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9.九年级数学兴趣小组经过市场调查,得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表:
已知该运动服的进价为60元/件,设售价为x元/件.
(1)请用含x的式子表示:
①销售该运动服每件的利润是元;②月销量是件;
(2)设销售该运动服的月利润为y元,那么售价为多少时,当月的利润最大,最大利润是多少?
已知该运动服的进价为60元/件,设售价为x元/件.
(1)请用含x的式子表示:
①销售该运动服每件的利润是元;②月销量是件;
(2)设销售该运动服的月利润为y元,那么售价为多少时,当月的利润最大,最大利润是多少?
答案
解：
(1)① 销售该运动服每件的利润是$(x-60)$元；
② 由表格数据可知，售价每上涨1元，月销量减少2件，因此月销量为$200-2(x-100)=(-2x+400)$件；
(2) 根据题意，月利润$y$为每件利润乘以月销量：
$\begin{aligned}y&=(x-60)(-2x+400)\\&=-2x^2+520x-24000\\&=-2(x-130)^2+9800\end{aligned}$
$\because a=-2＜0$，
$\therefore$ 二次函数图象开口向下，当$x=130$时，$y$有最大值，最大值为9800。
答：当售价为130元/件时，当月的利润最大，最大利润是9800元。
(1)① 销售该运动服每件的利润是$(x-60)$元；
② 由表格数据可知，售价每上涨1元，月销量减少2件，因此月销量为$200-2(x-100)=(-2x+400)$件；
(2) 根据题意，月利润$y$为每件利润乘以月销量：
$\begin{aligned}y&=(x-60)(-2x+400)\\&=-2x^2+520x-24000\\&=-2(x-130)^2+9800\end{aligned}$
$\because a=-2＜0$，
$\therefore$ 二次函数图象开口向下，当$x=130$时，$y$有最大值，最大值为9800。
答：当售价为130元/件时，当月的利润最大，最大利润是9800元。
解析
【分析】
解题思路如下：
(1)① 单件利润的基本计算公式为“利润=售价-进价”，已知进价为60元/件，售价为x元/件，直接代入公式即可得到单件利润的表达式。
② 先观察表格数据规律：售价每上涨10元，月销量减少20件，可推出售价每上涨1元，月销量减少2件。以售价100元时月销量200件为基准，售价为x元时，相比100元上涨了(x-100)元，对应月销量减少2(x-100)件，用基准销量减去减少的销量，整理即可得到月销量的表达式。
(2) 月总利润=单件利润×月销量，代入(1)中得到的两个表达式，可得到月利润y关于售价x的二次函数，再根据二次函数的性质，结合开口方向求最值即可。
【解析】
(1) ① 每件利润 = 售价 - 进价 = $(x-60)$元；
② 由表格规律可知，售价每涨1元，月销量减少2件，因此月销量为：
$200-2(x-100) = 200-2x+200 = (-2x+400)$件；
(2) 根据总利润计算公式可得：
$\begin{aligned}y&=(x-60)(-2x+400)\\&=-2x^2+520x-24000\\&=-2(x-130)^2+9800\end{aligned}$
$\because a=-2＜0$，二次函数图象开口向下，
$\therefore$ 当$x=130$时，$y$取得最大值，最大值为9800。
【答案】
(1) ① $\boldsymbol{x-60}$；② $\boldsymbol{-2x+400}$
(2) 当售价为130元/件时，当月的利润最大，最大利润是9800元。
【知识点】
列代数式；二次函数的应用；二次函数的最值
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，核心是先理清售价、单件利润、销量三者之间的数量关系，正确列出利润对应的二次函数表达式，再结合二次函数的性质求解最值，解题时要注意自变量的实际意义。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：
(1)① 单件利润的基本计算公式为“利润=售价-进价”，已知进价为60元/件，售价为x元/件，直接代入公式即可得到单件利润的表达式。
② 先观察表格数据规律：售价每上涨10元，月销量减少20件，可推出售价每上涨1元，月销量减少2件。以售价100元时月销量200件为基准，售价为x元时，相比100元上涨了(x-100)元，对应月销量减少2(x-100)件，用基准销量减去减少的销量，整理即可得到月销量的表达式。
(2) 月总利润=单件利润×月销量，代入(1)中得到的两个表达式，可得到月利润y关于售价x的二次函数，再根据二次函数的性质，结合开口方向求最值即可。
【解析】
(1) ① 每件利润 = 售价 - 进价 = $(x-60)$元；
② 由表格规律可知，售价每涨1元，月销量减少2件，因此月销量为：
$200-2(x-100) = 200-2x+200 = (-2x+400)$件；
