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11.某商店销售一种成本为40元/件的商品，销售一段时间后发现，每天的销量$ y $(件)与当天的销售单价$ x $(元/件)满足一次函数关系，并且当$ x=20 $时，$ y=1000 $，当$ x=25 $时，$ y=900 $。
(1)求$ y $与$ x $的函数关系式；
(2)求商店销售该商品每天获得的最大利润；
(3)如果该商店要求每天的销售利润不低于3520元，且每天的总成本不超过16000元，那么销售单价应控制在什么范围内？
(1)求$ y $与$ x $的函数关系式；
(2)求商店销售该商品每天获得的最大利润；
(3)如果该商店要求每天的销售利润不低于3520元，且每天的总成本不超过16000元，那么销售单价应控制在什么范围内？
答案
解：
(1) 设y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），
将x=20,y=1000和x=25,y=900代入得：
$\begin{cases}20k + b = 1000 \\25k + b = 900 \end{cases}$
解得：$\begin{cases}k=-20 \\b=1400 \end{cases}$∴y与x的函数关系式为y=-20x+1400。(2) 设每天获得的利润为W元，由题意得：$\begin{aligned}$
W&=(x-40)y\\
&=(x-40)(-20x+1400)\\
$&=-20x^2 +2200x -56000\$
$&=-20(x-55)^2 +4500$
$\end{aligned}$∵a=-20＜0，且40＜x＜70（x＞40，y=-20x+1400＞0得x＜70），∴当x=55时，W取得最大值，最大值为4500元。答：商店销售该商品每天获得的最大利润为4500元。(3) 由每天销售利润不低于3520元得：-20(x-55)^2 +4500 ≥ 3520整理得：(x-55)^2 ≤ 49，解得：48 ≤ x ≤ 62。由每天总成本不超过16000元得：40y ≤ 16000代入y=-20x+1400得：40(-20x+1400) ≤ 16000，解得：x ≥ 50。结合y＞0即x＜70，取两个条件的交集得50 ≤ x ≤ 62。
答：销售单价应控制在50元/件到62元/件的范围内。
(1) 设y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），
将x=20,y=1000和x=25,y=900代入得：
$\begin{cases}20k + b = 1000 \\25k + b = 900 \end{cases}$
解得：$\begin{cases}k=-20 \\b=1400 \end{cases}$∴y与x的函数关系式为y=-20x+1400。(2) 设每天获得的利润为W元，由题意得：$\begin{aligned}$
W&=(x-40)y\\
&=(x-40)(-20x+1400)\\
$&=-20x^2 +2200x -56000\$
$&=-20(x-55)^2 +4500$
$\end{aligned}$∵a=-20＜0，且40＜x＜70（x＞40，y=-20x+1400＞0得x＜70），∴当x=55时，W取得最大值，最大值为4500元。答：商店销售该商品每天获得的最大利润为4500元。(3) 由每天销售利润不低于3520元得：-20(x-55)^2 +4500 ≥ 3520整理得：(x-55)^2 ≤ 49，解得：48 ≤ x ≤ 62。由每天总成本不超过16000元得：40y ≤ 16000代入y=-20x+1400得：40(-20x+1400) ≤ 16000，解得：x ≥ 50。结合y＞0即x＜70，取两个条件的交集得50 ≤ x ≤ 62。
答：销售单价应控制在50元/件到62元/件的范围内。
解析
【分析】
(1) 第一问求一次函数解析式，已知两组x、y的对应值，采用待定系数法求解：先设出一次函数的一般形式，再将两组对应值代入得到二元一次方程组，解出系数即可得到函数关系式，注意要符合实际意义。
(2) 第二问求最大利润，根据“总利润=单件利润×销售量”的等量关系，将单件利润(x-40)和第一问求出的销量y代入，得到关于x的二次函数，将其配方为顶点式，结合二次函数的开口方向和自变量的实际取值范围（单价高于成本、销量为正），即可求出最大利润。
(3) 第三问求销售单价范围，需根据两个限制条件分别列不等式：①利润不低于3520元，代入利润的二次函数表达式求解；②总成本不超过16000元，代入总成本与销量的关系式求解，最后取两个解集的交集，结合实际意义得到最终的单价范围。
【解析】
(1) 设$y$与$x$的函数关系式为$y=kx+b$（$k≠0$），
将$x=20,y=1000$和$x=25,y=900$代入得：
$\begin{cases}20k + b = 1000 \\25k + b = 900 \end{cases}$
解得：$\begin{cases}k=-20 \\b=1400 \end{cases}$
