据总利润=单件利润×销售量，可得：
$\begin{aligned}y&=(x-50)(800-10x)\\&=-10x^2+1300x-40000\end{aligned}$
结合销售量非负得$800-10x≥0$，即$x≤80$，因此自变量取值范围为$60≤ x≤80$。
最终函数关系式为$\boldsymbol{y=-10x^2+1300x-40000\ (60≤ x≤80)}$。
每件商品的利润为$(x-50)$元，
每星期的销售量为$200-10(x-60)=800-10x$件，
根据总利润=单件利润×销售量，可得：
$\begin{aligned}y&=(x-50)(800-10x)\\&=-10x^2+1300x-40000\end{aligned}$
结合销售量非负得$800-10x≥0$，即$x≤80$，因此自变量取值范围为$60≤ x≤80$。
最终函数关系式为$\boldsymbol{y=-10x^2+1300x-40000\ (60≤ x≤80)}$。
解析
【分析】
解决本题的核心是牢记销售问题中总利润的计算公式：总利润=单件商品利润×销售量。第一步先确定单件利润，已知进价为50元，售价为x元，所以单件利润为售价减进价，即(x-50)元；第二步确定销售量，原本售价60元时销量为200件，售价每涨1元少卖10件，现在售价x比60元高了(x-60)元，所以少卖的数量为10(x-60)件，因此实际销售量为原有销量减去少卖的数量；第三步将单件利润和销售量代入总利润公式，展开整理得到函数式，最后结合销售量不能为负数的实际意义，求出自变量x的取值范围即可。
【解析】
首先计算单件商品的利润：每件进价50元，售价x元，因此单件利润为$(x-50)$元。
再计算每星期的销售量：售价为60元时销量为200件，售价每上涨1元少卖10件，售价上涨了$(x-60)$元，因此少卖$10(x-60)$件，可得销售量为：
$200-10(x-60)=800-10x$（件）
根据总利润=单件利润×销售量，代入得：
$\begin{aligned}y&=(x-50)(800-10x)\\&=-10x^2+1300x-40000\end{aligned}$
结合实际意义，销售量不能为负数，因此$800-10x≥0$，解得$x≤80$，结合题目给出的$x≥60$，可得自变量取值范围为$60≤ x≤80$。
【答案】
$y=-10x^2+1300x-40000\ (60≤ x≤80)$
【知识点】
销售利润计算，二次函数实际应用，自变量取值范围确定
【点评】
本题属于销售类函数应用的基础题型，解题关键是抓住总利润的等量关系，准确表示出单件利润和销售量两个核心量，注意不要遗漏结合实际意义确定自变量的取值范围。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是牢记销售问题中总利润的计算公式：总利润=单件商品利润×销售量。第一步先确定单件利润，已知进价为50元，售价为x元，所以单件利润为售价减进价，即(x-50)元；第二步确定销售量，原本售价60元时销量为200件，售价每涨1元少卖10件，现在售价x比60元高了(x-60)元，所以少卖的数量为10(x-60)件，因此实际销售量为原有销量减去少卖的数量；第三步将单件利润和销售量代入总利润公式，展开整理得到函数式，最后结合销售量不能为负数的实际意义，求出自变量x的取值范围即可。
【解析】
首先计算单件商品的利润：每件进价50元，售价x元，因此单件利润为$(x-50)$元。
再计算每星期的销售量：售价为60元时销量为200件，售价每上涨1元少卖10件，售价上涨了$(x-60)$元，因此少卖$10(x-60)$件，可得销售量为：
$200-10(x-60)=800-10x$（件）
根据总利润=单件利润×销售量，代入得：
$\begin{aligned}y&=(x-50)(800-10x)\\&=-10x^2+1300x-40000\end{aligned}$
结合实际意义，销售量不能为负数，因此$800-10x≥0$，解得$x≤80$，结合题目给出的$x≥60$，可得自变量取值范围为$60≤ x≤80$。
【答案】
$y=-10x^2+1300x-40000\ (60≤ x≤80)$
【知识点】
销售利润计算，二次函数实际应用，自变量取值范围确定
【点评】
本题属于销售类函数应用的基础题型，解题关键是抓住总利润的等量关系，准确表示出单件利润和销售量两个核心量，注意不要遗漏结合实际意义确定自变量的取值范围。
【难度系数】
0.8
5.某种商品每件的进价为30元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出(100−x)件，当每件售价为元时才能获得最大利润，最大利润是元。
答案
解：设获得的总利润为y元，
根据题意，每件商品的利润为$(x-30)$元，因此总利润满足：
$\begin{aligned}y&=(x-30)(100-x)\\&=-x^2+130x-3000\end{aligned}$
该二次函数中$a=-1＜0$，图象开口向下，$y$存在最大值。
当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{130}{2×(-1)}=65$时，$y$取得最大值，
将$x=65$代入得最大利润$y=(65-30)×(100-65)=1225$元。
答：当每件售价为$\boldsymbol{65}$元时才能获得最大利润，最大利润是$\boldsymbol{1225}$元。