(2) 根据总利润计算公式可得：
$\begin{aligned}y&=(x-60)(-2x+400)\\&=-2x^2+520x-24000\\&=-2(x-130)^2+9800\end{aligned}$
$\because a=-2＜0$，二次函数图象开口向下，
$\therefore$ 当$x=130$时，$y$取得最大值，最大值为9800。
【答案】
(1) ① $\boldsymbol{x-60}$；② $\boldsymbol{-2x+400}$
(2) 当售价为130元/件时，当月的利润最大，最大利润是9800元。
【知识点】
列代数式；二次函数的应用；二次函数的最值
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，核心是先理清售价、单件利润、销量三者之间的数量关系，正确列出利润对应的二次函数表达式，再结合二次函数的性质求解最值，解题时要注意自变量的实际意义。
【难度系数】
0.7
10.(新中考·生活应用)某商场以每件80元的价格购进一种商品,在一段时间内,销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间满足一次函数关系,其部分图象如图所示.
(1)求这段时间内y与x之间的函数解析式;
(2)在这段时间内,若销售单价不低于100元,且商场还要完成不少于220件的销售任务,则当销售单价为多少时,商场获得的利润最大?最大利润是多少?
(1)求这段时间内y与x之间的函数解析式;
(2)在这段时间内,若销售单价不低于100元,且商场还要完成不少于220件的销售任务,则当销售单价为多少时,商场获得的利润最大?最大利润是多少?
答案
解：
(1) 设y与x之间的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，
将$(100,300)$，$(120,200)$代入解析式得：
$\begin{cases}100k + b = 300 \\120k + b = 200\end{cases}$
解得：$$\begin{cases}k=-5 \\b=800\end{cases}$所以y与x之间的函数解析式为$y=-5x+800$。(2) 设商场获得的利润为$W$元，根据题意得：$W=(x-80)y=(x-80)(-5x+800)$整理得：$W=-5x^2+1200x-64000$。由题意得约束条件：$\begin{cases}x≥100 \\y≥220\end{cases}$即$$\begin{cases}x≥100 \\-5x+800≥220\end{cases}$
解得$100≤ x≤116$。
二次函数$W=-5x^2+1200x-64000$的二次项系数$-5＜0$，图象开口向下，对称轴为直线$x=120$，
因此在$100≤ x≤116$范围内，$W$随$x$的增大而增大，
当$x=116$时，$W$取得最大值，$W_{\mathrm{max}}=(116-80)×220=7920$。
答：当销售单价为116元时，商场获得的利润最大，最大利润是7920元。
(1) 设y与x之间的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，
将$(100,300)$，$(120,200)$代入解析式得：
$\begin{cases}100k + b = 300 \\120k + b = 200\end{cases}$
解得：$$\begin{cases}k=-5 \\b=800\end{cases}$所以y与x之间的函数解析式为$y=-5x+800$。(2) 设商场获得的利润为$W$元，根据题意得：$W=(x-80)y=(x-80)(-5x+800)$整理得：$W=-5x^2+1200x-64000$。由题意得约束条件：$\begin{cases}x≥100 \\y≥220\end{cases}$即$$\begin{cases}x≥100 \\-5x+800≥220\end{cases}$
解得$100≤ x≤116$。
二次函数$W=-5x^2+1200x-64000$的二次项系数$-5＜0$，图象开口向下，对称轴为直线$x=120$，
因此在$100≤ x≤116$范围内，$W$随$x$的增大而增大，
当$x=116$时，$W$取得最大值，$W_{\mathrm{max}}=(116-80)×220=7920$。
答：当销售单价为116元时，商场获得的利润最大，最大利润是7920元。
解析
【分析】
（1）要求y与x的一次函数解析式，已知函数图象经过两个确定的点，可采用待定系数法求解：先设一次函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将两点坐标代入得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值，即可得到函数解析式。
（2）销售利润=（销售单价-成本单价）×销售量，据此先列出利润W关于x的二次函数表达式；再根据“销售单价不低于100元、销售量不少于220件”的限制条件列出不等式组，求出自变量x的取值范围；最后结合二次函数的开口方向、对称轴，判断x取值范围内函数的增减性，即可求出利润的最大值及对应的销售单价。