∴$y$与$x$的函数关系式为$y=-20x+1400$。
(2) 设每天获得的利润为$W$元，由题意得：
$\begin{aligned}W&=(x-40)y\\&=(x-40)(-20x+1400)\\&=-20x^2 +2200x -56000\\&=-20(x-55)^2 +4500\end{aligned}$
∵$a=-20＜0$，且由实际意义得$x＞40$，$y=-20x+1400＞0$即$x＜70$，
∴当$x=55$时，$W$取得最大值，最大值为4500元。
(3) 由每天销售利润不低于3520元得：
$-20(x-55)^2 +4500 ≥ 3520$
整理得：$(x-55)^2 ≤ 49$，解得：$48 ≤ x ≤ 62$。
由每天总成本不超过16000元得：$40y ≤ 16000$
代入$y=-20x+1400$得：$40(-20x+1400) ≤ 16000$，解得：$x ≥ 50$。
结合$y＞0$即$x＜70$，取两个条件的交集得$50 ≤ x ≤ 62$。
【答案】
(1) $y=-20x+1400$；
(2) 每天获得的最大利润为4500元；
(3) 销售单价应控制在50元/件到62元/件的范围内（或$50≤x≤62$）。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二次函数最值应用；不等式组实际应用
【点评】
本题是函数与不等式结合的典型实际应用题，贴近生活场景，既考查了基础的函数解析式求解方法，又考查了二次函数求最值和不等式的求解能力，解题时需特别注意结合实际意义确定自变量的取值范围，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.6
(1) 第一问求一次函数解析式，已知两组x、y的对应值，采用待定系数法求解：先设出一次函数的一般形式，再将两组对应值代入得到二元一次方程组，解出系数即可得到函数关系式，注意要符合实际意义。
(2) 第二问求最大利润，根据“总利润=单件利润×销售量”的等量关系，将单件利润(x-40)和第一问求出的销量y代入，得到关于x的二次函数，将其配方为顶点式，结合二次函数的开口方向和自变量的实际取值范围（单价高于成本、销量为正），即可求出最大利润。
(3) 第三问求销售单价范围，需根据两个限制条件分别列不等式：①利润不低于3520元，代入利润的二次函数表达式求解；②总成本不超过16000元，代入总成本与销量的关系式求解，最后取两个解集的交集，结合实际意义得到最终的单价范围。
【解析】
(1) 设$y$与$x$的函数关系式为$y=kx+b$（$k≠0$），
将$x=20,y=1000$和$x=25,y=900$代入得：
$\begin{cases}20k + b = 1000 \\25k + b = 900 \end{cases}$
解得：$\begin{cases}k=-20 \\b=1400 \end{cases}$
∴$y$与$x$的函数关系式为$y=-20x+1400$。
(2) 设每天获得的利润为$W$元，由题意得：
$\begin{aligned}W&=(x-40)y\\&=(x-40)(-20x+1400)\\&=-20x^2 +2200x -56000\\&=-20(x-55)^2 +4500\end{aligned}$
∵$a=-20＜0$，且由实际意义得$x＞40$，$y=-20x+1400＞0$即$x＜70$，
∴当$x=55$时，$W$取得最大值，最大值为4500元。
(3) 由每天销售利润不低于3520元得：
$-20(x-55)^2 +4500 ≥ 3520$
整理得：$(x-55)^2 ≤ 49$，解得：$48 ≤ x ≤ 62$。
由每天总成本不超过16000元得：$40y ≤ 16000$
代入$y=-20x+1400$得：$40(-20x+1400) ≤ 16000$，解得：$x ≥ 50$。
结合$y＞0$即$x＜70$，取两个条件的交集得$50 ≤ x ≤ 62$。
【答案】
(1) $y=-20x+1400$；
(2) 每天获得的最大利润为4500元；
(3) 销售单价应控制在50元/件到62元/件的范围内（或$50≤x≤62$）。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二次函数最值应用；不等式组实际应用
【点评】
本题是函数与不等式结合的典型实际应用题，贴近生活场景，既考查了基础的函数解析式求解方法，又考查了二次函数求最值和不等式的求解能力，解题时需特别注意结合实际意义确定自变量的取值范围，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.6
12.(新课标·应用意识)某商店销售一种商品,小明经市场调查发现:该商品的周销售量y(件)是售价x(元/件)的一次函数,其售价、周销售量、周销售利润w(元)的三组对应值如表:
注:周销售利润=周销售量×(售价-进价).
(1)①求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围);
②求该商品的进价;
③当售价定为多少时,周销售利润最大?最大利润是多少元?