根据题意，每件商品的利润为$(x-30)$元，因此总利润满足：
$\begin{aligned}y&=(x-30)(100-x)\\&=-x^2+130x-3000\end{aligned}$
该二次函数中$a=-1＜0$，图象开口向下，$y$存在最大值。
当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{130}{2×(-1)}=65$时，$y$取得最大值，
将$x=65$代入得最大利润$y=(65-30)×(100-65)=1225$元。
答：当每件售价为$\boldsymbol{65}$元时才能获得最大利润，最大利润是$\boldsymbol{1225}$元。
解析
【分析】
要解决该问题，首先需明确销售利润的核心计算公式：总利润=单件利润×销售总量。首先可得出单件利润为售价减去进价，即(x-30)元，销售总量题目已给出为(100-x)件，由此可列出总利润关于售价x的函数关系式；观察可知该函数为二次函数，且二次项系数为负，图象开口向下，因此函数在顶点处取得最大值，最后用二次函数顶点横坐标公式求出对应售价，再代入解析式即可算出最大利润。
【解析】
设获得的总利润为y元，根据题意，每件商品的利润为$(x-30)$元，因此总利润满足：
$\begin{aligned}y&=(x-30)(100-x)\\&=-x^2+130x-3000\end{aligned}$
该二次函数中$a=-1＜0$，图象开口向下，$y$存在最大值。
当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{130}{2×(-1)}=65$时，$y$取得最大值，
将$x=65$代入得最大利润$y=(65-30)×(100-65)=1225$元。
【答案】
65；1225
【知识点】
1.销售利润计算 2.二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数在销售问题中的典型应用，解题关键是正确梳理数量关系列出利润的函数表达式，再结合二次函数性质求解最值，掌握基础公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
要解决该问题，首先需明确销售利润的核心计算公式：总利润=单件利润×销售总量。首先可得出单件利润为售价减去进价，即(x-30)元，销售总量题目已给出为(100-x)件，由此可列出总利润关于售价x的函数关系式；观察可知该函数为二次函数，且二次项系数为负，图象开口向下，因此函数在顶点处取得最大值，最后用二次函数顶点横坐标公式求出对应售价，再代入解析式即可算出最大利润。
【解析】
设获得的总利润为y元，根据题意，每件商品的利润为$(x-30)$元，因此总利润满足：
$\begin{aligned}y&=(x-30)(100-x)\\&=-x^2+130x-3000\end{aligned}$
该二次函数中$a=-1＜0$，图象开口向下，$y$存在最大值。
当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{130}{2×(-1)}=65$时，$y$取得最大值，
将$x=65$代入得最大利润$y=(65-30)×(100-65)=1225$元。
【答案】
65；1225
【知识点】
1.销售利润计算 2.二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数在销售问题中的典型应用，解题关键是正确梳理数量关系列出利润的函数表达式，再结合二次函数性质求解最值，掌握基础公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
6.某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元.经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件.当每件的销售价为元时，销售该纪念品每天获得的利润最大，为元.
答案
解：设每件的销售价为$x$元，每天获得的利润为$y$元。
根据题意，每件的利润为$(x-40)$元，每天的销售量为$200-10(x-50)=700-10x$件。
则总利润：
$\begin{aligned}y&=(x-40)(700-10x)\\&=-10x^2+1100x-28000\end{aligned}$
其中$a=-10＜0$，抛物线开口向下，函数有最大值。
当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1100}{2×(-10)}=55$时，$y$取得最大值，
代入计算得$y_{\mathrm{max}}=(55-40)×(700-10×55)=2250$。
答：当每件的销售价为$\boldsymbol{55}$元时，销售该纪念品每天获得的利润最大，为$\boldsymbol{2250}$元。
根据题意，每件的利润为$(x-40)$元，每天的销售量为$200-10(x-50)=700-10x$件。
则总利润：
$\begin{aligned}y&=(x-40)(700-10x)\\&=-10x^2+1100x-28000\end{aligned}$
其中$a=-10＜0$，抛物线开口向下，函数有最大值。
当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1100}{2×(-10)}=55$时，$y$取得最大值，