【解析】
(1) 设y与x之间的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，
将$(100,300)$，$(120,200)$代入解析式得：
$\begin{cases}100k + b = 300 \\120k + b = 200\end{cases}$
解得：$\begin{cases}k=-5 \\b=800\end{cases}$
所以y与x之间的函数解析式为$y=-5x+800$。
(2) 设商场获得的利润为$W$元，根据题意得：
$W=(x-80)y=(x-80)(-5x+800)$
整理得：$W=-5x^2+1200x-64000$。
由题意得约束条件：$\begin{cases}x≥100 \\y≥220\end{cases}$
即$\begin{cases}x≥100 \\-5x+800≥220\end{cases}$
解得$100≤ x≤116$。
二次函数$W=-5x^2+1200x-64000$的二次项系数$-5＜0$，图象开口向下，对称轴为直线$x=-\frac{1200}{2×(-5)}=120$，
因此在$100≤ x≤116$范围内，$W$随$x$的增大而增大，
当$x=116$时，$W$取得最大值，$W_{\mathrm{max}}=(116-80)×220=7920$。
答：当销售单价为116元时，商场获得的利润最大，最大利润是7920元。
【答案】
(1) $y=-5x+800$；(2) 销售单价为116元时利润最大，最大利润为7920元
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，二次函数最值应用，一元一次不等式组求解
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，综合考查了一次函数、二次函数和不等式组的相关知识，解题的关键是正确列出函数关系式，准确确定自变量的取值范围，再结合函数的增减性求解最值，能很好地考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
（1）要求y与x的一次函数解析式，已知函数图象经过两个确定的点，可采用待定系数法求解：先设一次函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将两点坐标代入得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值，即可得到函数解析式。
（2）销售利润=（销售单价-成本单价）×销售量，据此先列出利润W关于x的二次函数表达式；再根据“销售单价不低于100元、销售量不少于220件”的限制条件列出不等式组，求出自变量x的取值范围；最后结合二次函数的开口方向、对称轴，判断x取值范围内函数的增减性，即可求出利润的最大值及对应的销售单价。
【解析】
(1) 设y与x之间的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，
将$(100,300)$，$(120,200)$代入解析式得：
$\begin{cases}100k + b = 300 \\120k + b = 200\end{cases}$
解得：$\begin{cases}k=-5 \\b=800\end{cases}$
所以y与x之间的函数解析式为$y=-5x+800$。
(2) 设商场获得的利润为$W$元，根据题意得：
$W=(x-80)y=(x-80)(-5x+800)$
整理得：$W=-5x^2+1200x-64000$。
由题意得约束条件：$\begin{cases}x≥100 \\y≥220\end{cases}$
即$\begin{cases}x≥100 \\-5x+800≥220\end{cases}$
解得$100≤ x≤116$。
二次函数$W=-5x^2+1200x-64000$的二次项系数$-5＜0$，图象开口向下，对称轴为直线$x=-\frac{1200}{2×(-5)}=120$，
因此在$100≤ x≤116$范围内，$W$随$x$的增大而增大，
当$x=116$时，$W$取得最大值，$W_{\mathrm{max}}=(116-80)×220=7920$。
答：当销售单价为116元时，商场获得的利润最大，最大利润是7920元。
【答案】
(1) $y=-5x+800$；(2) 销售单价为116元时利润最大，最大利润为7920元
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，二次函数最值应用，一元一次不等式组求解
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，综合考查了一次函数、二次函数和不等式组的相关知识，解题的关键是正确列出函数关系式，准确确定自变量的取值范围，再结合函数的增减性求解最值，能很好地考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