(2)由于某种原因,该商品的进价每件提高了m元(m＞0),物价部门规定该商品的售价不得超过70元/件,该商店在今后的销售中,周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系,若周销售的最大利润是1600元,求m的值.
注:周销售利润=周销售量×(售价-进价).
(1)①求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围);
②求该商品的进价;
③当售价定为多少时,周销售利润最大?最大利润是多少元?
(2)由于某种原因,该商品的进价每件提高了m元(m＞0),物价部门规定该商品的售价不得超过70元/件,该商店在今后的销售中,周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系,若周销售的最大利润是1600元,求m的值.
答案
解：
(1)① 设y关于x的函数解析式为$y=kx+b$，将$(60,100)$、$(70,80)$代入得：
$\begin{cases}60k + b = 100 \\70k + b = 80 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2 \\b=220 \end{cases}$
所以y关于x的函数解析式为$y=-2x+220$。
② 设该商品的进价为$a$元/件，根据题意得：
$100×(60 - a)=2000$
解得$a=40$
即该商品的进价为40元/件。
③ 根据题意，周销售利润：
$w=y(x-40)=(-2x+220)(x-40)$
整理得：
$w=-2x^2+300x-8800=-2(x-75)^2+2450$
因为$-2＜0$，所以当$x=75$时，$w$取得最大值，最大值为2450元。
即当售价定为75元/件时，周销售利润最大，最大利润是2450元。
(2) 进价提高$m$元后，周销售利润：
$w=(-2x+220)(x-40-m)$
整理得：
$w=-2x^2+(300+2m)x-8800-220m$
该二次函数开口向下，对称轴为$x=75+\frac{m}{2}$。
因为$m＞0$，所以对称轴$x=75+\frac{m}{2}＞75$，又售价不得超过70元/件，即$x≤70$，因此在$x≤70$范围内，$w$随$x$的增大而增大，当$x=70$时，$w$取得最大值1600。
将$x=70$，$w=1600$代入得：
$(-2×70+220)×(70-40-m)=1600$
即$80×(30-m)=1600$
解得$m=10$。
答：$m$的值为10。
(1)① 设y关于x的函数解析式为$y=kx+b$，将$(60,100)$、$(70,80)$代入得：
$\begin{cases}60k + b = 100 \\70k + b = 80 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2 \\b=220 \end{cases}$
所以y关于x的函数解析式为$y=-2x+220$。
② 设该商品的进价为$a$元/件，根据题意得：
$100×(60 - a)=2000$
解得$a=40$
即该商品的进价为40元/件。
③ 根据题意，周销售利润：
$w=y(x-40)=(-2x+220)(x-40)$
整理得：
$w=-2x^2+300x-8800=-2(x-75)^2+2450$
因为$-2＜0$，所以当$x=75$时，$w$取得最大值，最大值为2450元。
即当售价定为75元/件时，周销售利润最大，最大利润是2450元。
(2) 进价提高$m$元后，周销售利润：
$w=(-2x+220)(x-40-m)$
整理得：
$w=-2x^2+(300+2m)x-8800-220m$
该二次函数开口向下，对称轴为$x=75+\frac{m}{2}$。
因为$m＞0$，所以对称轴$x=75+\frac{m}{2}＞75$，又售价不得超过70元/件，即$x≤70$，因此在$x≤70$范围内，$w$随$x$的增大而增大，当$x=70$时，$w$取得最大值1600。
将$x=70$，$w=1600$代入得：
$(-2×70+220)×(70-40-m)=1600$
即$80×(30-m)=1600$
解得$m=10$。
答：$m$的值为10。
解析
【分析】
(1)①已知y是x的一次函数，因此采用待定系数法，选取表格中两组x、y的对应值代入一次函数通式，求解系数即可得到y关于x的函数解析式；②根据周销售利润的计算公式，选取表格中一组完整的售价、周销售量、周销售利润数据，列一元一次方程即可求出商品进价；③周销售利润=周销售量×(售价-进价)，代入y的解析式和进价，即可得到w关于x的二次函数，将二次函数整理为顶点式，结合二次函数开口方向即可确定最值点，求出最大利润。
(2)进价提高m元后，单件利润变为x-(40+m)，重新构造w关于x的二次函数，先求出函数对称轴，结合售价不得超过70元的限制，根据二次函数的单调性判断出取得最大利润的x值，代入最大利润1600元列方程求解m即可。
【解析】
(1)①设y关于x的函数解析式为$y=kx+b$，将$(60,100)$、$(70,80)$代入得：
$\begin{cases}60k + b = 100 \\70k + b = 80 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2 \\b=220 \end{cases}$