代入计算得$y_{\mathrm{max}}=(55-40)×(700-10×55)=2250$。
答：当每件的销售价为$\boldsymbol{55}$元时，销售该纪念品每天获得的利润最大，为$\boldsymbol{2250}$元。
解析
【分析】
这是一道利用二次函数求解销售利润最大值的实际问题，解题思路如下：首先明确利润计算的核心等量关系：总利润=单件利润×销售数量；接着设销售价为x元，总利润为y元，先表示出单件利润为(x-40)元，再根据售价上涨与销量减少的对应关系，表示出当日销售量；再将两个表达式相乘得到总利润y关于x的二次函数解析式；最后由于二次项系数小于0，函数图象开口向下，顶点处可取到最大值，利用二次函数顶点坐标公式求出对应售价，再代入计算最大利润即可。
【解析】
设每件的销售价为$x$元，每天获得的利润为$y$元。
根据题意，每件的利润为$(x-40)$元，
当售价为x元时，相比50元上涨了$(x-50)$元，因此每天的销售量为$200-10(x-50)=700-10x$件。
则总利润：
$\begin{aligned}y&=(x-40)(700-10x)\\&=-10x^2+1100x-28000\end{aligned}$
其中$a=-10＜0$，抛物线开口向下，函数有最大值。
当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1100}{2×(-10)}=55$时，$y$取得最大值，
代入计算得$y_{\mathrm{max}}=(55-40)×(700-10×55)=2250$。
【答案】
55；2250
【知识点】
二次函数实际应用；二次函数最值；销售利润计算
【点评】
本题是二次函数在销售问题中的典型应用，解题关键是正确梳理单件利润、销售量、总利润之间的数量关系，准确列出二次函数解析式，再结合二次函数的性质求解最值，考查学生对基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
这是一道利用二次函数求解销售利润最大值的实际问题，解题思路如下：首先明确利润计算的核心等量关系：总利润=单件利润×销售数量；接着设销售价为x元，总利润为y元，先表示出单件利润为(x-40)元，再根据售价上涨与销量减少的对应关系，表示出当日销售量；再将两个表达式相乘得到总利润y关于x的二次函数解析式；最后由于二次项系数小于0，函数图象开口向下，顶点处可取到最大值，利用二次函数顶点坐标公式求出对应售价，再代入计算最大利润即可。
【解析】
设每件的销售价为$x$元，每天获得的利润为$y$元。
根据题意，每件的利润为$(x-40)$元，
当售价为x元时，相比50元上涨了$(x-50)$元，因此每天的销售量为$200-10(x-50)=700-10x$件。
则总利润：
$\begin{aligned}y&=(x-40)(700-10x)\\&=-10x^2+1100x-28000\end{aligned}$
其中$a=-10＜0$，抛物线开口向下，函数有最大值。
当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1100}{2×(-10)}=55$时，$y$取得最大值，
代入计算得$y_{\mathrm{max}}=(55-40)×(700-10×55)=2250$。
【答案】
55；2250
【知识点】
二次函数实际应用；二次函数最值；销售利润计算
【点评】
本题是二次函数在销售问题中的典型应用，解题关键是正确梳理单件利润、销售量、总利润之间的数量关系，准确列出二次函数解析式，再结合二次函数的性质求解最值，考查学生对基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
7.某商品的利润$y$(元)与售价$x$(元)之间的函数关系式是$y=-x^2+8x+9$，且售价$x$的取值范围是$1≤ x≤3$，则最大利润是（）
A.16元
B.21元
C.24元
D.25元
A.16元
B.21元
C.24元
D.25元
答案
C
解析
【分析】
本题是二次函数在给定售价范围内求最大利润的问题，解题思路如下：首先明确二次函数的基本性质，先通过二次项系数判断开口方向，再计算对称轴，接着判断给定的售价区间在对称轴的左侧还是右侧，从而确定函数在该区间的单调性，最后根据单调性找到取最大值时的x值，代入计算即可得到最大利润。注意不能直接代入顶点坐标求最值，要考虑x的取值范围限制。
【解析】
对于二次函数$y=-x^2+8x+9$：
1. 确定开口方向：二次项系数$a=-1＜0$，所以抛物线开口向下，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小。
2. 计算对称轴：对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1$、$b=8$，得$x=-\frac{8}{2×(-1)}=4$。
3. 判断区间单调性：已知售价$x$的取值范围是$1≤ x≤3$，该区间全部在对称轴$x=4$的左侧，所以在$1≤ x≤3$范围内，$y$随$x$的增大而增大。
4. 求最大利润：当$x$取区间最大值3时，$y$取得最大值，代入$x=3$得：
$y=-3^2+8×3+9=-9+24+9=24$（元）
【答案】
C
【知识点】
二次函数的性质；二次函数区间最值；二次函数实际应用
【点评】
本题易错点是忽略x的取值范围，直接将顶点处的函数值当作最大值，解题时需先结合函数开口方向、对称轴与给定区间的位置关系判断单调性，再确定最值点。