所以y关于x的函数解析式为$y=-2x+220$。
②设该商品的进价为$a$元/件，根据题意得：
$100×(60 - a)=2000$
解得$a=40$
即该商品的进价为40元/件。
③根据题意，周销售利润：
$w=y(x-40)=(-2x+220)(x-40)$
整理得：
$w=-2x^2+300x-8800=-2(x-75)^2+2450$
因为$-2＜0$，所以当$x=75$时，$w$取得最大值，最大值为2450元。
即当售价定为75元/件时，周销售利润最大，最大利润是2450元。
(2)进价提高$m$元后，周销售利润：
$w=(-2x+220)(x-40-m)$
整理得：
$w=-2x^2+(300+2m)x-8800-220m$
该二次函数开口向下，对称轴为$x=75+\frac{m}{2}$。
因为$m＞0$，所以对称轴$x=75+\frac{m}{2}＞75$，又售价不得超过70元/件，即$x≤70$，因此在$x≤70$范围内，$w$随$x$的增大而增大，当$x=70$时，$w$取得最大值1600。
将$x=70$，$w=1600$代入得：
$(-2×70+220)×(70-40-m)=1600$
即$80×(30-m)=1600$
解得$m=10$。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{y=-2x+220}$；②该商品进价为$\boldsymbol{40}$元/件；③当售价定为$\boldsymbol{75}$元/件时，周销售利润最大，最大利润是$\boldsymbol{2450}$元；(2)$\boldsymbol{m=10}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二次函数最值应用；销售利润问题
【点评】
本题结合实际销售场景，综合考查了一次函数、二次函数与一元一次方程的相关知识，解题时需要理清售价、销量、利润三者的数量关系，第二问尤其要注意结合自变量的取值范围和函数单调性确定最值点，对知识的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1)①已知y是x的一次函数，因此采用待定系数法，选取表格中两组x、y的对应值代入一次函数通式，求解系数即可得到y关于x的函数解析式；②根据周销售利润的计算公式，选取表格中一组完整的售价、周销售量、周销售利润数据，列一元一次方程即可求出商品进价；③周销售利润=周销售量×(售价-进价)，代入y的解析式和进价，即可得到w关于x的二次函数，将二次函数整理为顶点式，结合二次函数开口方向即可确定最值点，求出最大利润。
(2)进价提高m元后，单件利润变为x-(40+m)，重新构造w关于x的二次函数，先求出函数对称轴，结合售价不得超过70元的限制，根据二次函数的单调性判断出取得最大利润的x值，代入最大利润1600元列方程求解m即可。
【解析】
(1)①设y关于x的函数解析式为$y=kx+b$，将$(60,100)$、$(70,80)$代入得：
$\begin{cases}60k + b = 100 \\70k + b = 80 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2 \\b=220 \end{cases}$
所以y关于x的函数解析式为$y=-2x+220$。
②设该商品的进价为$a$元/件，根据题意得：
$100×(60 - a)=2000$
解得$a=40$
即该商品的进价为40元/件。
③根据题意，周销售利润：
$w=y(x-40)=(-2x+220)(x-40)$
整理得：
$w=-2x^2+300x-8800=-2(x-75)^2+2450$
因为$-2＜0$，所以当$x=75$时，$w$取得最大值，最大值为2450元。
即当售价定为75元/件时，周销售利润最大，最大利润是2450元。
(2)进价提高$m$元后，周销售利润：
$w=(-2x+220)(x-40-m)$
整理得：
$w=-2x^2+(300+2m)x-8800-220m$
该二次函数开口向下，对称轴为$x=75+\frac{m}{2}$。
因为$m＞0$，所以对称轴$x=75+\frac{m}{2}＞75$，又售价不得超过70元/件，即$x≤70$，因此在$x≤70$范围内，$w$随$x$的增大而增大，当$x=70$时，$w$取得最大值1600。
将$x=70$，$w=1600$代入得：
$(-2×70+220)×(70-40-m)=1600$
即$80×(30-m)=1600$
解得$m=10$。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{y=-2x+220}$；②该商品进价为$\boldsymbol{40}$元/件；③当售价定为$\boldsymbol{75}$元/件时，周销售利润最大，最大利润是$\boldsymbol{2450}$元；(2)$\boldsymbol{m=10}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二次函数最值应用；销售利润问题
【点评】
本题结合实际销售场景，综合考查了一次函数、二次函数与一元一次方程的相关知识，解题时需要理清售价、销量、利润三者的数量关系，第二问尤其要注意结合自变量的取值范围和函数单调性确定最值点，对知识的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