【难度系数】
0.7
本题是二次函数在给定售价范围内求最大利润的问题，解题思路如下：首先明确二次函数的基本性质，先通过二次项系数判断开口方向，再计算对称轴，接着判断给定的售价区间在对称轴的左侧还是右侧，从而确定函数在该区间的单调性，最后根据单调性找到取最大值时的x值，代入计算即可得到最大利润。注意不能直接代入顶点坐标求最值，要考虑x的取值范围限制。
【解析】
对于二次函数$y=-x^2+8x+9$：
1. 确定开口方向：二次项系数$a=-1＜0$，所以抛物线开口向下，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小。
2. 计算对称轴：对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1$、$b=8$，得$x=-\frac{8}{2×(-1)}=4$。
3. 判断区间单调性：已知售价$x$的取值范围是$1≤ x≤3$，该区间全部在对称轴$x=4$的左侧，所以在$1≤ x≤3$范围内，$y$随$x$的增大而增大。
4. 求最大利润：当$x$取区间最大值3时，$y$取得最大值，代入$x=3$得：
$y=-3^2+8×3+9=-9+24+9=24$（元）
【答案】
C
【知识点】
二次函数的性质；二次函数区间最值；二次函数实际应用
【点评】
本题易错点是忽略x的取值范围，直接将顶点处的函数值当作最大值，解题时需先结合函数开口方向、对称轴与给定区间的位置关系判断单调性，再确定最值点。
【难度系数】
0.7
8.某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y(个)与销售价格x(元/个)的关系如图所示，当$10≤ x≤20$时，其图象是
，线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润(利润=总销售额－总成本)为()
A.120元
B.121元
C.240元
D.242元
，线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润(利润=总销售额－总成本)为()A.120元
B.121元
C.240元
D.242元
答案
B
解析
【分析】
要解决本题的最大利润问题，首先需根据线段AB的两个端点坐标求出销售量y关于销售价格x的一次函数解析式；再根据“利润=（售价-成本）×销售量”的等量关系，列出利润关于x的二次函数表达式；最后结合x的取值范围，利用二次函数的性质求出最大值即可。
【解析】
设线段AB对应的一次函数解析式为$y=kx+b$（$k\ne0$），
由图可知A点坐标为$(10,20)$，B点坐标为$(20,10)$，将两点代入解析式得：
$\begin{cases}10k+b=20 \\20k+b=10 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1 \\b=30 \end{cases}$
因此当$10\le x\le20$时，$y=-x+30$。
设每天销售这款冷饮产品的利润为$w$元，单个成本为8元，则单个利润为$(x-8)$元，根据利润公式得：
$w=(x-8)y=(x-8)(-x+30)$
展开整理得：$w=-x^2+38x-240$
这是开口向下的二次函数，对称轴为$x=-\frac{38}{2×(-1)}=19$，$19$在$10\le x\le20$的范围内，
因此当$x=19$时，$w$取得最大值，最大值为：
$w=(19-8)×(-19+30)=11×11=121$（元）
【答案】
B
【知识点】
一次函数解析式求解，二次函数的应用，二次函数最值计算
【点评】
本题结合实际销售场景考查函数的综合应用，解题的核心是正确建立利润的函数表达式，求解时需注意自变量的取值范围，避免直接套用顶点公式忽略范围导致出错。
【难度系数】
0.7
要解决本题的最大利润问题，首先需根据线段AB的两个端点坐标求出销售量y关于销售价格x的一次函数解析式；再根据“利润=（售价-成本）×销售量”的等量关系，列出利润关于x的二次函数表达式；最后结合x的取值范围，利用二次函数的性质求出最大值即可。
【解析】
设线段AB对应的一次函数解析式为$y=kx+b$（$k\ne0$），
由图可知A点坐标为$(10,20)$，B点坐标为$(20,10)$，将两点代入解析式得：
$\begin{cases}10k+b=20 \\20k+b=10 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1 \\b=30 \end{cases}$
因此当$10\le x\le20$时，$y=-x+30$。
设每天销售这款冷饮产品的利润为$w$元，单个成本为8元，则单个利润为$(x-8)$元，根据利润公式得：
$w=(x-8)y=(x-8)(-x+30)$
展开整理得：$w=-x^2+38x-240$
这是开口向下的二次函数，对称轴为$x=-\frac{38}{2×(-1)}=19$，$19$在$10\le x\le20$的范围内，
因此当$x=19$时，$w$取得最大值，最大值为：
$w=(19-8)×(-19+30)=11×11=121$（元）
【答案】
B
【知识点】
一次函数解析式求解，二次函数的应用，二次函数最值计算
【点评】
本题结合实际销售场景考查函数的综合应用，解题的核心是正确建立利润的函数表达式，求解时需注意自变量的取值范围，避免直接套用顶点公式忽略范围导致出错。
【难度系数】
0.7
